蘇科版九年級數(shù)學上學期期中考點大串講專題03圓【考題猜想壓軸25題4種題型】(原卷版+解析)

專題03圓（壓軸25題4種題型）一、判斷點與圓的位置關系（共4小題）1．（2020秋·西藏林芝·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，方程表示圓心是，半徑是的圓，其中，．(1)請寫出方程表示的圓的半徑和圓心的坐標；(2)判斷原點和第（1）問中圓的位置關系．2．（2020秋·江西南昌·九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）在圖中畫出經(jīng)過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心M的位置；（2）點M的坐標為；（3）判斷點D（5，﹣2）與⊙M的位置關系．3．（2022秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）在矩形中，，．(1)若以為圓心，8長為半徑作，則、、與圓的位置關系是什么？(2)若作，使、、三點至少有一個點在內，至少有一點在外，則的半徑的取值范圍是．4．（2021秋·福建漳州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，一艘輪船以30海里/小時的速度由西向東航行，途中接到臺風警報，臺風中心正以60海里/小時的速度由南向北移動，距臺風中心20海里的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬于臺風區(qū)，當輪船到A處時，測得臺風中心移動到位于點A正南方向的B處，且海里．若輪船以原方向、原速度繼續(xù)航行，求輪船從A點出發(fā)到最初遇到臺風的時間．二、已知點與圓的位置關系求半徑（共3小題）5．（2022秋·安徽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，D是的中點，以A為圓心，r為半徑作，若點B，D，C均在外，求r的取值范圍．6．（2022秋·四川自貢·九年級統(tǒng)考期末）對于平面直角坐標系中的點P，給出如下定義：記點P到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為，若，則稱為點P的最大距離；若，則稱為點P的最大距離．例如：點到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為3，因為，所以點P的最大距離為4．(1)①點的最大距離為______；②若點的最大距離為3，則a的值為______；③若點的最大距離為2，則a的值為______；(2)若點C在直線上，且點C的最大距離為5，求點C的坐標；(3)若上存在點M，使點M的最大距離為，直接寫出的半徑r的取值范圍．7．（2019秋·北京西城·九年級北京師大附中校考期中）在平面直角坐標系xOy中，⊙C的半徑為r，給出如下定義：若點P的橫、縱坐標均為整數(shù)，且到圓心C的距離d≤r，則稱P為⊙C的關聯(lián)整點.

（1）當⊙O的半徑r=2時，在點D（2，-2），E（-1，0），F(xiàn)（0，2）中，為⊙O的關聯(lián)整點的是；（2）若直線上存在⊙O的關聯(lián)整點，且不超過7個，求r的取值范圍；（3）⊙C的圓心在x軸上，半徑為2，若直線上存在⊙C的關聯(lián)整點，求圓心C的橫坐標t的取值范圍.三、利用垂徑定理求值（共4小題）8．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？计谥校┤鐖D，△ABC內接于⊙O，高AD經(jīng)過圓心O．（1）求證：；（2）若，⊙O的半徑為5，求△ABC的面積．9．（2022秋·新疆吐魯番·九年級?？计谥校┤鐖D，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點．(1)求證：AC＝BD；(2)連接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的長．10．（2015秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期中）已知⊙O的半徑為2，∠AOB=120°．（1）點O到弦AB的距離為；．（2）若點P為優(yōu)弧AB上一動點（點P不與A、B重合），設∠ABP=α，將△ABP沿BP折疊，得到A點的對稱點為A′；①若∠α=30°，試判斷點A′與⊙O的位置關系；②若BA′與⊙O相切于B點，求BP的長；③若線段BA′與優(yōu)弧APB只有一個公共點，直接寫出α的取值范圍．11．（2022秋·天津和平·九年級統(tǒng)考期末）（1）如圖①，AB，CD是⊙O的兩條平行弦，OE⊥CD交⊙O于點E，則弧AC弧BD（填“>”，“<”或“=”）；（2）如圖②，△PAB是⊙O的內接三角形，OE⊥AB交⊙O于點E，則∠APE∠BPE（填“>”，“<”或“=”）；（3）如圖③，△PAB是⊙O的內接三角形，∠QPA是它的外角，在弧AP上有一點G，滿足PG平分∠QPA，請用無刻度的直尺，畫出線段PG．（不要求證明）四、利用垂徑定理解決實際生活問題（共14小題）12．（2022秋·廣東肇慶·九年級?？计谥校┤鐖D是某蔬菜基地搭建一座圓弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C為AB的中點，D為弧AB的中點）．（1）求該圓弧所在圓的半徑；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米處豎立支撐桿EF，求支撐桿EF的高度．13．（2023·北京海淀·九年級期末）圖1是某種型號圓形車載手機支架，由圓形鋼軌、滑動桿、支撐桿組成．圖2是它的正面示意圖，滑動桿的兩端都在圓O上，A、B兩端可沿圓形鋼軌滑動，支撐桿的底端C固定在圓O上，另一端D是滑動桿的中點，（即當支架水平放置時直線平行于水平線，支撐桿垂直于水平線），通過滑動A、B可以調節(jié)的高度．當經(jīng)過圓心O時，它的寬度達到最大值，在支架水平放置的狀態(tài)下：(1)當滑動桿的寬度從10厘米向上升高調整到6厘米時，求此時支撐桿的高度．(2)如圖3，當某手機被支架鎖住時，鎖住高度與手機寬度恰好相等（），求該手機的寬度．14．（2022秋·浙江杭州·九年級校考期中）如圖是一個半圓形橋洞的截面示意圖，圓心為，直徑是河底線，弦是水位線，，米，于點，此時測得．(1)求的長：(2)如果水位以0.4米/小時的速度上升，則經(jīng)過多長時間橋洞會剛剛被灌滿？15．（2022秋·北京·九年級校考期中）如圖1是博物館展出的古代車輪實物，《周禮·考工記》記載：“……故兵車之輪六尺有六寸，田車之輪六尺有三寸……”據(jù)此，我們可以通過計算車輪的半徑來驗證車輪類型，請將以下推理過程補充完整．如圖2所示，在車輪上取A、B兩點，設所在圓的圓心為O，半徑為rcm．作弦AB的垂線OC，D為垂足，則D是AB的中點．其推理的依據(jù)是：．經(jīng)測量，AB＝90cm，CD＝15cm，則AD＝cm；用含r的代數(shù)式表示OD，OD＝cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出關于r的方程：，解得r＝75通過單位換算，得到車輪直徑約為六尺六寸，可驗證此車輪為兵車之輪．16．（2023秋·云南臨滄·九年級統(tǒng)考期末）如圖，一座石橋的主橋拱是圓弧形，某時刻測得水面寬度為6米，拱高（弧的中點到水面的距離）為1米．(1)求主橋拱所在圓的半徑；(2)若水面下降1米，求此時水面的寬度．17．（2019秋·浙江杭州·九年級期末）如圖所示,某地有一座圓弧形的拱橋,橋下的水面寬度為7.2米,拱頂高出水面2.4米,現(xiàn)有一寬3米,船頂部為方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里,此貨船能順利通過這座拱橋嗎?18．（2020秋·河北邯鄲·九年級邯鄲市第二十三中學校聯(lián)考期中）如圖，工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直徑是10cm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8cm，則這個小圓孔的寬口AB的長度為多少？19．（2023·北京海淀·九年級期末）已知吃刀深度h為時，能在直徑是d（）的軸上銑出寬的一塊平面（如圖）．(1)求d的值．(2)若吃刀深度增加到，求軸上銑出平面的寬度．20．（2023秋·湖北荊門·九年級?？计谀┠尘用裥^(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)若這個輸水管道有水部分的水面寬，水面最深地方的高度為4，求這個圓形截面的半徑；(2)在（1）的條件下，小明把一只寬12的方形小木船放在修好后的圓柱形水管里，已知船高出水面13，問此小船能順利通過這個管道嗎？21．（2021秋·廣西河池·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，點表示我國古代水車的一個盛水筒．如圖2，當水車工作時，盛水筒的運行路徑是以軸心為圓心，為半徑的圓．若被水面截得的弦長為，求水車工作時，盛水筒在水面以下的最大深度．22．（2019秋·浙江溫州·九年級校考期中）把一個球放在長方體紙盒內，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知，求這個球的直徑.23．（2022秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）一些不便于直接測量的圓形孔道的直徑可以用如下方法測量．如圖，把一個直徑為10mm的小鋼球緊貼在孔道邊緣，測得鋼球頂端離孔道外端的距離為8mm．求這個孔道的直徑AB．24．（2019秋·浙江臺州·九年級?？计谥校┪沂性趧?chuàng)建全國文明城市檢查中，發(fā)現(xiàn)一些破舊的公交車候車亭有礙觀瞻，現(xiàn)已更換新的公交候車亭(圖1)，圖2所示的是側面示意圖，F(xiàn)G為水平線段，PQ⊥FG，點H為垂足，F(xiàn)G=4m，F(xiàn)H=2.4m，點P在弧FG上，且弧FG所在的圓的圓心O到FG，PQ的距離之比為5：2，則PH的長約為多少米？

25．（2022·江西南昌·九年級校聯(lián)考期末）如圖，單行隧道的截面是由拱形和矩形組成，矩形ABCD的長為，寬為，圓拱形的拱高h=1m，（1）求所在的半徑R；（2）現(xiàn)有一輛大型卡車（截面視為矩形），卡車的寬為，車高，問這輛大型卡車從單行隧道正中間MN能否通過？通過計算說明理由．

專題03圓（壓軸25題4種題型）一、判斷點與圓的位置關系（共4小題）1．（2020秋·西藏林芝·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，方程表示圓心是，半徑是的圓，其中，．(1)請寫出方程表示的圓的半徑和圓心的坐標；(2)判斷原點和第（1）問中圓的位置關系．【答案】(1)半徑為5，圓心(2)在圓上【分析】（1）根據(jù)題目所給的“在平面直角坐標系中，方程表示圓心是，半徑是的圓”即可直接得出答案；（2）將原點的坐標代入，即可判斷出點與圓的位置關系．【詳解】（1）解：在平面直角坐標系中，方程表示圓心是，半徑是的圓，將化成，表示的圓的半徑為5，圓心的坐標為；（2）解：將原點代入，左邊右邊，原點在表示的圓上．【點睛】此題主要考查對未學知識以新定義形式出現(xiàn)的題型，讀懂題意，根據(jù)新定義解決問題是本題的關鍵．2．（2020秋·江西南昌·九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）在圖中畫出經(jīng)過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心M的位置；（2）點M的坐標為；（3）判斷點D（5，﹣2）與⊙M的位置關系．【答案】（1）見解析；（2）（2，0）；（3）點D在⊙M內；【詳解】試題分析：（1）由網(wǎng)格容易得出AB的垂直平分線和BC的垂直平分線，它們的交點即為點M；（2）根據(jù)圖形即可得出點M的坐標；（3）用兩點間距離公式求出圓的半徑和線段DM的長，當DM小于圓的半徑時點D在圓內．試題解析：解：（1）如圖1，點M就是要找的圓心；（2）圓心M的坐標為（2，0）．故答案為（2，0）；（3）圓的半徑AM==．線段MD==＜，所以點D在⊙M內．點睛：本題考查的是點與圓的位置關系，坐標與圖形性質以及垂徑定理，利用網(wǎng)格結構得到圓心M的坐標是解題的關鍵．3．（2022秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）在矩形中，，．(1)若以為圓心，8長為半徑作，則、、與圓的位置關系是什么？(2)若作，使、、三點至少有一個點在內，至少有一點在外，則的半徑的取值范圍是．【答案】(1)點在內，點在外，點在上(2)【分析】（1）根據(jù)點到圓的位置關系，比較與圓的半徑之間的大小關系，即可得解；（2）根據(jù)題意，和點到圓心的距離與圓的半徑之間的關系，即可得解．【詳解】（1）解：連接，，，，的半徑為8，點在內，點在外，點在上；（2）解：，，，又以點為圓心作，使，，三點中至少有一個點在圓內，且至少有一點在圓外，的半徑的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查點與圓的位置關系．熟練掌握點到圓心的距離與圓的半徑之間的關系，判斷點與圓的位置關系，是解題的關鍵．4．（2021秋·福建漳州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，一艘輪船以30海里/小時的速度由西向東航行，途中接到臺風警報，臺風中心正以60海里/小時的速度由南向北移動，距臺風中心20海里的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬于臺風區(qū)，當輪船到A處時，測得臺風中心移動到位于點A正南方向的B處，且海里．若輪船以原方向、原速度繼續(xù)航行，求輪船從A點出發(fā)到最初遇到臺風的時間．【答案】輪船從點出發(fā)小時后最初遇到臺風【分析】根據(jù)題意可得輪船正好在以臺風中心為圓心、20海里長為半徑的圓上即為輪船最初遇到臺風的時間，設小時后最初遇到臺風，畫出圖形（見解析），先求出的長，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得．【詳解】解：由題意可知，輪船正好在以臺風中心為圓心、20海里長為半徑的圓上即為輪船最初遇到臺風的時間，因為海里，所以當臺風中心到達點時，輪船恰好在臺風區(qū)的邊界，所以輪船從點出發(fā)到最初遇到臺風時，臺風中心位于點的下方，畫出圖形如下：其中點為臺風中心，點為輪船，則海里，設小時后最初遇到臺風，則海里，海里，海里，海里，由勾股定理得：，即，解得或，當時，，不符題意，舍去，答：輪船從點出發(fā)小時后最初遇到臺風．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系、一元二次方程的應用、勾股定理的應用，畫出圖形，正確建立方程是解題關鍵．二、已知點與圓的位置關系求半徑（共3小題）5．（2022秋·安徽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，D是的中點，以A為圓心，r為半徑作，若點B，D，C均在外，求r的取值范圍．【答案】0＜r＜5【分析】先根據(jù)勾股定理和直角三角形斜邊上的中線性質求得AB、AD，再根據(jù)點與圓的位置關系即可求解．【詳解】解：∵在中，，∴，∵D是的中點，∴，∵5＜6＜8，∴AD＜AB＜AC，∵A為圓心，r為半徑，點B，D，C均在外，∴0＜r＜5．【點睛】本題考查勾股定理、直角三角形斜邊上的中線性質、點與圓的位置關系，解題關鍵是熟練掌握點與圓的位置關系：設圓半徑為r，點與圓心的距離為d，當d＜r時，點在圓內；當d=r時，點在圓上；當d＞r時，點在圓外．6．（2022秋·四川自貢·九年級統(tǒng)考期末）對于平面直角坐標系中的點P，給出如下定義：記點P到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為，若，則稱為點P的最大距離；若，則稱為點P的最大距離．例如：點到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為3，因為，所以點P的最大距離為4．(1)①點的最大距離為______；②若點的最大距離為3，則a的值為______；③若點的最大距離為2，則a的值為______；(2)若點C在直線上，且點C的最大距離為5，求點C的坐標；(3)若上存在點M，使點M的最大距離為，直接寫出的半徑r的取值范圍．【答案】(1)①5；②；③(2)點或(3)【分析】（1）①直接根據(jù)最大距離的定義，其最小距離為最大距離；②由點的最大距離為3，可得a為最大距離，即可打得答案；③由的最大距離為2可得，2或者為最大距離，故，求解即可；（2）由C的最大距離為5，可得或，代入可得結果；（3）當與直線有交點時，上存在點M，使點M的最大距離為．【詳解】（1）①點到x軸的距離為5，到y(tǒng)軸的距離為2，，點A的最大距離5②點的最大距離為3③點到x軸的距離為2，到y(tǒng)軸的距離為a，若，則，此時，最大距離為2若，則此時，最大距離為點的最大距離為2（2）∵點C的最大距離為5，∴當時，，或者當時，．分別把，代入得：當時，，當時，，當時，，當時，，∴點或（3）如圖，觀察圖象可知：當與直線有交點時，上存在點M，使點M的最大距離為，【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合題目，圓的相關知識、及新定義最大距離，解題的關鍵是正確理解題意，靈活引用所學知識解決問題，學會利用特殊位置解決數(shù)學問題，屬于壓軸題型．7．（2019秋·北京西城·九年級北京師大附中校考期中）在平面直角坐標系xOy中，⊙C的半徑為r，給出如下定義：若點P的橫、縱坐標均為整數(shù)，且到圓心C的距離d≤r，則稱P為⊙C的關聯(lián)整點.

（1）當⊙O的半徑r=2時，在點D（2，-2），E（-1，0），F(xiàn)（0，2）中，為⊙O的關聯(lián)整點的是；（2）若直線上存在⊙O的關聯(lián)整點，且不超過7個，求r的取值范圍；（3）⊙C的圓心在x軸上，半徑為2，若直線上存在⊙C的關聯(lián)整點，求圓心C的橫坐標t的取值范圍.【答案】（1）E、F；（2）≤r＜；（3）≤t≤.【分析】（1）根據(jù)關聯(lián)整點的定義進行判斷即可.（2）首先求出直線上有一個⊙O的關聯(lián)整點時，即⊙O過點G（2,2）時，半徑r的值，再求出直線上有9個⊙O的關聯(lián)整點時，即⊙O過點L（-2,6）時，半徑r的值，即可求解.（3）分別求出當⊙C過點M（3,1）和⊙C過點N（5,-1）時，圓心C的橫坐標即可.【詳解】（1）點D,E,F的橫、縱坐標均為整數(shù)，點D到圓心的距離為不滿足關聯(lián)整點的定義.點E到圓心的距離為滿足關聯(lián)整點的定義.點F到圓心的距離為滿足關聯(lián)整點的定義.則E,F為⊙O的關聯(lián)整點故答案為E、F；（2）當⊙O過點G（2,2）時，r=，⊙O過點L（-2,6）時，r=，∴≤r＜（3）如圖所示：當⊙C過點M（3,1）時，CM=2，MH=1，則CH=，此時點C的橫坐標t=，當⊙C過點N（5,-1）時，點C的橫坐標t=，∴≤t≤.【點睛】屬于圓的綜合題，讀懂題目中關聯(lián)整點的定義是解題的關鍵.三、利用垂徑定理求值（共4小題）8．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校考期中）如圖，△ABC內接于⊙O，高AD經(jīng)過圓心O．（1）求證：；（2）若，⊙O的半徑為5，求△ABC的面積．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得AD垂直平分BC，即可證明結論；（2）連接OB，根據(jù)勾股定理可得，得出，利用三角形面積公式求解即可．【詳解】證明：（1）在⊙O中，∵OD⊥BC于D，∴BD=CD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC；（2）連接OB，如圖所示：∵BC=8，由（1）得BD=CD，∴，∵，∴，

∴，∴△ABC的面積：，∴△ABC的面積為32．【點睛】題目主要考查垂徑定理的應用，垂直平分線的性質，勾股定理等，理解題意，綜合運用各個定理性質是解題關鍵．9．（2022秋·新疆吐魯番·九年級?？计谥校┤鐖D，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點．(1)求證：AC＝BD；(2)連接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）過O作OH⊥CD于H，根據(jù)垂徑定理得到CH＝DH，AH＝BH，即可得出結論；（2）過O作OH⊥CD于H，連接OD，由垂徑定理得CH＝DH＝CD，再證△OCD是等邊三角形，得CD＝OC＝4，則CH＝2，然后由勾股定理即可解決問題．【詳解】（1）證明：過O作OH⊥CD于H，如圖1所示：∵OH⊥CD，∴CH＝DH，AH＝BH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴AC＝BD；（2）解：過O作OH⊥CD于H，連接OD，如圖2所示：則CH＝DH＝CD，∵OC＝OD，∠OCD＝60°，∴△OCD是等邊三角形，∴CD＝OC＝4，∴CH＝2，∴OH＝＝＝2，∴AH＝＝＝2，∴AC＝AH﹣CH＝2﹣2．【點睛】本題考查垂徑定理、等邊三角形的判定與性質以及勾股定理等知識；熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．10．（2015秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期中）已知⊙O的半徑為2，∠AOB=120°．（1）點O到弦AB的距離為；．（2）若點P為優(yōu)弧AB上一動點（點P不與A、B重合），設∠ABP=α，將△ABP沿BP折疊，得到A點的對稱點為A′；①若∠α=30°，試判斷點A′與⊙O的位置關系；②若BA′與⊙O相切于B點，求BP的長；③若線段BA′與優(yōu)弧APB只有一個公共點，直接寫出α的取值范圍．【答案】（1）1；（2）①點A′在⊙O上；②；③0°＜α＜30°或60°≤α＜120°【分析】（1）如圖，作輔助線；證明∠AOC=60°，得到OC=1．（2）①證明∠PAB=90°，得到PB是⊙O的直徑；證明∠PA′B=90°，即可解決問題．②證明∠A′BP=∠ABP=60°；借助∠APB=60°，得到△PAB為正三角形，求出AB的長即可解決問題．③直接寫出α的取值范圍即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖，過點O作OC⊥AB于點C；∵OA=OB，則∠AOC=∠BOC=×120°=60°，∵OA=2，∴OC=1．故答案為1．（2）①∵∠AOB=120°∴∠APB=∠AOB=60°，∵∠PBA=30°，∴∠PAB=90°，∴PB是⊙O的直徑，由翻折可知：∠PA′B=90°，∴點A′在⊙O上．②由翻折可知∠A′BP=∠ABP，∵BA′與⊙O相切，∴∠OBA′=90°，∴∠ABA′=120°，∴∠A′BP=∠ABP=60°；∵∠APB=60°，∴△PAB為正三角形，∴BP=AB；∵OC⊥AB，∴AC=BC；而OA=2，OC=1，∴AC=，∴BP=AB=2．③α的取值范圍為0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．【點睛】該題主要考查了翻折變換、垂徑定理及其應用問題；解題的關鍵是靈活運用翻折變換、垂徑定理等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答．11．（2022秋·天津和平·九年級統(tǒng)考期末）（1）如圖①，AB，CD是⊙O的兩條平行弦，OE⊥CD交⊙O于點E，則弧AC弧BD（填“>”，“<”或“=”）；（2）如圖②，△PAB是⊙O的內接三角形，OE⊥AB交⊙O于點E，則∠APE∠BPE（填“>”，“<”或“=”）；（3）如圖③，△PAB是⊙O的內接三角形，∠QPA是它的外角，在弧AP上有一點G，滿足PG平分∠QPA，請用無刻度的直尺，畫出線段PG．（不要求證明）【答案】（1）=；（2）=；（3）作圖見詳解．【分析】（1）連接AO，BO，CO，DO，根據(jù)平行線及垂直的性質可得，由垂徑定理可得OE平分，，得出，，利用各角之間的關系可得，由圓心角相等，即可得出弧相等；（2）連接OA、OB，由及垂徑定理可得，，利用圓周角是圓心角的一半即可得；（3）連接AD、CB交于點H，連接HO并延長交于點G，連接PG，由，可得，由垂徑定理可得：點H在線段AB、CD的垂直平分線上，連接HO并延長交于點G，得出點G恰好平分，即點G恰好平分與所對的圓周角的和，由此即可得出．【詳解】解（1）如圖所示：連接AO，BO，CO，DO，∵，，∴，∴OE平分，，∴，，∴，即，∴，故答案為：=；（2）如圖所示：連接OA、OB，∵，∴，∴，∴，，∴，故答案為：=；（3）如圖所示：連接AD、CB交于點H，連接HO并延長交于點G，連接PG，即為所求，∵，根據(jù)圖可得：即，由垂徑定理可得：點H在線段AB、CD的垂直平分線上，連接HO并延長交于點G，則點G恰好平分，即點G恰好平分與所對的圓周角的和，∴PG即為所求．【點睛】題目主要考查垂徑定理的應用及圓周角定理，角平分線的性質等，理解題意，作出相應輔助線，結合垂徑定理是解題關鍵．四、利用垂徑定理解決實際生活問題（共14小題）12．（2022秋·廣東肇慶·九年級?？计谥校┤鐖D是某蔬菜基地搭建一座圓弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C為AB的中點，D為弧AB的中點）．（1）求該圓弧所在圓的半徑；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米處豎立支撐桿EF，求支撐桿EF的高度．【答案】（1）2米；（2）0.4米【分析】（1）設弧AB所在的圓心為O，D為弧AB的中點，CD⊥AB于C，延長DC至O點，設⊙O的半徑為R，利用勾股定理求出即可；（2）利用垂徑定理以及勾股定理得出HF的長，再求出EF的長即可．【詳解】解：（1）設弧AB所在的圓心為O，D為弧AB的中點，CD⊥AB于C，延長DC經(jīng)過O點，則BC＝AB＝1.6（米），設⊙O的半徑為R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即該圓弧所在圓的半徑為2米；（2）過O作OH⊥FE于H，則OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF＝（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撐桿EF的高度為0.4米．【點睛】此題主要考查了垂徑定理的應用和勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理和勾股定理，正確作出輔助線是解題關鍵．13．（2023·北京海淀·九年級期末）圖1是某種型號圓形車載手機支架，由圓形鋼軌、滑動桿、支撐桿組成．圖2是它的正面示意圖，滑動桿的兩端都在圓O上，A、B兩端可沿圓形鋼軌滑動，支撐桿的底端C固定在圓O上，另一端D是滑動桿的中點，（即當支架水平放置時直線平行于水平線，支撐桿垂直于水平線），通過滑動A、B可以調節(jié)的高度．當經(jīng)過圓心O時，它的寬度達到最大值，在支架水平放置的狀態(tài)下：(1)當滑動桿的寬度從10厘米向上升高調整到6厘米時，求此時支撐桿的高度．(2)如圖3，當某手機被支架鎖住時，鎖住高度與手機寬度恰好相等（），求該手機的寬度．【答案】(1)支撐桿的高度為9cm．(2)手機的寬度為8cm．【分析】（1）如圖，連結OA，由題意可得：的直徑為10，由先求解從而可得答案；（2）如圖，記圓心為O，連結OA，證明設則則再利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】（1）解：如圖，連結OA，由題意可得：的直徑為10，即所以此時支撐桿的高度為9cm．（2）解：如圖，記圓心為O，連結OA，由題意可得：∴四邊形為正方形，設則由勾股定理可得：解得經(jīng)檢驗不符合題意，舍去，?。╟m），即手機的寬度為8cm．【點睛】本題考查的是正方形的判定與性質，垂徑定理的應用，勾股定理的應用，一元二次方程的解法，理解題意，建立方程解題是關鍵．14．（2022秋·浙江杭州·九年級?？计谥校┤鐖D是一個半圓形橋洞的截面示意圖，圓心為，直徑是河底線，弦是水位線，，米，于點，此時測得．(1)求的長：(2)如果水位以0.4米/小時的速度上升，則經(jīng)過多長時間橋洞會剛剛被灌滿？【答案】(1)米(2)經(jīng)過5小時橋洞會剛剛被灌滿【分析】（1）連接，根據(jù)垂徑定理可得，勾股定理求得，進而求得；（2）延長交于點，由（1）求得，進而求得，根據(jù)題意即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，設，在中，，∴，∵直徑是河底線，，∴，解得，∴，，∴米，（2）如圖，延長交于點，由（1）可得，∴∵水位以0.4米小時的速度上升，∴（小時），即經(jīng)過5小時橋洞會剛剛被灌滿．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關鍵．15．（2022秋·北京·九年級?？计谥校┤鐖D1是博物館展出的古代車輪實物，《周禮·考工記》記載：“……故兵車之輪六尺有六寸，田車之輪六尺有三寸……”據(jù)此，我們可以通過計算車輪的半徑來驗證車輪類型，請將以下推理過程補充完整．如圖2所示，在車輪上取A、B兩點，設所在圓的圓心為O，半徑為rcm．作弦AB的垂線OC，D為垂足，則D是AB的中點．其推理的依據(jù)是：．經(jīng)測量，AB＝90cm，CD＝15cm，則AD＝cm；用含r的代數(shù)式表示OD，OD＝cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出關于r的方程：，解得r＝75通過單位換算，得到車輪直徑約為六尺六寸，可驗證此車輪為兵車之輪．【答案】垂直于弦的直徑平分弦；45；；【分析】根據(jù)垂徑定理，利用勾股定理構建方程求解即可．【詳解】解：如圖2所示，在車輪上取A、B兩點，設所在圓的圓心為O，半徑為rcm．作弦AB的垂線OC，D為垂足，則D是AB的中點．其推理依據(jù)是：垂直弦（非直徑）的直徑平分弦．經(jīng)測量：AB=90cm，CD=15cm，則AD=45cm；用含r的代數(shù)式表示OD，OD=（r-15）cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出關于r的方程：r2=452+（r-15）2，解得r=75．通過單位換算，得到車輪直徑約為六尺六寸，可驗證此車輪為兵車之輪．故答案為：垂直弦的直徑平分弦，45,（r-15），452+（r-15）2．【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．16．（2023秋·云南臨滄·九年級統(tǒng)考期末）如圖，一座石橋的主橋拱是圓弧形，某時刻測得水面寬度為6米，拱高（弧的中點到水面的距離）為1米．(1)求主橋拱所在圓的半徑；(2)若水面下降1米，求此時水面的寬度．【答案】(1)主橋拱所在圓的半徑(2)此時水面的寬度【分析】（1）以O為圓心，連接，根據(jù)三線合一定理可得，設，則，再根據(jù)勾股定理即可求出半徑；（2）由題意得，水面下降為，連接，根據(jù)水面下降1米，可得，再根據(jù)勾股定理即可求得答案．【詳解】（1）如圖，以O為圓心，連接，由題意可得，D為弧的中點，∴，∵，∴，設，則，在中，，，∴，解得：，∴主橋拱所在圓的半徑；（2）由題意得，水面下降為，連接，∵水面下降1米，∴，則，∴，即水面的寬度為．【點睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．17．（2019秋·浙江杭州·九年級期末）如圖所示,某地有一座圓弧形的拱橋,橋下的水面寬度為7.2米,拱頂高出水面2.4米,現(xiàn)有一寬3米,船頂部為方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里,此貨船能順利通過這座拱橋嗎?【答案】能通過【分析】先求出弧形所在圓的半徑；根據(jù)船寬，在Rt△OCH中，利用勾股定理可以求出此拱橋可以通過的船的高度，與船的實際高度比較一下就可以知道能否通過．【詳解】解：AB=7.2米,CD=2.4米,EF=3米．D為AB、EF的中點,且CD,ME,NF均垂直于AB,MN交CD于H．弧AB所在的圓心為O,連接OA,ON．設OA=r,則OD=OC-DC=r-2.4,AD=AB=3.6有OA2=AD2+OD2即在Rt△OAD中，r2=3.62+（r-2.4）2∴r=3.9（米）在Rt△ONH中，有OH=（米）．所以FN=DH=OH-OD=3.6-（3.9-2.4）=2.1（米）這里2米＜2.1米,故可以通過該橋．但是余量較小,要非常小心才好．故答案為能通過.【點睛】本題考查垂徑定理的應用,勾股定理，解本題的關鍵是求出此拱橋可以通過的船的高度，再與船的實際高度比較一下就可以知道能否通過．18．（2020秋·河北邯鄲·九年級邯鄲市第二十三中學校聯(lián)考期中）如圖，工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直徑是10cm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8cm，則這個小圓孔的寬口AB的長度為多少？【答案】．【分析】過點作于點，并延長交于點，先計算出，再由，根據(jù)垂徑定理得，然后根據(jù)勾股定理計算出，再利用進行計算即可．【詳解】解：過點作于點，并延長交于點，如圖，則由題意得，又，，在中，，．【點睛】本題考查了垂徑定理的應用：垂徑定理的應用很廣泛，常見的有：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。淮箯蕉ɡ砗凸垂啥ɡ硐嘟Y合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．19．（2023·北京海淀·九年級期末）已知吃刀深度h為時，能在直徑是d（）的軸上銑出寬的一塊平面（如圖）．(1)求d的值．(2)若吃刀深度增加到，求軸上銑出平面的寬度．【答案】(1)(2)【分析】（1）設圓心為O，過點O作于點C，的延長線交于點D，連接，在中，利用勾股定理列出方程求出半徑，即可解答；（2）在中，利用勾股定理先求出，即可求出．【詳解】（1）設圓心為O，過點O作于點C，的延長線交于點D，連接，如圖，∵，，∴，∵，設，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，即，解得，∴直徑，即直徑d的值為；（2）根據(jù)（1）中的結果有：，當時，則，∵，∴，根據(jù)勾股定理得，，即，解得，∴，∴軸上銑出平面的寬度為．【點睛】本題考查了垂徑定理的應用，解題的關鍵是添加輔助線構造直角三角形利用勾股定理解決問題．20．（2023秋·湖北荊門·九年級校考期末）某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)若這個輸水管道有水部分的水面寬，水面最深地方的高度為4，求這個圓形截面的半徑；(2)在（1）的條件下，小明把一只寬12的方形小木船放在修好后的圓柱形水管里，已知船高出水面13，問此小船能順利通過這個管道嗎？【答案】(1)(2)能順利通過【分析】（1）過作于，交弧于，連接，根據(jù)垂徑定理得到，然后根據(jù)勾股定理列出關于圓形截面半徑的方程求解．（2）連接，設，可求得此時的高，即可求得的長，比較，即可得到此時小船能順利通過這個管道．【詳解】（1）解：過作于，交弧于，連接．，，由題意可知，，設半徑為，則，在中，由勾股定理得：解得．即這個圓形截面的半徑為．（2）如圖，小船能順利通過這個管道．理由：連接，設．，，在中，，小船能順利通過這個管道．【點睛】此題考查了垂徑定理、勾股定理的應用．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想與方程思想的應用．21．（2021秋·廣西河池·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，點表示我國古代水車的一個盛水筒．如圖2，當水車工作時，盛水筒的運行路徑是以軸心為圓心，為半徑的圓．若被水面截得的弦長為，求水車工作時，盛水筒在水面以下的最大深度．【答案】水車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為．【分析】如圖：過點作半徑于，則，由垂徑定理得，在利用勾股定理可求得，水深，即可求解．【詳解】如圖：過點作半徑于在中，水車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為【點睛】本題考查了垂徑定理的，解題關鍵在于作輔助線利用勾股定理計算．22．（2019秋·浙江溫州·九年級?？计谥校┌岩粋€球放在長方體紙盒內，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知，求這個球的直徑.【答案】.【分析】設圓心為O，過點作于交優(yōu)弧EF于，可得，設半徑為，則，根據(jù)勾股定理得，解方程即可.【詳解】解：設圓心為O，過點作于交優(yōu)弧EF于，∴，設半徑為，則，根據(jù)勾股定理得解得，所以這個球的直徑為.【點睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，解題的關鍵是正確的作出輔助線構造直角三角形．23．（2022秋·河北唐山·九年級