數(shù)學(xué)示范教案：第一章第二節(jié)任意角的三角函數(shù)（第一課時）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第一章第二節(jié)任意角的三角函數(shù)第一課時eq\o(\s\up7（）,\s\do5(整體設(shè)計）)教學(xué)分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，它是用直角三角形邊長的比來刻畫的．銳角三角函數(shù)的引入與“解三角形”有直接關(guān)系．任意角的三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型,它與“解三角形”已經(jīng)沒有什么關(guān)系了．因此,與學(xué)習(xí)其他基本初等函數(shù)一樣,學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)，關(guān)鍵是要使學(xué)生理解三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，并能用三角函數(shù)描述一些簡單的周期變化規(guī)律，解決簡單的實際問題．本節(jié)以銳角三角函數(shù)為引子，利用單位圓上點的坐標(biāo)定義三角函數(shù)．由于三角函數(shù)與單位圓之間的這種緊密的內(nèi)部聯(lián)系，使得我們在討論三角函數(shù)的問題時，對于研究哪些問題以及用什么方法研究這些問題等，都可以從圓的性質(zhì)(特別是對稱性）中得到啟發(fā)．三角函數(shù)的研究中，數(shù)形結(jié)合思想起著非常重要的作用．利用信息技術(shù)，可以很容易地建立角的終邊和單位圓的交點坐標(biāo)、單位圓中的三角函數(shù)線之間的聯(lián)系,并在角的變化過程中,將這種聯(lián)系直觀地體現(xiàn)出來．所以，信息技術(shù)可以幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的本質(zhì)．激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)研究的熱情,培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神；通過學(xué)生之間、師生之間的交流合作，實現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長的教學(xué)情境．三維目標(biāo)1．通過借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義,理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，并從任意角的三角函數(shù)定義認(rèn)識正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域，理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)在各象限內(nèi)的符號．2．通過對任意角的三角函數(shù)定義的理解，掌握終邊相同角的同一三角函數(shù)值相等．3．正確利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來，即用正弦線、余弦線、正切線表示出來．4．能初步應(yīng)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡單問題．重點難點教學(xué)重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義,終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．教學(xué)難點：用角的終邊上的點的坐標(biāo)來刻畫三角函數(shù)；三角函數(shù)符號；利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值用幾何形式表示．課時安排2課時eq\o(\s\up7（），\s\do5（教學(xué)過程）)第1課時作者：范福太,上杭縣明強中學(xué)教師,本教學(xué)設(shè)計獲福建省教學(xué)設(shè)計大賽二等獎一、復(fù)習(xí)引入、回想再認(rèn)(情景1）我們在初中通過直角三角形的邊角關(guān)系,學(xué)習(xí)了銳角的正弦、余弦、正切等三個三角函數(shù)．請回想：這三個三角函數(shù)分別是怎樣規(guī)定的？圖1學(xué)生口述后再投影展示，教師再根據(jù)投影進(jìn)行強調(diào):sinα＝eq\f（對邊，斜邊)，cosα＝eq\f（鄰邊，斜邊),tanα＝eq\f(對邊，鄰邊）設(shè)計意圖學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了銳角的三角函數(shù)概念,現(xiàn)在學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù),又是一種推廣和拓展的過程（類似于從有理數(shù)到實數(shù)的擴展)．溫故知新，要讓學(xué)生體會知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程,就要從源頭上開始,從學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知狀況開始，對銳角三角函數(shù)的復(fù)習(xí)就必不可少．二、引申鋪墊、創(chuàng)設(shè)情景（情景2）我們已經(jīng)把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數(shù)概念也能推廣到任意角嗎？試試看，可以獨立思考和探索，也可以互相討論！留時間讓學(xué)生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對個別學(xué)生作啟發(fā)引導(dǎo)．能推廣嗎？怎樣推廣？針對剛才的問題點名讓學(xué)生回答．用角的對邊、鄰邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于1。1節(jié)已經(jīng)以直角坐標(biāo)系為工具來研究任意角了，學(xué)生一般會想到(否則教師進(jìn)行提示)繼續(xù)用直角坐標(biāo)系來研究任意角的三角函數(shù)．設(shè)計意圖從學(xué)生現(xiàn)有知識水平和認(rèn)知能力出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問題情景，讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突,進(jìn)行必要的啟發(fā),將學(xué)生思維引上自主探索、合作交流的“再創(chuàng)造”征程．教師對學(xué)生回答情況進(jìn)行點評后布置任務(wù)情景：請同學(xué)們用直角坐標(biāo)系重新研究銳角三角函數(shù)定義!師生共做(學(xué)生口述，教師板書圖形和比值)：把銳角α安裝(如何安裝?角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸非負(fù)半軸重合)在直角坐標(biāo)系中,在角α終邊上任取一點P，作PM⊥x軸于M,構(gòu)造一個Rt△OMP，則∠MOP＝α(銳角），設(shè)P（x，y)（x＞0、y＞0），α的鄰邊OM＝x，對邊MP＝y(tǒng),斜邊長|OP｜＝r.圖2根據(jù)銳角三角函數(shù)定義用x、y、r列出銳角α的正弦、余弦、正切三個比值，并補充對應(yīng)列出三個倒數(shù)的比值：sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝.？＝？＝？＝設(shè)計意圖此處做法簡單,思想重要．為了順利實現(xiàn)推廣，可以構(gòu)建中間橋梁或公共載體，使之既與初中的定義一致，又能自然地遷移到任意角的情形．初中以直角三角形邊角關(guān)系來定義銳角三角函數(shù)，現(xiàn)在要用坐標(biāo)系來研究,探索的結(jié)論既要滿足任意角的情形，又要包容初中銳角三角函數(shù)的定義．這是一個認(rèn)識的飛躍，是理解任意角三角函數(shù)概念的關(guān)鍵之一，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要思想和方法，屬于策略性知識，能夠形成遷移能力，為學(xué)生在以后學(xué)習(xí)中對某些知識進(jìn)行推廣拓展奠定了基礎(chǔ)．(情景3)思考:對于確定的角α，這三個比值是否會隨點P在α的終邊上的位置的改變而改變呢？顯然，我們可以將點取在使線段OP的長r＝1的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)：sinα＝eq\f(MP,OP)＝y(tǒng);cosα＝eq\f（OM,OP)＝x;tanα＝eq\f(MP，OM)＝eq\f(y,x).思考上述銳角α的三角函數(shù)值可以用終邊上一點的坐標(biāo)表示。那么，角的概念推廣以后,我們應(yīng)該如何對初中的三角函數(shù)的定義進(jìn)行修改，以利于推廣到任意角呢？本節(jié)課就研究這個問題——任意角的三角函數(shù).先讓學(xué)生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：引導(dǎo)學(xué)生觀察圖3,聯(lián)系相似三角形知識,探索發(fā)現(xiàn):對于銳角α的每一個確定值,三個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化．圖3三、探究新知1．探究：結(jié)合上述銳角α的三角函數(shù)值的求法，我們應(yīng)如何求解任意角的三角函數(shù)值呢？顯然，我們只需在角的終邊上找到一個點，使這個點到原點的距離為1，然后就可以類似銳角求得該角的三角函數(shù)值了．所以,我們在此引入單位圓的定義：在直角坐標(biāo)系中,我們稱以原點O為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓．2．思考:如何利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)？如圖4,設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y），那么：圖4（1)y叫做α的正弦(sine)，記做sinα,即sinα＝y(tǒng)；(2）x叫做α的余弦(cossine），記做cosα,即cosα＝x;（3）eq\f(y，x)叫做α的正切（tangent)，記做tanα，即tanα＝eq\f(y,x)（x≠0）．注意：當(dāng)α是銳角時,此定義與初中定義相同(指出對邊,鄰邊，斜邊所在)；當(dāng)α不是銳角時，也能夠找出三角函數(shù),因為，既然有角,就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點P（x，y)，從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值．設(shè)計意圖初中學(xué)生對函數(shù)理解較膚淺，這里在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)一步研究初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)，在思維上更上了一個層次,扣準(zhǔn)函數(shù)概念的內(nèi)涵，突出變量之間的依賴關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系,是從函數(shù)知識演繹到三角函數(shù)知識的主要依據(jù)，是準(zhǔn)確理解三角函數(shù)概念的關(guān)鍵，也是在認(rèn)知上把三角函數(shù)知識納入函數(shù)知識結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵．這樣做能夠使學(xué)生有效地增強函數(shù)觀念．四、探索定義域（情景4)1。函數(shù)概念的三要素是什么？函數(shù)三要素：對應(yīng)法則、定義域、值域．正弦函數(shù)sinα的對應(yīng)法則是什么？正弦函數(shù)sinα的對應(yīng)法則，實質(zhì)上就是sinα的定義:對α的每一個確定的值,有唯一確定的比值eq\f(y，r)與之對應(yīng)，即α→eq\f（y,r）＝sinα。2．布置任務(wù)情景：什么是三角函數(shù)的定義域？請求出三個三角函數(shù)的定義域，填寫下表：三角函數(shù)sinαcosαtanα定義域引導(dǎo)學(xué)生自主探索：如果沒有特別說明，那么使解析式有意義的自變量的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的定義域自然是指:使比值有意義的角α的取值范圍．關(guān)于sinα＝eq\f(y，r）、cosα＝eq\f（x，r），對于任意角α（弧度數(shù)),r＞0，eq\f（y,r）、eq\f（x，r）恒有意義，定義域都是實數(shù)集R。對于tanα＝eq\f（y,x），α＝kπ＋eq\f(π,2）時x＝0，eq\f（y,x）無意義，tanα的定義域是｛α|α∈R,且α≠kπ＋eq\f(π，2）｝……教師指出：sinα、cosα、tanα的定義域必須緊扣三角函數(shù)定義在理解的基礎(chǔ)上記熟．設(shè)計意圖定義域是函數(shù)三要素之一,研究函數(shù)必須明確定義域．指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)定義自主探索確定三角函數(shù)的定義域,有利于在理解的基礎(chǔ)上記住它、應(yīng)用它，也增進(jìn)對三角函數(shù)概念的掌握．五、符號判斷、形象識記（情景5）能判斷三角函數(shù)值的正、負(fù)嗎？試試看！引導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住三角函數(shù)的定義來分析,r＞0，三角函數(shù)值的符號決定于x、y值的正負(fù)，根據(jù)終邊所在位置總結(jié)出形象的識記口訣：圖5sinα＝eq\f（y,r)：上正下負(fù)橫為0；cosα＝eq\f(x，r):左負(fù)右正縱為0；tanα＝eq\f（y，x)：交叉正負(fù)．設(shè)計意圖判斷三角函數(shù)值的正負(fù)符號，是本章教材的一項重要的知識、技能要求．要引導(dǎo)學(xué)生抓住定義、數(shù)形結(jié)合判斷和記憶三角函數(shù)值的正負(fù)符號，并總結(jié)出形象的識記口訣，這也是理解和記憶的關(guān)鍵．六、例題講解、理解記憶1．自學(xué)例1：求eq\f（5π,3）的正弦、余弦和正切值．2．例2：角α的終邊經(jīng)過點P（－3，－4），求α的正弦，余弦及正切值．活動：教師留給學(xué)生一定的時間,學(xué)生獨立思考并回答．明確可以用角α終邊上任意一點的坐標(biāo)來定義任意角的三角函數(shù)，但用單位圓上點的坐標(biāo)來定義，既不失一般性，又簡單，更容易看清對應(yīng)關(guān)系．教師要點撥引導(dǎo)學(xué)生習(xí)慣畫圖，充分利用數(shù)形結(jié)合，但要提醒學(xué)生注意α角的任意性．如圖6，設(shè)α是一個任意角，P(x,y）是α終邊上任意一點，點P與原點的距離r＝eq\r（x2＋y2）〉0，那么：圖6①eq\f(y，r)叫做α的正弦，即sinα＝eq\f(y,r)；②eq\f（x,r）叫做α的余弦，即cosα＝eq\f（x,r）；③eq\f（y，x)叫做α的正切,即tanα＝eq\f（y，x）（x≠0)．這樣定義三角函數(shù),突出了點P的任意性，說明任意角α的三角函數(shù)值只與α有關(guān)，而與點P在角的終邊上的位置無關(guān)，教師要讓學(xué)生充分思考討論后深刻理解這一點．3．例3：求下列三角函數(shù)值：（1)sin390°；(2）coseq\f(19π，6)；(3）tan(－330°)．活動：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)終邊相同角的表示法有什么特點，終邊相同的角相差2π的整數(shù)倍，那么這些角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系?為什么？引導(dǎo)學(xué)生從角的終邊的關(guān)系到角之間的關(guān)系再到函數(shù)值之間的關(guān)系進(jìn)行討論，然后再用三角函數(shù)的定義證明．由三角函數(shù)的定義，可以知道:終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等．由此得到一組公式（公式一）：sinα＋k·2π＝sinα,cosα＋k·2π＝cosα，tanα＋k·2π＝tanα，其中k∈Z.利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值,轉(zhuǎn)化為求0到2π（或0°到360°）角的三角函數(shù)值．這個公式稱為三角函數(shù)的“誘導(dǎo)公式一"．解:（1)sin390°＝sin（360°＋30°)＝sin30°＝eq\f(1，2）；(2）coseq\f（19π，6)＝cos(2π＋eq\f（7π,6)）＝coseq\f（7π，6）＝－eq\f(\r（3），2）；（3)tan（－330°）＝tan（－360°＋30°）＝tan30°＝eq\f（\r(3)，3）。點評：本題主要是對誘導(dǎo)公式一的考查，利用公式一將任意角都轉(zhuǎn)化到0～2π范圍內(nèi)求三角函數(shù)的值．七、課堂練習(xí)課本本節(jié)練習(xí)題1、2,3。處理:要求取點用定義求解，針對計算過程提問、點評，理解鞏固定義．強調(diào):終邊在坐標(biāo)軸上的角叫軸線角，如0、eq\f（π，2）、π、eq\f（3π，2)等，今后經(jīng)常用到軸線角的三角函數(shù)值，要結(jié)合三角函數(shù)定義記熟這些值．設(shè)計意圖及時安排例題講解,自做教材練習(xí)題，一般性與特殊性相結(jié)合,進(jìn)行適量的變式練習(xí)，以鞏固和加深對三角函數(shù)概念的理解，通過課堂積極主動的練習(xí)活動進(jìn)行思維訓(xùn)練，把“培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力”貫穿在每一節(jié)課的課堂教學(xué)始終．八、回顧小結(jié)、建構(gòu)網(wǎng)絡(luò)要求全體學(xué)生根據(jù)教師所提問題進(jìn)行總結(jié)識記，提問檢查并強調(diào)：1．你是怎樣把銳角三角函數(shù)定義推廣到任意角的?或者說任意角三角函數(shù)具體是怎樣定義的？（建立直角坐標(biāo)系，使角的頂點與坐標(biāo)原點重合……在終邊上任意取定一點P……）．2．你如何判斷和記憶正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域？（根據(jù)定義……）3．你如何記憶正弦、余弦、正切函數(shù)值的符號？(根據(jù)定義，想象坐標(biāo)位置……）設(shè)計意圖遺忘的規(guī)律是先快后慢，回顧再現(xiàn)是記憶的重要途徑，在課堂內(nèi)及時總結(jié)識記主要內(nèi)容是上策．此處以問題的形式讓學(xué)生自己歸納識記本節(jié)課的主體內(nèi)容，抓住要害，人人參與，及時建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)認(rèn)知能力．布置課外作業(yè)1．書面作業(yè)：習(xí)題1.2A組第1、2題．2．認(rèn)真閱讀本節(jié)“閱讀與思考：三角學(xué)與天文學(xué)"，了解三角學(xué)在天文學(xué)中的重要作用．eq\o(\s\up7（)，\s\do5(教學(xué)反思))新教材的教學(xué)理念之一是讓學(xué)生去體驗新知識的發(fā)生過程,這節(jié)《任意角三角函數(shù)》的教案,主要圍繞這一點來設(shè)計．到底應(yīng)該怎樣去合理定義任意角的三角函數(shù)呢?讓學(xué)生提出自己的想法，同時讓學(xué)生去辯證這個想法是否是科學(xué)的？因為一個概念是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?科學(xué)的,不能隨心所欲地編造,必須去論證它的合理性，至少這種概念不能和銳角三角函數(shù)的定義有所沖突．在這個立—破的過程中,讓學(xué)生去體驗一個新的數(shù)學(xué)概念可能是如何形成的，在形成的過程中可以從哪些角度加以科學(xué)的辯思．這樣也有助于學(xué)生對任意角三角函數(shù)概念的理解．再次，讓學(xué)生充分體會在任意角三角函數(shù)定義的推廣中，是如何將直角三角形這個“形”的問題,轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系下點的坐標(biāo)這個“數(shù)"的過程的．培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想．第2課時作者：孟麗華教學(xué)背景1．教材地位分析:三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,而三角函數(shù)線的概念及其應(yīng)用不僅體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，又貫穿整個三角函數(shù)的教學(xué)．借助三角函數(shù)線可以推出三角函數(shù)公式，求解三角函數(shù)不等式，探索三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可以說，三角函數(shù)線是研究三角函數(shù)的有利工具．2．學(xué)生學(xué)情分析：學(xué)習(xí)本節(jié)前，學(xué)生已經(jīng)掌握任意角三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)值在各象限的符號，以及誘導(dǎo)公式一，為三角函數(shù)線的尋找做好了知識準(zhǔn)備．高一上學(xué)期研究指、對數(shù)函數(shù)圖象時，已帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)了幾何畫板的基礎(chǔ)知識，現(xiàn)在他們已經(jīng)具備初步的幾何畫板應(yīng)用能力，能夠制作簡單的動畫,開展數(shù)學(xué)實驗．教學(xué)目標(biāo)1．知識目標(biāo)：使學(xué)生掌握如何利用單位圓中的有向線段分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值，并能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題．2．能力目標(biāo):借助幾何畫板讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，提高學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、類比、猜想和實驗探索的能力；在論壇上開展探究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生借助所學(xué)知識自己去發(fā)現(xiàn)新問題，并加以解決，提高學(xué)生抽象概括、分析歸納、數(shù)學(xué)表述等基本數(shù)學(xué)思維能力．3．情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)研究的熱情，培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神；通過學(xué)生之間、師生之間的交流合作，實現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長的教學(xué)情境．教學(xué)重點難點1．重點:三角函數(shù)線的作法及其簡單應(yīng)用．2．難點：利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式表示出來．教學(xué)方法與教學(xué)手段1．教法選擇：“設(shè)置問題，探索辨析，歸納應(yīng)用，延伸拓展"——科研式教學(xué)．2．學(xué)法指導(dǎo)：類比、聯(lián)想，產(chǎn)生知識遷移;觀察、實驗，體驗知識的形成過程；猜想、求證，達(dá)到知識的延展．3．教學(xué)手段：本節(jié)課地點選在多媒體網(wǎng)絡(luò)教室,學(xué)生利用幾何畫板軟件探討數(shù)學(xué)問題,做數(shù)學(xué)實驗；借助網(wǎng)絡(luò)論壇交流各自的觀點,展示自己的才能．教學(xué)過程一、設(shè)置疑問，實驗探索（17分鐘)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過程設(shè)計意圖設(shè)置疑問，點明主題前面我們學(xué)習(xí)了角的弧度制，角α弧度數(shù)的絕對值|α|＝eq\f（l，r)，其中l(wèi)是以角α作為圓心角時所對弧的長，r是圓的半徑．特別地，當(dāng)r＝1時，｜α|＝l，此時的圓稱為單位圓，這樣就可以用單位圓中弧的長度表示所對圓心角弧度數(shù)的絕對值，那么能否用幾何圖形來表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值呢?這就是我們今天要一起研究的問題.既可以引出單位圓，又可以使學(xué)生通過類比聯(lián)想主動、快速地探索出三角函數(shù)值的幾何形式.概念學(xué)習(xí)，分散難點有向線段：帶有方向的線段．(1）方向：按書寫順序,前者為起點,后者為終點,由起點指向終點．如：有向線段OM，O為起點，M為終點,由O點指向M點．(動態(tài)演示)（2）數(shù)值：(只考慮在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的有向線段）絕對值等于線段的長度，若方向與坐標(biāo)軸同向,取正值;與坐標(biāo)軸反向,取負(fù)值．如：OM＝1，ON＝－1，AP＝eq\f(1，2）。相關(guān)概念的學(xué)習(xí)分散了教學(xué)難點，使學(xué)生能夠更多地圍繞重點展開探索和研究．

續(xù)表教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過程設(shè)計意圖實驗探索,辨析研討1。（復(fù)習(xí)提問）任意角α的正弦如何定義？角α的終邊上任意一點P(除端點外)的坐標(biāo)是（x，y),它與原點的距離是r，比值eq\f（y，r）叫做α的正弦．思考：能否用幾何圖形表示出角α的正弦呢？學(xué)生聯(lián)想角的弧度數(shù)與弧長的轉(zhuǎn)化，類比猜測：若令r＝1,則sinα＝y(tǒng).取角α的終邊與單位圓的交點為P，過點P作x軸的垂線,設(shè)垂足為M，則有向線段MP＝y(tǒng)＝sinα.（學(xué)生分析的同時，教師用幾何畫板演示）請學(xué)生利用幾何畫板作出垂線段MP,并改變角的終邊位置，觀察終邊在各個位置的情形,注意有向線段的方向和正弦值正負(fù)的對應(yīng)．特別地,當(dāng)角的終邊在x軸上時,有向線段MP變成一個點,記數(shù)值為0。這條與單位圓有關(guān)的有向線段MP叫做角α的正弦線．2.思考：用哪條有向線段表示角α的余弦比較合適？并說明理由．請學(xué)生用幾何畫板演示說明．有向線段OM叫做角α的余弦線．3.tanα＝eq\f(y,x)如何用有向線段表示？討論焦點：若令x＝1,則tanα＝y(tǒng)＝AT,但是第二、三象限角的終邊上沒有橫坐標(biāo)為1的點，若此時取x＝－1的點為T′(如圖）,則tanα＝－y＝T′A′，有向線段的表示方法又不能統(tǒng)一．引導(dǎo)觀察：當(dāng)角的終邊互為反向延長線時，它們的正切值有什么關(guān)系?統(tǒng)一認(rèn)識:方案1：在象限角的終邊或其反向延長線上取x＝1的點T，則tanα＝y(tǒng)＝AT；方案2：借助正弦線、余弦線以及相似三角形知識得到tanα＝eq\f（y，x)＝eq\f(MP,OM)＝eq\f(AT,OA）＝AT.幾何畫板演示驗證：當(dāng)角α的終邊落在坐標(biāo)軸上時，tanα與有向線段AT的對應(yīng)．這條與單位圓有關(guān)的有向線段AT叫做角α的正切線.美國華盛頓一所大學(xué)有句名言：“我聽見了，就忘記了；我看見了，就記住了；我做過了,就理解了．"要想讓學(xué)生深刻理解三角函數(shù)線的概念，就應(yīng)該讓學(xué)生主動去探索，大膽去實踐，親身體驗知識的發(fā)生和發(fā)展過程．教學(xué)已經(jīng)不再是把教師或?qū)W生看成孤立的個體，而是把他們的教和學(xué)看成是相互影響的辯證發(fā)展過程．在和諧的氛圍中，教師和學(xué)生都處在自由狀態(tài)，可以不受框框的束縛，充分表達(dá)各自的意見，在自己積極思維的同時又能感受他人不同的思維方式,從而打破自己的封閉狀態(tài)，進(jìn)入更加廣闊的領(lǐng)域。

二、作法總結(jié)，變式演練（13分鐘）教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過程設(shè)計意圖作法總結(jié)正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線．請大家總結(jié)這三種三角函數(shù)線的作法,并用幾何畫板演示(一學(xué)生描述，同時用電腦演示)：第一步：作出角α的終邊，與單位圓交于點P；第二步:過點P作x軸的垂線，設(shè)垂足為M，得正弦線MP、余弦線OM；第三步：過點A(1，0）作單位圓的切線，它與角α的終邊或其反向延長線的交點設(shè)為T，得角α的正切線AT.特別注意：三角函數(shù)線是有向線段，在用字母表示這些線段時，要注意它們的方向，分清起點和終點,書寫順序不能顛倒．余弦線以原點為起點，正弦線和正切線以此線段與坐標(biāo)軸的公共點為起點，其中點A為定點(1，0）。及時歸納總結(jié),加深知識的理解和記憶．變式演練，提高能力練習(xí)：利用幾何畫板畫出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：（1）eq\f（5π，6）；（2)－eq\f（13π，6）.學(xué)生先做，然后投影展示一學(xué)生的作品，并強調(diào)三角函數(shù)線的位置和方向．例1利用幾何畫板畫出適合下列條件的角α的終邊：（1)sinα＝eq\f(1,2)；（2)cosα＝－eq\f（1，2）；(3）tanα＝1。共同分析（1)，設(shè)角α的終邊與單位圓交于P（x，y)，則sinα＝y(tǒng)，所以要作出滿足sinα＝eq\f(1,2）的角的終邊，只要在單位圓上找出縱坐標(biāo)為eq\f（1，2)的點P,則射線OP即為α的終邊．（幾何畫板動態(tài)演示)請學(xué)生分析（2）、（3)，同時用幾何畫板演示．例2利用幾何畫板畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍，并由此寫出角α的集合:(1）sinα≥eq\f（1,2）；(2）cosα≤－eq\f(1,2）.分析:先作出滿足sinα＝eq\f(1，2）,cosα＝－eq\f（1,2）的角的終邊(例1已做），然后根據(jù)已知條件確定角α終邊的范圍．(幾何畫板動態(tài)演示）答案:（1)｛α｜2kπ＋eq\f（π，6）≤α≤2kπ＋eq\f（5π,6)，k∈Z｝．(2）｛α|2kπ＋eq\f(2π,3）≤α≤2kπ＋eq\f(4π,3),k∈Z}．延伸：通過（1)、(2)兩圖形的復(fù)合又可以得出不等式組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα≥\f(1,2），，cosα≤－\f(1，2)））的解集：{α｜2kπ＋eq\f（2π，3）≤α≤2kπ＋eq\f（5π,6),k∈Z}.鞏固練習(xí),準(zhǔn)確掌握三角函數(shù)線的作法．逆向思維，靈活運用三角函數(shù)線，并為利用三角函數(shù)線求解三角函數(shù)不等式（組）作鋪墊．?dāng)?shù)形結(jié)合思想表現(xiàn)在由數(shù)到形和由形到數(shù)兩方面．將任意角的正弦、余弦、正切值分別用有向線段表示出來體現(xiàn)了由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化；借助三角函數(shù)線求解三角函數(shù)方程和不等式又發(fā)揮了由形到數(shù)的巨大作用。

三、思維拓展,論壇交流（10分鐘）教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過程設(shè)計意圖思維拓展,論壇交流觀察角的終邊在各位置的情形，結(jié)合三角函數(shù)線和已學(xué)知識,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，得出哪些結(jié)論?請說明你的觀點和理由，并發(fā)表于學(xué)校的教育論壇上．學(xué)生得出的結(jié)論有以下幾種：(1)sin2α＋cos2α＝1；(2)|sinα|＋｜cosα｜≥1；(3)－1≤sinα≤1，－1≤cosα≤1,tanα∈R；（4）若兩角終邊互為反向延長線，則兩角的正切值相等，正弦、余弦值互為相反數(shù)；（5)當(dāng)角的終邊在第一象限逆時針旋轉(zhuǎn)時，正弦、正切值逐漸增大,余弦值逐漸減?。?6）當(dāng)角的終邊在直線y＝x的右下方時，sinα＜cosα;當(dāng)角的終邊在直線y＝x的左上方時，sinα＞cosα；……給學(xué)生建設(shè)一個開放的、有活力、有個性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境．論壇交流既能展示個人才華，又能照顧到各個層次的學(xué)生．來自他人的信息為自己所吸收，自己的既有知識又被他人的視點喚起，產(chǎn)生新的思想．這樣的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生在輕松達(dá)成一個個階段目標(biāo)之后，順利到達(dá)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新境界.四、歸納小結(jié),課堂延展（5分鐘)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過程設(shè)計意圖歸納小結(jié)1.回顧三角函數(shù)線作法．2.三角函數(shù)線是利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)問題的重要工具，自從著名數(shù)學(xué)家歐拉提出三角函數(shù)與三角函數(shù)線的對應(yīng)關(guān)系，使得對三角函數(shù)的研究大為簡化