數(shù)學(xué)示范教案：第二章第三節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（第一課時）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第二章第三節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示第一課時eq\o（\s\up7(),\s\do5（整體設(shè)計）)教學(xué)分析平面向量基本定理既是本節(jié)的重點又是本節(jié)的難點．平面向量基本定理告訴我們同一平面內(nèi)任一向量都可表示為兩個不共線向量的線性組合，這樣,如果將平面內(nèi)向量的始點放在一起,那么由平面向量基本定理可知，平面內(nèi)的任意一點都可以通過兩個不共線的向量得到表示,也就是平面內(nèi)的點可以由平面內(nèi)的一個點及兩個不共線的向量來表示．這是引進(jìn)平面向量基本定理的一個原因．在不共線的兩個向量中，垂直是一種重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一種分解，因為在平面上，如果選取互相垂直的向量作為基底時，會給問題的研究帶來方便．聯(lián)系平面向量基本定理和向量的正交分解，由點在直角坐標(biāo)系中的表示得到啟發(fā)，要在平面直角坐標(biāo)系中表示一個向量,最方便的是分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，這時，對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x、y,使得a＝xi＋yj。于是，平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定，而有序數(shù)對(x，y)正好是向量a的終點的坐標(biāo)，這樣的“巧合"使平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的向量與坐標(biāo)建立起一一映射，從而實現(xiàn)向量的“量化”表示，使我們在使用向量工具時得以實現(xiàn)“有效能算”的思想．三維目標(biāo)1．通過探究活動,能推導(dǎo)并理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，理解這是應(yīng)用向量解決實際問題的重要思想方法．能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底,使其他向量都能夠用基底來表達(dá)．3．了解向量的夾角與垂直的概念，并能應(yīng)用于平面向量的正交分解中，會把向量正交分解，會用坐標(biāo)表示向量．重點難點教學(xué)重點:平面向量基本定理、向量的夾角與垂直的定義、平面向量的正交分解、平面向量的坐標(biāo)表示．教學(xué)難點：平面向量基本定理的運用．課時安排1課時eq\o(\s\up7()，\s\do5（教學(xué)過程)）導(dǎo)入新課思路1.在物理學(xué)中我們知道，力是一個向量，力的合成就是向量的加法運算．而且力是可以分解的，任何一個大小不為零的力，都可以分解成兩個不同方向的分力之和．將這種力的分解拓展到向量中來，會產(chǎn)生什么樣的結(jié)論呢？又如一個放在斜面上的物體所受的豎直向下的重力G，可分解為使物體沿斜面下滑的力F1和使物體垂直于斜面且壓緊斜面的力F2。我們知道飛機在起飛時若沿仰角α的方向起飛的速度為v,可分解為沿水平方向的速度vcosα和沿豎直方向的速度vsinα.從這兩個實例可以看出，把一個向量分解到兩個不同的方向，特別是作正交分解,即在兩個互相垂直的方向上進(jìn)行分解，是解決問題的一種十分重要的手段．如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，a是這一平面內(nèi)的任一向量,那么a與e1、e2之間有什么關(guān)系呢?在不共線的兩個向量中，垂直是一種重要的情形．把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．在平面上，如果選取互相垂直的向量作為基底，是否會給我們帶來更方便的研究呢?思路2。前面我們學(xué)習(xí)了向量的代數(shù)運算以及對應(yīng)的幾何意義，如果將平面內(nèi)向量的始點放在一起，那么平面內(nèi)的任意一個點或者任意一個向量是否都可以用這兩個同起點的不共線向量來表示呢？這樣就引進(jìn)了平面向量基本定理．教師可以通過對多個向量進(jìn)行分解或者合成，在黑板上給出圖象進(jìn)行演示和講解．如果條件允許,用多媒體教學(xué)，通過相應(yīng)的課件來演示平面上任意向量的分解，對兩個不共線的向量都乘以不同的系數(shù)后再進(jìn)行合成將會有什么樣的結(jié)論？推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究）)eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題)）①給定平面內(nèi)任意兩個不共線的非零向量e1、e2，請你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2.平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？②如圖1，設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量,a是這一平面內(nèi)的任一向量，我們通過作圖研究a與e1、e2之間的關(guān)系．圖1活動：如圖1，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o（OA,\s\up6（→))＝e1,eq\o(OB,\s\up6(→））＝e2，eq\o(OC,\s\up6（→）)＝a.過點C作平行于直線OB的直線，與直線OA交于點M；過點C作平行于直線OA的直線，與直線OB交于點N。由向量的線性運算性質(zhì)可知，存在實數(shù)λ1、λ2，使得eq\o(OM，\s\up6（→））＝λ1e1,eq\o(ON，\s\up6（→))＝λ2e2。由于eq\o(OC，\s\up6(→））＝eq\o(OM，\s\up6（→））＋eq\o(ON,\s\up6（→)），所以a＝λ1e1＋λ2e2.也就是說，任一向量a都可以表示成λ1e1＋λ2e2的形式．由上述過程可以發(fā)現(xiàn)，平面內(nèi)任一向量都可以由這個平面內(nèi)兩個不共線的向量e1、e2表示出來．當(dāng)e1、e2確定后，任意一個向量都可以由這兩個向量量化,這為我們研究問題帶來極大的方便．由此可得：平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2,使a＝λ1e1＋λ2e2.定理說明：（1)我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不唯一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量a在給出基底e1、e2的條件下進(jìn)行分解；（4)基底給定時，分解形式唯一．討論結(jié)果：①可以．②a＝λ1e1＋λ2e2。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題))①平面中的任意兩個向量之間存在夾角嗎？若存在，向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？②對平面中的任意一個向量能否用兩個互相垂直的向量來表示？活動：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合向量的定義和性質(zhì)，思考平面中的任意兩個向量之間的關(guān)系是什么樣的,結(jié)合圖形來總結(jié)規(guī)律．教師通過提問來了解學(xué)生總結(jié)的情況，對回答正確的學(xué)生進(jìn)行表揚，對回答不全面的學(xué)生給予提示和鼓勵．然后教師給出總結(jié)性的結(jié)論：不共線向量存在夾角,關(guān)于向量的夾角，我們規(guī)定：已知兩個非零向量a和b(如圖2），作eq\o(OA,\s\up6(→)）＝a，eq\o（OB，\s\up6(→)）＝b,則∠AOB＝θ（0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角．圖2顯然,當(dāng)θ＝0°時,a與b同向;當(dāng)θ＝180°時，a與b反向．因此，兩非零向量的夾角在區(qū)間[0°，180°]內(nèi)．如果a與b的夾角是90°，我們說a與b垂直，記作a⊥b.由平面向量的基本定理，對平面上的任意向量a，均可以分解為不共線的兩個向量λ1a1和λ2a2,使a＝λ1a1＋λ2a2.在不共線的兩個向量中，垂直是一種重要的情形．把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．例如，重力G沿互相垂直的兩個方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常見的一種情形．在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底時，會為我們研究問題帶來方便．討論結(jié)果：①存在夾角且兩個非零向量的夾角在區(qū)間[0°，180°］內(nèi)；向量與直線的夾角不一樣．②可以．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題）)①我們知道,在平面直角坐標(biāo)系中，每一個點都可用一對有序?qū)崝?shù)即它的坐標(biāo)表示。對直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個向量，如何表示呢？②在平面直角坐標(biāo)系中,一個向量和坐標(biāo)是否是一一對應(yīng)的？活動：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底．對于平面內(nèi)的一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得圖3a＝xi＋yj.①這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定,我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x,y)．②其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，②式叫做向量的坐標(biāo)表示．顯然，i＝（1,0)，j＝（0,1)，0＝（0,0）．教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生特別注意以下幾點：(1)向量a與有序?qū)崝?shù)對（x,y)一一對應(yīng)．(2）向量a的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置沒有關(guān)系，只與其相對位置有關(guān)系．如圖所示，eq\o(A1B1，\s\up6(→）)是表示a的有向線段，A1、B1的坐標(biāo)分別為（x1，y1)、（x2,y2），則向量a的坐標(biāo)為x＝x2－x1,y＝y(tǒng)2－y1,即a的坐標(biāo)為（x2－x1，y2－y1）．(3)為簡化處理問題的過程，把坐標(biāo)原點作為表示向量a的有向線段的起點，這時向量a的坐標(biāo)就由表示向量a的有向線段的終點唯一確定了，即點A的坐標(biāo)就是向量a的坐標(biāo)，流程表示如下：eq\x(a＝xi＋yj）?eq\x（a的坐標(biāo)為x，y)?eq\x（a＝\o（OA，\s\up6(→)），Ax，y)討論結(jié)果：①平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定，我們把有序數(shù)對（x,y）叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝（x,y）．②是一一對應(yīng)的．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例)）思路1例1如圖4,在ABCD中，eq\o(AB，\s\up6（→））＝a,eq\o（AD,\s\up6（→）)＝b,H、M是AD、DC的中點，F(xiàn)使BF＝eq\f(1，3)BC，以a，b為基底分解向量eq\o（AM，\s\up6（→）)與eq\o(HF,\s\up6(→））.圖4活動：教師引導(dǎo)學(xué)生利用平面向量基本定理進(jìn)行分解，讓學(xué)生自己動手、動腦．教師可以讓學(xué)生到黑板上板書步驟，并對書寫認(rèn)真且正確的同學(xué)提出表揚,對不能寫出完整解題過程的同學(xué)給予提示和鼓勵．解：由H、M、F所在位置，有eq\o（AM,\s\up6(→）)＝eq\o(AD，\s\up6（→)）＋eq\o(DM,\s\up6（→)）＝eq\o（AD，\s\up6（→）)＋eq\f（1，2)eq\o（DC，\s\up6(→)）＝eq\o（AD,\s\up6(→)）＋eq\f（1,2)eq\o（AB,\s\up6（→））＝b＋eq\f（1,2）a.eq\o（HF,\s\up6(→）)＝eq\o（AF，\s\up6（→))－eq\o(AH,\s\up6（→））＝eq\o(AB,\s\up6（→)）＋eq\o（BF，\s\up6(→))－eq\o(AH，\s\up6(→）)＝eq\o(AB，\s\up6（→）)＋eq\f（1，3)eq\o（BC,\s\up6(→))－eq\f(1，2)eq\o（AD,\s\up6（→）)＝eq\o(AB，\s\up6(→））＋eq\f（1，3）eq\o（AD,\s\up6(→)）－eq\f（1,2)eq\o(AD,\s\up6(→））＝a－eq\f（1，6）b.點評:以a、b為基底分解向量eq\o(AM,\s\up6(→)）與eq\o（HF,\s\up6(→）),實為用a與b表示向量eq\o(AM,\s\up6（→)）與eq\o(HF,\s\up6（→））。變式訓(xùn)練已知向量e1、e2(如圖5(1))，求作向量－2。5e1＋3e2。圖5作法：（1）如圖5（2），任取一點O，作eq\o(OA，\s\up6（→)）＝－2。5e1,eq\o(OB，\s\up6(→)）＝3e2.(2)作OACB.故eq\o(OC,\s\up6(→)）就是求作的向量.例2如圖6，分別用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它們的坐標(biāo)．圖6活動:本例要求用基底i、j表示a、b、c、d，其關(guān)鍵是把a、b、c、d表示為基底i、j的線性組合．一種方法是把a正交分解，看a在x軸、y軸上的分向量的大?。严蛄縜用i、j表示出來，進(jìn)而得到向量a的坐標(biāo)．另一種方法是把向量a移到坐標(biāo)原點,則向量a終點的坐標(biāo)就是向量a的坐標(biāo)．同樣的方法，可以得到向量b、c、d的坐標(biāo)．另外，本例還可以通過四個向量之間位置的幾何關(guān)系:a與b關(guān)于y軸對稱,a與c關(guān)于坐標(biāo)原點中心對稱，a與d關(guān)于x軸對稱等．由一個向量的坐標(biāo)推導(dǎo)出其他三個向量的坐標(biāo)．解:由圖可知，a＝eq\o（AA1，\s\up6（→）)＋eq\o(AA2,\s\up6(→)）＝xi＋yj，∴a＝（2，3）．同理，b＝－2i＋3j＝（－2,3);c＝－2i－3j＝（－2，－3）;d＝2i－3j＝（2，－3)．點評：本例還可以得到啟示，要充分運用圖形之間的幾何關(guān)系，求向量的坐標(biāo).變式訓(xùn)練i，j是兩個不共線的向量,已知eq\o(AB,\s\up6(→））＝3i＋2j，eq\o（CB,\s\up6（→)）＝i＋λj，eq\o(CD，\s\up6(→))＝－2i＋j，若A、B、D三點共線，試求實數(shù)λ的值．解:∵eq\o(BD，\s\up6（→））＝eq\o（CD,\s\up6(→））－eq\o（CB,\s\up6（→))＝（－2i＋j）－（i＋λj）＝－3i＋（1－λ）j,又∵A、B、D三點共線，∴向量eq\o（AB，\s\up6(→)）與eq\o(BD，\s\up6(→））共線．因此存在實數(shù)υ,使得eq\o(AB，\s\up6（→）)＝υeq\o(BD，\s\up6（→）），即3i＋2j＝υ[－3i＋（1－λ)j]＝－3υi＋υ(1－λ）j.∵i與j是兩個不共線的向量,故∴∴當(dāng)A、B、D三點共線時，λ＝3.例3下面三種說法:①一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面的基底；②一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底；③零向量不可以作為基底中的向量，其中正確的說法是（)A．①②B．②③C．①③D．①②③活動:這是訓(xùn)練學(xué)生對平面向量基本定理的正確理解，教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真地分析和理解平面向量基本定理的真正內(nèi)涵．讓學(xué)生清楚在平面中對于基底的選取是不唯一的，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量都可以作為基底．解析:平面內(nèi)向量的基底是不唯一的．在同一平面內(nèi)任何一組不共線的向量都可作為平面內(nèi)所有向量的一組基底；而零向量可看成與任何向量平行，故零向量不可作為基底中的向量．綜上所述，②③正確．答案：B點評：本題主要考查的是學(xué)生對平面向量定理的理解．思路2例1如圖7，M是△ABC內(nèi)一點，且滿足條件eq\o(AM,\s\up6（→))＋2eq\o（BM，\s\up6(→））＋3eq\o（CM，\s\up6（→)）＝0，延長CM交AB于N,令eq\o（CM,\s\up6(→))＝a，試用a表示eq\o（CN,\s\up6(→)).圖7活動:平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解決平面向量計算問題的重要工具．由平面向量基本定理,可得到下面兩個推論：推論1:e1與e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，若存在實數(shù)λ1、λ2，使得λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0.推論2：e1與e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，若存在實數(shù)a1，a2，b1,b2，使得a＝a1e1＋a2e2＝b1e1＋b2e2，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＝b1，，a2＝b2。))解：∵eq\o（AM,\s\up6(→）)＝eq\o（AN,\s\up6(→）)＋eq\o(NM,\s\up6（→）),eq\o(BM，\s\up6（→)）＝eq\o（BN,\s\up6（→）)＋eq\o（NM，\s\up6(→))，∴由eq\o(AM,\s\up6(→)）＋2eq\o（BM,\s\up6（→））＋3eq\o(CM,\s\up6(→）)＝0，得(eq\o(AN,\s\up6（→)）＋eq\o(NM,\s\up6(→)）)＋2(eq\o（BN,\s\up6(→))＋eq\o(NM，\s\up6（→）))＋3eq\o(CM，\s\up6(→））＝0.∴eq\o(AN,\s\up6(→))＋3eq\o(NM,\s\up6(→））＋2eq\o(BN,\s\up6（→)）＋3eq\o（CM,\s\up6(→））＝0。又∵A、N、B三點共線，C、M、N三點共線,由平行向量基本定理，設(shè)eq\o（AN，\s\up6(→)）＝λeq\o(BN，\s\up6(→)），eq\o(CM，\s\up6(→)）＝μeq\o（NM,\s\up6（→）)，∴λeq\o（BN，\s\up6(→））＋3eq\o（NM,\s\up6(→）)＋2eq\o(BN，\s\up6(→））＋3μeq\o（NM,\s\up6(→))＝0?！啵é耍?)eq\o（BN，\s\up6（→))＋（3＋3μ）eq\o(NM,\s\up6（→））＝0.由于eq\o（BN,\s\up6(→））和eq\o（NM,\s\up6(→))不共線,∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（λ＋2＝0，,3＋3μ＝0.）)∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,μ＝－1.）)∴eq\o(CM,\s\up6（→））＝－eq\o（NM,\s\up6（→））＝eq\o（MN，\s\up6（→））。∴eq\o(CN,\s\up6（→))＝eq\o（CM，\s\up6(→)）＋eq\o(MN，\s\up6(→))＝2eq\o（CM,\s\up6（→）)＝2a.點評：這里選取eq\o（BN，\s\up6（→）)，eq\o(NM，\s\up6（→))作為基底,運用化歸思想,把問題歸結(jié)為λ1e1＋λ2e2＝0的形式來解決。變式訓(xùn)練設(shè)e1與e2是兩個不共線向量，a＝3e1＋4e2,b＝－2e1＋5e2,若實數(shù)λ、μ滿足λa＋μb＝5e1－e2,求λ、μ的值．解：由題設(shè)λa＋μb＝(3λe1＋4λe2）＋（－2μe1＋5μe2）＝（3λ－2μ)e1＋(4λ＋5μ)e2。又λa＋μb＝5e1－e2.由平面向量基本定理，知解之，得λ＝1，μ＝－1。例2如圖8，△ABC中,AD為△ABC邊上的中線且AE＝2EC，求eq\f(AG,GD）及eq\f(BG,GE）的值．圖8活動：教師讓學(xué)生先仔細(xì)分析題意，以明了本題的真正用意，怎樣把平面向量基本定理與三角形中的邊相聯(lián)系？利用化歸思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化完后，然后結(jié)合向量的相等進(jìn)行求解比值．解：設(shè)eq\f(AG，GD）＝λ,eq\f(BG,GE）＝μ?！遝q\o(BD,\s\up6(→））＝eq\o(DC，\s\up6（→）），即eq\o(AD，\s\up6(→)）－eq\o(AB,\s\up6(→)）＝eq\o(AC，\s\up6（→）)－eq\o（AD，\s\up6（→)),∴eq\o(AD,\s\up6(→）)＝eq\f（1,2)（eq\o（AB，\s\up6(→）)＋eq\o(AC,\s\up6（→）)）．又∵eq\o（AG,\s\up6（→）)＝λeq\o（GD，\s\up6（→）)＝λ（eq\o（AD,\s\up6(→）)－eq\o（AG，\s\up6(→））)，∴eq\o(AG,\s\up6（→）)＝eq\f（λ,1＋λ)eq\o（AD，\s\up6(→)）＝eq\f(λ,21＋λ）eq\o(AB，\s\up6(→）)＋eq\f（λ，21＋λ)eq\o（AC,\s\up6（→））。①又∵eq\o（BG，\s\up6（→））＝μeq\o（GE，\s\up6（→）），即eq\o（AG,\s\up6（→)）－eq\o(AB，\s\up6(→）)＝μ(eq\o（AE，\s\up6(→)）－eq\o（AG，\s\up6(→）)），∴(1＋μ)eq\o(AG,\s\up6(→））＝eq\o（AB，\s\up6(→))＋μeq\o（AE，\s\up6(→))，eq\o（AG，\s\up6（→))＝eq\f（1，1＋μ)eq\o(AB,\s\up6(→）)＋eq\f（μ，1＋μ）eq\o(AE,\s\up6(→)）。又eq\o(AE，\s\up6(→))＝eq\f(2，3）eq\o（AC,\s\up6（→)）,∴eq\o(AG,\s\up6（→）)＝eq\f(1,1＋μ)eq\o（AB，\s\up6（→))＋eq\f（2μ，31＋μ）eq\o(AC，\s\up6（→）).②比較①②,∵eq\o（AB,\s\up6(→))、eq\o（AC,\s\up6(→））不共線，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(λ,21＋λ)＝\f(1，1＋μ)，，\f（λ，21＋λ）＝\f(2μ,31＋μ)。)）解之,得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(λ＝4，,μ＝\f（3,2).））∴eq\f（AG,GD)＝4，eq\f(BG,GE）＝eq\f(3,2)。點評:本例中，構(gòu)造向量在同一基底下的兩種不同表達(dá)形式，利用相同基向量的系數(shù)對應(yīng)相等得到一實數(shù)方程組，從而進(jìn)一步求得結(jié)果。變式訓(xùn)練過△OAB的重心G的直線與邊OA、OB分別交于P、Q兩點，設(shè)eq\o(OP，\s\up6(→)）＝heq\o（OA,\s\up6（→))，eq\o（OQ，\s\up6(→)）＝keq\o(OB，\s\up6(→）)，試證：eq\f(1,h)＋eq\f(1,k)＝3。證明：設(shè)eq\o（OA,\s\up6(→）)＝a，eq\o(OB,\s\up6（→)）＝b，OG交AB于D，則eq\o(OD,\s\up6（→））＝eq\f（1，2)(eq\o（OA,\s\up6（→）)＋eq\o(OB,\s\up6（→）)）＝eq\f(1，2)(a＋b)(圖略）．∴eq\o(OG，\s\up6(→)）＝eq\f（2,3)eq\o（OD，\s\up6（→）)＝eq\f（1，3）(a＋b），eq\o（QG，\s\up6(→)）＝eq\o（OG,\s\up6(→))－eq\o（OQ，\s\up6（→））＝eq\f(1，3）（a＋b）－kb＝eq\f(1,3）a＋eq\f（1－3k，3)b,eq\o(QP，\s\up6(→))＝eq\o（OP，\s\up6（→）)－eq\o（OQ，\s\up6(→））＝ha－kb.∵P、G、Q三點共線，∴eq\o(QG，\s\up6（→））＝λeq\o(QP,\s\up6（→)）.∴eq\f(1,3)a＋eq\f（1－3k，3)b＝λha－λkb。∴兩式相除，得eq\f(1,1－3k)＝－eq\f（h,k）?k＋h＝3hk,∴eq\f(1,h)＋eq\f(1,k)＝3.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練)）1．已知G為△ABC的重心,設(shè)eq\o（AB，\s\up6（→)）＝a，eq\o（AC，\s\up6（→）)＝b，試用a、b表示向量eq\o（AG,\s\up6(→)).答案：如圖9，eq\o(AG，\s\up6(→)）＝eq\f（2,3)eq\o（AD，\s\up6（→)),圖9而eq\o(AD，\s\up6(→））＝eq\o(AB,\s\up6（→））＋eq\o(BD，\s\up6（→）)＝eq\o（AB,\s\up6(→）)＋eq\f(1,2）eq\o（BC，\s\up6（→）)＝a＋eq\f（1，2）(b－a）＝eq\f（1，2）a＋eq\f(1，2）b,∴eq\o（AG，\s\up6(→))＝eq\f（2,3)eq\o（AD，\s\up6(→))＝eq\f(2,3)（eq\f(1，2）a＋eq\f（1,2）b）＝eq\f(1,3）a＋eq\f（1，3)b。點評：利用向量加法、減法及數(shù)乘的幾何意義．2．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4）與eq\o(AB,\s\up6（→)）相等，其中A(1，2),B（3，2),求x.答案:∵A（1，2），B(3，2）,∴eq\o(AB，\s\up6（→))＝（2,0）．∵a＝eq\o(AB，\s\up6（→）)，∴（x＋3，x2－3x－4）＝（2,0）．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝2，，x2－3x－4＝0，））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－1，，x＝－1或x＝4.））∴x＝－1。點評：先將向量eq\o(AB，\s\up6（→）)用坐標(biāo)表示出來，然后利用兩向量相等的條件就可使問題得到解決．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié)))1．先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：平面向量的基本定理,向量的夾角與垂直的定義，平面向量的正交分解，平面向量的坐標(biāo)表示．2．教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法，如待定系數(shù)法、定義法、歸納與類比、數(shù)形結(jié)合、幾何作圖．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業(yè)））課本習(xí)題2。3A組1.eq\o（\s\up7(），\s\do5(設(shè)計感想)）1．2．教師應(yīng)該多提出問題，多讓學(xué)生自己動手作圖來發(fā)現(xiàn)規(guī)律,通過解題來總結(jié)方法,引導(dǎo)學(xué)生理解“化歸”思想對解題的幫助，也要讓學(xué)生善于用“數(shù)形結(jié)合"的思想來解決這部分的題．3．如果條件允許,借助多媒體進(jìn)行教學(xué)會有意想不到的效果．整節(jié)課的教學(xué)主線應(yīng)以學(xué)生練習(xí)為主，教師給予引導(dǎo)和提示．充分讓學(xué)生經(jīng)歷分析、探究并解決實際問題的過程，這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),領(lǐng)悟思想方法的最好載體．學(xué)生這種經(jīng)歷的實踐活動越多,解決實際問題的方法就越恰當(dāng)而簡捷．eq\o(\s\up7(),\s\do5（備課資料)）一、三角形三條中線共點的證明如圖10所示，已知在△ABC中，D、E、L分別是BC、CA、AB的中點,設(shè)中線AD、BE相交于點P.圖10求證:AD、BE、CL三線共點．分析:欲證三條中線共點，只需證明C、P、L三點共線．證明：設(shè)eq\o（AC，\s\up6(→))＝a，eq\o（AB,\s\up6(→)）＝b，則eq\o(AL，\s\up6（→))＝eq\f(1，2）b，eq\o（CL，\s\up6(→）)＝eq\o(AL,\s\up6(→)）－eq\o（AC，\s\up6(→))＝－a＋eq\f（1,2)b.設(shè)eq\o（AP，\s\up6(→）)＝meq\o(AD，\s\up6（→）），則eq\o（AC,\s\up6(→）)＋eq\o（CP，\s\up6（→)）＝m（eq\o（AC，\s\up6（→）)＋eq\o（CD，\s\up6(→)）），eq\o（CP，\s\up6（→））＝(－1＋m）eq\o（AC，\s\u