數(shù)學示范教案：第一章第二節(jié)任意角的三角函數(shù)（第二課時）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第一章第二節(jié)任意角的三角函數(shù)第二課時作者：蘇飛文,南安僑光中學教師，本教學設計獲福建省教學設計大賽二等獎eq\o（\s\up7(），\s\do5(整體設計）)教學內容分析本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課,它是本章的基礎，主要是從通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好地理解任意角的三角函數(shù)的定義．在《課程標準》中：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型,在數(shù)學和其他領域中具有重要的作用．《課程標準》還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切）的定義．在本模塊中，學生將通過實例學習三角函數(shù)及其基本性質,體會三角函數(shù)在解決具有變化規(guī)律的問題中的作用．學生學習情況分析我們的課堂教學常用“高起點、大容量、快推進"的做法，忽略了知識的發(fā)生發(fā)展過程，以騰出更多的時間對學生加以反復的訓練，無形增加了學生的負擔，泯滅了學生學習的興趣．我們雖然刻意地去改變教學的方式，但仍有太多舊時的痕跡，若為了新課程而新課程又會使得美景變成了幻影，失去新課程自然與清純之味．所以如何進行《普通高中數(shù)學課程標準(實驗）》(以下簡稱課程標準)的教學設計就很值得思考探索．如何讓學生把對初中銳角三角函數(shù)的定義及解直角三角形的知識遷移到學習任意角的三角函數(shù)的定義中？《普通高中數(shù)學課程標準（實驗)解讀》中在三角函數(shù)的教學中，教師應該關注以下兩點:第一、根據(jù)學生的生活經驗,創(chuàng)設豐富的情境，例如單調彈簧振子，圓上一點的運動，以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等實例,使學生感受周期現(xiàn)象的廣泛存在,認識周期現(xiàn)象的變化規(guī)律，體會三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型以及三角函數(shù)模型的意義．第二、注重三角函數(shù)模型的運用即運用三角函數(shù)模型刻畫和描述周期變化的現(xiàn)象（周期振蕩現(xiàn)象)，解決一些實際問題，這也是《課程標準》在三角函數(shù)內容處理上的一個突出特點．根據(jù)《課程標準》的指導思想，任意角的三角函數(shù)的教學應該幫助學生解決好兩個問題：其一：能從實際問題中識別并建立起三角函數(shù)的模型；其二:借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義并認識其定義域、函數(shù)值的符號．設計理念本節(jié)課通過多媒體信息技術展示摩天輪旋轉及生成的圖象,讓學生感受到數(shù)學來源于生活，數(shù)學應用于生活,激發(fā)同學們學習的樂趣．并通過問題的探究，體驗“數(shù)學是過程的思想”，改變課程實施過程中的強調接受學習，死記硬背，機械訓練的現(xiàn)狀,倡導學生主動參與,樂于探究，勤于動手，培養(yǎng)學生收集和處理信息的能力，獲得新知識的能力,分析與解決問題的能力以及交流合作的能力．教學目標1．借助摩天輪的情景問題很好地融合初中對三角函數(shù)的定義,也能在直角坐標系中，很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡,通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程,從而很好地理解任意角的三角函數(shù)的定義．2．從任意角的三角函數(shù)的定義認識其定義域、函數(shù)值的符號．3．能初步應用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關的一些簡單問題．教學重點與難點1．教學重點:任意角三角函數(shù)的定義．2．教學難點：正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域．eq\o(\s\up7（），\s\do5（教學過程））第一部分—-情景引入問題1:如圖1是一個摩天輪，假設它的中心離地面的高度為h0,它的直徑為2R，逆時針方向勻速轉動，轉動一周需要360秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置OA出發(fā)，過了30秒后，你離地面的高度h為多少?過了45秒呢？過了t秒呢？圖1設計意圖高中學生已經具有豐富的生活經驗和一定的科學知識，因此選擇感興趣的、與其生活實際密切相關的素材，此情景設計應該有助于學生對知識的發(fā)生發(fā)展的理解．這個數(shù)學模型很好地融合了初中對三角函數(shù)的定義，也能放在直角坐標系中，很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，揭示函數(shù)的本質．第二部分-—復習回顧銳角三角函數(shù)讓學生自主思考如何解決問題：“過了30秒后,你離地面的高度為多少？"分析：作圖如圖2很容易知道：從起始位置OA運動30秒后到達P點位置，由題意知∠AOP＝30°，作PH垂直地面交OA于M，又知MH＝h0,所以本問題轉變成求PH再次轉變?yōu)榍驪M。圖2要求PM就是回到初中所學的解直角三角形的問題即銳角的三角函數(shù)．問題2：銳角α的正弦函數(shù)如何定義?學生自主探究：學生很容易得到圖3sinα＝eq\f(|MP|，｜OP|）＝eq\f（|MP|，R)?｜MP｜＝Rsinα?|PH|＝h0＋Rsinα?h＝h0＋Rsinα，所以學生很自然得到“過了30秒后,過了45秒，你離地面的高度h為多少”．h1＝h0＋Rsin30°;h2＝h0＋Rsin45°.教師總結：t°在銳角的范圍中,h＝h0＋Rsint°.第三部分——引入新課問題3：請問t的范圍為多少？隨著時間的推移，你離地面的高度h為多少？能不能猜想h＝h0＋Rsint°？分析：若想做到這一點,就得把銳角的正弦推廣到任意角的正弦．今天我們就要來學習任意角的三角函數(shù)．問題4:如圖4建立直角坐標系,設點P(xP，yP），你能用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角α的正弦函數(shù)的定義嗎？能否也定義其他函數(shù)(余弦、正切）？圖4學生自主探究:sinα＝eq\f(|MP|,|OP｜）＝eq\f(yP,R)，cosα＝eq\f（｜OM|,｜OP｜）＝eq\f（xP,R），tanα＝eq\f（｜MP｜，｜OM｜)＝eq\f（yP，xP)。問題5：改變終邊上的點的位置，這三個比值會改變嗎？為什么?分析：先由學生回答問題，教師再引導學生選幾個點，計算比值，獲得具體認識,并由相似三角形的性質證明．設計意圖讓學生深刻理解體會三角函數(shù)值不會隨著終邊上的點的位置的改變而改變，只與角有關系．通過摩天輪的演示，讓學生感受到第一象限角的正弦可以跟銳角正弦的定義一樣．問題6：大家根據(jù)第一象限角的正弦函數(shù)的定義，能否也給出第二象限角的定義呢？學生自主探究：學生通過上面已知知識得到sinα＝eq\f（｜MP｜，|OP｜）＝eq\f(yP,R），學生定義好第二象限角后,讓學生自己算出摩天輪座艙在第150秒時,離地面的高度h？通過摩天輪知道：h＝h0＋Rsin150°＝h1＝h0＋Rsin30°,由此得到：sin150°＝eq\f(1,2)。設計意圖通過這個，讓學生檢驗當α為第二象限角時sinα＝eq\f(|MP｜，|OP|)＝eq\f（yP，R)是否正確．問題7：當α為第三象限或第四象限角時，sinα＝eq\f（｜MP｜,|OP|)能成立嗎？設計意圖讓學生通過模型，檢驗定義是否正確，從中讓學生自己發(fā)現(xiàn)正、負符號的偏差．（可以讓學生取t＝210，從而h＝h0＋Rsin210°，得到sin210°＝－eq\f（1，2），發(fā)現(xiàn)這與sinα＝eq\f(｜MP|,｜OP|)不相符，實際上是sinα＝eq\f（－|MP｜,|OP|)。）教師總結：我們通過這個模型知道如何在某些范圍內計算自己此時離地面的高度,用數(shù)學模型h＝h0＋Rsint°來表示，當摩天輪轉動時，角度的概念也不知不覺地推廣到了任意角，對于任意角的正弦不能只是依賴于角所在的直角三角形中的對邊的長度比斜邊長度了，我們更應該用點P的橫坐標來代替|MP|或－|MP｜，那么這樣就能夠很好地表示出任意角的正弦函數(shù)的定義．第四部分——給出任意角的三角函數(shù)的定義如圖5，已知點P(x，y)為角α終邊上的點，點P到頂點O的距離為R,則圖5sinα＝eq\f(y，R)(α∈R）cosα＝eq\f（x,R）(α∈R)tanα＝eq\f(y,x）(α≠eq\f(π,2）＋kπ）分析：讓學生通過剛才的模型進一步體驗任意角三角函數(shù)的定義要點：點、點的坐標、點到頂點的距離．問題8：當摩天輪的半徑R＝1時,三角函數(shù)的定義會發(fā)生怎樣的變化？學生自主探究:sinα＝y(tǒng),cosα＝x,tanα＝eq\f(y，x）.教師引導學生進行對比，學生通過對比發(fā)現(xiàn)取到原點的距離為1的點可以使表達式簡化．教師進一步給出單位圓的定義．給出下列表格，讓學生自己補充完整.三角函數(shù)定義一:｜OP|＝1定義二：|OP｜＝R定義域sinαyeq\f(y，R）α∈Rcosαxeq\f(x,R)α∈Rtanαeq\f(y,x）eq\f(y,x)α≠eq\f（π，2）＋kπ及時歸納總結有利學生對所學知識的鞏固和掌握．第五部分--例題講解例1已知角α的終邊經過點P0(－3,－4)，求角α的正弦、余弦和正切值．分析：讓學生現(xiàn)學現(xiàn)賣,用上面的定義二就可以得到答案．例2求eq\f(5π,3）的正弦、余弦和正切值．學生自主探究：讓學生自己思考并獨立完成．然后與課本的解答對比一下，發(fā)現(xiàn)本題的難點．教師講解：本題題意很簡單，但是如何入手卻是難點,關鍵是對本節(jié)課的三角函數(shù)定義的要點有沒有領會清楚(任意角三角函數(shù)的定義要點:點、點的坐標、點到頂點的距離），因此本題的重點之處是如何利用單位圓找到這個點P,如圖6可以知道∠POM＝eq\f(π,3），又點P在第四象限,得到P（eq\f(1,2），－eq\f（\r(3）,2)),這樣就可以很容易得到本題的答案．圖6 不妨讓學生取R＝｜OP|＝4，能否也得到點P的坐標,得到的三角函數(shù)值是否與單位圓的一樣？這樣可以讓學生更深刻地體驗三角函數(shù)的定義．例3求證：當且僅當下列不等式組成立時，角θ為第三象限角．eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ<0，，tanθ>0.））eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（①,②)）活動：教師引導學生討論驗證在不同的象限內各個三角函數(shù)值的符號有什么樣的關系,提示學生從三角函數(shù)的定義出發(fā)來探究其內在的關系．可以知道：三角函數(shù)的定義告訴我們,各三角函數(shù)在各象限內的符號,取決于x，y的符號,當點P在第一、二象限時，縱坐標y>0，點P在第三、四象限時，縱坐標y〈0,所以正弦函數(shù)值對于第一、二象限角是正的，對于第三、四象限角是負的；同樣地，余弦函數(shù)在第一、四象限是正的，在第二、三象限是負的；正切函數(shù)在第一、三象限是正的，在第二、四象限是負的．第六部分——鞏固練習練習1.例2變式：求eq\f(7π，6)的正弦、余弦和正切值．練習2.問題9：通過觀察摩天輪的旋轉,三角函數(shù)的角的終邊所在象限不同，請說說三角函數(shù)在各個象限內的三角函數(shù)值的符號．獨立完成課本本節(jié)的“探究”．設計意圖練習1、練習2的設計與例2、例3銜接，主要目的是幫助學生鞏固三角函數(shù)的本質特征,引導學生從定義出發(fā)利用坐標平面內的點的坐標特征自主探究三角函數(shù)的有關問題的思想方法．并在特殊情形中體會數(shù)形結合的思想方法．第七部分——小結與作業(yè)學生自我總結作業(yè)：課本本節(jié)練習1，2,3eq\o(\s\up7（），\s\do5（教學反思))1．教學設計緊扣課程標準的要求，重點放在任意角的三角函數(shù)的理解上．背景創(chuàng)設是學生熟悉的摩天輪，認知過程符合學生的認知特點和學生的身心發(fā)展規(guī)律——具體到抽象,現(xiàn)象到本質，特殊到一般，這樣有利于學生的思考．2．情景設計的數(shù)學模型很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好地引入在直角坐標系中，很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，同時能夠揭示函數(shù)的本質．3．通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，讓學生在情境中活動，在活動中體驗數(shù)學與自然和社會的聯(lián)系、新舊知識的內在聯(lián)系,在體驗中領悟數(shù)學的價值，它滲透了蘊涵在知識中的思想方法和研究性學習的策略，使學生在理解數(shù)學的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展．這和課程標準的理念是一致的．4．《標準》把發(fā)展學生的數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識作為其目標之一，在教學中不僅要突出知識的來龍去脈還要為學生創(chuàng)設應用實踐的空間，促進學