蘇科版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點大串講專題04圓心角、圓周角【考題猜想32題7種題型】(原卷版+解析)

專題04圓心角、圓周角（32題7種題型）一、利用弧、弦、圓周角關(guān)系求解（共4小題）1．（2022秋·福建廈門·九年級廈門市蓮花中學(xué)校考期中）已知：如圖所示，A，B，C，D是⊙QUOTE??O上的點，且QUOTE，QUOTE鈭燗????=125擄鈭燗OB=125擄，求QUOTE的度數(shù)．2．（2022秋·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）如圖，AB是⊙O的直徑，C是QUOTE的中點，CE⊥AB于E，BD交CE于點F．（1）求證：CF﹦BF；（2）若CD﹦6，AC﹦8，則⊙O的半徑和CE的長．3．（2022秋·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠AOB按以下步驟作圖：①在射線OA上取一點C，以點O為圓心，OC長為半徑作圓弧PQ，交射線OB于點D；②連接CD，分別以點C、D為圓心，CD長為半徑作弧，交圓弧PQ于點M、N；③連接OM，MN．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形完成下列作答．(1)求證：OA垂直平分MD.(2)若QUOTE鈭燗????=30擄鈭燗OB=30擄，求∠MON的度數(shù).(3)若QUOTE鈭燗????=20擄鈭燗OB=20擄，QUOTE????=6OC=6，求MN的長度．4．（2022秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期中）如圖，QUOTE????AB是⊙O的直徑，點QUOTE??C在⊙O上，QUOTE????鈯??CD鈯B，垂足為QUOTE??D，且QUOTE，QUOTE????BE分別交QUOTE????CD、QUOTE????AC于點QUOTE??F、QUOTE??G．(1)求證：QUOTE；(2)求證：QUOTE??F是QUOTE????BG的中點．QUOTE????二、利用弧、弦、圓周角關(guān)系證明（共5小題）5．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？计谥校┤鐖D，點A，B，C，D在⊙O上，QUOTE＝QUOTE．求證：AC＝BD；6．（2022秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，QUOTE．請判斷△ABC的形狀，并說明理由．QUOTE7．（2022秋·北京東城·九年級匯文中學(xué)?？计谥校┤鐖D，QUOTE內(nèi)接于QUOTE鈯橭鈯橭，高QUOTE????AD經(jīng)過圓心QUOTE??O．(1)求證：QUOTE????=????AB=AC；(2)若QUOTE????=16BC=16，QUOTE鈯橭鈯橭的半徑為QUOTE1010．求QUOTE的面積．QUOTE8．（2022秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在RtΔABC中，∠BAC=90°，以點A為圓心，AC長為半徑作圓，交BC于點D，交AB于點E，連接DE．（1）若∠ABC=20°，求∠DEA的度數(shù)；（2）若AC=3，AB=4，求CD的長．QUOTE1859．（2022秋·北京房山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，QUOTE????AB為QUOTE鈯橭鈯橭的直徑，弦QUOTE????鈯??CD鈯B于點E，連接QUOTE????DO并延長交QUOTE鈯橭鈯橭于點F，連接QUOTE????AF，QUOTE．(1)求證：QUOTE；(2)連接QUOTE????AC，若QUOTE????=12AB=12，求QUOTE????AC的長．三、利用圓周角定理求解（共4小題）10．（2022秋·貴州黔西·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為QUOTE上的一點，連接DP，CP．(1)求∠CPD的度數(shù)；(2)當(dāng)點P為QUOTE的中點時，CP是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．11．（2022秋·吉林長春·九年級?？计谀┤鐖D，BE是圓O的直徑，點A和點D是⊙O上的兩點，過點A作⊙O的切線交BE延長線于點C，（1）若∠ADE=25°，求∠C的度數(shù)；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半徑的長．QUOTEQUOTEQUOTE12QUOTE1212．（2022秋·貴州黔西·九年級統(tǒng)考期中）如圖，以四邊形ABCD的對角線BD為直徑作圓，圓心為O，過點A作QUOTE????鈯??AE鈯D的延長線于點E，已知DA平分QUOTE．(1)求證：QUOTE????AE是QUOTE鈯橭鈯橭的切線；(2)若QUOTE????=4AE=4，QUOTE????=6CD=6，求QUOTE鈯橭鈯橭的半徑和AD的長．QUOTE2513．（2022秋·湖北恩施·九年級校考期中）如圖所示，QUOTE????AB是⊙QUOTE??O的一條弦，QUOTE????鈯??OD鈯B，垂足為QUOTE??C，交⊙QUOTE??O于點QUOTE??D，點QUOTE??E在⊙QUOTE??O上．（QUOTE11）若QUOTE鈭燗????=52擄鈭燗OD=52擄，求QUOTE的度數(shù)．（QUOTE22）若QUOTE????=3OC=3，QUOTE????=5OA=5，求QUOTE????AB的長．14．（2022秋·江西贛州·九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，連接AC，BC．（1）求證：∠A＝∠BCD；（2）若AB＝10，CD＝6，求BE的長．QUOTEQUOTEQUOTE52?32四、利用圓周角定理推論（同弧或等弧所對的圓周角相等）求解（共4小題）15．（2022秋·廣東韶關(guān)·九年級統(tǒng)考期末）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于E，連接AC，OC，BC．（1）求證：∠1=∠2；（2）若QUOTE????=2,????=6BE=2,CD=6，求⊙O的半徑的長．QUOTE??=13416．（2022秋·廣東中山·九年級校聯(lián)考期中）如圖，AB是QUOTE的直徑，點C為QUOTE的中點，CF為QUOTE的弦，且QUOTE．垂足為E，連接QUOTE????BD交CF于點G，連接CD，AD，BF．(1)求證：QUOTE；(2)若QUOTE????=????=4AD=BE=4QUOTE????=4317．（2022秋·北京·九年級北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校?？计谀┤鐖D，在⊙O中，QUOTE＝QUOTE，CD⊥OA于點D，CE⊥OB于點E．(1)求證：CD＝CE；(2)若∠AOB＝120°，OA＝2，求四邊形DOEC的面積．18．（2022秋·安徽·九年級校聯(lián)考期末）如圖，QUOTE????AB是QUOTE鈯橭鈯橭的直徑，C是弧QUOTE????BD的中點，QUOTE????鈯??CE鈯B于點E，QUOTE????BD交QUOTE????CE于點F．(1)求證：QUOTE????=????CF=BF；(2)若QUOTE????=2CD=2，QUOTE????=4AC=4，求QUOTE鈯橭鈯橭的半徑及QUOTE????CE的長．五、利用圓周角定理推論（半圓（直徑）所對的圓周角是直角）求解（共6小題）19．（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形QUOTE????????ABCD內(nèi)接于QUOTE鈯橭鈯橭，QUOTE????AC為QUOTE鈯橭鈯橭的直徑，QUOTE．(1)試判斷QUOTE的形狀，并給出證明；(2)若QUOTE????=2AB=2，QUOTE????=1AD=1，求QUOTE????CD的長度．QUOTE3QUOTE2QUOTE????2+????2=2QUOTE????2?????2=3QUOTE320．（2022秋·云南曲靖·九年級?？计谥校┤鐖D，以AB為直徑作QUOTE鈯橭鈯橭，在QUOTE鈯橭鈯橭上取一點C，延長AB至點D，連接DC，QUOTE，過點A作QUOTE????鈯??AE鈯D交DC的延長線于點E．(1)求證：CD是QUOTE鈯橭鈯橭的切線；(2)若QUOTE????=4CD=4，QUOTE????=2DB=2，求AE的長．21．（2022秋·江蘇南京·九年級?？计谥校┤鐖D①，在QUOTE中，QUOTE????=????CA=CB，QUOTE??D是QUOTE外接圓QUOTE鈯橭鈯橭上一點，連接QUOTE????CD，過點QUOTE??B作QUOTE，交QUOTE????AD的延長線于點QUOTE??E，交QUOTE鈯橭鈯橭于點QUOTE??F．(1)求證：四邊形QUOTE????????DEFC是平行四邊形；(2)如圖②，若QUOTE????AB為QUOTE鈯橭鈯橭直徑，QUOTE????=7AB=7，QUOTE????=1BF=1，求QUOTE????CD的長．QUOTE????=????=4322．（2022秋·福建南平·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD為菱形，以AD為直徑作⊙O交AB于點F，連接DB交⊙O于點H，過點D作⊙O的切線交BC于點E．(1)求證：AF=CE；(2)若BF=2，QUOTE????=5DH=5，求⊙O的半徑．QUOTE5223．（2022秋·福建福州·九年級?？计谀┤鐖D，AB為QUOTE鈯橭鈯橭的直徑，點C在QUOTE鈯橭鈯橭上，連接AC，BC，過點O作QUOTE????鈯??OD鈯C于點D，過點C作QUOTE鈯橭鈯橭的切線交OD的延長線于點E．（1）求證：QUOTE鈭燛=鈭燘鈭燛=鈭燘；（2）連接AD．若QUOTE????=45CE=45，QUOTE????=8BC=8，求AD的長．QUOTE????=2????=4224．（2022秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠ACB的平分線與AB交于點E，與⊙O交于點D，P為AB延長線上一點，且∠PCB＝∠PAC．（1）試判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半徑及AD的長．六、利用圓周角定理推論（90°的圓周角所對的弦是直徑）求解（共3小題）25．（2022秋·北京·九年級日壇中學(xué)?？计谥校┤鐖D，QUOTE??D是等腰三角形QUOTE??????ABC底邊的中點，過點QUOTE作QUOTE．(1)求證：QUOTE????AB是QUOTE的直徑；(2)延長QUOTE????CB交QUOTE于點QUOTE??E，連接QUOTE????DE，求證：QUOTE????=????DC=DE；26．（2022秋·廣東潮州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，QUOTE中，QUOTE鈭燗????=90擄鈭燗CB=90擄，按要求完成下列問題：(1)作出QUOTE鈻矨????鈻矨BC的外接圓QUOTE；（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫出作法）；(2)在（1）的條件下，若CD平分QUOTE鈭燗????鈭燗CB，CD交QUOTE于點D，連接AD，BD．求證：QUOTE????=????AD=BD．27．（2022秋·安徽安慶·九年級期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點O是AB的中點．(1)若以點O為圓心，以R為半徑作⊙O，且點A，B，C都在⊙O上，求R的值；(2)若以點B為圓心，以r為半徑作⊙B，且點O，A，C中有兩個點在⊙B內(nèi)，有一個點在⊙B外，求r的取值范圍．QUOTE????2+????2QUOTE12QUOTE12七、已知圓內(nèi)接四邊形求角度（共5小題）28．（2022秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形QUOTE????????ABCD是QUOTE的內(nèi)接四邊形．QUOTE????DB平分QUOTE鈭燗????鈭燗DC，連接QUOTE????,????鈯??OC,OC鈯D．(1)求證：QUOTE????=????AB=CD；(2)若QUOTE，求QUOTE鈭燗????鈭燗DB的度數(shù)．29．（2022秋·山東德州·九年級?？计谀┤鐖D，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，OC＝2，AC＝2QUOTE22．（1）求點O到AC的距離；（2）求∠ADC的度數(shù)．30．（2022秋·河南焦作·九年級?？计谀┰赗t△ABC中，AC＝BC，將線段CA繞點C旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段CD，連接AD、BD．(1)如圖1，將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α，則∠ADB的度數(shù)為；(2)將線段CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α?xí)r①在圖2中依題意補全圖形，并求∠ADB的度數(shù)；②若∠BCD的平分線CE交BD于點F，交DA的延長線于點E，連結(jié)BE．用等式表示線段AD、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明QUOTE2QUOTE????QUOTE231．（2022秋·廣東廣州·九年級鐵一中學(xué)?？计谀┮阎篞UOTE是QUOTE鈻矨????鈻矨BC的外接圓，且QUOTE，QUOTE鈭燗????=60擄鈭燗BC=60擄，D為QUOTE上一動點．(1)如圖1，若點D是QUOTE的中點，QUOTE鈭燚????鈭燚BA等于多少？(2)過點B作直線QUOTE????AD的垂線，垂足為點E．①如圖2，若點D在QUOTE上，求證：QUOTE????=????+????CD=DE+AE．②若點D在QUOTE上，當(dāng)它從點A向點C運動且滿足QUOTE????=????+????CD=DE+AE時，求QUOTE鈭燗????鈭燗BD的最大值．32．（2022秋·河北邢臺·九年級統(tǒng)考期末）學(xué)完旋轉(zhuǎn)這一章，老師給同學(xué)們出了這樣一道題：“如圖1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求證：EF＝BE＋DF．”小明同學(xué)的思路：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到QUOTE的位置，然后證明QUOTE，從而可得QUOTE????=??'??EF=E'F．QUOTE??'??=??'??+????=????+????(1)【探究】請你參考小明的解題思路解決下面問題：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，QUOTE，直接寫出EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系．(2)【應(yīng)用】如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，QUOTE，求證：EF＝BE＋DF．(3)【知識遷移】如圖4，四邊形ABPC是QUOTE的內(nèi)接四邊形，BC是直徑，AB＝AC，請直接寫出PB＋PC與AP的關(guān)系．

專題04圓心角、圓周角（32題7種題型）一、利用弧、弦、圓周角關(guān)系求解（共4小題）1．（2022秋·福建廈門·九年級廈門市蓮花中學(xué)?？计谥校┮阎喝鐖D所示，A，B，C，D是⊙QUOTE??O上的點，且QUOTE，QUOTE鈭燗????=125擄鈭燗OB=125擄，求QUOTE的度數(shù)．【答案】QUOTE．【分析】由題意易知QUOTE，然后根據(jù)弧與圓心角的關(guān)系可直接進行求解．【詳解】解：∵A，B，C，D是QUOTE鈯橭鈯橭上的點，QUOTE，∴QUOTE，即QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE．【點睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，熟練掌握同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）如圖，AB是⊙O的直徑，C是QUOTE的中點，CE⊥AB于E，BD交CE于點F．（1）求證：CF﹦BF；（2）若CD﹦6，AC﹦8，則⊙O的半徑和CE的長．【答案】（1）見解析（2）5，QUOTE245245【分析】（1）要證明CF=BF，可以證明∠ECB=∠DBC；AB是⊙O的直徑，則∠ACB=90°，又知CE⊥AB，則∠CEB=90°，根據(jù)同角的余角相等證出∠ECB=∠A，再根據(jù)同圓中，等弧所對的圓周角相等證出∠DBC=∠A，從而證出∠ECB=∠DBC；（2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的長，即可求得圓的半徑；再根據(jù)三角形面積求得CE的長．【詳解】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠ECB=90°-∠ABC，∴∠ECB=∠A．又∵C是QUOTE的中點,∴QUOTE∴∠DBC=∠A，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF；（2）解：∵QUOTE∴BC=CD=6，∵∠ACB=90°，??B=∴⊙O的半徑為5，【點睛】此題考查了圓周角定理的推論、等腰三角形的判定及性質(zhì)以及求三角形的高．此題綜合性很強，難度適中，掌握同圓中，等弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角為直角、等腰三角形的判定及性質(zhì)和利用等面積法求直角三角形斜邊上的高是解決此題的關(guān)鍵．3．（2022秋·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠AOB按以下步驟作圖：①在射線OA上取一點C，以點O為圓心，OC長為半徑作圓弧PQ，交射線OB于點D；②連接CD，分別以點C、D為圓心，CD長為半徑作弧，交圓弧PQ于點M、N；③連接OM，MN．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形完成下列作答．(1)求證：OA垂直平分MD.(2)若QUOTE鈭燗????=30擄鈭燗OB=30擄，求∠MON的度數(shù).(3)若QUOTE鈭燗????=20擄鈭燗OB=20擄，QUOTE????=6OC=6，求MN的長度．【答案】(1)證明見解析；(2)QUOTE鈭燤????=90擄鈭燤ON=90擄；(3)QUOTE????=6MN=6．【分析】（1）由垂徑定理直接證明即可得；（2）根據(jù)相等的弧所對的圓心角也相等求解即可得；（3）由（2）可得：QUOTE，得出QUOTE鈭燤????=60擄鈭燤ON=60擄，根據(jù)等邊三角形得判定可得QUOTE鈻砄????鈻砄MN為等邊三角形，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接MD，由作圖可知，QUOTE????=????CM=CD，∴QUOTE，∵OA是經(jīng)過圓心的直線，∴OA垂直平分MD；（2）解：如圖所示，連接ON，∵QUOTE????=????=????CM=CD=DN，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，即QUOTE鈭燤????=90擄鈭燤ON=90擄；（3）解：由（2）可得：QUOTE，∴QUOTE鈭燤????=60擄鈭燤ON=60擄，∵QUOTE????=????OM=ON，∴QUOTE鈻砄????鈻砄MN為等邊三角形，∴QUOTE????=????=????=6MN=OM=OC=6．【點睛】題目主要考查垂徑定理，等弧所對的圓心角相等，等邊三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，綜合運用這些基礎(chǔ)知識點是解題關(guān)鍵．4．（2022秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期中）如圖，QUOTE????AB是⊙O的直徑，點QUOTE??C在⊙O上，QUOTE????鈯??CD鈯B，垂足為QUOTE??D，且QUOTE，QUOTE????BE分別交QUOTE????CD、QUOTE????AC于點QUOTE??F、QUOTE??G．(1)求證：QUOTE；(2)求證：QUOTE??F是QUOTE????BG的中點．【答案】(1)答案見詳解(2)答案見詳解【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理及垂直的定義得到QUOTE鈭燗????+鈭燚????=90擄鈭燗CD+鈭燚CB=90擄，QUOTE鈭燙????+鈭燗????=90擄鈭燙AB+鈭燗CD=90擄，進而求證QUOTE；（2）由QUOTE，QUOTE，所以QUOTE，QUOTE????=????FB=FC，再根據(jù)QUOTE，得出QUOTE，所以QUOTE????=????FC=FG，即可得出QUOTE????=????FB=FG．【詳解】（1）解：∵QUOTE????AB是⊙O的直徑，∴QUOTE鈭燗????=90擄鈭燗CB=90擄，∴QUOTE鈭燗????+鈭燚????=90擄鈭燗CD+鈭燚CB=90擄，∵QUOTE????鈯??CD鈯B，∴QUOTE鈭燙????+鈭燗????=90擄鈭燙AB+鈭燗CD=90擄，∴QUOTE；（2）解：∵QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE????=????FB=FC，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE????=????FC=FG，∴QUOTE????=????FB=FG，∴QUOTE??F是QUOTE????BG的中點．【點睛】此題主要考查了圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系，注意直徑所對的圓周角是直角．二、利用弧、弦、圓周角關(guān)系證明（共5小題）5．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？计谥校┤鐖D，點A，B，C，D在⊙O上，QUOTE＝QUOTE．求證：AC＝BD；【答案】見解析【分析】根據(jù)已知條件求得QUOTE，根據(jù)弧與弦的關(guān)系即可得證．【詳解】證明：∵QUOTE＝QUOTE，∴QUOTE＝QUOTE，∴QUOTE，∴BD=AC．【點睛】本題考查了弦與弧之間的關(guān)系，掌握同圓或等圓中，等弧對等弦是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，QUOTE．請判斷△ABC的形狀，并說明理由．【答案】△ABC是等邊三角形，理由見解析.【分析】由圓周角定理可知∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°，再由三角形內(nèi)角和定理可知∠ACB=60°，故可得出結(jié)論【詳解】△ABC是等邊三角形，理由：∵QUOTE∴AC=BC，∵∠ADC=60°，∴∠ABC=∠ADC=60°，∴△ABC是等邊三角形．【點睛】本題考查的是圓周角定理，等邊三角形的判定，熟練掌握圓周角定理是解答此題的關(guān)鍵．7．（2022秋·北京東城·九年級匯文中學(xué)?？计谥校┤鐖D，QUOTE內(nèi)接于QUOTE鈯橭鈯橭，高QUOTE????AD經(jīng)過圓心QUOTE??O．(1)求證：QUOTE????=????AB=AC；(2)若QUOTE????=16BC=16，QUOTE鈯橭鈯橭的半徑為QUOTE1010．求QUOTE的面積．【答案】(1)見解析(2)128【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得QUOTE，根據(jù)等弧所對的弦相等，即可求解．（2）連接QUOTE????OB，勾股定理求得QUOTE????OD，繼而得出QUOTE????AD，根據(jù)三角形面積公式進行計算即可求解．【詳解】（1）證明：∵QUOTE????ADQUOTE鈯??鈯C，∴QUOTE，∴QUOTE????=????AB=AC；（2）如圖，連接QUOTE????OB，∵QUOTE????ADQUOTE鈯??鈯C，∴QUOTE????=12????=8BD=1∵QUOTE鈯橭鈯橭的半徑為QUOTE1010．∴QUOTE????=10BO=10，在QUOTERt??????Rt??BD中，QUOTE????=10,????=8BO=10,BD=8，∴QUOTE????=????2?????2∴QUOTE????=????+????=10+6=16AD=AO+OD=10+6=16，∴QUOTE．【點睛】本題考查了垂徑定理，弧與弦的關(guān)系，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在RtΔABC中，∠BAC=90°，以點A為圓心，AC長為半徑作圓，交BC于點D，交AB于點E，連接DE．（1）若∠ABC=20°，求∠DEA的度數(shù)；（2）若AC=3，AB=4，求CD的長．【答案】（1）65°；（2）QUOTE185185．【分析】（1）連接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可；（2）如圖，過點A作AF⊥CD，垂足為F．利用面積法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，連接AD．∵∠BAC=90°，∠ABC=20°，∴∠ACD=70°．∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=70°，∴∠CAD=180°-70°-70°=40°，∴∠DAE=90°-40°=50°．又∵AD=AE，∴∠DEA=∠ADE=QUOTE1212(180°?50°)=65°；（2）如圖，過點A作AF⊥CD，垂足為F．∵∠BAC=90°，AC=3，AB=4，∴BC=5．又∵QUOTE1212?AF?BC=QUOTE1212?AC?AB，∴AF=QUOTE，∴CF=QUOTE32?(125)∵AC=AD，AF⊥CD，∴CD=2CF=QUOTE185185．【點睛】本題考查了垂徑定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．9．（2022秋·北京房山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，QUOTE????AB為QUOTE鈯橭鈯橭的直徑，弦QUOTE????鈯??CD鈯B于點E，連接QUOTE????DO并延長交QUOTE鈯橭鈯橭于點F，連接QUOTE????AF，QUOTE．(1)求證：QUOTE；(2)連接QUOTE????AC，若QUOTE????=12AB=12，求QUOTE????AC的長．【答案】(1)見解析(2)QUOTE????=6AC=6【分析】（1）根據(jù)題意和垂經(jīng)定理得QUOTE，根據(jù)QUOTE得QUOTE，即可得；（2）連接QUOTE????OC，根據(jù)直徑的長可得QUOTE????=6OA=6，根據(jù)QUOTE得QUOTE鈭燗????=60擄鈭燗OC=60擄，根據(jù)QUOTE????=????OA=OC得QUOTE鈻矨????鈻矨OC是等邊三角形，即可得．【詳解】（1）證明：∵QUOTE????AB為QUOTE鈯橭鈯橭的直徑，QUOTE????鈯??CD鈯B，∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE．（2）解：如圖所示，連接QUOTE????OC，∵QUOTE????=12AB=12，∴QUOTE????=6OA=6，∵QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE????=????OA=OC，∴QUOTE鈻矨????鈻矨OC是等邊三角形，∴QUOTE????=????=6AC=OA=6．【點睛】本題考查了垂經(jīng)定理，等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點．三、利用圓周角定理求解（共4小題）10．（2022秋·貴州黔西·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為QUOTE上的一點，連接DP，CP．(1)求∠CPD的度數(shù)；(2)當(dāng)點P為QUOTE的中點時，CP是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．【答案】(1)QUOTE鈭燚????=45擄鈭燚PC=45擄(2)QUOTE??=8n=8【分析】（1）連接OD，OC，根據(jù)正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，結(jié)合圓周角定理可得∠CPD；（2）結(jié)合正多邊形的性質(zhì)以及圓周角定理得出∠COP的度數(shù)，進而得出答案．【詳解】（1）解：連接OD，OC，∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DOC＝90°，∴QUOTE．（2）解：連接PO，OB，如圖所示：∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵點P為QUOTE的中點，∴QUOTE，∴QUOTE，∴n＝360÷45＝8．【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同弧所對的圓周角等于圓心角的一半．11．（2022秋·吉林長春·九年級校考期末）如圖，BE是圓O的直徑，點A和點D是⊙O上的兩點，過點A作⊙O的切線交BE延長線于點C，（1）若∠ADE=25°，求∠C的度數(shù)；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半徑的長．【答案】（1）∠C=40°；（2）⊙O的半徑為2．【分析】（1）連接OA，利用切線的性質(zhì)和角之間的關(guān)系解答即可；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）如圖，連接OA，∵AC是⊙O的切線，OA是⊙O的半徑，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∵QUOTE，∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°，∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵QUOTE，∴∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C，∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，∴OA=QUOTE1212OC，設(shè)⊙O的半徑為r，∵CE=2，∴r=QUOTE1212(r+2)，解得：r=2，∴⊙O的半徑為2．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·貴州黔西·九年級統(tǒng)考期中）如圖，以四邊形ABCD的對角線BD為直徑作圓，圓心為O，過點A作QUOTE????鈯??AE鈯D的延長線于點E，已知DA平分QUOTE．(1)求證：QUOTE????AE是QUOTE鈯橭鈯橭的切線；(2)若QUOTE????=4AE=4，QUOTE????=6CD=6，求QUOTE鈯橭鈯橭的半徑和AD的長．【答案】(1)見解析(2)5，QUOTE2525【分析】（1）連接OA，根據(jù)已知條件證明QUOTE????鈯??OA鈯E即可解決問題；（2）取CD中點F，連接OF，根據(jù)垂徑定理可得QUOTE????鈯??OF鈯D，所以四邊形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出結(jié)果．【詳解】（1）證明：如下圖，連接OA，∵QUOTE????鈯??AE鈯D，∴QUOTE鈭燚????+鈭燗????=90擄鈭燚AE+鈭燗DE=90擄．∵DA平分QUOTE鈭燘????鈭燘DE，∴QUOTE．又∵QUOTE????=????OA=OD，∴QUOTE，∴QUOTE鈭燚????+鈭燨????=90擄鈭燚AE+鈭燨AD=90擄，∴QUOTE????鈯??OA鈯E，∵OA是半徑，∴QUOTE????AE是QUOTE鈯橭鈯橭切線；（2）解：如上圖，取CD中點F，連接OF，∴QUOTE????鈯??OF鈯D于點F，∴四邊形AEFO是矩形．∵QUOTE????=6CD=6，∴QUOTE????=????=3DF=FC=3．在Rt△OFD中，QUOTE????=????=4OF=AE=4，∴QUOTE????=????2+????2在Rt△AED中，QUOTE????=4AE=4，QUOTE????=?????????=?????????=?????????=5?3=2ED=EF?DF=OA?DF=OD?DF=5?3=2，∴QUOTE????=42+22=∴QUOTE????AD的長是QUOTE2525．【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的判定與性質(zhì)．13．（2022秋·湖北恩施·九年級?？计谥校┤鐖D所示，QUOTE????AB是⊙QUOTE??O的一條弦，QUOTE????鈯??OD鈯B，垂足為QUOTE??C，交⊙QUOTE??O于點QUOTE??D，點QUOTE??E在⊙QUOTE??O上．（QUOTE11）若QUOTE鈭燗????=52擄鈭燗OD=52擄，求QUOTE的度數(shù)．（QUOTE22）若QUOTE????=3OC=3，QUOTE????=5OA=5，求QUOTE????AB的長．【答案】（1）26°；（2）8【分析】（1）欲求QUOTE鈭燚????鈭燚EB，又已知一圓心角，可利用圓周角與圓心角的關(guān)系求解；（2）利用垂徑定理可以得到QUOTE????=????=12????=4AC=BC=1【詳解】解：（1）QUOTE，QUOTEQUOTE，QUOTE．（2）∵QUOTE????=3OC=3，QUOTE????=5OA=5，且QUOTE????鈯??OD鈯B，∴QUOTE????=????2?????2∵QUOTE????鈯??OD鈯B，QUOTE，QUOTE鈭碅??=8鈭碅B=8．【點睛】此題考查了圓周角定理，同圓中等弧所對的圓周角相等，以及垂徑定理，熟練掌握垂徑定理得出QUOTE????=????=4AC=CB=4是解題關(guān)鍵．14．（2022秋·江西贛州·九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，連接AC，BC．（1）求證：∠A＝∠BCD；（2）若AB＝10，CD＝6，求BE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）BE＝1．【分析】(1)由垂徑定理可得QUOTE，再由圓周角定理即可得證；(2)連接OC，結(jié)合已知求得OE的長即可求得答案.【詳解】(1)∵直徑AB⊥弦CD，∴QUOTE,∴∠A=∠BCD；(2)連接OC，∵直徑AB⊥弦CD，CD=6，∴CE=ED=3，∵直徑AB=10，∴CO=OB=5，在Rt△COE中，∵OC=5，CE=3，∴OE=QUOTE52?325∴BE=OB﹣OE=5﹣4=1．【點睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵.四、利用圓周角定理推論（同弧或等弧所對的圓周角相等）求解（共4小題）15．（2022秋·廣東韶關(guān)·九年級統(tǒng)考期末）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于E，連接AC，OC，BC．（1）求證：∠1=∠2；（2）若QUOTE????=2,????=6BE=2,CD=6，求⊙O的半徑的長．【答案】（1）見解析；（2）QUOTE??=134R=13【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓的性質(zhì)，同弧的圓周角相等，又因為△AOC是等腰三角形，即可求證．（2）根據(jù)勾股定理，求出各邊之間的關(guān)系，即可確定半徑．【詳解】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，QUOTEQUOTE=QUOTE．∴∠A=∠2．又∵OA=OC，∴∠1=∠A．∴∠1＝∠2．（2）∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，CD=6∴∠CEO＝90o，CE＝ED＝3．設(shè)⊙O的半徑是R，EB=2，則OE=R-2∵在Rt△OEC中，QUOTE??2=(???2)2+解得：QUOTE??=134R=13∴⊙O的半徑是QUOTE??=134R=134【點睛】本題考查垂弦定理、圓心角、圓周角的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練運用垂徑定理和圓周角的性質(zhì)進行推理證明和計算．16．（2022秋·廣東中山·九年級校聯(lián)考期中）如圖，AB是QUOTE的直徑，點C為QUOTE的中點，CF為QUOTE的弦，且QUOTE．垂足為E，連接QUOTE????BD交CF于點G，連接CD，AD，BF．(1)求證：QUOTE；(2)若QUOTE????=????=4AD=BE=4【答案】(1)見解析(2)QUOTE4343【分析】（1）根據(jù)弧與弦的關(guān)系證明QUOTE????=????CD=BF，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，證明QUOTE，結(jié)合對頂角相等，根據(jù)AAS證明：△BFG≌△CDG；（2）連接OF，設(shè)⊙O的半徑為r,由CF=BD列出關(guān)于r的勾股方程即可求解；【詳解】（1）證明：∵點C為QUOTE的中點，∴QUOTE，∵AB是QUOTE的直徑，且QUOTE∴QUOTE∴QUOTE∴QUOTE????=????CD=在△BFG和△CDG中，∵△BFG≌△CDG（AAS）；（2）如圖，連接OF，設(shè)⊙O的半徑為r,Rt△ADB中，QUOTE????2=????2-????2BD2Rt△OEF中，QUOTE????2=????2+????2OF2∵QUOTE，∴QUOTE，即QUOTE，∴QUOTE????=????BD=CF∴QUOTE????2=????2即QUOTE(2??)2-42=4解得：r=2（舍）或6，∴QUOTE????2=????∴QUOTE????=43BF=43【點睛】此題考查了圓周角定理、垂徑定理、三角形全等的性質(zhì)和判定以及勾股定理，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋·北京·九年級北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校?？计谀┤鐖D，在⊙O中，QUOTE＝QUOTE，CD⊥OA于點D，CE⊥OB于點E．(1)求證：CD＝CE；(2)若∠AOB＝120°，OA＝2，求四邊形DOEC的面積．【答案】(1)見解析(2)QUOTE33【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得到∠AOC＝∠BOC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OD，根據(jù)勾股定理求出CD，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【詳解】（1）證明：連接OC，∵QUOTE＝QUOTE，∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD＝CE；（2）解：∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∵∠CDO＝90°，∴∠OCD＝30°，∴OD＝QUOTE1212OC＝1，∴CD＝QUOTE????2?????2OC2?OD2＝QUOTE22?1222∴△OCD的面積＝QUOTE1212×OD×CD＝QUOTE3232，同理可得，△OCE的面積＝QUOTE1212×OE×CE＝QUOTE3232，∴四邊形DOEC的面積＝QUOTE32脳2=332【點睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系定理、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)，在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．18．（2022秋·安徽·九年級校聯(lián)考期末）如圖，QUOTE????AB是QUOTE鈯橭鈯橭的直徑，C是弧QUOTE????BD的中點，QUOTE????鈯??CE鈯B于點E，QUOTE????BD交QUOTE????CE于點F．(1)求證：QUOTE????=????CF=BF；(2)若QUOTE????=2CD=2，QUOTE????=4AC=4，求QUOTE鈯橭鈯橭的半徑及QUOTE????CE的長．【答案】(1)見解析(2)⊙O的半徑為QUOTE55，QUOTE????=455CE=455【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等可證QUOTE，根據(jù)QUOTE????鈯??CE鈯B證明QUOTE鈭燙????+鈭燗????=90擄鈭燙BD+鈭燗CE=90擄，再利用直徑所對的圓周角等于QUOTE90擄90擄，證明QUOTE鈭燘????+鈭燗????=90擄鈭燘CF+鈭燗CE=90擄，等量代換即可證明QUOTE，再利用等角對等邊即可證明QUOTE????=????CF=BF；（2）證明QUOTE????=????=2CD=CB=2，再利用QUOTE，即可求出QUOTE????CE．【詳解】（1）證明：∵C是QUOTE的中點，∴QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE????鈯??CE鈯B，∴QUOTE鈭燙????+鈭燗????=90擄鈭燙AB+鈭燗CE=90擄，∴QUOTE鈭燙????+鈭燗????=90擄鈭燙BD+鈭燗CE=90擄，∵QUOTE????AB是QUOTE鈯橭鈯橭的直徑，∴QUOTE鈭燗????=90擄鈭燗CB=90擄，∴QUOTE鈭燘????+鈭燗????=90擄鈭燘CF+鈭燗CE=90擄，∴QUOTE，∴QUOTE????=????CF=BF．（2）解：∵QUOTE，∴QUOTE????=????CD=CB，∵QUOTE????=2CD=2，∴QUOTE????=????=2CD=CB=2，∵QUOTE????AB是QUOTE鈯橭鈯橭的直徑，∴QUOTE鈭燗????=90擄鈭燗CB=90擄，∵QUOTE????=4AC=4，∴QUOTE????=22+42=2∴⊙O的半徑為QUOTE55．∵QUOTE????鈯??CE鈯B，∴QUOTE，即QUOTE，解得QUOTE????=455CE=4【點睛】本題考查圓與三角形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握等弧對等弦，直徑所對的圓周角等于QUOTE90擄90擄，等角對等邊，勾股定理．五、利用圓周角定理推論（半圓（直徑）所對的圓周角是直角）求解（共6小題）19．（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形QUOTE????????ABCD內(nèi)接于QUOTE鈯橭鈯橭，QUOTE????AC為QUOTE鈯橭鈯橭的直徑，QUOTE．(1)試判斷QUOTE的形狀，并給出證明；(2)若QUOTE????=2AB=2，QUOTE????=1AD=1，求QUOTE????CD的長度．【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；證明見解析；(2)QUOTE33；【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根據(jù)等弧對等角可得∠ACB=∠CAB，即可證明；（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；【詳解】（1）證明：∵AC是圓的直徑，則∠ABC=∠ADC=90°，∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，∴∠ACB=∠CAB，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=QUOTE22，∴AC=QUOTE????2+????2=2Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，則CD=QUOTE????2?????2=∴CD=QUOTE33．【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識；掌握等弧對等角是解題關(guān)鍵．20．（2022秋·云南曲靖·九年級?？计谥校┤鐖D，以AB為直徑作QUOTE鈯橭鈯橭，在QUOTE鈯橭鈯橭上取一點C，延長AB至點D，連接DC，QUOTE，過點A作QUOTE????鈯??AE鈯D交DC的延長線于點E．(1)求證：CD是QUOTE鈯橭鈯橭的切線；(2)若QUOTE????=4CD=4，QUOTE????=2DB=2，求AE的長．【答案】(1)見解析(2)AE＝6【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理的推論得到∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，求得∠ACO＝∠DCB，得到∠DCO＝90°，根據(jù)切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；（2）根據(jù)勾股定理求出OB＝3，可得AB＝6，AD＝8，根據(jù)切線長定理得到AE＝CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接OC，如圖，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAD，又∵∠DCB＝∠CAD，∴∠ACO＝∠DCB，∴∠DCB＋∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，∴OC2＋CD2＝OD2，∴OB2＋42＝（OB＋2）2，∴OB＝3，∴AB＝6，AD＝8，∵AE⊥AD，AB是⊙O的直徑，∴AE是⊙O的切線，∵CD是⊙O的切線，∴AE＝CE，∵在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝DE2，∴82＋AE2＝（4＋AE）2，∴AE＝6．【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；也考查了圓周角定理的推論、切線長定理和勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋·江蘇南京·九年級?？计谥校┤鐖D①，在QUOTE中，QUOTE????=????CA=CB，QUOTE??D是QUOTE外接圓QUOTE鈯橭鈯橭上一點，連接QUOTE????CD，過點QUOTE??B作QUOTE，交QUOTE????AD的延長線于點QUOTE??E，交QUOTE鈯橭鈯橭于點QUOTE??F．(1)求證：四邊形QUOTE????????DEFC是平行四邊形；(2)如圖②，若QUOTE????AB為QUOTE鈯橭鈯橭直徑，QUOTE????=7AB=7，QUOTE????=1BF=1，求QUOTE????CD的長．【答案】(1)見解析(2)QUOTE4343【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)，等弧對相等的圓周角，證得QUOTE即可；（2）連接QUOTE????DF，QUOTE????AF，利用平行線的性質(zhì)證得QUOTE鈭燚????+鈭燗????=180擄鈭燚AC+鈭燗CF=180擄，再利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證得QUOTE鈭燗????+鈭燗????=180擄鈭燗DF+鈭燗CF=180擄，得到QUOTE，再利用圓周角定理得到QUOTE????=????AF=CD，最后在QUOTE中即可求解．【詳解】（1）證明：∵QUOTE，∴QUOTE鈭燗????=鈭燛鈭燗DC=鈭燛，∵QUOTE????=????CA=CB，∴QUOTE∵QUOTE，∴QUOTE鈭燛=鈭燙????鈭燛=鈭燙FB，∴QUOTE，∴四邊形QUOTE????????DEFC是平行四邊形；（2）連接QUOTE????DF，QUOTE????AF，如圖所示，∵QUOTE，∴QUOTE鈭燚????+鈭燗????=180擄鈭燚AC+鈭燗CF=180擄，∵四邊形QUOTE????????ACFD是QUOTE鈯橭鈯橭的內(nèi)接四邊形，∴QUOTE鈭燗????+鈭燗????=180擄鈭燗DF+鈭燗CF=180擄，∴QUOTE，∴QUOTE????=????AF=CD，∵QUOTE????AB為QUOTE鈯橭鈯橭直徑，∴QUOTE鈭燗????=90擄鈭燗FB=90擄，∵QUOTE????=7AB=7，QUOTE????=1BF=1，∴QUOTE????=????2?????2∴QUOTE????=????=43CD=AF=43【點睛】本題是一道圓的知識的綜合題，考查了圓周角定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋·福建南平·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD為菱形，以AD為直徑作⊙O交AB于點F，連接DB交⊙O于點H，過點D作⊙O的切線交BC于點E．(1)求證：AF=CE；(2)若BF=2，QUOTE????=5DH=5，求⊙O的半徑．【答案】(1)見解析(2)QUOTE5252【分析】（1）連接DF，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．再由切線的性質(zhì)，可得∠CED=∠ADE=90°．可證得△DAF≌△DCE．即可求證；（2）連接AH，DF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得QUOTE????=2????=25BD=2DH=25．在Rt△ADF和Rt△BDF中，根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接DF，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．∵DE是⊙O的切線，∴∠ADE=90°．∵AD∥BC，∴∠CED=∠ADE=90°．∵AD是⊙O的直徑，∴∠DFA=90°．∴∠AFD=∠CED=90°．在△DAF和△DCE中，QUOTE，∴△DAF≌△DCE（AAS）．∴AF=CE．（2）解：如圖，連接AH，DF，∵AD是⊙O的直徑，∴∠AHD=∠DFA=90°．∵AD=AB，QUOTE????=5DH=5，∴QUOTE????=2????=25BD=2DH=25．在Rt△ADF和Rt△BDF中，由勾股定理，得DF2=AD2－AF2，DF2=BD2－BF2，∴AD2－AF2=BD2－BF2．∴AD2－（AD－BF）2=BD2－BF2．∴QUOTE????2?(?????2)2=∴AD=5．∴⊙O的半徑為QUOTE5252．【點睛】本題考查了圓的綜合，涉及了圓周角定理，菱形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列方程解決問題．23．（2022秋·福建福州·九年級?？计谀┤鐖D，AB為QUOTE鈯橭鈯橭的直徑，點C在QUOTE鈯橭鈯橭上，連接AC，BC，過點O作QUOTE????鈯??OD鈯C于點D，過點C作QUOTE鈯橭鈯橭的切線交OD的延長線于點E．（1）求證：QUOTE鈭燛=鈭燘鈭燛=鈭燘；（2）連接AD．若QUOTE????=45CE=45，QUOTE????=8BC=8，求AD的長．【答案】（1）證明見解析；（2）AD=4QUOTE22【分析】（1）連接OC通過垂徑定理和等腰三角形性質(zhì)證明∠E=∠B（2）連接AD通過計算發(fā)現(xiàn)BC=EC，再通過證明△CED≌△ABC得到AC=DC=4．【詳解】（1）證明：連接OC如圖：OD⊥CB∴OB=OC，∠B=OCD又CE為圓O的切線∴OC⊥CE∴∠ECD+∠DCO=∠ECD+∠E=90°∴∠E=∠DCO=∠B∴∠E=∠B（2）連接AD如圖∵△EDC為Rt△∴DE=QUOTE????2?????2=由（1）得∠E=∠B又AB為直徑∴∠BCA=90°在△CED和△ABC中∵QUOTE∴△CED≌△ABC（AAS）∴AC=DC=QUOTE12????12BC∴QUOTE????=2????=42AD=【點睛】本題考查垂徑定理和全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握這些是本題解題關(guān)鍵．24．（2022秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠ACB的平分線與AB交于點E，與⊙O交于點D，P為AB延長線上一點，且∠PCB＝∠PAC．（1）試判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半徑及AD的長．【答案】（1）證明見詳解；（2）OA=OB=QUOTE55；QUOTE????=52AD=52．【分析】（1）連結(jié)OC，由OA=OC，可得∠ACO=∠CAO=∠BCP，由AB為⊙O的直徑，可得∠ACO+∠OCB=90°，可證∠OCP=90°即可；（2）連結(jié)BD，由AB為⊙O的直徑，可得∠ACB=90°，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，由勾股定理AB=QUOTE????2+????2=10AC2+BC2=10，可求OA=OB=QUOTE12????=512AB=5；由CD是∠ACB的平分線，可得∠ACD=∠BCD，可得QUOTE，可得AD=BD，【詳解】解：（1）連結(jié)OC，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=∠BCP，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，∴∠BCP+∠OCB=90°，∴∠OCP=90°，∴直線PC是⊙O的切線；（2）連結(jié)BD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∴AB=QUOTE????2+????2=8∴OA=OB=QUOTE12????=512AB=5∵CD是∠ACB的平分線，∴∠ACD=∠BCD，∴QUOTE，∴AD=BD，∠ADB=90°，在Rt△ADB中，QUOTE????=????2+????2∴QUOTE????=????2=102【點睛】本題考查圓的切線判定，直徑所對圓周角是直角，角平分線定義，圓周角弧弦關(guān)系，勾股定理，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，掌握圓的切線判定，直徑所對圓周角是直角，角平分線定義，圓周角弧弦關(guān)系，勾股定理是解題關(guān)鍵．六、利用圓周角定理推論（90°的圓周角所對的弦是直徑）求解（共3小題）25．（2022秋·北京·九年級日壇中學(xué)校考期中）如圖，QUOTE??D是等腰三角形QUOTE??????ABC底邊的中點，過點QUOTE作QUOTE．(1)求證：QUOTE????AB是QUOTE的直徑；(2)延長QUOTE????CB交QUOTE于點QUOTE??E，連接QUOTE????DE，求證：QUOTE????=????DC=DE；【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)QUOTE7575【分析】（1）連接QUOTE????BD；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和圓周角定理的推論即可證明；（2）根據(jù)等腰三角形的兩底角相等以及同弧所對的圓周角相等可證QUOTE鈭燛=鈭燙鈭燛=鈭燙；從而得出結(jié)論；（3）先證明QUOTE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出QUOTE????CE的長，進而得出結(jié)果；【詳解】（1）證明：如圖，連接QUOTE????BD；在等腰QUOTE中，QUOTE??D為底邊QUOTE????AC的中點，QUOTE????=????BA=BCQUOTE鈭碆??鈯??鈭碆D鈯C，即：QUOTE鈭燘????=90擄鈭燘DA=90擄∴QUOTE????AB是QUOTE鈯橭鈯橭的直徑（2）證明：在等腰QUOTE中，QUOTE鈭燗=鈭燙鈭燗=鈭燙QUOTE均為QUOTE所對的圓周角QUOTEQUOTE26．（2022秋·廣東潮州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，QUOTE中，QUOTE鈭燗????=90擄鈭燗CB=90擄，按要求完成下列問題：(1)作出QUOTE鈻矨????鈻矨BC的外接圓QUOTE；（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫出作法）；(2)在（1）的條件下，若CD平分QUOTE鈭燗????鈭燗CB，CD交QUOTE于點D，連接AD，BD．求證：QUOTE????=????AD=BD．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作線段AB的垂直平分線與AB的交點即為圓心O；（2）根據(jù)角平分線的意義可得QUOTE，根據(jù)圓周角定理可得QUOTE，QUOTE，等量代換可得QUOTE，根據(jù)同圓中圓心角相等可得QUOTE????=????AD=BD．【詳解】（1）如圖，QUOTE鈯橭鈯橭為所求；（2）如圖，連接OD，∵CD平分QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE，QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE????=????AD=BD．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，90°的圓周角所對的弦是圓的直徑，圓周角定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．27．（2022秋·安徽安慶·九年級期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點O是AB的中點．(1)若以點O為圓心，以R為半徑作⊙O，且點A，B，C都在⊙O上，求R的值；(2)若以點B為圓心，以r為半徑作⊙B，且點O，A，C中有兩個點在⊙B內(nèi)，有一個點在⊙B外，求r的取值范圍．【答案】(1)R=5(2)8＜r＜10【分析】（1）利用勾股定理可得AB=10，根據(jù)∠ACB＝90°可得AB為⊙O的直徑，即可得答案；（2）根據(jù)BC、BO、BA的長可得點O、C在⊙B內(nèi)部，點A在⊙B外，進而可得答案．【詳解】（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=QUOTE????2+????2∵∠ACB＝90°，點A，B，C都在⊙O上，∴AB為⊙O的直徑，∴R=QUOTE1212AB=5．（2）∵點O是AB的中點，AB=10，∴BO=QUOTE1212AB=5，∴BO＜BC＜BA，∵點O，A，C中有兩個點在⊙B內(nèi)，有一個點在⊙B外，∴點O、C在⊙B內(nèi)部，點A在⊙B外，∴8＜r＜10．【點睛】本題考查圓周角定理、點和圓的位置關(guān)系及勾股定理，熟練掌握直角所對的弦是直徑是解題關(guān)鍵．七、已知圓內(nèi)接四邊形求角度（共5小題）28．（2022秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形QUOTE????????ABCD是QUOTE的內(nèi)接四邊形．QUOTE????DB平分QUOTE鈭燗????鈭燗DC，連接QUOTE????,????鈯??OC,OC鈯D．(1)求證：QUOTE????=????AB=CD；(2)若QUOTE，求QUOTE鈭燗????鈭燗DB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)QUOTE33擄33擄【分析】（1）根據(jù)QUOTE????DB平分QUOTE，可得QUOTE，再根據(jù)QUOTE????鈯??OC鈯D，可得QUOTE，從而得到QUOTE，即可．（2）根據(jù)圓的內(nèi)切四邊形，對角互補，求出QUOTE，再利用垂徑定理，可得QUOTE????=????BC=DC，可得到QUOTE，即可求解．【詳解】（1）證明：∵QUOTE????DB平分QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE????鈯??OC鈯D，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE????=????AB=CD；（2）解：QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭礝??鈯??鈭礝C鈯D，∴QUOTE，QUOTE鈭碆??=????鈭碆C=DC，QUOTE，QUOTE平分QUOTE，QUOTE鈭粹垹??????=鈭燗????=33擄鈭粹垹BDC=鈭燗DB=33擄．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理．29．（2022秋·山東德州·九年級?？计谀┤鐖D，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，OC＝2，AC＝2QUOTE22．（1）求點O到AC的距離；（2）求∠ADC的度數(shù)．【答案】（1）QUOTE22；（2）QUOTE.【分析】（1）連接OA，作OH⊥AC于H，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠AOC=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答；（2）根據(jù)圓周角定理求出∠B，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算，得到答案．【詳解】解：（1）連接OA，作OH⊥AC于H，OA2+OC2=8，AC2=8，∴OA2+OC2=AC2，∴△AOC為等腰直角三角形，QUOTE

∴OH=QUOTE1212AC=QUOTE22，即點O到AC的距離為QUOTE22；（2）QUOTEQUOTE∠B=QUOTE1212∠AOC=45°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ADC=180°-45°=135°．【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理的逆定理，掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補是解本題的關(guān)鍵．30．（2022秋·河南焦作·九年級?？计谀┰赗t△ABC中，AC＝BC，將線段CA繞點C旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段CD，連接AD、BD．(1)如圖1，將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α，則∠ADB的度數(shù)為；(2)將線段CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α?xí)r①在圖2中依題意補全圖形，并求∠ADB的度數(shù)；②若∠BCD的平分線CE交BD于點F，交DA的延長線于點E，連結(jié)BE．用等式表示線段AD、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)135°(2)（2）①補全圖形見解析；∠ADB=45°；②2BE-AD=QUOTE22CE．理由見解析【分析】（1）由題意得點A、D、B都在以C為圓心，CA為半徑的⊙C上，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求解；（2）①根據(jù)題意補全圖形即可；同（1），利用圓周角定理即可求解；②過點C作CH⊥EC于點C，交ED的延長線于點H，證明BE=DE，△CEH是等腰直角三角形，推出EH=2BE-AD，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意得：CA=CD=CB，∴點A、D、B都在以C為圓心，CA為半徑的⊙C上，如圖，在優(yōu)弧QUOTE????AB上取點G，連接AG，BG，∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，∴∠BGA=45°，∵四邊形ADBG是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADB=180°-45°=135°，故答案為：135°；（2）①補全圖形，如圖：由題意得：CA=CD=CB，∴點A、D、B都在以C為圓心，CA為半徑的⊙C上，如圖，∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，∴∠ADB=45°；②2BE-AD=QUOTE22CE．理由如下：過點C作CH⊥EC于點C，交ED的延長線于點H，如圖：∵CD=CB，CE是∠BCD的平分線，∴CE是線段BD的垂直平分線，∴BE=DE，∠EFD=90°，由①知∠ADB=45°，∴∠DEF=45°，∴△CEH是等腰直角三角形，∴∠DEF=∠H=45°，CE=CH，∵CD=CA，∴∠CAD=∠CDA，則∠CAE=∠CDH，∴△AEC≌△DHC，∴AE=DH，∴EH=2ED-AD=2BE-AD，∵△CEH是等腰直角三角形，∴2BE-AD=QUOTE22CE．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形和等腰直角三角形解決問題．31．（2022秋·廣東廣州·九年級鐵一中學(xué)?？计谀┮阎篞UOTE是QUOTE鈻矨????鈻矨BC的外接圓，且QUOTE，QUOTE鈭燗????=60擄鈭燗BC=60擄，D為QUOTE上一動點．(1)如圖1，若點D是QUOTE的中點，QUOTE鈭燚????鈭燚BA等于多少？(2)過點B作直線QUOTE????AD的垂線，垂足為點E．①如圖2，若點D在QUOTE上，求證：QUOTE????=????+????CD=DE+AE．②若點D在QUOTE上，當(dāng)它從點A向點C運動且滿足QUOTE????=????+????CD=DE+AE時，求QUOTE鈭燗????鈭燗BD的最大值．【答案】(1)QUOTE30擄30擄(2)①證明見解析；②QUOTE30擄30擄【分析】（1）連接QUOTE????BD，根據(jù)QUOTE可得QUOTE，再根據(jù)圓周角定理進行求解即可；（2）①過B作QUOTE????鈯??BH鈯D于點H，則QUOTE鈭燘????=鈭燘????=90擄鈭燘HC=鈭燘HD=90擄，證明QUOTE和QUOTE即可求解；②連接QUOTE????BO并延長QUOTE鈯橭鈯橭交于點I，則點D在QUOTE上，證明QUOTE和QUOTE即可求解；【詳解】（1）如圖1中，連接QUOTE????BD．∵QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE鈭燗????=60擄鈭燗BC=60擄，∴QUOTE鈭燘????=60擄鈭燘CA=60擄，∵D是QUOTE的中點，∴QUOTE鈭燚????=30擄鈭燚CA=30擄，∵QUOTE，∴QUOTE鈭燚????=鈭燚????=3