蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點(diǎn)大串講專題06正多邊形與圓、弧長(zhǎng)與扇形面積、圓錐的側(cè)面積【考題猜想34題9種題型】(原卷版+解析)

06正多邊形與圓、弧長(zhǎng)與扇形面積、圓錐的側(cè)面積（34題9種題型）一、正多邊形與圓有關(guān)的計(jì)算（共7小題）1．（2022秋·江蘇徐州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖M、N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCDEFG…的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BM＝CN，連接OM、ON（1）求圖1中∠MON的度數(shù)（2）圖2中∠MON的度數(shù)是，圖3中∠MON的度數(shù)是（3）試探究∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系是____2．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形的中心為原點(diǎn)O，頂點(diǎn)在x軸上，半徑為．求其各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點(diǎn)A的三條對(duì)角線四等分∠BAF．(2)設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．4．（2022秋·江蘇徐州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)、都在格點(diǎn)上，以為圓心，為半徑做圓，只用無刻度的直尺完成以下畫圖．(1)在圖①中畫的一個(gè)內(nèi)接正四邊形，___________；(2)在圖②中畫的一個(gè)內(nèi)接正六邊形，__________．5．（2022秋·寧夏吳忠·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形是半徑為R的圓內(nèi)接四邊形，若，求正方形的邊長(zhǎng)與邊心距．6．（2022秋·江西南昌·九年級(jí)南昌市第二十八中學(xué)校聯(lián)考期末）圓周率的故事我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽通過“割圓術(shù)”來估計(jì)圓周率的值——“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，可以理解為當(dāng)正多邊形的邊數(shù)越來越多時(shí)，該正多邊形與它的外接圓越來越“接近”，這樣就可以用正多邊形的周長(zhǎng)替代它的外接圓的周長(zhǎng)，從而估算出圓周率的值．（1）對(duì)于邊長(zhǎng)為a的正方形，其外接圓半徑為_________，根據(jù)故事中的方法，用該正方形的周長(zhǎng)4a替代它的外接圓周長(zhǎng)，利用公式，可以估算_________．（2）類比（1），當(dāng)正多邊形為正六邊形時(shí)，估計(jì)的值．7．（2023春·浙江臺(tái)州·九年級(jí)?？计谥校├罾蠋煄ьI(lǐng)班級(jí)同學(xué)進(jìn)行拓廣探索，通過此次探索讓同學(xué)們更深刻的了解的意義．(1)[定義]我們將正n邊形的周長(zhǎng)L與正多邊形對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)C的比值，稱作這個(gè)正n邊形的“正圓度”．如圖，正三角形的邊長(zhǎng)為1，求得其內(nèi)切圓的半徑為，因此___________；(2)[探索]分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”；(3)[總結(jié)]隨著n的增大，具有怎樣的規(guī)律，試通過計(jì)算，結(jié)合圓周率的誕生，簡(jiǎn)要概括．二、計(jì)算扇形的弧長(zhǎng)（共3小題）8．（2023秋·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，半徑弦，垂足為點(diǎn)D，連．

(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．QUOTEQUOTE9．（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，內(nèi)接于⊙O，交⊙O于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接．(1)求證：；(2)若⊙O的半徑為3，，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．10．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)，，．(1)該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為______．(2)求弧ABC的長(zhǎng)．三、求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度（共3小題）11．（2023秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為一個(gè)長(zhǎng)度單位，以點(diǎn)O建立平面直角坐標(biāo)系，若繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到（A和是對(duì)應(yīng)點(diǎn)）

(1)畫出；(2)點(diǎn)坐標(biāo)為______，點(diǎn)坐標(biāo)為______；(3)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為______．12．（2023秋·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，將線段AB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．13．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，且AO=4，點(diǎn)C在半圓上，OC⊥AB，垂足為點(diǎn)O，P為半圓上任意一點(diǎn)過P點(diǎn)作PE⊥OC于點(diǎn)E，設(shè)△OPE的內(nèi)心為M，連接OM(1)求∠OMP的度數(shù)；(2)隨著點(diǎn)P在半圓上位置的改變，∠CMO的大小是否改變，說明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)P在半圓上從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，直接寫出內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．四、求扇形面積（共4小題）14．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，是的弦，，P是優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A和點(diǎn)B重合），組成了一個(gè)新圖形（記為“圖形”），設(shè)點(diǎn)P到直線的距離為x，圖形的面積為y．(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)記扇形的面積為，當(dāng)時(shí)．①在圖2中，作出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)P；（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）②在第①題所作圖中，連接，再畫一條線，將圖形分成面積相等的兩部分．（畫圖工具不限，寫出必要的文字說明．）15．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表．其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積的公式為：弧田面積（弦×矢+矢2）．如圖，弧田由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．按照上述公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差．現(xiàn)有圓心角為，弦長(zhǎng)的弧田．（1）計(jì)算弧田的實(shí)際面積．（2）按照《九章算術(shù)》中弧田面積的公式計(jì)算所得結(jié)果與（1）中計(jì)算的弧田實(shí)際面積相差多少平方米?（取近似值為3，近似值為1.7）16．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，弓形是由和弦所圍成的圖形，弓形的高是的中點(diǎn)到的距離，點(diǎn)是所在圓的圓心，，弓形的高為．(1)求的半徑；(2)經(jīng)測(cè)量的度數(shù)約為，則弓形的面積為__________．17．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖，AB為的直徑，點(diǎn)C、D在上，且，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)求圖中陰影部分的面積．五、求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積（共3小題）18．（2022春·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖所示，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C在小正方形的頂點(diǎn)上．將△ABC向下平移2個(gè)單位得到△A1B1C1，然后將△A1B1C1繞點(diǎn)C1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C1．(1)在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1和△A2B2C1；(2)計(jì)算線段A1C1在變換到A2C1的過程中掃過區(qū)域的面積．19．（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中點(diǎn)A（5，4），B（1，3），將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1OB1．（1）畫出△A1OB1；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為______；（3）求在旋轉(zhuǎn)過程中線段AB、BO掃過的圖形的面積之和．20．（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1個(gè)單位），的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出的外接圓的圓心的位置，并填寫：①圓心的坐標(biāo)：（_______，_______）；②的半徑為_______．(2)將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，畫出圖形，并求線段掃過的圖形的面積．六、求不規(guī)則圖形面積（共5小題）21．（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點(diǎn)D，E，過點(diǎn)D作⊙O的切線DF，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：DF⊥AC；（2）若⊙O的半徑為4，∠CDF=22.5°，求陰影部分的面積．22．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)D，分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若BD=2，BF=2，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．23．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線l經(jīng)過⊙O上一點(diǎn)C，點(diǎn)A、B在直線l上，且OA＝OB，CA＝CB．(1)直線l與⊙O相切嗎？請(qǐng)說明理由；(2)若OC＝AC，⊙l的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．24．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，∠ACB＝60°．(1)求∠P的度數(shù)；(2)若⊙O的半徑長(zhǎng)為4cm，求圖中陰影部分的面積．25．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，已知扇形紙片，，半徑．(1)求扇形的面積及圖中陰影部分的面積；(2)如圖2，在扇形的內(nèi)部，與，都相切，且與只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)我們稱為扇形的內(nèi)切圓，試求的面積；(3)如圖3，在扇形紙片中，剪出一個(gè)扇形，若用剪得的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，能否從剪下的余料中，再剪出一個(gè)圓作為這個(gè)圓錐的底面，并使得這個(gè)圓錐的表面積最大，若能，請(qǐng)求出這個(gè)圓錐的表面積；若不能，請(qǐng)說明理由．七、求圓錐的側(cè)面積（共3小題）26．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）實(shí)踐操作如圖，是直角三角形，，利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中表明相應(yīng)的字母．（保留作圖痕跡，不寫作法）（1）①作的平分線，交于點(diǎn)；②以為圓心，為半徑作圓．綜合運(yùn)用在你所作的圖中，（2）與⊙的位置關(guān)系是；（直接寫出答案）（3）若，，求⊙的半徑．（4）在（3）的條件下，求以為軸把△ABC旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐的側(cè)面積．27．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝需要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中，將扇形EAF圍成圓錐時(shí)，AE、恰好重合，已知這種加工材料的頂角．(1)求圖2中圓錐底面圓直徑ED與母線AD長(zhǎng)的比值；(2)若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖3中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留π）28．（2021秋·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某種規(guī)格小紙杯的側(cè)面是由一半徑為、圓心角是的扇形剪去一半徑的同心圓扇形所圍成的（不計(jì)接縫）（如圖1）．（1）求紙杯的底面半徑和側(cè)面積（結(jié)果保留）；（2）要制作這樣的紙杯側(cè)面，如果按照?qǐng)D2所示的方式剪裁（不允許有拼接），至少要用多大的矩形紙片？（3）如圖3，若在一張半徑為的圓形紙片上剪裁這樣的紙杯側(cè)面（不允許有拼接），最多能裁出多少個(gè)？八、求圓錐的底面半徑（共3小題）29．（2023秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中建立一直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A、B、C，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中進(jìn)行下列操作：（1）利用網(wǎng)格確定該圓弧所在圓的圓心D點(diǎn)的位置，則D點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）連接AD、CD，則⊙D的半徑為(結(jié)果保留根號(hào))，∠ADC的度數(shù)為；（3）若扇形DAC是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐底面半徑．(結(jié)果保留根號(hào))．

30．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在一張四邊形的紙片中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓分別與交于點(diǎn)．(1)求證：與相切；(2)過點(diǎn)B作的切線；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(3)若用剪下的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，能否從剪下的兩塊余料中選取一塊，剪出一個(gè)圓作為這個(gè)圓錐的底面？31．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在半徑為的圓形紙片中，剪出一個(gè)圓心角為的扇形（圖中的陰影部分）．(1)求這個(gè)扇形的半徑；(2)若用剪得的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，求所圍成圓錐的底面圓半徑．九、圓錐側(cè)面積的最短路徑問題（共3小題）32．（2018秋·甘肅定西·九年級(jí)校聯(lián)考期末）圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為6,一只螞蟻要從底面圓周上一點(diǎn)B出發(fā),沿圓錐側(cè)面爬行一圈再回到點(diǎn)B,問它爬行的最短路線是多少?33．（2021秋·云南玉溪·九年級(jí)校考期末）如圖1，圓錐底面圓半徑為1，母線長(zhǎng)為4，圖2為其側(cè)面展開圖．（1）求陰影部分面積（π可作為最后結(jié)果）；（2）母線SC是一條蜜糖線，一只螞蟻從A沿著圓錐表面最少需要爬多遠(yuǎn)才能吃到蜜糖？34．（2011秋·廣東汕頭·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，已知圓錐底面半徑r=10cm，母線長(zhǎng)為40cm．（1）求它的側(cè)面展開圖的圓心角和表面積．（2）若一甲出從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓錐側(cè)面行到母線SA的中點(diǎn)B，請(qǐng)你動(dòng)腦筋想一想它所走的最短路線是多少？為什么？

06正多邊形與圓、弧長(zhǎng)與扇形面積、圓錐的側(cè)面積（34題9種題型）一、正多邊形與圓有關(guān)的計(jì)算（共7小題）1．（2022秋·江蘇徐州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖M、N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCDEFG…的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BM＝CN，連接OM、ON（1）求圖1中∠MON的度數(shù)（2）圖2中∠MON的度數(shù)是，圖3中∠MON的度數(shù)是（3）試探究∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系是____【答案】（1）；（2），；（3）．【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)圓內(nèi)接正三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)圓內(nèi)接正三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)角的和差、等量代換即可得；（2）如圖（見解析），先根據(jù)圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)（1）同樣的方法可得；先根據(jù)圓內(nèi)接正五邊形的性質(zhì)可得中心角，再根據(jù)（1）同樣的方法可得；（3）根據(jù)（1）、（2）歸納類推出一般規(guī)律即可得．【詳解】（1）如圖，連接OB、OC，則，是內(nèi)接正三角形，中心角，∵點(diǎn)O是內(nèi)接正三角形ABC的內(nèi)心，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）如圖1，連接OB、OC，四邊形ABCD是內(nèi)接正方形，中心角，同（1）的方法可證：；如圖2，連接OB、OC，五邊形ABCDE是內(nèi)接正五邊形，中心角，同（1）的方法可證：，故答案為：，；（3）由上可知，的度數(shù)與正三角形邊數(shù)的關(guān)系是，的度數(shù)與正方形邊數(shù)的關(guān)系是，的度數(shù)與正五邊形邊數(shù)的關(guān)系是，歸納類推得：的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的中心角、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握正多邊形中心角的求法是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形的中心為原點(diǎn)O，頂點(diǎn)在x軸上，半徑為．求其各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F(xiàn)（－1，）【分析】過點(diǎn)E作EG⊥x軸，垂足為G，連接OE，得出△OED是正三角形，再利用Rt△OEG中，OG＝OE，EG＝，得出結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)E作EG⊥x軸，垂足為G，連接OE，∵OE=OD，∠EOD=，∴△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°，∵OE＝2cm，∠OGE＝90°，∴OG＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，），又由題意知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），由圖形的對(duì)稱性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F(xiàn)（－1，）．故這個(gè)正六邊形ABCDEF各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F(xiàn)（－1，）．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的對(duì)稱性，直角三角形30°的角所對(duì)的邊等于斜邊的一半，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這些性質(zhì)．3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點(diǎn)A的三條對(duì)角線四等分∠BAF．(2)設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）如圖，連接AE，AD，AC，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到結(jié)論；（2）如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)⊙O的半徑為r，推出△ODE是等邊三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根據(jù)勾股定理得到OGr，根據(jù)三角形和圓的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接AE，AD，AC，∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，∴EF＝ED＝CD＝BC，∴，∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，∴過頂點(diǎn)A的三條對(duì)角線四等分∠BAF；（2）解：如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)⊙O的半徑為r，∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，∴△ODE是等邊三角形，∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，∴∠EOG＝30°，∴EGr，∴OGr，∴正六邊形ABCDEF的面積＝6rrr2，∵⊙O的面積＝πr2，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·江蘇徐州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)、都在格點(diǎn)上，以為圓心，為半徑做圓，只用無刻度的直尺完成以下畫圖．(1)在圖①中畫的一個(gè)內(nèi)接正四邊形，___________；(2)在圖②中畫的一個(gè)內(nèi)接正六邊形，__________．【答案】(1)圖見解析，32(2)圖見解析，【分析】（1）只需要作直徑、，并使得即可；（2）如圖所示，取格點(diǎn)B，C，D，E，F(xiàn)，然后順次連接A、B、C、D、E、F得到正六邊形，再求出求面積．【詳解】（1）解：如圖所示，正四邊形即為所求；，故答案為32；（2）解：如圖所示，正六邊形即為所求；過點(diǎn)O作于H，∵正六邊形，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形和圓，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟知正多邊形和圓的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·寧夏吳忠·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形是半徑為R的圓內(nèi)接四邊形，若，求正方形的邊長(zhǎng)與邊心距．【答案】正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，邊心距為．【分析】過點(diǎn)O作，垂足為E，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，然后在中，根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】解：過點(diǎn)O作，垂足為E，∵正方形是半徑為R的⊙O內(nèi)接四邊形，，，．在中，，由勾股定理可得，，，，即半徑為6的圓內(nèi)接正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，邊心距為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，以及勾股定理，正多邊形各邊所對(duì)的外接圓的圓心角都相等，正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角，正n邊形每個(gè)中心角都等于．6．（2022秋·江西南昌·九年級(jí)南昌市第二十八中學(xué)校聯(lián)考期末）圓周率的故事我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽通過“割圓術(shù)”來估計(jì)圓周率的值——“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，可以理解為當(dāng)正多邊形的邊數(shù)越來越多時(shí)，該正多邊形與它的外接圓越來越“接近”，這樣就可以用正多邊形的周長(zhǎng)替代它的外接圓的周長(zhǎng)，從而估算出圓周率的值．（1）對(duì)于邊長(zhǎng)為a的正方形，其外接圓半徑為_________，根據(jù)故事中的方法，用該正方形的周長(zhǎng)4a替代它的外接圓周長(zhǎng)，利用公式，可以估算_________．（2）類比（1），當(dāng)正多邊形為正六邊形時(shí)，估計(jì)的值．【答案】（1），；（2）3【分析】（1）由正方形的邊長(zhǎng)AB=a，用勾股定理得求AC=，由直徑等于正方形對(duì)角線長(zhǎng)可得，由正方形的周長(zhǎng)4a等于它的外接圓周長(zhǎng)，可求得即可；（2）設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)AB=m，可知正六邊形的周長(zhǎng)為6m，其外接圓半徑為m．由C=，可得即可．【詳解】（1）正方形的邊長(zhǎng)AB=a，在Rt△ABC中，由勾股定理得，，∴AC=，∴正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，，，∵用該正方形的周長(zhǎng)4a替代它的外接圓周長(zhǎng)，C=，∴，故答案為；；（2）解：設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)AB=m，則該正六邊形的周長(zhǎng)為6m，其外接圓半徑為m．∵C=，∴，所以估算值為3．【點(diǎn)睛】本題考查估算出圓周率的值問題，掌握用正多邊形的周長(zhǎng)替代它的外接圓的周長(zhǎng)，從而估算出圓周率的值是解題關(guān)鍵．7．（2023春·浙江臺(tái)州·九年級(jí)?？计谥校├罾蠋煄ьI(lǐng)班級(jí)同學(xué)進(jìn)行拓廣探索，通過此次探索讓同學(xué)們更深刻的了解的意義．(1)[定義]我們將正n邊形的周長(zhǎng)L與正多邊形對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)C的比值，稱作這個(gè)正n邊形的“正圓度”．如圖，正三角形的邊長(zhǎng)為1，求得其內(nèi)切圓的半徑為，因此___________；(2)[探索]分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”；(3)[總結(jié)]隨著n的增大，具有怎樣的規(guī)律，試通過計(jì)算，結(jié)合圓周率的誕生，簡(jiǎn)要概括．【答案】(1)(2)，(3)隨著n的增大，越來越接近于1，見解析【分析】（1）根據(jù)“正圓度”的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)正方形邊長(zhǎng)和正六邊形的邊長(zhǎng)都為1，求出此情形下對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓半徑，再根據(jù)“正圓度”的定義進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)（1）（2）所求可知隨著n的增大，越來越接近于1，再由張衡和祖沖之對(duì)圓周率的研究即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，，故答案為：；（2）解：假設(shè)正方形邊長(zhǎng)1，∴此時(shí)正方形的內(nèi)切圓半徑為，∴；設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，內(nèi)切圓圓心為O，則，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴；（3）解：，隨著n的增大，越來越接近于1．由張衡、祖沖之的研究，精進(jìn)的取值的方法可知：正多邊形，邊長(zhǎng)數(shù)越多，越接近于圓，因此當(dāng)邊長(zhǎng)增多時(shí)，其周長(zhǎng)L也與對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓周長(zhǎng)更接近，其比值更接近于1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．二、計(jì)算扇形的弧長(zhǎng)（共3小題）8．（2023秋·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，半徑弦，垂足為點(diǎn)D，連．

(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到QUOTE，則根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等即可證明結(jié)論；（2）先利用（1）的結(jié)論得到，再根據(jù)圓周角定理得到，則可判斷為等邊三角形，所以，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】（1）證明：∵半徑弦，∴QUOTE，∴．（2）解：∵，∴，∵,∴為等邊三角形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、扇形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．9．（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，內(nèi)接于⊙O，交⊙O于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接．(1)求證：；(2)若⊙O的半徑為3，，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件可證明四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得，等量代換可得，即可得出答案；（2）連接，由（1）中結(jié)論可計(jì)算出的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理可計(jì)算出的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∴．（2）解：連接，如圖，由（1）得，∵，∴，∴的長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)與弧長(zhǎng)公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，推理能力，幾何直觀等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．10．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)，，．(1)該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為______．(2)求弧ABC的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理結(jié)合網(wǎng)格的性質(zhì)可得答案；（2）借助網(wǎng)格求出圓心角度數(shù)和半徑，再利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由垂徑定理可知，圓心是AB、BC中垂線的交點(diǎn)，由網(wǎng)格可得該點(diǎn)P(2，0)，故答案為：(2，0)；（2）解：連接AC，根據(jù)網(wǎng)格可得，OP=CQ=2，OA=PQ=4，∠AOP=∠PQC=90°，由勾股定理得，AP==PC，∵AP2=22+42=20，CP2=22+42=20，AC2=22+62=40，∴AP2+CP2=AC2，∴∠APC=90°，∴弧ABC的長(zhǎng)為，答：弧ABC的長(zhǎng)為π．【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算、垂徑定理，勾股定理及其逆定理等知識(shí)，掌握垂徑定理以及網(wǎng)格特征是確定圓心坐標(biāo)的關(guān)鍵，求出弧所在圓的半徑和相應(yīng)圓心角度數(shù)是求弧長(zhǎng)的前提．三、求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度（共3小題）11．（2023秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為一個(gè)長(zhǎng)度單位，以點(diǎn)O建立平面直角坐標(biāo)系，若繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到（A和是對(duì)應(yīng)點(diǎn)）

(1)畫出；(2)點(diǎn)坐標(biāo)為______，點(diǎn)坐標(biāo)為______；(3)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為______．【答案】(1)見解析(2)，(3)【分析】（1）分別作出點(diǎn)A、B繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、，順次連接點(diǎn)O、、即可得到；（2）根據(jù)（1）中的圖形寫出點(diǎn)、的坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑，圓心角為的弧長(zhǎng)，勾股定理求出，利用弧長(zhǎng)公式求出點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，

（2）由圖可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，故答案為：，（3）點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑，圓心角為的弧長(zhǎng)，,∴點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)的作圖、弧長(zhǎng)公式、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的作圖和弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，將線段AB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接、，作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，可證明，得，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）由旋轉(zhuǎn)得，，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)，就是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．【詳解】（1）解：連接、，作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，則，將線段繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，，，，在和中，，，，，，點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)的坐標(biāo)是．（2）由旋轉(zhuǎn)得，，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)，作軸于點(diǎn)，，，，，，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查圖形與坐標(biāo)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，且AO=4，點(diǎn)C在半圓上，OC⊥AB，垂足為點(diǎn)O，P為半圓上任意一點(diǎn)過P點(diǎn)作PE⊥OC于點(diǎn)E，設(shè)△OPE的內(nèi)心為M，連接OM(1)求∠OMP的度數(shù)；(2)隨著點(diǎn)P在半圓上位置的改變，∠CMO的大小是否改變，說明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)P在半圓上從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，直接寫出內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．【答案】(1)135°(2)不改變，理由見解析(3)【分析】（1）由內(nèi)心的定義可知∠MOP=∠MOC=∠EOP，∠MPO=∠MPE=∠EPO，求出∠MOP與∠MPO的和為45°，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠OMP的度數(shù)；（2）連接CM，證△COM≌△POM，即得出∠CMO=∠OMP=135°，可知∠CMO的大小不改變，為135°；（3）連接AC，證明△ACO為分別為等腰直角三角形，求出CQ=，∠CQO=90°，分析得出當(dāng)點(diǎn)Q在半徑OC的右側(cè)的半圓上時(shí)，點(diǎn)M的軌跡在以AC為直徑的圓弧上，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求出M所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．【詳解】（1）解：∵OC⊥AB，∴∠OEP=90°，∴∠EOP+∠EPO=90°，∵M(jìn)為△OPE的內(nèi)心，∴∠MOP=∠MOC=∠EOP，∠MPO=∠MPE=∠EPO，∴∠MOP+∠MPO=（∠EOP+∠EPO）=45°，∴∠OMP=180°-（∠MOP+∠MPO）=135°；（2）∠CMO的大小不改變，理由如下：如圖2，連接CM，在△COM和△POM中，，∴△COM≌△POM（SAS），∴∠CMO=∠OMP=135°，∴∠CMO的大小不改變，為135°；（3）如圖3，連接AC，CM，∵CO⊥AB，∴OA=OC，∴△ACO為等腰直角三角形，∴AC=AO=，取AC中點(diǎn)Q，連接OQ，則∠CQO=90°，∴CQ=AC=，∴當(dāng)點(diǎn)P在半徑OC的右側(cè)的半圓上時(shí)，點(diǎn)M的軌跡在以AC為直徑的圓弧上，所對(duì)圓心角為90°，∴=，∴內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)心的定義，全等三角形的判定，弧長(zhǎng)公式等，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意判斷出當(dāng)點(diǎn)P在半徑OC的右側(cè)的半圓上時(shí)，點(diǎn)M的軌跡在以AC為直徑的圓弧上．四、求扇形面積（共4小題）14．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，是的弦，，P是優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A和點(diǎn)B重合），組成了一個(gè)新圖形（記為“圖形”），設(shè)點(diǎn)P到直線的距離為x，圖形的面積為y．(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)記扇形的面積為，當(dāng)時(shí)．①在圖2中，作出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)P；（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）②在第①題所作圖中，連接，再畫一條線，將圖形分成面積相等的兩部分．（畫圖工具不限，寫出必要的文字說明．）【答案】(1)．自變量x的取值范圍是．(2)①圖見詳解②見詳解．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理做輔助線，分別求出、、，然后由面積的和差關(guān)系建立等式即可；（2）①扇形的面積為，當(dāng)時(shí),那么根據(jù)同底等高即可；②扇形的面積為，當(dāng)時(shí)，也就是畫一條線把平分，利用同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半即可作圖．【詳解】（1）解：∵在中，是的弦，∴．∵，∴是等邊三角形，．如圖1，過點(diǎn)O作，垂足為C．則．在中，．根據(jù)勾股定理，得．∴．又∵，是等邊三角形且邊長(zhǎng)是2，∴．又∵點(diǎn)P到直線的距離為x，，∴．∴圖中的陰影部分的面積．自變量x的取值范圍是．（2）解：①如圖2所示，點(diǎn)（或）即為所求（只要求作出一種情形即可）；②以點(diǎn)的情況為例，過點(diǎn)O作，垂足為C，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D．連接，則折線即為所求．弧線的畫法：以點(diǎn)的情況為例，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)F．則即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查圓章節(jié)的垂直定理性質(zhì)以及三角形扇形面積公式等知識(shí)內(nèi)容，掌握面積等量代換是解題作圖的關(guān)鍵．15．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表．其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積的公式為：弧田面積（弦×矢+矢2）．如圖，弧田由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．按照上述公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差．現(xiàn)有圓心角為，弦長(zhǎng)的弧田．（1）計(jì)算弧田的實(shí)際面積．（2）按照《九章算術(shù)》中弧田面積的公式計(jì)算所得結(jié)果與（1）中計(jì)算的弧田實(shí)際面積相差多少平方米?（取近似值為3，近似值為1.7）【答案】（1）弧田的實(shí)際面積為；（2）按照《九章算術(shù)》中弧田面積的公式計(jì)算所得結(jié)果與（1）中計(jì)算的弧田實(shí)際面積相差．【分析】（1）先利用勾股定理及含的直角三角形的性質(zhì)求解AO與AB的長(zhǎng)度，接著算出的面積，再通過扇形面積公式求解扇形AOB的面積，最后利用割補(bǔ)法求解弧田面積．（2）利用題中的公式求解出弧田面積，然后讓該結(jié)果與題（1）中的結(jié)果相減，求出兩者之差．【詳解】（1）解：弦AB，由垂徑定理可知：平分AB，并且OD還平分．，在中，對(duì)應(yīng)的角的為設(shè)，則．由勾股定理可知：解得（舍去），．，扇形AOB的面積為弧田實(shí)際面積為．（2）解：由題（1）可得圓心到弦的距離等于1，故矢長(zhǎng)為1．按照題中弧田的面積公式得：弧田面積為，∴兩者之差面積之差為．【點(diǎn)睛】本題主要是考查了扇形面積公式以及圓和直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，注意此題利用了割補(bǔ)法求解弧田面積，這是初中數(shù)學(xué)求解面積常用的方法之一，一定要熟練掌握．16．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，弓形是由和弦所圍成的圖形，弓形的高是的中點(diǎn)到的距離，點(diǎn)是所在圓的圓心，，弓形的高為．(1)求的半徑；(2)經(jīng)測(cè)量的度數(shù)約為，則弓形的面積為__________．【答案】(1)(2)【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)的半徑為，根據(jù)垂徑定理可得，，從而得出，然后利用勾股定理建立關(guān)于的方程，最后解方程即可；（2）弓形面積看成扇形面積減去三角形面積即可．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)的半徑為，∵點(diǎn)為圓心，，弓形的高為．∴，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，在中，，∴，解得：．∴的半徑為．（2）∵，，∴．∴弓形的面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚刃蔚拿娣e，三角形的面積等知識(shí)，運(yùn)用了分割法求不規(guī)則圖形面積的解題方法．解題的關(guān)鍵是過圓心作弦的垂線構(gòu)造直角三角形求出圓的半徑．17．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖，AB為的直徑，點(diǎn)C、D在上，且，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得出，再根據(jù)勾股定理求出，由求出，根據(jù)勾股定理求出即可；（2）求出，然后根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵AB為的直徑，∴，∵，，∴，∴，∵在中，，∴，∴，∴；（2）解：∵AB為直徑，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，圓周角定理，扇形的面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，能求出的長(zhǎng)和的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．五、求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積（共3小題）18．（2022春·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖所示，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C在小正方形的頂點(diǎn)上．將△ABC向下平移2個(gè)單位得到△A1B1C1，然后將△A1B1C1繞點(diǎn)C1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C1．(1)在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1和△A2B2C1；(2)計(jì)算線段A1C1在變換到A2C1的過程中掃過區(qū)域的面積．【答案】(1)見解析(2)2π【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和平移的性質(zhì)畫出點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1、C1，則可得到△A1B1C1；然后利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點(diǎn)A1、B1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2、B2，則可得到△A2B2C1；（2）線段A1C1在變換到A2C1的過程中掃過區(qū)域是扇形，于是根據(jù)扇形面積公式可計(jì)算出線段A1C1在變換到A2C1的過程中掃過區(qū)域的面積．(1)解：如圖，△A1B1C1和△A2B2C1為所作；(2)解：由圖可知，線段A1C1在變換到A2C1的過程中掃過區(qū)域的面積為：【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了扇形面積公式，需要熟練掌握．19．（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中點(diǎn)A（5，4），B（1，3），將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1OB1．（1）畫出△A1OB1；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為______；（3）求在旋轉(zhuǎn)過程中線段AB、BO掃過的圖形的面積之和．【答案】（1）畫圖見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1的位置，然后順次連接即可；（2）利用勾股定理列式求OB，再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可得解；（3）利用勾股定理列式求出OA，再根據(jù)AB所掃過的面積=S扇形A1OA+S△A1B1O-S扇形B1OB-S△AOB=S扇形A1OA-S扇形B1OB求解，再求出BO掃過的面積=S扇形B1OB，然后計(jì)算即可得解．【詳解】解：（1）△A1OB1如圖所示；（2）由勾股定理得，BO=，所以，點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)=，故答案為：；（3）由勾股定理得，OA=，∵AB所掃過的面積=S扇形A1OA+S△A1B1O-S扇形B1OB-S△AOB=S扇形A1OA-S扇形B1OBBO掃過的面積=S扇形B1OB，∴線段AB、BO掃過的圖形的面積之和=S扇形A1OA-S扇形B1OB+S扇形B1OB，=S扇形A1OA，=．【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：1.作圖-旋轉(zhuǎn)變換；2.勾股定理；3.弧長(zhǎng)的計(jì)算；4.扇形面積的計(jì)算．20．（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1個(gè)單位），的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出的外接圓的圓心的位置，并填寫：①圓心的坐標(biāo)：（_______，_______）；②的半徑為_______．(2)將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，畫出圖形，并求線段掃過的圖形的面積．【答案】(1)圖見詳解；①，；②(2)圖見解析；線段掃過的圖形的面積為【分析】（1）作、的垂直平分線，兩垂直平分線相交于一點(diǎn)，即為的外接圓的圓心，①根據(jù)圖形，結(jié)合網(wǎng)格的特點(diǎn)，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，②再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和網(wǎng)格的特點(diǎn)，結(jié)合勾股定理，即可求出外接圓的半徑；（2）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，把分別旋轉(zhuǎn)，得出對(duì)應(yīng)線段，然后連接，即可得出，再根據(jù)勾股定理，結(jié)合網(wǎng)格的特點(diǎn)，分別求出和的長(zhǎng)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)推出的面積等于的面積，再根據(jù)線段掃過的圖形的面積為，根據(jù)扇形和三角形的面積公式代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)即為所求，①圓心的坐標(biāo)：，②的半徑為：；故答案為：①，；②（2）解：如圖即為所求圖形，∵由勾股定理得：，，∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴的面積等于的面積，∴線段掃過的圖形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，確定外接圓的圓心、勾股定理、畫旋轉(zhuǎn)圖形、扇形的面積，解本題的關(guān)鍵在充分利用數(shù)形結(jié)合思想解答問題．六、求不規(guī)則圖形面積（共5小題）21．（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點(diǎn)D，E，過點(diǎn)D作⊙O的切線DF，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：DF⊥AC；（2）若⊙O的半徑為4，∠CDF=22.5°，求陰影部分的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）連接，易得，由，易得，等量代換得，利用平行線的判定得，由切線的性質(zhì)得，得出結(jié)論；（2）連接，利用（1）的結(jié)論得，易得，得出，利用扇形的面積公式和三角形的面積公式得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，，，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC．∵DF是⊙O的切線，∴DF⊥OD．∴DF⊥AC．（2）連接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°．∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°．∵OA=OE，∴∠AOE=90°．的半徑為4，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，利用切線性質(zhì)和圓周角定理，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．22．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)D，分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若BD=2，BF=2，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．【答案】（1）直線BC與⊙O相切，證明見解析；（2）【分析】（1）連接OD，證明OD∥AC，即可證得∠ODB=90°，從而證得BC是圓的切線；（2）在直角三角形OBD中，設(shè)OF=OD=x，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為圓的半徑，求出圓心角的度數(shù)，直角三角形ODB的面積減去扇形DOF面積即可確定出陰影部分面積．【詳解】解：（1）BC與⊙O相切．理由如下：連接OD．∵AD是∠BAC的平分線∴∠BAD=∠CAD．∵OD=OA∴∠OAD=∠ODA∴∠CAD=∠ODA∴OD∥AC∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．又∵BC過半徑OD的外端點(diǎn)D，∴BC與⊙O相切；（2）設(shè)OF=OD=x，則OB=OF+BF=x+2．根據(jù)勾股定理得：，即，解得：x=2，即OD=OF=2∴OB=2+2=4．Rt△ODB中∵OD=OB∴∠B=30°∴∠DOB=60°∴S扇形DOF==則陰影部分的面積為S△ODB﹣S扇形DOF==．故陰影部分的面積為．23．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線l經(jīng)過⊙O上一點(diǎn)C，點(diǎn)A、B在直線l上，且OA＝OB，CA＝CB．(1)直線l與⊙O相切嗎？請(qǐng)說明理由；(2)若OC＝AC，⊙l的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)相切，理由見解析(2)4-π【分析】（1）連接OC，證明△AOC≌△BOC，得到∠OCA=∠OCB=90°，根據(jù)切線的判定定理即可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=BC=2，求得AC=OC=BC=AB，再分別計(jì)算△AOB的面積和扇形的面積，相減可得結(jié)果．【詳解】（1）解：相切，理由：如圖，連接OC，在△AOC≌△BOC中，，∴△AOC≌△BOC（SSS），∴∠OCA=∠OCB=90°，∵OC是⊙O的半徑，∴直線AB與⊙O相切；（2）∵△AOC≌△BOC，OC=AC=2，∴AC=BC=2，∴AC=OC=BC=AB，∴∠AOB=90°，∴△AOB的面積為×2×4=4，扇形面積為：=π，∴陰影部分的面積=△AOB的面積-扇形面積=4-π．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，∠ACB＝60°．(1)求∠P的度數(shù)；(2)若⊙O的半徑長(zhǎng)為4cm，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)∠P的度數(shù)為60°(2)圖中陰影部分的面積為【分析】(1)先證明∠APB=180°?∠AOB，根據(jù)∠AOB=2∠ACB求出∠AOB即可解決問題；(2)連接OP，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理得到∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=30°，則根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠AOB=180°?∠APB=120°，再在RtPAO中利用含30度的直角三角形三角函數(shù)關(guān)系得到AP=，則S△PAO=，然后根據(jù)扇形面積公式，利用陰影部分的面積=S四邊形AOBP?S扇形AOB進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）解：如圖，連接OA、OB∵PA、PB是⊙O切線∴PAOA，PBOB∴∠PAO=∠PBO=90∵∠APB+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360∴∠APB=180?∠AOB∵∠ACB=60∴∠AOB=2∠ACB=120∴∠APB=180?120=60（2）解：如圖，連接OP∵PA，PB是⊙O的兩條切線∴OAAP，OBPB，OP平分∠APB∴∠PAO=∠PBO=90，∠APO=×60=30∴∠AOB=180?∠APB=180?60=120在RtPAO中，∵OA=4cm，∠APO=30∴tan30=∴AP=（cm）∴S△PAO=×4×=（cm2）∴陰影部分的面積=S四邊形AOBP?S扇形AOB=2×?=（cm2）【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系；會(huì)利用面積的和差計(jì)算不規(guī)則圖形的面積．解題的關(guān)鍵是輔助線的添加．25．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，已知扇形紙片，，半徑．(1)求扇形的面積及圖中陰影部分的面積；(2)如圖2，在扇形的內(nèi)部，與，都相切，且與只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)我們稱為扇形的內(nèi)切圓，試求的面積；(3)如圖3，在扇形紙片中，剪出一個(gè)扇形，若用剪得的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，能否從剪下的余料中，再剪出一個(gè)圓作為這個(gè)圓錐的底面，并使得這個(gè)圓錐的表面積最大，若能，請(qǐng)求出這個(gè)圓錐的表面積；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)能，當(dāng)時(shí)，有最大值【分析】（1）根據(jù)扇形和等邊三角形的面積公式即可求解；（2）設(shè)與相切于點(diǎn)，連接，，根據(jù)相切兩圓的性質(zhì)得到、、三點(diǎn)共線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，再利用圓的面積公式即可求解；（3）設(shè)圓錐的底圓的半徑為，表面積為，根據(jù)圓的面積公式和二次函數(shù)性質(zhì)即可求解．【詳解】（1），半徑，，，，是等邊三角形，，陰影部分的面積．（2）設(shè)與相切于點(diǎn)，連接，，相切兩圓的連心線必過切點(diǎn)，、、三點(diǎn)共線，，，在中，，，，的半徑．．（3）設(shè)圓錐的底圓的半徑為，表面積為，又，，當(dāng)時(shí)，有最大值．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算，三角形面積的計(jì)算，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．七、求圓錐的側(cè)面積（共3小題）26．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）實(shí)踐操作如圖，是直角三角形，，利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中表明相應(yīng)的字母．（保留作圖痕跡，不寫作法）（1）①作的平分線，交于點(diǎn)；②以為圓心，為半徑作圓．綜合運(yùn)用在你所作的圖中，（2）與⊙的位置關(guān)系是；（直接寫出答案）（3）若，，求⊙的半徑．（4）在（3）的條件下，求以為軸把△ABC旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐的側(cè)面積．【答案】（1）解解析；（2）相切；（3）；（4）.【分析】（1）先作基本圖形（作一個(gè)角的平分線）得到點(diǎn)O，然后作⊙O；（2）作OE⊥AB于E，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得OE=OC，則可根據(jù)切線的判定定理得到AB為⊙O的切線；（3）設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OE=r，先利用勾股定理計(jì)算出AB=13，再利用三角形面積公式得到S△AOB+S△AOC=S△ABC，代入，然后解方程即可；（4）根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得結(jié)論．【詳解】(1)如圖1所示;(2)直線AB與⊙O相切，理由是：如圖1，作OE⊥AB于E，∵AO平分∠BAC，而OE⊥AB，OC⊥AC，∴OE=OC，∴AB為⊙O的切線；故答案為相切；(3)設(shè)⊙O的半徑為r,則OC=OE=r,在Rt△ABC中，∵AC=5，BC=12，∴AB==13，∵S△AOB+S△AOC=S△ABC，∴×13r+×5r=×5×12,解得r=，即⊙O的半徑為.(4)如圖2,S側(cè)=π?AC?AB=π×5×13=65π.【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合題和尺規(guī)作圖，解題的關(guān)鍵是掌握尺規(guī)作圖、切線的判定定理、圓錐的側(cè)面積公式和勾股定理.27．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝需要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中，將扇形EAF圍成圓錐時(shí)，AE、恰好重合，已知這種加工材料的頂角．(1)求圖2中圓錐底面圓直徑ED與母線AD長(zhǎng)的比值；(2)若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖3中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留π）【答案】(1)1：2(2)【分析】（1）根據(jù)弧EF的兩種求法，可得結(jié)論．（2）根據(jù)求解即可．【詳解】（1）由圓錐的底面圓周長(zhǎng)相當(dāng)于側(cè)面展開后扇形的弧長(zhǎng)得：．∴．∴，ED與母線AD長(zhǎng)之比為（2）∵∴答：加工材料剩余部分的面積為【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．28．（2021秋·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某種規(guī)格小紙杯的側(cè)面是由一半徑為、圓心角是的扇形剪去一半徑的同心圓扇形所圍成的（不計(jì)接縫）（如圖1）．（1）求紙杯的底面半徑和側(cè)面積（結(jié)果保留）；（2）要制作這樣的紙杯側(cè)面，如果按照?qǐng)D2所示的方式剪裁（不允許有拼接），至少要用多大的矩形紙片？（3）如圖3，若在一張半徑為的圓形紙片上剪裁這樣的紙杯側(cè)面（不允許有拼接），最多能裁出多少個(gè)？【答案】（1）底面半徑為，側(cè)面積為；（2）需要長(zhǎng)為，寬為的矩形紙片；（3）9個(gè)【分析】（1）要求底面半徑，需先求底面周長(zhǎng)，而底面周長(zhǎng)為圖（1）中的弧長(zhǎng)，相關(guān)數(shù)據(jù)代入弧長(zhǎng)公式即可.而側(cè)面積即為圖（1）中的扇環(huán)，將大扇形面積減去小扇形面積即得；（2）連接，可證得即為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，而所在的為正三角形，再過作，交于，交于，根據(jù)垂徑定理可證得即為長(zhǎng)方形的寬，求出長(zhǎng)，再求即得長(zhǎng)；（3）本小題容易想到的是直接在圓環(huán)上能裁出6個(gè)，此時(shí)中間還有一個(gè)以為半徑的小圓，考慮到圓環(huán)的半徑為，正好為小圓半徑的一半，故可先在小圓中構(gòu)造一個(gè)邊長(zhǎng)為的正六邊形，再取三條互不相鄰的邊的中點(diǎn)，故在此正六邊形中裁出3個(gè)扇環(huán)，故總共9個(gè).【詳解】（1），底面周長(zhǎng)為底面半徑為側(cè)面積為扇環(huán)的面積，故答：紙杯的底面半徑為，側(cè)面積為.（2）連接，過作，交于，交于，是等邊三角形又也是等邊三角形即為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，由垂徑定理知，即為長(zhǎng)方形的寬所需長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)分別為和.（3）扇形的圓心角為在以為圓心，為半徑的大圓和以為半徑的小圓組成的圓環(huán)中可剪出6個(gè)圓環(huán)（即小紙杯的側(cè)面）剩下的一個(gè)半徑的圓中可按照如下方法剪圓環(huán).作六邊形，顯然邊長(zhǎng)為，將、、兩邊延長(zhǎng)，分別相交于點(diǎn)、、，則以、、為圓心為半徑畫弧，三條弧相切于、、的中點(diǎn)，顯然又可剪3個(gè)最多可剪出9個(gè)紙杯的側(cè)面（如圖所示）八、求圓錐的底面半徑（共3小題）29．（2023秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中建立一直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A、B、C，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中進(jìn)行下列操作：（1）利用網(wǎng)格確定該圓弧所在圓的圓心D點(diǎn)的位置，則D點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）連接AD、CD，則⊙D的半徑為(結(jié)果保留根號(hào))，∠ADC的度數(shù)為；（3）若扇形DAC是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐底面半徑．(結(jié)果保留根號(hào))．

【答案】（1）D(2，0)；（2），90°；（3）【分析】（1）由題意利用垂徑定理可作AB和BC的垂直平分線，兩線的交點(diǎn)即為D點(diǎn)，可得出D點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由題意知在△AOD中AO和OD可由坐標(biāo)得出，利用勾股定理可求得AD和CD，過C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，則可證得△OAD≌△EDC，可得∠ADO=∠DCE，可得∠ADO+∠CDE=90°，可得到∠ADC的度數(shù)；（3）根據(jù)題意先求得扇形DAC的面積，設(shè)圓錐底面半徑為r，利用圓錐側(cè)面展開圖的面積=πr?AD，即可求得r．【詳解】解：（1）如圖1，分別作AB、BC的垂直平分線，兩線交于點(diǎn)D，∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），故答案為：（2，0）；（2）如圖2，連接AD、CD，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，則OA=4，OD=2，在Rt△AOD中，可求得AD=2，即⊙D的半徑為2，且CE=2，DE=4，∴AO=DE，OD=CE，在△AOD和△DEC中，，∴△AOD≌△DEC（SAS），∴∠OAD=∠CDE，∴∠CDE+∠ADO=90°，∴∠ADC=90°，故答案為：2；90°；（3）弧AC的長(zhǎng)=π×2=π，設(shè)圓錐底面半徑為r則有2πr=π，解得：，所以圓錐底面半徑為．【點(diǎn)睛】