數(shù)字信號(hào)處理原理 習(xí)題答案匯 劉泉 第6-9章數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)-多速率采樣信號(hào)處理

6.1已知一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)由下列差分系統(tǒng)表示：y(n)?(1)畫出實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)的框圖。(2)畫出實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)的信號(hào)流圖。解（1）（2）6.2試求圖P6.2所示的兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)，并證明它們具有相同的極點(diǎn)。網(wǎng)絡(luò)Ⅰ網(wǎng)絡(luò)Ⅱ圖P6.2解網(wǎng)絡(luò)Ⅰ的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)=根據(jù)梅森公式可得網(wǎng)絡(luò)Ⅱ的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)=6.3已知系統(tǒng)函數(shù)為H(z)=按照下列形式畫出實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)的信號(hào)流圖：(1)直接Ⅰ型；(2)直接Ⅱ型；(3)級(jí)聯(lián)型；(4)并聯(lián)型。解（1）（2）（3）H（4）H6.4已知一個(gè)時(shí)域離散線性非移變因果系統(tǒng)由下列差分方程描述：y試畫出下列形式的信號(hào)流圖（對(duì)級(jí)聯(lián)和并聯(lián)形式只用一階節(jié)）：(1)直接Ⅰ型；(2)直接Ⅱ型；(3)級(jí)聯(lián)型；(4)并聯(lián)型。解（1）H（2）（3）H（4）H6.5設(shè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)=試畫出各種可能的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)。解6.6已知FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)為?(n)=求該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。解?6.7已知FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)為?0該濾波器的零點(diǎn)分布和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)流圖。解H故可以得出零點(diǎn)?1故可得出其零點(diǎn)分布圖（用matlab畫的零極點(diǎn)分布圖）級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)流圖為6.8設(shè)某FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)=試畫出此濾波器的線性相位結(jié)構(gòu)。解6.9已知FIR數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)為?(n)=δ試畫出實(shí)現(xiàn)該濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)（設(shè)取樣點(diǎn)數(shù)為N=5）。解頻率采樣公式為H(z)=(1?由于采樣點(diǎn)數(shù)N=5，所以有WNHk=0HH頻率采樣型結(jié)構(gòu)為6.10一個(gè)FIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)=(1?試求其格型結(jié)構(gòu)。解k故其格式結(jié)構(gòu)為6.11已知H(z)=試求這個(gè)零-極點(diǎn)IIR濾波器的格型結(jié)構(gòu)。解kc故其格式結(jié)構(gòu)為6.12分別以原碼、反碼和補(bǔ)碼形式表示小數(shù)732和-7解732?76.13設(shè)濾波器的輸入是方差為δe2的白噪聲序列H(z)=試求輸出序列的方差。解輸出序列的方差為δ6.14一個(gè)線性非移變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)=設(shè)該系統(tǒng)用一個(gè)16位定點(diǎn)處理器實(shí)現(xiàn)，在量化之前先對(duì)乘積之和進(jìn)行累加，且δe采用直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)，求濾波器輸出端舍入噪聲的方差。采用并聯(lián)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)，重復(fù)問題（1）。解（1）輸出端舍入噪聲的方差δ又δ故δ（2）H輸出端舍入噪聲的方差δ又δ故δ6.15試用MATLAB實(shí)現(xiàn)習(xí)題6.3中4種結(jié)構(gòu)的IIR濾波器。clc;clearall;close;b=[3,3.6,0.6];a=[1,0.1,-0.2];N=30;delta=impseq(0,0,N);%直接I型(h1)和直接II型(h2)h1=filter(b,a,delta);h2=h1;%級(jí)聯(lián)型(h3)[K1,B1,A1]=dir2cas(b,a);h3=casfiltr(K1,B1,A1,delta);%并聯(lián)型(h4)[K2,B2,A2]=dir2par(b,a);h4=parfiltr(K2,B2,A2,delta);function[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%Generatesx(n)=delta(n-n0);n1<=n,n0<=n2%----------------------------------------------%[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%if((n0<n1)|(n0>n2)|(n1>n2)) error('argumentsmustsatisfyn1<=n0<=n2')endn=[n1:n2];%x=[zeros(1,(n0-n1)),1,zeros(1,(n2-n0))];x=[(n-n0)==0];endfunction[b0,B,A]=dir2cas(b,a);%DIRECT-formtoCASCADE-formconversion(cplxpairversion)%---------------------------------------------------------%[b0,B,A]=dir2cas(b,a)%b0=gaincoefficient%B=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingbk's%A=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingak's%b=numeratorpolynomialcoefficientsofDIRECTform%a=denominatorpolynomialcoefficientsofDIRECTform%computegaincoefficientb0b0=b(1);b=b/b0;a0=a(1);a=a/a0;b0=b0/a0;%M=length(b);N=length(a);ifN>M b=[bzeros(1,N-M)];elseifM>N a=[azeros(1,M-N)];N=M;else NM=0;end%K=floor(N/2);B=zeros(K,3);A=zeros(K,3);ifK*2==N; b=[b0]; a=[a0];end%broots=cplxpair(roots(b));aroots=cplxpair(roots(a));fori=1:2:2*K Brow=broots(i:1:i+1,:); Brow=real(poly(Brow)); B(fix((i+1)/2),:)=Brow; Arow=aroots(i:1:i+1,:); Arow=real(poly(Arow)); A(fix((i+1)/2),:)=Arow;endendfunctiony=casfiltr(b0,B,A,x);%CASCADEformrealizationofIIRandFIRfilters%-----------------------------------------------%y=casfiltr(b0,B,A,x);%y=outputsequence%b0=gaincoefficientofCASCADEform%B=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingbk's%A=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingak's%x=inputsequence%[K,L]=size(B);N=length(x);w=zeros(K+1,N);w(1,:)=x;fori=1:1:Kw(i+1,:)=filter(B(i,:),A(i,:),w(i,:));endy=b0*w(K+1,:);endfunction[C,B,A]=dir2par(b,a);%DIRECT-formtoPARALLEL-formconversion%--------------------------------------%[C,B,A]=dir2par(b,a)%C=Polynomialpartwhenlength(b)>=length(a)%B=Kby2matrixofrealcoefficientscontainingbk's%A=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingak's%b=numeratorpolynomialcoefficientsofDIRECTform%a=denominatorpolynomialcoefficientsofDIRECTform%M=length(b);N=length(a);[r1,p1,C]=residuez(b,a);p=cplxpair(p1,10000000*eps);I=cplxcomp(p1,p);r=r1(I);K=floor(N/2);B=zeros(K,2);A=zeros(K,3);ifK*2==N;%Neven,orderofA(z)odd,onefactorisfirstorder fori=1:2:N-2 Brow=r(i:1:i+1,:); Arow=p(i:1:i+1,:); [Brow,Arow]=residuez(Brow,Arow,[]); B(fix((i+1)/2),:)=real(Brow); A(fix((i+1)/2),:)=real(Arow); end [Brow,Arow]=residuez(r(N-1),p(N-1),[]); B(K,:)=[real(Brow)0];A(K,:)=[real(Arow)0];elsefori=1:2:N-1 Brow=r(i:1:i+1,:); Arow=p(i:1:i+1,:); [Brow,Arow]=residuez(Brow,Arow,[]); B(fix((i+1)/2),:)=real(Brow); A(fix((i+1)/2),:)=real(Arow); endendendfunctionI=cplxcomp(p1,p2)%I=cplxcomp(p1,p2)%Comparestwocomplexpairswhichcontainthesamescalarelements%but(possibly)atdifferrentindices.Thisroutineshouldbe%usedafterCPLXPAIRroutineforrearrangingpolevectorandits%correspondingresiduevector.%p2=cplxpair(p1)%I=[];forj=1:1:length(p2)fori=1:1:length(p1) if(abs(p1(i)-p2(j))<0.0001) I=[I,i];endendendI=I';endfunctiony=parfiltr(C,B,A,x);%PARALLELformrealizationofIIRfilters%----------------------------------------%[y]=parfiltr(C,B,A,x);%y=outputsequence%C=polynomial(FIR)partwhenM>=N%B=Kby2matrixofrealcoefficientscontainingbk's%A=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingak's%x=inputsequence%[K,L]=size(B);N=length(x);w=zeros(K+1,N);w(1,:)=filter(C,1,x);fori=1:1:Kw(i+1,:)=filter(B(i,:),A(i,:),x);endy=sum(w);end6.16試用MATLAB實(shí)現(xiàn)習(xí)題6.6中直接型結(jié)構(gòu)的FIR數(shù)字濾波器。clc;clearall;close;n=0:4;b=0.5.^n;N=30;delta=impseq(0,0,N);h=filter(b,1,delta);function[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%Generatesx(n)=delta(n-n0);n1<=n,n0<=n2%----------------------------------------------%[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%if((n0<n1)|(n0>n2)|(n1>n2)) error('argumentsmustsatisfyn1<=n0<=n2')endn=[n1:n2];%x=[zeros(1,(n0-n1)),1,zeros(1,(n2-n0))];x=[(n-n0)==0];end6.17試用MATLAB實(shí)現(xiàn)習(xí)題6.8中線性相位結(jié)構(gòu)的FIR數(shù)字濾波器的信號(hào)流圖。clc;clearall;close;n=0:4;b=[1,3,5,3,1]./5;N=30;delta=impseq(0,0,N);h=filter(b,1,delta);function[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%Generatesx(n)=delta(n-n0);n1<=n,n0<=n2%----------------------------------------------%[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%if((n0<n1)|(n0>n2)|(n1>n2)) error('argumentsmustsatisfyn1<=n0<=n2')endn=[n1:n2];%x=[zeros(1,(n0-n1)),1,zeros(1,(n2-n0))];x=[(n-n0)==0];end7.1試導(dǎo)出三階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)Ωc解 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)為A巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為HsH其零點(diǎn)都在s=∞處,它的極點(diǎn)為sk=?112NH其中K0由H在三階巴特沃斯低通濾波器中,ΩcA其極點(diǎn)為SnS1=2則有H==因?yàn)镠a0=H7.2試導(dǎo)出二階切比雪夫?yàn)V波器的系統(tǒng)函數(shù)，已知通帶紋波為1dB，歸一化截止頻率為Ω解 根據(jù)濾波器的指標(biāo)可知:帶通波紋是δ1=1dB,N=2,ε所以ε因?yàn)閍=s將ε=0.50884，N=2,ΩcssssHas由左半平面的極點(diǎn)s3、sH7.3已知某個(gè)模擬系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為Ha試根據(jù)該系統(tǒng)求滿足下列兩個(gè)條件的離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)Hz(1)沖激不變條件，即?(2)階躍不變條件，即s式中s解 (1)因?yàn)镠得極點(diǎn)為s代入沖激不變法計(jì)算公式得離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H(2)因?yàn)閟S所以s令t=nT,由階躍不變條件可得sS==由于snH7.4已知某個(gè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H 采樣周期T=2，試用雙線性變換法將它轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Hz解 當(dāng)T=2時(shí),系統(tǒng)函數(shù)為

=7.5要求用雙線性變換法從二階巴特沃斯模擬濾波器導(dǎo)出一低通數(shù)字濾波器，已知3dB截止頻率為100Hz解 因?yàn)椴蓸宇l率fs=1KHZ,截止頻率求巴特沃斯模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，因?yàn)槎A巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H則二階巴特沃斯模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H使用雙線性變換求得數(shù)字濾波器得的系統(tǒng)函數(shù)為H7.6已知某個(gè)模擬濾波器的傳遞函數(shù)為H 試分別用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法將它轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Hz，設(shè)T=0.5解 (1)使用沖激響應(yīng)不變法因?yàn)镠a對(duì)Ha?利用沖激響應(yīng)不變法條件h(n)=?ah對(duì)h(n)求Z變換得H將s1=-0.5,sH(2)使用雙線性變換法H==7.7設(shè)?a?試用沖激響應(yīng)不變法將該模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。若把T當(dāng)作參量，證明T為任何正值時(shí)，數(shù)字濾波器都是穩(wěn)定的，并說明此濾波器是近似低通濾波器還是近似高通濾波器。解 令t=nT,得

求h(n)的Z變換,得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H由于系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)為z=e?0.9T.,無論T為任何正值,恒有|z|=|e令z=ejωH因此,濾波器的幅度響應(yīng)為H在[0,π]區(qū)間,隨著ω的增加,He7.8圖P7.8表示了一個(gè)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)。(1)試用沖激響應(yīng)不變法,求原型模擬濾波器的頻率響應(yīng);(2)再用雙線性變換法,求原型模擬濾波器的頻率響應(yīng)。解：（1）該濾波器的頻率響應(yīng)可表示為He因?yàn)棣卮笥谡郫B頻率時(shí),HeH又由Ω=H下圖給出了該原型模擬濾波器的頻率響應(yīng)（2）根據(jù)雙線性變換公式,可得H即由ω所以,原型模擬濾波器的頻率響應(yīng)為H下圖給出了該原型模擬濾波器的頻率響應(yīng)7.9用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)滿足以下指標(biāo)的巴特沃斯數(shù)字低通濾波器:幅度響應(yīng)在通帶截止頻率ωP=0.2613π處的衰減不大于0.75dB,在阻帶截止頻率解（1）根據(jù)濾波器的指標(biāo)得20設(shè)T=1,將數(shù)字域指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬域指標(biāo)得20lg將巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)H代人上兩式得1+1+解這兩個(gè)方程得N=7.2786,取整數(shù)N=8,且Ωc=0.9206。顯然,按上述值設(shè)計(jì)的濾波器滿足通帶指標(biāo)要求,且阻帶指標(biāo)將超過給定值。(2)把N=8,0.Ωc=0.9206代入式sk求得;平面左半平面的4對(duì)極點(diǎn)分別為:極點(diǎn)對(duì)1:-0.1796士j0.9029;極點(diǎn)對(duì)2:-0.5115士j0.7655;極點(diǎn)對(duì)3:-0.7655士j0.5115;極點(diǎn)對(duì)4:-0.9029±j0.1796由這4對(duì)極點(diǎn)構(gòu)成的濾波器的傳遞函數(shù)為H=(3)將HaH(4)驗(yàn)證所得到的數(shù)字濾波器是否達(dá)到設(shè)計(jì)指標(biāo)。將z=ejω代入系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達(dá)式，求解幅度響應(yīng)Hrp=0.75;rs=20;wp=0.2613*pi;ws=0.4018*pi;Fs=1;[n,wn]=buttord(wp,ws,rp,rs,'s')[z,p,k]=buttap(n);[bp,ap]=zp2tf(z,p,k)[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wp)Ts=1,fs=0.5;[bz,az]=impinvar(bs,as,Fs/2)[h,w]=freqz(bz,az,256,Fs);subplot(211)plot(w,abs(h));gridon;xlabel('w/2pi')ylabel('幅值')subplot(212)plot(w,180/pi*angle(h));gridon;xlabel('w/2pi')ylabel('相位(度)');由圖中可以看出,設(shè)計(jì)的濾波器完全滿足規(guī)定的技術(shù)指標(biāo),因?yàn)楦唠A模擬巴特沃斯濾波器是充分帶限的,所以不會(huì)有很大的混疊失真。如果得到的濾波器不滿足技術(shù)指標(biāo),可以試用更高階的濾波器;若想保持階數(shù)N不變,可適當(dāng)調(diào)整濾波器的系數(shù)加以解決。7.10使用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)滿足以下指標(biāo)的巴特沃斯數(shù)字低通濾波器。假定取樣頻率fs=10kHz,在通帶截止頻率fP=1kHz處的衰減不大于1解：（1）將模擬截止頻率轉(zhuǎn)換成數(shù)字截止頻率因?yàn)棣竝=2πfp=2000π,ΩT=2πfT=3000π,T=1/fs=0.0001s,所以ωp=T*Ωp=0.2π，ωT=T*ΩT=0.3π(2)計(jì)算N和Ωc將模擬截止頻率進(jìn)行預(yù)畸變,即Ω將其代入20并令T=1，得20將巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)代人以上兩式得到1+1+解以上兩方程得N取整數(shù)N=4,可得Ωc=0.71684?？梢则?yàn)算這個(gè)Ωc值所對(duì)應(yīng)的阻帶指標(biāo)剛好滿足要求,而通帶指標(biāo)已經(jīng)超過要求(3)由N和Ωc。求模擬巴特沃斯濾波器的極點(diǎn),并由左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s),將N=4和Ωc=0.71684代入式s求得s平面左平面的4個(gè)極點(diǎn)分別為:極點(diǎn)1、2:?0.27432±極點(diǎn)3、4:?0.66227±由此得傳遞函數(shù)為:H(4)使用雙線性變換求得數(shù)字巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為HH(5)驗(yàn)證所得到的數(shù)字濾波器是否達(dá)到設(shè)計(jì)指標(biāo)。將z=ejω代入系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達(dá)式，求解幅度響應(yīng)wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=1.8;As=12;Fs=1;T=1/Fs;OmegaP=(2/T)*tan(wp/2);OmegaS=(2/T)*tan(ws/2);ep=sqrt(10^(Rp/10)-1);Ripple=sqrt(1/(1+ep*ep));Attn=1/(10^(As/20));N=ceil((log10((10^(Rp/10)-1)/(10^(As/10)-1)))/(2*log10(OmegaP/OmegaS)))OmegaC=OmegaP/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N)))[B,A]=butter(N,OmegaC,'s');W=(0:500)*pi/500;[H]=freqs(B,A,W);mag=abs(H);db1=20*log10((mag+eps)/max(mag));[b,a]=bilinear(B,A,T);[h,w]=freqz(b,a,1000,'whole');h=(h(1:501))';w=(w(1:501))'m=abs(H);db2=20*log10((m+eps)/max(m));subplot(221);plot(W/pi,mag);title('幅度|dB|');ylabel('模擬濾波器')subplot(222);plot(W/pi,db1);title('幅度dB')subplot(223);plot(w/pi,m);xlabel('頻率(w/pi)');ylabel('數(shù)字濾波器')subplot(224);plot(w/pi,db2);xlabel('頻率(w/pi)')7.11使用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)切比雪夫數(shù)字低通濾波器，各指標(biāo)與題7.10中的相同解 將數(shù)字截止頻率轉(zhuǎn)換成模擬截止頻率因?yàn)棣窹=2πf 所以ωP=按照雙線性變換法有ΩΩ因?yàn)棣?=1.8dB，δ2所以εN≥所以取整數(shù)N=3。αa=b=因此a代入得左半平面得極點(diǎn)為-0.09875±j0.4732,-0.1975H因?yàn)镹為奇數(shù)，HaHH7-12使用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)切比雪夫數(shù)字高通濾波器。指標(biāo)要求：取樣頻率fs=2.4kHz，在通帶截止頻率fP=160Hz處的衰減不大于3dB，在阻帶截止頻率解（1）將高通數(shù)字濾波器的頻率指標(biāo)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0折合成數(shù)字頻率SKIPIF1<0設(shè)T=2，按照雙線性變換法，將高通數(shù)字濾波器的數(shù)字域頻率轉(zhuǎn)換為高通模擬濾波器的頻率SKIPIF1<0將高模擬濾波器的頻率指標(biāo)映射成模擬低同濾波器的頻率指標(biāo)SKIPIF1<0（2）根據(jù)模擬低同濾波器的指標(biāo)求SKIPIF1<0和NSKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0取N=3。（3）求模擬低通濾波器的平方幅度函數(shù)令SKIPIF1<0，將其代入3階切比雪夫多項(xiàng)式的平方中SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此，3階切比雪夫模擬低通濾波器的平方幅度函數(shù)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（4）求模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0由上式求出SKIPIF1<0的極點(diǎn)：SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是左半s平面的3個(gè)極點(diǎn)，由他們構(gòu)成一個(gè)穩(wěn)定的3階切比雪夫模擬低通濾波器，其傳輸函數(shù)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0因N=3為奇數(shù)，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0最后得SKIPIF1<0SKIPIF1<0注意，模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)在左半s平面的3個(gè)極點(diǎn)也可以用下式求出：SKIPIF1<0，k=0,1,…,2N-1其中常量a和b用下列公式計(jì)算SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0將SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值代入計(jì)算極點(diǎn)的公式，得左半s平面的極點(diǎn)如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0這里的結(jié)果與前面的數(shù)值基本相同。（5）將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成模擬高通濾波器用1/s代換模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)中的s，得到模擬高通濾波器的傳輸函數(shù)SKIPIF1<0（6）用雙線性變換法將模擬高通濾波器映射成數(shù)字高通濾波器設(shè)T=2。將SKIPIF1<0代入模擬高通濾波器的傳輸函數(shù)，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0Matlab程序如下Wp=2*pi/15;Ws=pi/30;Rp=3;Rs=48;fs=0.5;T=2;OmegaP=tan(Wp/2);OmegaS=tan(Ws/2);[N,OmegaC]=cheb1ord(OmegaP,OmegaS,Rp,Rs,'s');[b,a]=cheby1(N,Rp,OmegaC,'high','s');[h,w]=freqs(b,a);mag=abs(h);pha1=angle(h);db1=20*log10((mag+eps)/max(mag));[B,A]=bilinear(b,a,fs);[H,W]=freqz(B,A);mag=abs(H);pha2=angle(H);db2=20*log10((mag+eps)/max(mag));subplot(2,2,1);plot(w,db1);title('模擬濾波器幅頻曲線');xlabel('頻率（rad）');ylabel('幅度（dB）');subplot(2,2,2);plot(w,pha1);title('模擬濾波器相頻曲線');xlabel('頻率（rad）');ylabel('相位（rad）');subplot(2,2,3);plot(W,db2);title('數(shù)字濾波器幅頻曲線');xlabel('頻率（rad）');ylabel('幅度（dB）');subplot(2,2,4);plot(W,pha2);title('數(shù)字濾波器相頻曲線');xlabel('頻率（rad）');ylabel('相位（rad）');7-13已知一階全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H (1)寫出它的兩種不同形式的差分方程。 (2)畫出直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)的信號(hào)流圖。 (3)根據(jù)差分方程畫出只有一個(gè)支路乘以a的結(jié)構(gòu)的信號(hào)流圖。 (4)現(xiàn)有一個(gè)二階全通系統(tǒng)由下列系統(tǒng)函數(shù)定義：H 試用(3)中得到的兩個(gè)一階全通系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)該二階全通系統(tǒng)，只允許使用3個(gè)延遲器，并畫出信號(hào)流圖。解 (1)由系統(tǒng)函數(shù)可得HzYzyyy(2)（3）（4）7-14任何一個(gè)非最小相位系統(tǒng)均可表示成一個(gè)最小相位系統(tǒng)和一個(gè)全通系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)，即H 式中Hapz是穩(wěn)定的因果全通濾波器，Φ 試證明對(duì)于所有ω，有? 此不等式說明，最小相位系統(tǒng)具有最小的群延遲，所以也是最小時(shí)延系統(tǒng)。證明 由于H令Φ根據(jù)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)相頻特性等于各子系統(tǒng)相頻特性之和的性質(zhì),有Φ對(duì)上式兩邊求導(dǎo),得d因?yàn)镠apd所以d?7-15假設(shè)某模擬濾波器是一個(gè)低通濾波器，又已知H試判定數(shù)字濾波器的通帶中心頻率位于以下哪個(gè)頻率位置：(a)ω=0（低通）；(b)ω=π解 由模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器Hs平面與z平面的映射關(guān)系為：ss式中，Ω為模擬濾波器頻率，w為數(shù)字濾波器頻率，帶入可得。jΩ當(dāng)?shù)屯M濾波器頻率Ω為中心頻率Ωc=0處為通帶，此時(shí)ω為數(shù)字濾波器中心頻率eω?cái)?shù)字濾波器通帶位于π處，數(shù)字濾波器為高通濾波器，故選擇(b)。8.1：FIR低通濾波器的脈沖響應(yīng)h(n)是由理想低通濾波器的脈沖響應(yīng)?dh當(dāng)n=?對(duì)于給定的N=21,濾波器的階數(shù)是20，即n=0,1,2,...,20，中心位置為n=10,理想脈沖響應(yīng)需要乘以矩形窗,矩形窗函數(shù)ω(n)的值為1，因此濾波器的脈沖響應(yīng)h頻率響應(yīng)H(ejωStep1:計(jì)算理想低通濾波器的脈沖響應(yīng)h?矩形窗函數(shù)：ω濾波器的脈沖響應(yīng):h(n)=Step2:計(jì)算頻率響應(yīng)通過傅里葉變換(DTFT)，求解H(H(8.2：與上題類似：Step1:計(jì)算理想低通濾波器的脈沖響應(yīng)h?三角形窗函數(shù)ωh(n)=Step2:計(jì)算頻率響應(yīng)通過傅里葉變換(DTFT)，求解H(H(8.3:理想高通濾波器的脈沖響應(yīng)hdhhStep1:N=51，αhhStep2:漢寧窗的公式為：ωh(n)=8.4:理想帶通濾波器的脈沖響應(yīng)hdhStep1:hStep2:海明窗的表達(dá)式為：ωh(n)=8.5：hStep1：其中，M=hStep2：布萊克曼窗ωω8.6:理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為：H其對(duì)應(yīng)的時(shí)域沖激響應(yīng)為：?凱澤窗:ω其中I0若ω8.7：通常，阻帶衰減要求與過渡帶寬度一起決定了窗函數(shù)的類型：1、漢明窗：阻帶衰減約為44dB2、凱澤窗：通過調(diào)整窗系數(shù)β可以滿足更大的阻帶衰減要求為滿足-45dB的阻帶衰減，選擇凱澤窗并根據(jù)阻帶衰減和過渡帶寬度來確定Step1：濾波器長度N計(jì)算：凱澤窗法中，N和過渡帶寬度?ω的N其中，A是是阻帶衰減的絕對(duì)值，即A=-45dB，帶入得到NStep2：理想低通濾波器的沖激響應(yīng)計(jì)算hStep3：凱澤窗ω8.8：(1)?則H由上式可以看出|因?yàn)?1(n)是偶對(duì)稱序列，根據(jù)線性相位的定義，它是一個(gè)線性相位濾波器，其時(shí)延為N?12=3.5，令要知兩個(gè)濾波器的性能,必須求出它們各自的頻率響應(yīng)的幅度函數(shù),根據(jù)它們的通帶起伏以及阻帶衰減的情況,來加以比較。由于N=8是偶數(shù)，又是線性相位，則H(可以令??及??代入可得HH從阻帶看,H1(ω)的阻帶衰減大,而H2(ω)的阻帶衰減小,這一點(diǎn)8.9由H(z)z其中z01和z02、z03和z04互為共軛零點(diǎn)。為了使新系統(tǒng)滿足單位抽樣響應(yīng)為實(shí)數(shù),必須滿足新系統(tǒng)的零點(diǎn)保持共軛分布,因此在移動(dòng)零點(diǎn)過程中應(yīng)將z01和z因此總共可得到的新系統(tǒng)的個(gè)數(shù)為M=總共可得到的系統(tǒng)個(gè)數(shù)為M+1=16由系統(tǒng)零點(diǎn)分布可知,系統(tǒng)有3個(gè)零點(diǎn)分布在單位圓外,即z用全通系統(tǒng)將這些零點(diǎn)映射到單位圓內(nèi)可得到最小相位系統(tǒng)。H(1?0.7其中最小相位系統(tǒng)為H(1?要獲得最大相位系統(tǒng),需要將原H(z)級(jí)聯(lián)一個(gè)全通系統(tǒng),把單位圓內(nèi)的零點(diǎn)映射到單位圓外。滿足要求的全通系統(tǒng)為H從而可得最大相位系統(tǒng)為H×8.10由于HBP(eH且φ(H所以帶阻濾波器可以表示為：H(2)?考慮到φ(φ?8.11因?yàn)V波器的沖激響應(yīng)具有反對(duì)稱性質(zhì)，即h(n)=?h(N?1?n)故當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，有h(H(上式中n用N?12H(由于濾波器的頻率響應(yīng)為H(令c(n)=2h(得到H(8.12(1)H(首先計(jì)算?minH再計(jì)算?(n)的幅頻響應(yīng)H(進(jìn)行變量替換,令m=N?1?n,則n=N?1?m,當(dāng)n=0時(shí),m=N?1,當(dāng)n=N?1時(shí),m=0,因此幅頻響應(yīng)可以改寫為H(利用e?jH(由于幅頻響應(yīng)只關(guān)注幅度，不關(guān)注相位，因此兩者具有相同的幅頻響應(yīng)(2)一個(gè)系統(tǒng)是最大相位系統(tǒng)，當(dāng)其單位沖激響應(yīng)h(n)的所有非零系數(shù)的時(shí)延響應(yīng)都是正的。由于h(n)=?min(N?1?n)?？梢钥吹?h(n)的系數(shù)是反向排列的，這意味著系統(tǒng)在頻域中的相位響應(yīng)為負(fù)的，因?yàn)槊恳粋€(gè)8.13題8.1的MATLAB實(shí)現(xiàn)：%參數(shù)設(shè)置N=21;%濾波器階數(shù)wc=0.5*pi;%截止頻率M=(N-1)/2;%中心位置%計(jì)算理想脈沖響應(yīng)h_d(n)n=0:(N-1);hd=sinc((n-M)*0.5);%0.5=wc/pi%矩形窗w(n)，所有值為1w=ones(1,N);%計(jì)算加窗后的脈沖響應(yīng)h(n)h=hd.*w;%計(jì)算頻率響應(yīng)H(e^jw)H=fft(h,1024);%使用FFT計(jì)算頻率響應(yīng)H=fftshift(H);%將零頻率移到中心w_freq=linspace(-pi,pi,length(H));%頻率范圍%繪制頻率響應(yīng)|H(e^jw)|的對(duì)數(shù)刻度figure;plot(w_freq,20*log10(abs(H)));title('20\log_{10}|H(e^{j\omega})|');xlabel('Frequency[radians/sample]');ylabel('Magnitude[dB]');gridon;題8.2的MATLAB實(shí)現(xiàn)%參數(shù)設(shè)置N=51;%濾波器階數(shù)wc=0.5*pi;%截止頻率M=(N-1)/2;%中心位置%計(jì)算理想脈沖響應(yīng)h_d(n)n=0:N-1;%n從0到N-1hd=sinc((n-M)*0.5);%理想脈沖響應(yīng)，0.5=wc/pi%計(jì)算三角形窗w(n)w=1-abs((2*n)/(N-1)-1);%計(jì)算加窗后的脈沖響應(yīng)h(n)h=hd.*w;%計(jì)算頻率響應(yīng)H(e^jw)H=fft(h,1024);%使用FFT計(jì)算頻率響應(yīng)H=fftshift(H);%將零頻率移到中心w_freq=linspace(-pi,pi,length(H));%頻率軸%繪制頻率響應(yīng)|H(e^jw)|的對(duì)數(shù)刻度figure;plot(w_freq,20*log10(abs(H)));title('20\log_{10}|H(e^{jw})|');xlabel('Frequency[radians/sample]');ylabel('Magnitude[dB]');gridon;8.13%參數(shù)設(shè)置w_c=0.2*pi;%帶寬w_0=0.6*pi;%中心頻率N=51;%濾波器階數(shù)%生成nn=(0:N-1)-(N-1)/2;%以0為中心的對(duì)稱范圍%理想頻率響應(yīng)：定義相對(duì)于中心頻率w_0的帶通濾波器h_n=(sin(w_c*n).*cos(w_0*n))./(pi*n);%sinc調(diào)制h_n((N-1)/2+1)=cos(w_0*n((N-1)/2+1))*w_c/pi;%處理n=0的情況%應(yīng)用布萊克曼窗h_n=h_n.*blackman(N)';%確保窗的維度匹配%計(jì)算頻率響應(yīng)[H,w]=freqz(h_n,1,8000);H_dB=20*log10(abs(H));%繪圖figure;plot(w/pi,H_dB,'LineWidth',1.5);title('FIR帶通濾波器的幅度響應(yīng)（90度相移）');xlabel('歸一化頻率(×\pirad/sample)');ylabel('幅度(dB)');gridon;legend('20*log10|H(e^{j\omega})|');8.15選擇凱澤窗，N=51%參數(shù)設(shè)定wc=0.5*pi;%截止頻率N=51;%增加濾波器長度%理想低通濾波器的沖激響應(yīng)n=0:(N-1);h_d=sinc((wc/pi)*(n-(N-1)/2));%漢明窗w_hamming=hamming(N)';%實(shí)際濾波器系數(shù)h=h_d.*w_hamming;%計(jì)算頻率響應(yīng)[H,w]=freqz(h(:),1,8000);%將h轉(zhuǎn)換為列向量H_dB=20*log10(abs(H));%繪制幅度響應(yīng)figure;plot(w/pi,H_dB,'b');title('FrequencyResponseofHammingWindowFIRLowpassFilter');xlabel('NormalizedFrequency(×πra