數學示范教案：概率的加法公式

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o（\s\up7(),\s\do5（整體設計））教學分析教材利用兩個例題引入了互斥事件、對立事件的概念，并給出了概率的加法公式．值得注意的是:舉例引入和說明互斥事件的概念，可以用擲骰子出現不同點數的試驗來解釋，也可以用擲硬幣出現正面或反面向上的試驗來說明．關鍵是在同一試驗中，事件A和事件B不可能同時發(fā)生,則事件A和事件B就是互斥事件．三維目標1．了解兩個互斥事件的概率加法公式．2．通過學習概率加法公式，提高學生的歸納、推斷能力．3．與集合知識聯系，培養(yǎng)學生普遍聯系的思想．重點難點教學重點：互斥事件和對立事件的概念以及互斥事件的加法公式．教學難點：互斥事件與對立事件的區(qū)別和聯系．課時安排1課時．eq\o（\s\up7(），\s\do5（教學過程))導入新課思路1。(1）集合有相等、包含關系,如{1,3}＝｛3,1｝，｛2,4｝{2，3，4，5}等；(2)在擲骰子試驗中,可以定義許多事件如：C1＝｛出現1點}，C2＝{出現2點｝，C3＝{出現1點或2點｝,C4＝{出現的點數為偶數}，….師生共同討論：觀察上例，類比集合與集合的關系、運算，你能發(fā)現事件的關系與運算嗎？這就是本堂課要講的知識——概率的基本性質．思路2.全運會中某省派兩名女乒乓球運動員參加單打比賽，她們奪取冠軍的概率分別是eq\f(2，7）和eq\f(1,5)，則該省奪取該次冠軍的概率是eq\f（2,7）＋eq\f（1，5),對嗎?為什么？為解決這個問題,我們學習概率的基本性質．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究））eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題))看下面例子：拋擲一顆骰子，觀察擲出的點數.設事件A為“出現奇數點"，B為“出現2點”，已知PA＝eq\f（1,2）,PB＝eq\f（1,6），求“出現奇數點或2點"的概率。1事件A與B能同時發(fā)生嗎？2用文氏圖表示A∪B.3討論：已知A,B是互斥事件,PA∪B與PA＋PB相等嗎？4設事件D為“出現偶數點”，則事件A與D是互斥事件，那么A與D還有什么特點？討論結果：（1）這里的事件A和事件B不可能同時發(fā)生．這種不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件(或稱互不相容事件）．設事件C為“出現奇數點或2點”，它也是一個隨機事件．事件C與事件A，B的關系是：若事件A和事件B中至少有一個發(fā)生,則C發(fā)生；若C發(fā)生，則A,B中至少有一個發(fā)生．我們稱事件C為A與B的并（或和)．一般地，由事件A和B至少有一個發(fā)生（即A發(fā)生，或B發(fā)生，或A，B都發(fā)生）所構成的事件C，稱為事件A與B的并（或和)，記作C＝A∪B。事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件組成的集合．(2）下圖中陰影部分所表示的就是A∪B。（3）在n次試驗中，事件A出現的頻數是n1,事件B出現的頻數是n2，則事件A∪B出現的頻數正好是n1＋n2，所以事件A∪B的頻率為eq\f(n1＋n2，n）＝eq\f（n1，n)＋eq\f（n2，n)，而eq\f(n1,n)是事件A出現的頻率，eq\f(n2,n）是事件B出現的頻率．因此，如果用μn表示在n次試驗中事件出現的頻率,則總有μn（A∪B）＝μn(A)＋μn（B）．由概率的統計定義，可知eq\x(PA∪B＝PA＋PB.）①一般地,如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥（彼此互斥），那么事件“A1∪A2∪…∪An"發(fā)生(是指事件A1，A2,…，An中至少有一個發(fā)生）的概率，等于這n個事件分別發(fā)生的概率和，即P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P(A2）＋…＋P(An)．①′公式①或公式①′叫做互斥事件的概率加法公式．所給例中事件C:“出現奇數點或2點”的概率是事件A：“出現奇數點"的概率與事件B：“出現2點”的概率之和,即P（C)＝P(A）＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6）＝eq\f（2,3）.（4)A與D不能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，即A∪D＝Ω.像這樣不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生的兩個事件叫做互為對立事件．事件A的對立事件記作eq\x\to(A）。下圖中的陰影部分表示事件A的對立事件．由于A與eq\x\to(A）是互斥事件,所以P(Ω）＝P（A∪eq\x\to（A))＝P(A)＋P(eq\x\to（A)），又由Ω是必然事件得到P（Ω）＝1。所以,P(A)＋P(eq\x\to（A））＝1,即eq\x（P\x\to(A)＝1－PA。）②這個公式為我們求P（A）提供了一種方法．當我們直接求P(A)有困難時，?？梢赞D化為求P（eq\x\to（A）)．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（應用示例))思路1例在數學考試中,小明的成績在90分以上的概率是0。18,在80~89分的概率是0.51,在70～79分的概率是0。15，在60～69分的概率是0.09。計算小明在數學考試中取得80分以上成績的概率、小明考試及格的概率及小明考試不及格的概率．分析：根據互斥事件的概率加法公式來計算取得80分以上和及格的概率，利用對立事件的概率求不及格的概率．解：分別記小明的考試成績在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分為事件B,C，D，E.這4個事件是彼此互斥的．根據公式①小明的考試成績在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C）＝0.18＋0.51＝0。69;小明考試及格的概率，即成績在60分以上的概率．由公式①得P(B∪C∪D∪E)＝P（B）＋P(C）＋P（D)＋P（E)＝0。18＋0。51＋0.15＋0。09＝0.93.小明考試不及格的概率為1－P(B∪C∪D∪E）＝1－0。93＝0.07.點評:由于P(A）＝1－P(eq\x\to（A）)，可以通過求P（eq\x\to(A））的方法來求P(A)，這就是通常所說的間接法．變式訓練有朋自遠方來，已知他乘火車、輪船、汽車、飛機來的概率分別是0。3、0。2、0.1、0.4.（Ⅰ）求他乘火車或飛機來的概率；(Ⅱ)求他不乘輪船來的概率;（Ⅲ）如果他來的概率為0。4，請問他有可能是乘何種交通工具來的？解：設“朋友乘火車、輪船、汽車、飛機來”分別為事件A、B、C、D，則P(A)＝0。3,P（B）＝0.2,P(C）＝0。1，P(D）＝0。4,且事件A、B、C、D之間是互斥的．（Ⅰ）他乘火車或飛機來的概率是P(A∪D)＝P(A）＋P（D）＝0。3＋0.4＝0。7。（Ⅱ)他乘輪船來的概率是P（B）＝0.2,所以他不乘輪船來的概率是P(eq\x\to（B))＝1－P(B）＝1－0。2＝0。8.（Ⅲ)由于0。4＝P(D）＝P(A）＋P（C)，所以他可能是乘飛機來，也可能是乘火車或汽車來的．（Ⅱ）他乘輪船來的概率是P(B）＝0.2，所以他不乘輪船來的概率為P（eq\x\to(B）)＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.（Ⅲ）由于0。4＝P（D）＝P（A)＋P（C)，所以他可能是乘飛機來，也可能是乘火車或汽車來的.思路2例從一堆產品（其中正品與次品都多于2件）中任取2件，觀察正品件數與次品件數，判斷下列每組事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件．(1）恰好有1件次品和恰好有2件次品;（2）至少有1件次品和全是次品;（3）至少有1件正品和至少有1件次品；（4)至少有1件次品和全是正品．解：依據互斥事件的定義，即事件A與事件B在一定試驗中不會同時發(fā)生，知：(1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同時發(fā)生，因此它們是互斥事件，又因為它們并不是必然事件,所以它們不是對立事件．同理可以判斷：（2）中的2個事件不是互斥事件，也不是對立事件．（3）中的2個事件既不是互斥事件也不是對立事件；(4）中的2個事件既互斥又對立。變式訓練一個射手進行一次射擊,試判斷下列事件哪些是互斥事件?哪些是對立事件？事件A：命中環(huán)數大于7環(huán)；事件B：命中環(huán)數為10環(huán)；事件C：命中環(huán)數小于6環(huán)；事件D：命中環(huán)數為6、7、8、9、10環(huán)．分析：要判斷所給事件是對立事件還是互斥事件,首先將兩個概念的聯系與區(qū)別弄清楚，互斥事件是指不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件是建立在互斥事件的基礎上，兩個事件中一個不發(fā)生，另一個必發(fā)生．解：A與C互斥（不可能同時發(fā)生）,B與C互斥，C與D互斥，C與D是對立事件(至少一個發(fā)生）.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓練)）1．下列說法中正確的是(）A．事件A、B中至少有一個發(fā)生的概率一定比A、B中恰有一個發(fā)生的概率大B．事件A、B同時發(fā)生的概率一定比事件A、B恰有一個發(fā)生的概率小C．互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是對立事件,對立事件一定是互斥事件答案：D2．拋擲一骰子，觀察擲出的點數，設事件A為“出現奇數點”，B為“出現偶數點”,已知P(A）＝eq\f（1,2），P（B）＝eq\f(1，2),求“出現奇數點或偶數點”的概率．分析：事件“出現奇數點"和“出現偶數點”是彼此互斥的,并且是相互獨立事件，可以運用概率的加法公式求解．解：記“出現奇數點或偶數點"為事件C，則C＝A∪B，因為A、B是互斥事件，所以P(C）＝P（A）＋P（B）＝eq\f（1,2)＋eq\f(1,2)＝1.出現奇數點或偶數點的概率為1。3．袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率為eq\f(1,3）,得到黑球或黃球的概率是eq\f(5,12)，得到黃球或綠球的概率也是eq\f(5,12），試求得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率各是多少？分析：利用方程的思想及互斥事件、對立事件的概率公式求解．解:從袋中任取一球,記事件“摸到紅球”“摸到黑球"“摸到黃球"“摸到綠球"為A、B、C、D，則有P（B∪C)＝P(B)＋P(C）＝eq\f(5,12)；P（C∪D）＝P(C)＋P（D）＝eq\f（5,12）；P(B∪C∪D)＝1－P（A）＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2，3)，解得P(B)＝eq\f（1,4），P(C）＝eq\f(1,6），P（D)＝eq\f（1，4).即得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率分別是eq\f(1,4)、eq\f（1,6）、eq\f（1，4).4．從一箱產品中隨機地抽取一件產品，設事件A＝“抽到的是一等品”,事件B＝“抽到的是二等品",事件C＝“抽到的是三等品”，且已知P(A）＝0.7,P（B）＝0。1，P（C）＝0.05。求下列事件的概率：（1)事件D＝“抽到的是一等品或三等品”；(2）事件E＝“抽到的是二等品或三等品”．解：(1)事件D即事件A＋C，因為事件A＝“抽到的是一等品”和事件C＝“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，得P（D)＝P（A＋C)＝P（A)＋P（C）＝0.7＋0。05＝0。75.（2）事件E即事件B＋C，因為事件B＝“抽到的是二等品"和事件C＝“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式,得P(E）＝P(B＋C）＝P(B）＋P（C）＝0。1＋0.05＝0.15。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(拓展提升）)某地政府準備對當地的農村產業(yè)結構進行調整，為此政府進行了一次民意調查。100個人接受了調查，他們被要求在贊成調整、反對調整、對這次調整不發(fā)表看法中任選一項．調查結果如下表所示：男女總計贊成18927反對122537不發(fā)表看法201636總計5050100隨機選取一個被調查者，他對這次調整表示反對或不發(fā)表看法的概率是多少?解：用A表示事件“對這次調整表示反對"，B表示事件“對這次調整不發(fā)表看法"，則A和B是互斥事件，并且A＋B就表示事件“對這次調整表示反對或不發(fā)表看法",由互斥事件的概率加法公式，得P(A＋B）＝P（A）＋P(B）＝eq\f(37,100)＋eq\f（36，100）＝eq\f（73，100）＝0。73，因此，隨機選取的一個被調查者對這次調整表示反對或不發(fā)表看法的概率是0.73.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(課堂小結））本節(jié)課學習了互斥事件、對立事件的概念，以及利用概率加法公式解決有關問題．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業(yè)))本節(jié)練習B1、2。eq\o(\s\up7(),\s\do5（設計感想））本堂課通過擲骰子試驗,定義了許多事件，并根據集合的運算定義了事件的運算，給出了互斥事件和對立事件以及它們的概率運算公式，在運用時要切實注意它們的使用條件，不可模棱兩可,搞清互斥事件和對立事件的關系，思路1和思路2都安排了不同層次的例題和變式訓練,對剛學的知識是一個鞏固和加強，同學們要反復訓練，安排的題目既有層次性，又有趣味性，適合不同基礎的學生，因此本節(jié)課授完后,同學們肯定受益匪淺．eq\o（\s\up7(）,\s\do5（備課資料）)備選習題1．一口袋內裝有大小一樣的4只白球與4只黑球，從中一次任意摸出2只球．記摸出2只白球為事件A，摸出1只白球和1只黑球為事件B。問事件A和B是否為互斥事件？是否為對立事件？解：事件A和B互斥，因為從中一次可以摸出2只黑球，所以事件A和B不是對立事件．2．回答下列問題：（1)甲、乙兩射手同時射擊一目標,甲