數(shù)學(xué)示范教案：第一章第二節(jié)任意角的三角函數(shù)（第二課時(shí)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第一章第二節(jié)任意角的三角函數(shù)第二課時(shí)作者：蘇飛文,南安僑光中學(xué)教師，本教學(xué)設(shè)計(jì)獲福建省教學(xué)設(shè)計(jì)大賽二等獎(jiǎng)eq\o（\s\up7(），\s\do5(整體設(shè)計(jì)）)教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課,它是本章的基礎(chǔ)，主要是從通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好地理解任意角的三角函數(shù)的定義．在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型,在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用．《課程標(biāo)準(zhǔn)》還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切）的定義．在本模塊中，學(xué)生將通過實(shí)例學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì),體會(huì)三角函數(shù)在解決具有變化規(guī)律的問題中的作用．學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析我們的課堂教學(xué)常用“高起點(diǎn)、大容量、快推進(jìn)"的做法，忽略了知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，以騰出更多的時(shí)間對(duì)學(xué)生加以反復(fù)的訓(xùn)練，無形增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，泯滅了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣．我們雖然刻意地去改變教學(xué)的方式，但仍有太多舊時(shí)的痕跡，若為了新課程而新課程又會(huì)使得美景變成了幻影，失去新課程自然與清純之味．所以如何進(jìn)行《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)）》(以下簡(jiǎn)稱課程標(biāo)準(zhǔn))的教學(xué)設(shè)計(jì)就很值得思考探索．如何讓學(xué)生把對(duì)初中銳角三角函數(shù)的定義及解直角三角形的知識(shí)遷移到學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)的定義中？《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn))解讀》中在三角函數(shù)的教學(xué)中，教師應(yīng)該關(guān)注以下兩點(diǎn):第一、根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn),創(chuàng)設(shè)豐富的情境，例如單調(diào)彈簧振子，圓上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等實(shí)例,使學(xué)生感受周期現(xiàn)象的廣泛存在,認(rèn)識(shí)周期現(xiàn)象的變化規(guī)律，體會(huì)三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型以及三角函數(shù)模型的意義．第二、注重三角函數(shù)模型的運(yùn)用即運(yùn)用三角函數(shù)模型刻畫和描述周期變化的現(xiàn)象（周期振蕩現(xiàn)象)，解決一些實(shí)際問題，這也是《課程標(biāo)準(zhǔn)》在三角函數(shù)內(nèi)容處理上的一個(gè)突出特點(diǎn)．根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的指導(dǎo)思想，任意角的三角函數(shù)的教學(xué)應(yīng)該幫助學(xué)生解決好兩個(gè)問題：其一：能從實(shí)際問題中識(shí)別并建立起三角函數(shù)的模型；其二:借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義并認(rèn)識(shí)其定義域、函數(shù)值的符號(hào)．設(shè)計(jì)理念本節(jié)課通過多媒體信息技術(shù)展示摩天輪旋轉(zhuǎn)及生成的圖象,讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活,激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)的樂趣．并通過問題的探究，體驗(yàn)“數(shù)學(xué)是過程的思想”，改變課程實(shí)施過程中的強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)，死記硬背，機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀,倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與,樂于探究，勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生收集和處理信息的能力，獲得新知識(shí)的能力,分析與解決問題的能力以及交流合作的能力．教學(xué)目標(biāo)1．借助摩天輪的情景問題很好地融合初中對(duì)三角函數(shù)的定義,也能在直角坐標(biāo)系中，很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡,通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程,從而很好地理解任意角的三角函數(shù)的定義．2．從任意角的三角函數(shù)的定義認(rèn)識(shí)其定義域、函數(shù)值的符號(hào)．3．能初步應(yīng)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡(jiǎn)單問題．教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn):任意角三角函數(shù)的定義．2．教學(xué)難點(diǎn)：正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域．eq\o(\s\up7（），\s\do5（教學(xué)過程））第一部分—-情景引入問題1:如圖1是一個(gè)摩天輪，假設(shè)它的中心離地面的高度為h0,它的直徑為2R，逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周需要360秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置OA出發(fā)，過了30秒后，你離地面的高度h為多少?過了45秒呢？過了t秒呢？圖1設(shè)計(jì)意圖高中學(xué)生已經(jīng)具有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和一定的科學(xué)知識(shí)，因此選擇感興趣的、與其生活實(shí)際密切相關(guān)的素材，此情景設(shè)計(jì)應(yīng)該有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展的理解．這個(gè)數(shù)學(xué)模型很好地融合了初中對(duì)三角函數(shù)的定義，也能放在直角坐標(biāo)系中，很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，揭示函數(shù)的本質(zhì)．第二部分-—復(fù)習(xí)回顧銳角三角函數(shù)讓學(xué)生自主思考如何解決問題：“過了30秒后,你離地面的高度為多少？"分析：作圖如圖2很容易知道：從起始位置OA運(yùn)動(dòng)30秒后到達(dá)P點(diǎn)位置，由題意知∠AOP＝30°，作PH垂直地面交OA于M，又知MH＝h0,所以本問題轉(zhuǎn)變成求PH再次轉(zhuǎn)變?yōu)榍驪M。圖2要求PM就是回到初中所學(xué)的解直角三角形的問題即銳角的三角函數(shù)．問題2：銳角α的正弦函數(shù)如何定義?學(xué)生自主探究：學(xué)生很容易得到圖3sinα＝eq\f(|MP|，｜OP|）＝eq\f（|MP|，R)?｜MP｜＝Rsinα?|PH|＝h0＋Rsinα?h＝h0＋Rsinα，所以學(xué)生很自然得到“過了30秒后,過了45秒，你離地面的高度h為多少”．h1＝h0＋Rsin30°;h2＝h0＋Rsin45°.教師總結(jié)：t°在銳角的范圍中,h＝h0＋Rsint°.第三部分——引入新課問題3：請(qǐng)問t的范圍為多少？隨著時(shí)間的推移，你離地面的高度h為多少？能不能猜想h＝h0＋Rsint°？分析：若想做到這一點(diǎn),就得把銳角的正弦推廣到任意角的正弦．今天我們就要來學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)．問題4:如圖4建立直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)P(xP，yP），你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角α的正弦函數(shù)的定義嗎？能否也定義其他函數(shù)(余弦、正切）？圖4學(xué)生自主探究:sinα＝eq\f(|MP|,|OP｜）＝eq\f(yP,R)，cosα＝eq\f（｜OM|,｜OP｜）＝eq\f（xP,R），tanα＝eq\f（｜MP｜，｜OM｜)＝eq\f（yP，xP)。問題5：改變終邊上的點(diǎn)的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？為什么?分析：先由學(xué)生回答問題，教師再引導(dǎo)學(xué)生選幾個(gè)點(diǎn)，計(jì)算比值，獲得具體認(rèn)識(shí),并由相似三角形的性質(zhì)證明．設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生深刻理解體會(huì)三角函數(shù)值不會(huì)隨著終邊上的點(diǎn)的位置的改變而改變，只與角有關(guān)系．通過摩天輪的演示，讓學(xué)生感受到第一象限角的正弦可以跟銳角正弦的定義一樣．問題6：大家根據(jù)第一象限角的正弦函數(shù)的定義，能否也給出第二象限角的定義呢？學(xué)生自主探究：學(xué)生通過上面已知知識(shí)得到sinα＝eq\f（｜MP｜，|OP｜）＝eq\f(yP,R），學(xué)生定義好第二象限角后,讓學(xué)生自己算出摩天輪座艙在第150秒時(shí),離地面的高度h？通過摩天輪知道：h＝h0＋Rsin150°＝h1＝h0＋Rsin30°,由此得到：sin150°＝eq\f(1,2)。設(shè)計(jì)意圖通過這個(gè)，讓學(xué)生檢驗(yàn)當(dāng)α為第二象限角時(shí)sinα＝eq\f(|MP｜，|OP|)＝eq\f（yP，R)是否正確．問題7：當(dāng)α為第三象限或第四象限角時(shí)，sinα＝eq\f（｜MP｜,|OP|)能成立嗎？設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生通過模型，檢驗(yàn)定義是否正確，從中讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)正、負(fù)符號(hào)的偏差．（可以讓學(xué)生取t＝210，從而h＝h0＋Rsin210°，得到sin210°＝－eq\f（1，2），發(fā)現(xiàn)這與sinα＝eq\f(｜MP|,｜OP|)不相符，實(shí)際上是sinα＝eq\f（－|MP｜,|OP|)。）教師總結(jié)：我們通過這個(gè)模型知道如何在某些范圍內(nèi)計(jì)算自己此時(shí)離地面的高度,用數(shù)學(xué)模型h＝h0＋Rsint°來表示，當(dāng)摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角度的概念也不知不覺地推廣到了任意角，對(duì)于任意角的正弦不能只是依賴于角所在的直角三角形中的對(duì)邊的長度比斜邊長度了，我們更應(yīng)該用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)來代替|MP|或－|MP｜，那么這樣就能夠很好地表示出任意角的正弦函數(shù)的定義．第四部分——給出任意角的三角函數(shù)的定義如圖5，已知點(diǎn)P(x，y)為角α終邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P到頂點(diǎn)O的距離為R,則圖5sinα＝eq\f(y，R)(α∈R）cosα＝eq\f（x,R）(α∈R)tanα＝eq\f(y,x）(α≠eq\f(π,2）＋kπ）分析：讓學(xué)生通過剛才的模型進(jìn)一步體驗(yàn)任意角三角函數(shù)的定義要點(diǎn)：點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離．問題8：當(dāng)摩天輪的半徑R＝1時(shí),三角函數(shù)的定義會(huì)發(fā)生怎樣的變化？學(xué)生自主探究:sinα＝y(tǒng),cosα＝x,tanα＝eq\f(y，x）.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比，學(xué)生通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)取到原點(diǎn)的距離為1的點(diǎn)可以使表達(dá)式簡(jiǎn)化．教師進(jìn)一步給出單位圓的定義．給出下列表格，讓學(xué)生自己補(bǔ)充完整.三角函數(shù)定義一:｜OP|＝1定義二：|OP｜＝R定義域sinαyeq\f(y，R）α∈Rcosαxeq\f(x,R)α∈Rtanαeq\f(y,x）eq\f(y,x)α≠eq\f（π，2）＋kπ及時(shí)歸納總結(jié)有利學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的鞏固和掌握．第五部分--例題講解例1已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P0(－3,－4)，求角α的正弦、余弦和正切值．分析：讓學(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)賣,用上面的定義二就可以得到答案．例2求eq\f(5π,3）的正弦、余弦和正切值．學(xué)生自主探究：讓學(xué)生自己思考并獨(dú)立完成．然后與課本的解答對(duì)比一下，發(fā)現(xiàn)本題的難點(diǎn)．教師講解：本題題意很簡(jiǎn)單，但是如何入手卻是難點(diǎn),關(guān)鍵是對(duì)本節(jié)課的三角函數(shù)定義的要點(diǎn)有沒有領(lǐng)會(huì)清楚(任意角三角函數(shù)的定義要點(diǎn):點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離），因此本題的重點(diǎn)之處是如何利用單位圓找到這個(gè)點(diǎn)P,如圖6可以知道∠POM＝eq\f(π,3），又點(diǎn)P在第四象限,得到P（eq\f(1,2），－eq\f（\r(3）,2)),這樣就可以很容易得到本題的答案．圖6 不妨讓學(xué)生取R＝｜OP|＝4，能否也得到點(diǎn)P的坐標(biāo),得到的三角函數(shù)值是否與單位圓的一樣？這樣可以讓學(xué)生更深刻地體驗(yàn)三角函數(shù)的定義．例3求證：當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí)，角θ為第三象限角．eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ<0，，tanθ>0.））eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（①,②)）活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生討論驗(yàn)證在不同的象限內(nèi)各個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào)有什么樣的關(guān)系,提示學(xué)生從三角函數(shù)的定義出發(fā)來探究其內(nèi)在的關(guān)系．可以知道：三角函數(shù)的定義告訴我們,各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào),取決于x，y的符號(hào),當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時(shí)，縱坐標(biāo)y>0，點(diǎn)P在第三、四象限時(shí)，縱坐標(biāo)y〈0,所以正弦函數(shù)值對(duì)于第一、二象限角是正的，對(duì)于第三、四象限角是負(fù)的；同樣地，余弦函數(shù)在第一、四象限是正的，在第二、三象限是負(fù)的；正切函數(shù)在第一、三象限是正的，在第二、四象限是負(fù)的．第六部分——鞏固練習(xí)練習(xí)1.例2變式：求eq\f(7π，6)的正弦、余弦和正切值．練習(xí)2.問題9：通過觀察摩天輪的旋轉(zhuǎn),三角函數(shù)的角的終邊所在象限不同，請(qǐng)說說三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的三角函數(shù)值的符號(hào)．獨(dú)立完成課本本節(jié)的“探究”．設(shè)計(jì)意圖練習(xí)1、練習(xí)2的設(shè)計(jì)與例2、例3銜接，主要目的是幫助學(xué)生鞏固三角函數(shù)的本質(zhì)特征,引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)利用坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征自主探究三角函數(shù)的有關(guān)問題的思想方法．并在特殊情形中體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法．第七部分——小結(jié)與作業(yè)學(xué)生自我總結(jié)作業(yè)：課本本節(jié)練習(xí)1，2,3eq\o(\s\up7（），\s\do5（教學(xué)反思))1．教學(xué)設(shè)計(jì)緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，重點(diǎn)放在任意角的三角函數(shù)的理解上．背景創(chuàng)設(shè)是學(xué)生熟悉的摩天輪，認(rèn)知過程符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律——具體到抽象,現(xiàn)象到本質(zhì)，特殊到一般，這樣有利于學(xué)生的思考．2．情景設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型很好地融合初中對(duì)三角函數(shù)的定義，也能很好地引入在直角坐標(biāo)系中，很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，同時(shí)能夠揭示函數(shù)的本質(zhì)．3．通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，讓學(xué)生在情境中活動(dòng)，在活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)與自然和社會(huì)的聯(lián)系、新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,在體驗(yàn)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，它滲透了蘊(yùn)涵在知識(shí)中的思想方法和研究性學(xué)習(xí)的策略，使學(xué)生在理解數(shù)學(xué)的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展．這和課程標(biāo)準(zhǔn)的理念是一致的．4．《標(biāo)準(zhǔn)》把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)作為其目標(biāo)之一，在教學(xué)中不僅要突出知識(shí)的來龍去脈還要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)應(yīng)用實(shí)踐的空間，促進(jìn)學(xué)