數字信號處理原理 第3版 習題答案匯 劉泉 第2章離散時間信號時域分析-多速率采樣信號處理

2.1給定離散信號(1)畫出序列的波形，并標出各序列值；(2)試用延遲的單位沖激序列及其加權和表示序列；(3)試分別畫出序列和序列的波形。解(1)的波形如圖2.1所示。(3)和的波形分別如圖2.2和圖2.3所示。 圖2.1圖2.2圖2.32.2判斷下列序列是否為周期序列。若是周期的，請確定其周期。(1)，式中為常數 (2)解(1)為有理數，所以是以16為周期的周期序列。(2)因為,而為無理數，所以此序列是非周期序列。2.3已知線性非移變系統(tǒng)的輸入為，系統(tǒng)的單位采樣響應為，試求系統(tǒng)的輸出并作圖。(1)， (2)，(3)， (4)，解(1),輸出如圖2.4所示。，輸出如圖2.5所示。圖2.4 圖2.5(3)輸出如圖2.6所示。(4)當時，當時，，輸出如圖2.7所示。圖2.8 圖2.6 圖2.72.4已知一個線性非移變系統(tǒng)的單位采樣響應為試用直接計算卷積的方法，求系統(tǒng)的單位階躍響應。解(1)當時,得(2)當時,得故所求系統(tǒng)的單位階躍響應為2.5圖P2.8所示的是單位采樣響應分別為和的兩個線性非移變系統(tǒng)的級聯(lián)，已知,,,，試求系統(tǒng)的輸出。圖P2.8題2.5圖解因為2.6判斷下列系統(tǒng)是否為：(a)線性系統(tǒng)；(b)非移變系統(tǒng)；(c)穩(wěn)定系統(tǒng)；(d)因果系統(tǒng)。請予以證明。(1) (2) (3)(4) (5) (6)解(1)(a)所以是非線性系統(tǒng)(b)因為所以是非移變系統(tǒng)(c)設,則有，所以是穩(wěn)定系統(tǒng)(d)因為n時刻的輸出y(n)只取決于n時刻的輸入x(n)，所以是因果系統(tǒng)(2)(a)所以是非移變系統(tǒng)(b)因為所以是非移變系統(tǒng)(c)設有界，則有界，所以系統(tǒng)穩(wěn)定(d)因為時，時刻的輸出時刻以后的輸入有關，所以是非因果系統(tǒng)(3)(a)所以是線性系統(tǒng)(b)故為移變系統(tǒng)(c)設，則，所以是穩(wěn)定系統(tǒng)(d)因為n時刻的輸出y(n)只取決于n時刻輸入x(n),所以是因果系統(tǒng)(4)(a)所以是線性系統(tǒng)(b)因為所以是移變系統(tǒng)(c)設，令g(n)=n,則(d)時刻的輸出只取決于時刻的輸入，所以是因果系統(tǒng)(5)(a)因為(b)因為所以是非移變系統(tǒng)(c)設，則，當時，有，所以不是穩(wěn)定系統(tǒng)(d)n時刻的輸出只取決于時刻的輸入，所以是因果系統(tǒng)(6)(a)因為，所以是線性系統(tǒng)(b)因為所以是非移變系統(tǒng)(c)設，則，當時，有，所以不是穩(wěn)定系統(tǒng)(d)當時，時刻的輸出與時刻以后的輸入有關，所以是非因果系統(tǒng)2.7討論下列各非移變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。(1) (2) (3)(4) (5) (6)解(1)因為時，，所以該系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得,所以系統(tǒng)穩(wěn)定(2)因為時，，所以該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得，所以系統(tǒng)穩(wěn)定(3)因為時，，所以該系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得所以當時，系統(tǒng)穩(wěn)定；當時，系統(tǒng)不穩(wěn)定(4)因為時，，所以該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定(5)因為時，，所以該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得(為有限值),則系統(tǒng)穩(wěn)定(6)因為時，，所以該系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)由穩(wěn)定充要條件得，所以系統(tǒng)穩(wěn)定2.8設系統(tǒng)的差分方程為其中為輸入，為輸出。當邊界條件分別為時，試判斷系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)或是否為非移變系統(tǒng)。解（1）當邊界條件為時①設，則 由差分方程得 遞推得 當時， 因而 遞推得 綜上可知 ②設 由差分方程得 遞推得 即 當時， 因而 遞推得 綜上可知 由①和②的結果可知，與是移1位的關系，但與不是移1位的關系，所以在的條件下，系統(tǒng)是移變系統(tǒng)。③設 當時， 遞推得 即 當時， 則 遞推得 綜上得 所以，該系統(tǒng)在條件下是線性系統(tǒng)。（2）當邊界條件為時①設 得 ②設 得 由①和②的結果可知，與是移位的關系，但與也是移位的關系，所以在的條件下，系統(tǒng)是非移變系統(tǒng)。③設 當時， 當時， 綜上得 所以該系統(tǒng)在的條件下是線性系統(tǒng)。2.9設系統(tǒng)的框圖如圖P2.9所示，試列出該系統(tǒng)的差分方程，并按初始條件，求輸入為時的輸出。圖P2.9題2.9圖解由圖可得方程組 聯(lián)立整理得到系統(tǒng)的差分方程為 由于時，，則通過迭代可得 歸納可得 整理化簡得2.10設一因果系統(tǒng)的輸入/輸出關系由下列差分方程確定：(1)求該系統(tǒng)的單位采樣響應；(2)利用(1)得到的結果，求輸入為時系統(tǒng)的響應。解(1) 因為 所以?可以推出 即 2.11設系統(tǒng)的單位采樣響應，系統(tǒng)的輸入是一些觀測數據。若假設系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零狀態(tài)，且，試利用遞推法求系統(tǒng)的輸出。解當n<0時，h(n)=0，此時系統(tǒng)輸出為0。當n>0時系統(tǒng)的輸出為系統(tǒng)輸入與系統(tǒng)單位采樣響應的線性卷積，即利用遞推法可求系統(tǒng)輸出如下：當n=0時，當n=1時，當n=2時，當n=3時，?依此類推，可得：則系統(tǒng)的輸出為：2.12有一連續(xù)時間信號，式中f=20Hz,φ=π/2。(1)試確定的周期；(2)若用采樣間隔T=0.02s對進行采樣，試寫出采樣信號的表達式；(3)畫出對應的時域離散序列的波形，并求出的周期。解(1)的周期為(2)采樣信號的表達式為(3)的數字頻率為,又因為,所以的周期為。離散序列可描述為,其波形如圖2.10所示。圖2.102.13試用MATLAB繪出題2.2中各信號的波形。(1)%參數設置A=1;%振幅An=0:50;%n的范圍，從0到50phi=pi/6;%相位偏移phi=π/6%計算cos函數y=A*cos(5*pi*n/8+phi);%繪圖stem(n,y);%使用stem函數繪制離散圖xlabel('n');%x軸標簽ylabel('Amplitude');%y軸標簽title('y=Acos(5\pin/8+\pi/6)');%圖標題gridon;%顯示網格(2)%定義n的范圍n=0:50;%計算序列x(n)x_n=exp(1j*(n/8-pi));%分別繪制實部和虛部figure;subplot(2,1,1);stem(n,real(x_n),'filled');title('實部');xlabel('n');ylabel('實部');subplot(2,1,2);stem(n,imag(x_n),'filled');title('虛部');xlabel('n');ylabel('虛部');2.14試用MATLAB實現(xiàn)題2.3中的卷積運算，并繪出相應的信號波形。(1)x=[1];%h=[11111];%y=conv(x,h);stem(y,'fill');(2)n=0:10;%可以自定義范圍u1=(n>=0);%第一個階躍函數u2=(n>=0);%第二個階躍函數result=conv(u1,u2);figure;stem(0:length(result)-1,result);axis([010020]);(3)n=0:10;u1=0.5.^n.*(n>=0&n<3);%u2=(n==2);%result=conv(u1,u2);figure;stem(0:length(result)-1,result);(4)n=-10:10;%可以自定義范圍u1=2.^n.*(n<0);%u2=0.5.^n.*(n>=0);%result=conv(u1,u2);figure;stem(-20:(length(result)-1)/2,result);%-20由自定義范圍得出2.15試用MATLAB實現(xiàn)題2.12的采樣過程，繪出相應的時域和頻域波形。(1)時域波形closeallclearall%定義采樣間隔Ta=2*pi/(40*pi);N=32;Ts=Ta/N;t=(0:N-1)*Ts;x=cos(40*pi*t+pi/2);%繪制采樣后的信號stem(t,x,"filled");xlabel('時間(s)');ylabel('x(t)');title('采樣后的信號');gridon;(2)頻域波形%計算采樣信號的FFTX=fft(x);X=fftshift(X);%計算頻率軸f=((0:N-1)-N/2)/Ta;figure%計算幅度譜magnitude=abs(X)/N;%繪制頻域波形stem(f,magnitude,'fill');xlabel('頻率(Hz)');ylabel('幅度');title('抽樣信號的頻域波形');gridon;3.1設Xeiω和Yeiω分別是xn1xn?n05x解2DTFTx?34所以DTFT5=n=?∞+∞xn=或者DTFT6dX所以DTFT(7)因（DTFT3.2已知X求Xejω的傅里葉反變換解:因為當ω0<ω<ω0時,所以x=3.3線性非移變系統(tǒng)的頻率響應Hejω=Hejωy證明:假設輸人信號xn=eiωy上式說明，當輸入信號為復指數序列時，輸出序列仍是復指數序列，且頻率相同，但幅度和相位決定系統(tǒng)的頻率響應，即有xy=上式中Heiω是ω的偶函數，相位函數是ω的奇函數，即Hejωy3.4試求以下序列的傅里葉變換。13xn=解2==343.5已知xn=解:序列xDTFT=DTFTx03.6若序列?n是實因果序列，其傅里葉變換的實部如下式求序列?n及其傅里葉變換H解：因為

H?H3.7若序列?n是實因果序列，?0=1，其傅里葉變換的虛部為H1ejω解而DTFT則?所以H3.8設系統(tǒng)的單位沖激響應?n=x完成下面各題：12分別求出解:(1)系統(tǒng)輸出為

y由2DTFTDTFTDTFT=3.9已知xat=2cos2πf0t，式中f0=1寫出2寫出3分別求出解:X=2πδω?2π=2πδ2xxn3===800而3.10求下列序列的Z變換，指出收斂域，并畫出零極點圖。1an41nn≥15解:1由Z變換的定義可知X=極點為z=a,z=a?1，零點為z=0,z=∞，因為az<1，且az?1<1，即得Z變換的收斂域為aMatlab實現(xiàn)程序如下：cleara=0.5;b=0c=1?zplaneb,c圖3.1零極點圖2極點為z=12，收斂域為z>圖3.2零極點圖3Z極點為z=12，零點為z=0，收斂域為z<1圖3.3零極點圖4由Z變換的定義可知X因為則X極點為z=1,z=0，零點為z=∞，而Xz的收斂域和dXzdz的收斂域相同，所以Xz收斂域為z圖3.4零極點圖5Y所以X極點為z=ejω0,z=圖3.5零極點圖6y=cosφ?cos則

Y=而

x則

X極點為z=reiω0,z=re?jω圖3.6零極點圖3.11求序列xn=n解令再令i=nX3.12用長除法、留數定理法和部分12X3解：1長除法：由于是右邊序列，所以按降冪級數排列，X所以x留數法:xn=12πjc11+當在c內有z=?12一個極點，則有x由于xn為因果序列,故n<0時，xn部分分式法：由題得，因為zx2長除法：由于極點為z=14，收斂域為z<14，X所以x留數法：xn=12πjc1?2當nx當nx當nx綜上所述，有部分分式法：X則Xz=8?71?14z?1，x3長除法：因為極點為z=1a，由z>1a可知Xx留數法：xn=12πjcz?a1?azzx當n=0時，Xzzn?1在cx當n<0x部分分式法：X3.13已知一個線性非移變系統(tǒng)，用差分方程描述如下y求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數Hz，求系統(tǒng)的單位沖激響應?？梢钥闯鱿到y(tǒng)為一個不穩(wěn)定系統(tǒng)，求滿足上述差分方程的一個穩(wěn)定（但非因果）系統(tǒng)的沖激響應。解：(1)差分方程兩邊取Z變換得：Y系統(tǒng)函數為

H零點為z=0,極點為z1=1+52,圖3.7 零極點圖（2）H3H得到?此時系統(tǒng)穩(wěn)定，但非因果。3.14設一個線性非移變系統(tǒng)的因果系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數為Hz23證明這個系統(tǒng)是一個全通系統(tǒng)。解：1由題意可得系統(tǒng)函數有一個極點z=a，若要求它是一個穩(wěn)定系統(tǒng)，該系統(tǒng)函數的極點應全部在單位圓內，因此a<1，因為a為實數，所以一1<2系統(tǒng)函數的零點為z=a?1,極點為z=aa0a01/aRe(z)Im(z)圖3.83H因此，此系統(tǒng)是一個全通系統(tǒng)。3.15設線性非移變系統(tǒng)的差分方程為y試求它的單位沖激響應，并判斷它是否為因果系統(tǒng)，是否為穩(wěn)定系統(tǒng)。解：在差分方程兩邊求Z變換得1所以該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為HH該系統(tǒng)的極點有z=13當|z|<1/3時，?(n)=?3/8?[因為收斂域不含∞，所以是非因果系統(tǒng)；收斂域不含單位圓，不是穩(wěn)定系統(tǒng)。(2)當1/3<|z|<3因為收斂域不含∞，所以是非因果系統(tǒng)；收斂域含單位圓，是穩(wěn)定系統(tǒng)。當3<|z|時，因為收斂域包含∞，所以是因果系統(tǒng)；收斂域不含單位圓，不是穩(wěn)定系統(tǒng)。3.16某系統(tǒng)的差分方程為y求輸人為xn=12解:對差分方程的兩邊取單邊Z變換，得Y將初始條件代人上式整理得YY=故零輸入響應y由xY=故零狀態(tài)響應為y綜上所述，系統(tǒng)的相應為y3.17設確定性序列xn的自相關函數為

rxx=n=?∞∞xnxn+m

，試用xn解:Z令n+m=iZ所以Z由于Xeiω是單位圓上的Z變換，所以3.18已知線性因果網絡用下面差分方程描述y1求網絡的系統(tǒng)函數2寫出頻率響應He3設輸入解:1對差分方程兩邊取Z變換得Y系統(tǒng)函數為H因為H所以?2

系統(tǒng)的零點為z=?0.9，極點為z=0.9，如圖3.9所示。將系統(tǒng)的幅頻響應記為He①當②隨ω的增大，由0變到π，B越來越小,A越來越大，則∣Hejω∣越來越??；④隨ω的繼續(xù)增大，由π變到2π,B越來越大,A越來越?、莓敠?2π時0Re(z)0Re(z)Im(z)-110π2πHω19圖3.9幅頻特性圖3X其中,Y所以，當輸入為xny3.19研究一個線性非移變的系統(tǒng)，其差分方程為y判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定，是否因果沒有限制；研究這個差分方程的零極點圖，求系統(tǒng)單位沖激響應的三種可能的選擇方案，驗證每一種方案都滿足差分方程。解:對所給的差分方程的兩邊作Z變換得YH則系統(tǒng)函數為可求得極點為z1=2,z21當收斂域?經驗證，將以上的單位抽樣響應代入原方程計算，兩邊相等，即滿足差分方程。(2)?3當收斂區(qū)域為?經驗證，將以上的單位抽樣響應代入原方程計算，兩邊相等，即滿足差分方程。2.20若序列?nH求序列?n及其傅里葉變換H解：因為H令z=H求上式逆Z變換，得序列?n的共軛對稱序列?則F因為?n是因果序列,?e當n≥1?當n=0F所以?又因為?所以??其對應的傅里葉變換為H3.21試用Matlab編程計算習題3.8和3.9。解：（1）3.8題編程。求系統(tǒng)輸出yncloseall;clear;a=0.5;n=100;x=[102];h=a.^[0:n-1];%(a)卷積輸出y=conv(x，h);figure(1)，plot(0:length(y)-1，y)圖3.10卷積結果圖計算x(n)，h(n)，y(n)的傅里葉變換，代碼如下。%代碼中，有一個可替換的參數，其中對于x(n)，BBB=1+2*exp(-2*j*w)，結果參看圖3.11；%對于h(n)，BBB=1./(1-0.5*exp(-j*w))，結果參看圖3.12;對于y(n)，BBB=1./(1-%0.5*exp(-j*w))+2*exp(-2*j*w)./(1-0.5*exp(-j*w))，結果參看圖3.13。closeall;clear;figure;w=[0:0.1:pi];func=BBB;%計算復數的幅值magnitude=abs(func);subplot(1，2，1)plot(w，magnitude)xlabel('頻率')ylabel('幅值')%計算相位phase=angle(func);%將相位轉換為度phase_in_degrees=phase*180/pi;subplot(1，2，2)plot(w，phase_in_degrees)xlabel('頻率')ylabel('相位/度')圖3.11x(n)的頻譜圖3.12h(n)的頻譜圖3.13y(n)的頻譜（2）3.9題編程。x由奈奎斯特采樣定理：XajΩcloseall;clear;figure;w=[-2000:1:2000];func=zeros(1，length(w));fori=-100:100func=func+dirac(w-800*i-200)+dirac(w-800*i+200);endfunc=800*pi*func;%計算復數的幅值magnitude=abs(func);magnitude(magnitude==inf)=3;plot(w，magnitude)xlabel('頻率')ylabel('幅值')圖3.14xaX(n)傅里葉變換：Xejωcloseall;clear;figure;w=[0:0.1:pi];func=zeros(1，length(w));fori=1:1000func=func+exp(j*(pi/2-w)*i)+exp(-j*(pi/2-w)*i);end%計算復數的幅值magnitude=abs(func);subplot(1，2，1)plot(w，magnitude)xlabel('頻率')ylabel('幅值')%計算相位phase=angle(func);%將相位轉換為度phase_in_degrees=phase*180/pi;subplot(1，2，2)plot(w，phase_in_degrees)xlabel('頻率')ylabel('相位/度')圖3.15x(n)的頻譜3-1計算下列序列的N點DFT1x(n)=12x(n)=δ(n)

解:

123456X=7X(k)&=X(k)=9X(k)=10X(k)=再將Y=X(k)=?當k=0時，因為WX(k綜上可得X(k)=3-2已知下列X(k)，求其離散傅里葉逆變換x1式中，m為整數0<m<解：3-3已知周期序列xn，其主值序列x(n)=[5,4,3,2,1,3,2]，試求xn的傅里級數系數解:根據已知條件，xnXX(0)=XXXX(4)=X(5)=XX(k)即是以N=7為周期，以{X(0),X(1),X(2),X(3),X(4),X(5),X(6)}3-4設有兩個序列為{1,2,3,4,5,0,0}和它們的圓周卷積(序列長度為N=7);用圓周卷積定理求兩序列的線性卷積(請用N1=7解：(1)設這兩個序列分別為x1(n)和x2(n)，其周期取為N=7來計算圓周卷積。做兩個同心圓，把序列yy3y4y5y綜上得到兩個序列的圓周卷積為y(n)={6,3,6,10,14,12,9}。(2)對x1(n)和所以x1(n)3-5設有兩序列x(n)=&x(n),????&&0?n?5&0,????&&其他和y(n)=&y(n),????&&0?n?15&0,????&&解:序列x(n)長度N1=6,序列y(n)的長度N2=16,故其線性卷積的長度N=3-6設x(n)長度為N，且X令H(k)=求解：

令,，則因此，，即綜上，3-7已知x(n)是長度為N的有限長序列，Xy(n)=試求Y(k)=DFT解3-8已知x(n)是長度為N的有限長序列，Xk=DFTxn,y(n)=&x(n/r),????&&n=ir,i=0,1,?,N?1&0,????&&其他解因為

X(k)=Y(k)=又已知n=ir,i=0,1,?,N?1時令

n所以

Y(k)=3-9如果xn是周期為N的周期序列，那么xn是周期為2N的周期序列。假定X1(k)表示xn以N為周期的DFS的系數,X2(k)解:依題意可得XX令n'X所以

X3-10若x1(n)與x2(n)都是長度為N的序列,X1(k)與解：

因為X(k)=上式第二項求和得X1X(k)=3-11一個有限長序列x(n)={1,1,1,1,1,1},設其Z變換為Xz。如果在Zk=ej2πk/4,k=0,1,2,3點時對解：對Xz在單位圓上等間隔采樣4點將造成x(n)y(n)=[所以y(n)=2δ(n)+2δ(n?1)+δ(n?2)+δ(n?3)3-12一個長度為N1=100點的序列x(n)與長度為N2=64點的序列h(n)用解：因為線性卷積的長度為N3=N1+3-13xn表示一周期為N的周期序列,Xk表示其離散傅里葉級數的系數,Xk也是一周期為N的周期序列。試由式x解因為

X所以

DFS[因為

k=0則

DFS3-14有限時寬序列的N點離散傅里葉變換相當于其Z變換在單位圓上的N點等間隔采樣;求出X(z)在半徑為r的圓上的N點等間隔采樣，即X試給出一種用DFT計算得到X(k)解因為

X(z)=所以。X計算方法是：先構造一個序列x(n)r?n,5.1一臺通用計算機的速度為：平均每次復數乘法需要100μs，每次復數加法需要20μs，今用來計算N=1024點的DFT[x(n)]。問直接運算需要多少時間？用FFT運算需要多少時間？解直接計算DFT需要N2次復數乘法、N(N-1)次復數加法；當N=1024=210復數乘法：N2=10242復數加法：N(N-1)=1024×(1024-1)≈10242=1048576所以直接運算需要的時間為1048576×100μs+1048576×20μs=125829120μs≈125.829s而如果用DIT-FFT算法，需要的運算量如下：復數乘法：mF=復數加法：m所以采用DIT-FFT算法需要的時間為5120×100μs+10240×20μs=716800μs=0.7168s5.2一個線性非移變系統(tǒng)的單位取樣響應為，已知輸入信號為，請用FFT方法求，要求畫出詳細的運算流圖，并寫出計算步驟。解由題意y(n)=x(n)??(n)，根據圓周卷積定理可知Y(k)=X(k)H(k)，又因為當N≥N1+N2?1=時，可用圓周卷積替代線性卷積。若用基-2FFT，N取4，先計算x(n)和?(n)的FFT，再求X(k)和H(k)乘積得到Y(k)圖5.6圖5.7因此，Y(k)=X(k)H(k)={3,1求Y(k)的IFFT的方法有兩種：方法一：因為y(n)=1NDFTY圖5.8所以y(n)=方法二：可利用4點的DIF-IFFT計算y(n)結果，如圖5.9所示。圖5.9所以y(n)=1,5.3試畫出為復合數時的FFT算法求的結果（采用基）。解依題意：，∴對于，有有，同樣，令對于頻率變量有，∴∴圖5.105.4已知是一個點實序列的DFT，現(xiàn)在要用為求，為提高運算效率，試設計一個點IFFT運算一次完成。解將x(n)奇偶分組得{x1因為x(n)為實序列，因此構造一個復序列wn設{X{X(所以如果已知X(k)，可得令{WWk=也即wn5.5一個長度為的復序列與一個長度為的復序列卷積。(1)求直接進行卷積所需(復)乘法次數。(2)若用1024點基2按時間抽取FFT重疊相加法計算卷積，重做問題(1)。解(1)直接進行卷積所需(復)乘法次數為：K1=ML=512×8192=4194304。若用1024點按時間抽取的基-2FFT重疊相加法計算卷積，由于的長度為512點，可以將分段成16段長度為512的序列，這樣與1024點的圓周卷積與線性卷積相等。根據快速卷積原理，需計算17次1024點的FFT和16次1024點的IFFT。N點的FFT的(復)乘法次數為mF=N2log2?NK5.6設是一個長度為的序列，且，，其中為偶數。(1)證明x(n)的N點DFT僅有奇次諧波，即X(k)=0，k為偶數(2)證明如何由一個經過適當調整的序列的N/2的DFT求得x(n)的N點DFT。證明(1)X=當k為偶數時，由于xn=?xn+N2(2)Xk因為WNXk=Xn/2(2k)表示序列的N2的DFT，從而得x5.7已知以1s為周期均勻采樣得到。(1)試求頻譜X(k)，并作出碟形圖。(2)試進行譜分析，即求出振幅譜、相位譜和功率譜。解(1)采用圖示法，4點的DIT-FFT運算蝶形圖如圖5.11所示。圖5.11所以X(k)={5,2+j,-5,2-j}振幅譜Ak相位譜φ功率譜S(k)=A5.8用微處理機對實序列進行譜分析，要求譜分辨率F≤1Hz，信號的最高頻率為，試確定以下各參數：(1)最小記錄時間Tpmin；(2)最大的取樣間隔Tmax；(3)最少采樣點數N解由F≤1Hz及Tp≥1F可得：而采樣頻率fsTN分辨率提高一倍，即，則5.9用重疊相加法計算一個長度為1000點的序列與長度為64點的序列的線性卷積時，共需要多少點DFT變換與DFT反變換？用重疊保留法呢？解由重疊相加法可知，需要把1000點的長序列分成每段分為L=128+1-64=65點共可得16段，這樣每段65點序列與64點短序列的線性卷積恰好可以由128點的圓周卷積計算。由此可得需通過DFT轉換16次，DFT轉換1次，總共17次DFT，并運用DFT反變換16次就可以了。若采用重疊保留法，則分組的時候與重疊相加法有區(qū)別，第一段128點中包含64-1=63個零點，含有65個非零點，第二段中又重復第一段中最后63個點，然后依次排列后面的65個點，接著第三段依此類推，每段只有65個點是唯一的，因此1000點的序列需要分解成17段[(1000+63)/65=16余23]，最后一段需要補充40個零點，需要做17次DFT變換，加上序列的1次DFT變換，故總共有18次DFT變換，并需要17次DFT反變換。6.1已知一個離散時間系統(tǒng)由下列差分系統(tǒng)表示：y(n)?(1)畫出實現(xiàn)該系統(tǒng)的框圖。(2)畫出實現(xiàn)該系統(tǒng)的信號流圖。解（1）（2）6.2試求圖P6.2所示的兩個網絡的系統(tǒng)函數，并證明它們具有相同的極點。網絡Ⅰ網絡Ⅱ圖P6.2解網絡Ⅰ的系統(tǒng)函數H1(z)=根據梅森公式可得網絡Ⅱ的系統(tǒng)函數H2(z)=6.3已知系統(tǒng)函數為H(z)=按照下列形式畫出實現(xiàn)這個系統(tǒng)的信號流圖：(1)直接Ⅰ型；(2)直接Ⅱ型；(3)級聯(lián)型；(4)并聯(lián)型。解（1）（2）（3）H（4）H6.4已知一個時域離散線性非移變因果系統(tǒng)由下列差分方程描述：y試畫出下列形式的信號流圖（對級聯(lián)和并聯(lián)形式只用一階節(jié)）：(1)直接Ⅰ型；(2)直接Ⅱ型；(3)級聯(lián)型；(4)并聯(lián)型。解（1）H（2）（3）H（4）H6.5設系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為H(z)=試畫出各種可能的級聯(lián)結構。解6.6已知FIR濾波器的單位沖激響應為?(n)=求該濾波器的直接型結構。解?6.7已知FIR濾波器的單位沖激響應為?0該濾波器的零點分布和級聯(lián)型結構流圖。解H故可以得出零點?1故可得出其零點分布圖（用matlab畫的零極點分布圖）級聯(lián)型結構流圖為6.8設某FIR數字濾波器的系統(tǒng)函數為H(z)=試畫出此濾波器的線性相位結構。解6.9已知FIR數字濾波器的單位沖激響應為?(n)=δ試畫出實現(xiàn)該濾波器的頻率采樣型結構（設取樣點數為N=5）。解頻率采樣公式為H(z)=(1?由于采樣點數N=5，所以有WNHk=0HH頻率采樣型結構為6.10一個FIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為H(z)=(1?試求其格型結構。解k故其格式結構為6.11已知H(z)=試求這個零-極點IIR濾波器的格型結構。解kc故其格式結構為6.12分別以原碼、反碼和補碼形式表示小數732和-7解732?76.13設濾波器的輸入是方差為δe2的白噪聲序列H(z)=試求輸出序列的方差。解輸出序列的方差為δ6.14一個線性非移變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為H(z)=設該系統(tǒng)用一個16位定點處理器實現(xiàn)，在量化之前先對乘積之和進行累加，且δe采用直接Ⅱ型結構實現(xiàn)該系統(tǒng)，求濾波器輸出端舍入噪聲的方差。采用并聯(lián)型結構實現(xiàn)該系統(tǒng)，重復問題（1）。解（1）輸出端舍入噪聲的方差δ又δ故δ（2）H輸出端舍入噪聲的方差δ又δ故δ6.15試用MATLAB實現(xiàn)習題6.3中4種結構的IIR濾波器。clc;clearall;close;b=[3,3.6,0.6];a=[1,0.1,-0.2];N=30;delta=impseq(0,0,N);%直接I型(h1)和直接II型(h2)h1=filter(b,a,delta);h2=h1;%級聯(lián)型(h3)[K1,B1,A1]=dir2cas(b,a);h3=casfiltr(K1,B1,A1,delta);%并聯(lián)型(h4)[K2,B2,A2]=dir2par(b,a);h4=parfiltr(K2,B2,A2,delta);function[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%Generatesx(n)=delta(n-n0);n1<=n,n0<=n2%----------------------------------------------%[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%if((n0<n1)|(n0>n2)|(n1>n2)) error('argumentsmustsatisfyn1<=n0<=n2')endn=[n1:n2];%x=[zeros(1,(n0-n1)),1,zeros(1,(n2-n0))];x=[(n-n0)==0];endfunction[b0,B,A]=dir2cas(b,a);%DIRECT-formtoCASCADE-formconversion(cplxpairversion)%---------------------------------------------------------%[b0,B,A]=dir2cas(b,a)%b0=gaincoefficient%B=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingbk's%A=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingak's%b=numeratorpolynomialcoefficientsofDIRECTform%a=denominatorpolynomialcoefficientsofDIRECTform%computegaincoefficientb0b0=b(1);b=b/b0;a0=a(1);a=a/a0;b0=b0/a0;%M=length(b);N=length(a);ifN>M b=[bzeros(1,N-M)];elseifM>N a=[azeros(1,M-N)];N=M;else NM=0;end%K=floor(N/2);B=zeros(K,3);A=zeros(K,3);ifK*2==N; b=[b0]; a=[a0];end%broots=cplxpair(roots(b));aroots=cplxpair(roots(a));fori=1:2:2*K Brow=broots(i:1:i+1,:); Brow=real(poly(Brow)); B(fix((i+1)/2),:)=Brow; Arow=aroots(i:1:i+1,:); Arow=real(poly(Arow)); A(fix((i+1)/2),:)=Arow;endendfunctiony=casfiltr(b0,B,A,x);%CASCADEformrealizationofIIRandFIRfilters%-----------------------------------------------%y=casfiltr(b0,B,A,x);%y=outputsequence%b0=gaincoefficientofCASCADEform%B=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingbk's%A=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingak's%x=inputsequence%[K,L]=size(B);N=length(x);w=zeros(K+1,N);w(1,:)=x;fori=1:1:Kw(i+1,:)=filter(B(i,:),A(i,:),w(i,:));endy=b0*w(K+1,:);endfunction[C,B,A]=dir2par(b,a);%DIRECT-formtoPARALLEL-formconversion%--------------------------------------%[C,B,A]=dir2par(b,a)%C=Polynomialpartwhenlength(b)>=length(a)%B=Kby2matrixofrealcoefficientscontainingbk's%A=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingak's%b=numeratorpolynomialcoefficientsofDIRECTform%a=denominatorpolynomialcoefficientsofDIRECTform%M=length(b);N=length(a);[r1,p1,C]=residuez(b,a);p=cplxpair(p1,10000000*eps);I=cplxcomp(p1,p);r=r1(I);K=floor(N/2);B=zeros(K,2);A=zeros(K,3);ifK*2==N;%Neven,orderofA(z)odd,onefactorisfirstorder fori=1:2:N-2 Brow=r(i:1:i+1,:); Arow=p(i:1:i+1,:); [Brow,Arow]=residuez(Brow,Arow,[]); B(fix((i+1)/2),:)=real(Brow); A(fix((i+1)/2),:)=real(Arow); end [Brow,Arow]=residuez(r(N-1),p(N-1),[]); B(K,:)=[real(Brow)0];A(K,:)=[real(Arow)0];elsefori=1:2:N-1 Brow=r(i:1:i+1,:); Arow=p(i:1:i+1,:); [Brow,Arow]=residuez(Brow,Arow,[]); B(fix((i+1)/2),:)=real(Brow); A(fix((i+1)/2),:)=real(Arow); endendendfunctionI=cplxcomp(p1,p2)%I=cplxcomp(p1,p2)%Comparestwocomplexpairswhichcontainthesamescalarelements%but(possibly)atdifferrentindices.Thisroutineshouldbe%usedafterCPLXPAIRroutineforrearrangingpolevectorandits%correspondingresiduevector.%p2=cplxpair(p1)%I=[];forj=1:1:length(p2)fori=1:1:length(p1) if(abs(p1(i)-p2(j))<0.0001) I=[I,i];endendendI=I';endfunctiony=parfiltr(C,B,A,x);%PARALLELformrealizationofIIRfilters%----------------------------------------%[y]=parfiltr(C,B,A,x);%y=outputsequence%C=polynomial(FIR)partwhenM>=N%B=Kby2matrixofrealcoefficientscontainingbk's%A=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingak's%x=inputsequence%[K,L]=size(B);N=length(x);w=zeros(K+1,N);w(1,:)=filter(C,1,x);fori=1:1:Kw(i+1,:)=filter(B(i,:),A(i,:),x);endy=sum(w);end6.16試用MATLAB實現(xiàn)習題6.6中直接型結構的FIR數字濾波器。clc;clearall;close;n=0:4;b=0.5.^n;N=30;delta=impseq(0,0,N);h=filter(b,1,delta);function[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%Generatesx(n)=delta(n-n0);n1<=n,n0<=n2%----------------------------------------------%[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%if((n0<n1)|(n0>n2)|(n1>n2)) error('argumentsmustsatisfyn1<=n0<=n2')endn=[n1:n2];%x=[zeros(1,(n0-n1)),1,zeros(1,(n2-n0))];x=[(n-n0)==0];end6.17試用MATLAB實現(xiàn)習題6.8中線性相位結構的FIR數字濾波器的信號流圖。clc;clearall;close;n=0:4;b=[1,3,5,3,1]./5;N=30;delta=impseq(0,0,N);h=filter(b,1,delta);function[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%Generatesx(n)=delta(n-n0);n1<=n,n0<=n2%----------------------------------------------%[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%if((n0<n1)|(n0>n2)|(n1>n2)) error('argumentsmustsatisfyn1<=n0<=n2')endn=[n1:n2];%x=[zeros(1,(n0-n1)),1,zeros(1,(n2-n0))];x=[(n-n0)==0];end7.1試導出三階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數，設Ωc解 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數為A巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數為HsH其零點都在s=∞處,它的極點為sk=?112NH其中K0由H在三階巴特沃斯低通濾波器中,ΩcA其極點為SnS1=2則有H==因為Ha0=H7.2試導出二階切比雪夫濾波器的系統(tǒng)函數，已知通帶紋波為1dB，歸一化截止頻率為Ωc=1解 根據濾波器的指標可知:帶通波紋是δ1=1dB,N=2,ε所以ε因為a=s將ε=0.50884，N=2,ΩcssssHas由左半平面的極點s3、sH7.3已知某個模擬系統(tǒng)的傳遞函數為H試根據該系統(tǒng)求滿足下列兩個條件的離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數Hz(1)沖激不變條件，即?(2)階躍不變條件，即s式中s解 (1)因為H得極點為s代入沖激不變法計算公式得離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為H(2)因為sS所以s令t=nT,由階躍不變條件可得sS==由于snH7.4已知某個模擬濾波器的系統(tǒng)函數為H 采樣周期T=2，試用雙線性變換法將它轉換為數字濾波器的系統(tǒng)函數Hz解 當T=2時,系統(tǒng)函數為

=7.5要求用雙線性變換法從二階巴特沃斯模擬濾波器導出一低通數字濾波器，已知3dB截止頻率為100Hz解 因為采樣頻率fs=1KHZ,截止頻率求巴特沃斯模擬濾波器的系統(tǒng)函數，因為二階巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數為H則二階巴特沃斯模擬濾波器的系統(tǒng)函數為H使用雙線性變換求得數字濾波器得的系統(tǒng)函數為Hz7.6已知某個模擬濾波器的傳遞函數為H 試分別用沖激響應不變法和雙線性變換法將它轉換成數字濾波器的系統(tǒng)函數Hz，設T=0.5解 (1)使用沖激響應不變法因為Ha對Ha?利用沖激響應不變法條件h(n)=?ah對h(n)求Z變換得H將s1=-0.5,sH(2)使用雙線性變換法H==7.7設?a?試用沖激響應不變法將該模擬濾波器轉換成數字濾波器。若把T當作參量，證明T為任何正值時，數字濾波器都是穩(wěn)定的，并說明此濾波器是近似低通濾波器還是近似高通濾波器。解 令t=nT,得

求h(n)的Z變換,得數字濾波器的系統(tǒng)函數為H由于系統(tǒng)函數的極點為z=e?0.9T.,無論T為任何正值,恒有|z|=|e令z=ejωH因此,濾波器的幅度響應為H在[0,π]區(qū)間,隨著ω的增加,He7.8圖P7.8表示了一個數字濾波器的頻率響應。(1)試用沖激響應不變法,求原型模擬濾波器的頻率響應;(2)再用雙線性變換法,求原型模擬濾波器的頻率響應。解：（1）該濾波器的頻率響應可表示為He因為ω大于折疊頻率時,HeH又由Ω=H下圖給出了該原型模擬濾波器的頻率響應（2）根據雙線性變換公式,可得H即由ω所以,原型模擬濾波器的頻率響應為H下圖給出了該原型模擬濾波器的頻率響應7.9用沖激響應不變法設計一個滿足以下指標的巴特沃斯數字低通濾波器:幅度響應在通帶截止頻率ωP=0.2613π處的衰減不大于0.75dB,在阻帶截止頻率解（1）根據濾波器的指標得20設T=1,將數字域指標轉換成模擬域指標得20lg將巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數H代人上兩式得1+1+解這兩個方程得N=7.2786,取整數N=8,且Ωc=0.9206。顯然,按上述值設計的濾波器滿足通帶指標要求,且阻帶指標將超過給定值。(2)把N=8,0.Ωc=0.9206代入式s求得;平面左半平面的4對極點分別為:極點對1:-0.1796士j0.9029;極點對2:-0.5115士j0.7655;極點對3:-0.7655士j0.5115;極點對4:-0.9029±j0.1796由這4對極點構成的濾波器的傳遞函數為H=(3)將HaH(4)驗證所得到的數字濾波器是否達到設計指標。將z=ejω代入系統(tǒng)函數H(z)表達式，求解幅度響應Herp=0.75;rs=20;wp=0.2613*pi;ws=0.4018*pi;Fs=1;[n,wn]=buttord(wp,ws,rp,rs,'s')[z,p,k]=buttap(n);[bp,ap]=zp2tf(z,p,k)[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wp)Ts=1,fs=0.5;[bz,az]=impinvar(bs,as,Fs/2)[h,w]=freqz(bz,az,256,Fs);subplot(211)plot(w,abs(h));gridon;xlabel('w/2pi')ylabel('幅值')subplot(212)plot(w,180/pi*angle(h));gridon;xlabel('w/2pi')ylabel('相位(度)');由圖中可以看出,設計的濾波器完全滿足規(guī)定的技術指標,因為高階模擬巴特沃斯濾波器是充分帶限的,所以不會有很大的混疊失真。如果得到的濾波器不滿足技術指標,可以試用更高階的濾波器;若想保持階數N不變,可適當調整濾波器的系數加以解決。7.10使用雙線性變換法設計一個滿足以下指標的巴特沃斯數字低通濾波器。假定取樣頻率fs=10kHz,在通帶截止頻率fP=1kHz處的衰減不大于1解：（1）將模擬截止頻率轉換成數字截止頻率因為Ωp=2πfp=2000π,ΩT=2πfT=3000π,T=1/fs=0.0001s,所以ωp=T*Ωp=0.2π，ωT=T*ΩT=0.3π(2)計算N和Ωc將模擬截止頻率進行預畸變,即Ω將其代入20并令T=1，得20將巴特沃斯濾波器的幅度平方函數代人以上兩式得到1+1+解以上兩方程得N取整數N=4,可得Ωc=0.71684?？梢则炈氵@個Ωc值所對應的阻帶指標剛好滿足要求,而通帶指標已經超過要求(3)由N和Ωc。求模擬巴特沃斯濾波器的極點,并由左半平面的極點構成Ha(s),將N=4和Ωc=0.71684代入式s求得s平面左平面的4個極點分別為:極點1、2:?0.27432±極點3、4:?0.66227±由此得傳遞函數為:H(4)使用雙線性變換求得數字巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數為HH(5)驗證所得到的數字濾波器是否達到設計指標。將z=ejω代入系統(tǒng)函數H(z)表達式，求解幅度響應wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=1.8;As=12;Fs=1;T=1/Fs;OmegaP=(2/T)*tan(wp/2);OmegaS=(2/T)*tan(ws/2);ep=sqrt(10^(Rp/10)-1);Ripple=sqrt(1/(1+ep*ep));Attn=1/(10^(As/20));N=ceil((log10((10^(Rp/10)-1)/(10^(As/10)-1)))/(2*log10(OmegaP/OmegaS)))OmegaC=OmegaP/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N)))[B,A]=butter(N,OmegaC,'s');W=(0:500)*pi/500;[H]=freqs(B,A,W);mag=abs(H);db1=20*log10((mag+eps)/max(mag));[b,a]=bilinear(B,A,T);[h,w]=freqz(b,a,1000,'whole');h=(h(1:501))';w=(w(1:501))'m=abs(H);db2=20*log10((m+eps)/max(m));subplot(221);plot(W/pi,mag);title('幅度|dB|');ylabel('模擬濾波器')subplot(222);plot(W/pi,db1);title('幅度dB')subplot(223);plot(w/pi,m);xlabel('頻率(w/pi)');ylabel('數字濾波器')subplot(224);plot(w/pi,db2);xlabel('頻率(w/pi)')7.11使用雙線性變換法設計一個切比雪夫數字低通濾波器，各指標與題7.10中的相同解 將數字截止頻率轉換成模擬截止頻率因為ΩP=2πf 所以ωP=按照雙線性變換法有ΩΩ因為δ1=1.8dB，δ2所以εN≥所以取整數N=3。αa=b=因此a代入得左半平面得極點為-0.09875±j0.4732,-0.1975H因為N為奇數，HaHH7-12使用雙線性變換法設計一個切比雪夫數字高通濾波器。指標要求：取樣頻率fs=2.4kHz，在通帶截止頻率fP=160Hz處的衰減不大于3dB，在阻帶截止頻率fT=40解（1）將高通數字濾波器的頻率指標SKIPIF1<0和SKIPIF1<0折合成數字頻率SKIPIF1<0設T=2，按照雙線性變換法，將高通數字濾波器的數字域頻率轉換為高通模擬濾波器的頻率SKIPIF1<0將高模擬濾波器的頻率指標映射成模擬低同濾波器的頻率指標SKIPIF1<0（2）根據模擬低同濾波器的指標求SKIPIF1<0和NSKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0取N=3。（3）求模擬低通濾波器的平方幅度函數令SKIPIF1<0，將其代入3階切比雪夫多項式的平方中SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此，3階切比雪夫模擬低通濾波器的平方幅度函數為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（4）求模擬低通濾波器的傳輸函數將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0由上式求出SKIPIF1<0的極點：SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是左半s平面的3個極點，由他們構成一個穩(wěn)定的3階切比雪夫模擬低通濾波器，其傳輸函數為SKIPIF1<0SKIPIF1<0因N=3為奇數，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0最后得SKIPIF1<0SKIPIF1<0注意，模擬低通濾波器的傳輸函數在左半s平面的3個極點也可以用下式求出：SKIPIF1<0，k=0,1,…,2N-1其中常量a和b用下列公式計算SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0將SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值代入計算極點的公式，得左半s平面的極點如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0這里的結果與前面的數值基本相同。（5）將模擬低通濾波器轉換成模擬高通濾波器用1/s代換模擬低通濾波器的傳輸函數中的s，得到模擬高通濾波器的傳輸函數SKIPIF1<0（6）用雙線性變換法將模擬高通濾波器映射成數字高通濾波器設T=2。將SKIPIF1<0代入模擬高通濾波器的傳輸函數，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0Matlab程序如下Wp=2*pi/15;Ws=pi/30;Rp=3;Rs=48;fs=0.5;T=2;OmegaP=tan(Wp/2);OmegaS=tan(Ws/2);[N,OmegaC]=cheb1ord(OmegaP,OmegaS,Rp,Rs,'s');[b,a]=cheby1(N,Rp,OmegaC,'high','s');[h,w]=freqs(b,a);mag=abs(h);pha1=angle(h);db1=20*log10((mag+eps)/max(mag));[B,A]=bilinear(b,a,fs);[H,W]=freqz(B,A);mag=abs(H);pha2=angle(H);db2=20*log10((mag+eps)/max(mag));subplot(2,2,1);plot(w,db1);title('模擬濾波器幅頻曲線');xlabel('頻率（rad）');ylabel('幅度（dB）');subplot(2,2,2);plot(w,pha1);title('模擬濾波器相頻曲線');xlabel('頻率（rad）');ylabel('相位（rad）');subplot(2,2,3);plot(W,db2);title('數字濾波器幅頻曲線');xlabel('頻率（rad）');ylabel('幅度（dB）');subplot(2,2,4);plot(W,pha2);title('數字濾波器相頻曲線');xlabel('頻率（rad）');ylabel('相位（rad）');7-13已知一階全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為H (1)寫出它的兩種不同形式的差分方程。 (2)畫出直接Ⅱ型結構的信號流圖。 (3)根據差分方程畫出只有一個支路乘以a的結構的信號流圖。 (4)現(xiàn)有一個二階全通系統(tǒng)由下列系統(tǒng)函數定義：H 試用(3)中得到的兩個一階全通系統(tǒng)的級聯(lián)結構實現(xiàn)該二階全通系統(tǒng)，只允許使用3個延遲器，并畫出信號流圖。解 (1)由系統(tǒng)函數可得Hz=Yzyyy(2)（3）（4）7-14任何一個非最小相位系統(tǒng)均可表示成一個最小相位系統(tǒng)和一個全通系統(tǒng)的級聯(lián)，即H 式中Hapz是穩(wěn)定的因果全通濾波器，Φ 試證明對于所有ω，有? 此不等式說明，最小相位系統(tǒng)具有最小的群延遲，所以也是最小時延系統(tǒng)。證明 由于H令Φ根據級聯(lián)系統(tǒng)相頻特性等于各子系統(tǒng)相頻特性之和的性質,有Φ對上式兩邊求導,得d因為Hapd所以d?7-15假設某模擬濾波器是一個低通濾波器，又已知H試判定數字濾波器的通帶中心頻率位于以下哪個頻率位置：(a)ω=0（低通）；(b)ω=π解 由模擬濾波器轉換為數字濾波器Hs平面與z平面的映射關系為：ss式中，Ω為模擬濾波器頻率，w為數字濾波器頻率，帶入可得。jΩ當低通模擬濾波器頻率Ω為中心頻率Ωc=0處為通帶，此時ω為數字濾波器中心頻率eω數字濾波器通帶位于π處，數字濾波器為高通濾波器，故選擇(b)。8.1：FIR低通濾波器的脈沖響應h(n)是由理想低通濾波器的脈沖響應?dh當n=?對于給定的N=21,濾波器的階數是20，即n=0,1,2,...,20，中心位置為n=10,理想脈沖響應需要乘以矩形窗,矩形窗函數ω(n)的值為1，因此濾波器的脈沖響應h頻率響應H(ejωStep1:計算理想低通濾波器的脈沖響應h?矩形窗函數：ω濾波器的脈沖響應:h(n)=Step2:計算頻率響應通過傅里葉變換(DTFT)，求解H(H(8.2：與上題類似：Step1:計算理想低通濾波器的脈沖響應h?三角形窗函數ωh(n)=Step2:計算頻率響應通過傅里葉變換(DTFT)，求解H(H(8.3:理想高通濾波器的脈沖響應hdhhStep1:N=51，αhhStep2:漢寧窗的公式為：ωh(n)=8.4:理想帶通濾波器的脈沖響應hdhStep1:hStep2:海明窗的表達式為：ωh(n)=8.5：hStep1：其中，M=hStep2：布萊克曼窗ωω8.6:理想低通濾波器的頻率響應為：H其對應的時域沖激響應為：?凱澤窗:ω其中I0若ω8.7：通常，阻帶衰減要求與過渡帶寬度一起決定了窗函數的類型：1、漢明窗：阻帶衰減約為44dB2、凱澤窗：通過調整窗系數β可以滿足更大的阻帶衰減要求為滿足-45dB的阻帶衰減，選擇凱澤窗并根據阻帶衰減和過渡帶寬度來確定Step1：濾波器長度N計算：凱澤窗法中，N和過渡帶寬度?ω的N其中，A是是阻帶衰減的絕對值，即A=-45dB，帶入得到NStep2：理想低通濾波器的沖激響應計算hStep3：凱澤窗ω8.8：(1)?則H由上式可以看出|因為?1(n)是偶對稱序列，根據線性相位的定義，它是一個線性相位濾波器，其時延為N?12=3.5，令要知兩個濾波器的性能,必須求出它們各自的頻率響應的幅度函數,根據它們的通帶起伏以及阻帶衰減的情況,來加以比較。由于N=8是偶數，又是線性相位，則H(可以令??及??代入可得HH從阻帶看,H1(ω)的阻帶衰減大,而H2(ω)的阻帶衰減小,這一點8.9由H(z)z其中z01和z02、z03和z04互為共軛零點。為了使新系統(tǒng)滿足單位抽樣響應為實數,必須滿足新系統(tǒng)的零點保持共軛分布,因此在移動零點過程中應將z01和z因此總共可得到的新系統(tǒng)的個數為M=總共可得到的系統(tǒng)個數為M+1=16由系統(tǒng)零點分布可知,系統(tǒng)有3個零點分布在單位圓外,即z用全通系統(tǒng)將這些零點映射到單位圓內可得到最小相位系統(tǒng)。H(1?0.7其中最小相位系統(tǒng)為H(1?要獲得最大相位系統(tǒng),需要將原H(z)級聯(lián)一個全通系統(tǒng),把單位圓內的零點映射到單位圓外。滿足要求的全通系統(tǒng)為H從而可得最大相位系統(tǒng)為H×8.10由于HBP(eH且φ(H所以帶阻濾波器可以表示為：H(2)?考慮到φ(φ?8.11因濾波器的沖激響應具有反對稱性質，即h(n)=?h(N?1?n)故當N為奇數時，有h(H(上式中n用N?12H(由于濾波器的頻率響應為H(令c(n)=2h(得到H(8.12(1)H(首先計算?minH再計算?(n)的幅頻響應H(進行變量替換,令m=N?1?n,則n=N?1?m,當n=0時,m=N?1,當n=N?1時,m=0,因此幅頻響應可以改寫為H(利用e?jH(由于幅頻響應只關注幅度，不關注相位，因此兩者具有相同的幅頻響應(2)一個系統(tǒng)是最大相位系統(tǒng)，當其單位沖激響應h(n)的所有非零系數的時延響應都是正的。由于h(n)=?min(N?1?n)?？梢钥吹?h(n)的系數是反向排列的，這意味著系統(tǒng)在頻域中的相位響應為負的，因為每一個8.13題8.1的MATLAB實現(xiàn)：%參數設置N=21;%濾波器階數wc=0.5*pi;%截止頻率M=(N-1)/2;%中心位置%計算理想脈沖響應h_d(n)n=0:(N-1);hd=sinc((n-M)*0.5);%0.5=wc/pi%矩形窗w(n)，所有值為1w=ones(1,N);%計算加窗后的脈沖響應h(n)h=hd.*w;%計算頻率響應H(e^jw)H=fft(h,1024);%使用FFT計算頻率響應H=fftshift(H);%將零頻率移到中心w_freq=linspace(-pi,pi,length(H));%頻率范圍%繪制頻率響應|H(e^jw)|的對數刻度figure;plot(w_freq,20*log10(abs(H)));title('20\log_{10}|H(e^{j\omega})|');xlabel('Frequency[radians/sample]');ylabel('Magnitude[dB]');gridon;題8.2的MATLAB實現(xiàn)%參數設置N=51;%濾波器階數wc=0.5*pi;%截止頻率M=(N-1)/2;%中心位置%計算理想脈沖響應h_d(n)n=0:N-1;%n從0到N-1hd=sinc((n-M)*0.5);%理想脈沖響應，0.5=wc/pi%計算三角形窗w(n)w=1-abs((2*n)/(N-1)-1);%計算加窗后的脈沖響應h(n)h=hd.*w;%計算頻率響應H(e^jw)H=fft(h,1024);%使用FFT計算頻率響應H=fftshift(H);%將零頻率移到中心w_freq=linspace(-pi,pi,length(H));%頻率軸%繪制頻率響應|H(e^jw)|的對數刻度figure;plo