2.6 等腰三角形 同步練習(xí)

2.6等腰三角形第一課時(shí)等腰三角形的性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)1.（2021內(nèi)蒙古赤峰中考）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在線段BC上，CD=CE.若∠ABC=30°，則∠D的度數(shù)為（）A.85°B.75°C.65°D.30°2.（2022山東曹縣期中）如圖，AD，BE分別是△ABC的中線和角平分線，AB=AC，∠CAD=20°，則∠ABE的度數(shù)為（）A.20°B.35°C.40°D.70°3.如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC=AD，BC=4，E為CD上一點(diǎn)，且ED=AB，則AE的長(zhǎng)為.

4.（2022山東高唐期中）如圖，AD是∠BAC的平分線，點(diǎn)E在AB上，且AE=AC，EF∥BC交AC于點(diǎn)F，試說明:EC平分∠DEF.5.（教材P59變式題）如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，AD=AE，那么BD與CE相等嗎?為什么?6.（2022山東臨清期中）如圖，在△ABC中，AC=BC，點(diǎn)D是△ABC外的一點(diǎn)，連接CD、BD、AD，線段BC與AD相交于點(diǎn)F，E為AF上一點(diǎn)，連接CE.已知∠CAD=∠CBD，∠ACB=∠ECD.（1）證明:CE=CD；（2）若∠CAB=72°，求∠ADB的大小.第二課時(shí)等腰三角形的判定基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)二等腰三角形的判定7.（2022山東冠縣期中）下列能判定三角形是等腰三角形的是（）A.有兩個(gè)角分別為30°、60° B.有兩個(gè)角分別為40°、80°C.有兩個(gè)角分別為50°、80° D.有兩個(gè)角分別為100°、120°8.（2022山東曹縣期中）如圖，正方形的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B是小正方形的頂點(diǎn)，如果C點(diǎn)也是小正方形的頂點(diǎn)，且使△ABC是等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）A.6B.7C.8D.99.（2022山東高唐期中）如圖，AB=AC，線段AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，若∠A=36°，則下列結(jié)論中，①∠C=72°；②BD是∠ABC的平分線；③△DBC是等腰三角形；④△BCD的周長(zhǎng)=AB+BC，正確的是（填序號(hào)）.

10.（2021山東高唐期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE與CD相交于點(diǎn)F，請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說明理由.11.（2022山東冠縣期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上的一點(diǎn)，且AB=AC=DC，BD=CE，連接AD、DE.（1）求證:△ADE是等腰三角形；（2）若∠ADE=40°，請(qǐng)求出∠BAC的度數(shù).12.（2021山東安丘期中）如圖，已知線段AC∥y軸，點(diǎn)B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y軸于G，連接OB、OC.（1）判斷△AOG的形狀，并予以證明；（2）若點(diǎn)B、C關(guān)于y軸對(duì)稱，求證:AO⊥BO.第三課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)與判定基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)三等邊三角形及其性質(zhì)13.（2022山東曹縣期中）如圖，△ABC是等邊三角形，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE=AD，則∠ADE的度數(shù)為.

14.（2022山東巨野期中）如圖，△ACD是等邊三角形，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，求∠BAE的度數(shù).15.（2022山東聊城東昌府期末）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AB上，且BD=AE，AD與CE交于點(diǎn)F.（1）試說明AD=CE；（2）求∠DFC的度數(shù).知識(shí)點(diǎn)四等邊三角形的判定16.（2021山東陽谷期中）下列圖形:①有兩個(gè)角等于60°的三角形；②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；③三個(gè)角都相等的三角形；④三條邊都相等的三角形.其中是等邊三角形的有（填序號(hào)）.

17.（2022山東成武期中）如圖，在等邊△ABC的三條邊AB，BC，CA上分別取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，使得AD=BE=CF，連接DE，EF，F(xiàn)D.△DEF是等邊三角形嗎?為什么?能力提升全練18.（2021湖南永州中考）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12A.30°B.40°C.50°D.60°19.（2021山東濰坊濰城期中）如圖，在△ABC中，∠B=40°，AB=CB，AF=CD，AE=CF，則∠EFD的度數(shù)為（）A.50°B.60°C.70°D.80°20.（2021山東諸城期中）如圖，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足為Q，延長(zhǎng)MN至G，使NG=NQ，若△MNP的周長(zhǎng)為24，MQ=a，則△MGQ的周長(zhǎng)是（）A.12+2a B.8+a C.6+2a D.4+3a21.（2022山東巨野期中）如圖，∠AOB=30°，M，N分別是射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，OP平分∠AOB，且OP=7cm，則△PMN的周長(zhǎng)的最小值為cm.

22.（2021浙江紹興中考）如圖，在△ABC中，∠A=40°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，BD=BC=CE，連接CD，BE.（1）若∠ABC=80°，求∠BDC，∠ABE的度數(shù)；（2）寫出∠BEC與∠BDC之間的關(guān)系，并說明理由.23.（2020山東煙臺(tái)中考）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF.【問題解決】如圖1，若點(diǎn)D在邊BC上，求證:CE+CF=CD；【類比探究】如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.圖1圖2素養(yǎng)探究全練24.[邏輯推理]如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)D分別向AB，AC作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，CG是AB邊上的高.（1）猜想DE，DF，CG之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若點(diǎn)D在底邊BC的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論還成立嗎?若不成立，又存在怎樣的關(guān)系?請(qǐng)說明理由.25.[數(shù)學(xué)運(yùn)算]如圖，△ABC中，∠ABC=∠ACB，點(diǎn)D在BC所在的直線上，點(diǎn)E在射線AC上，且AD=AE，連接DE.（1）如圖1，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度數(shù)；（3）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上（不與點(diǎn)B、C重合）運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.圖1圖2備用圖

2.6等腰三角形答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.B∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=30°，又∵CD=CE，∴∠D=∠CED=180°?∠C2.B∵AB=AC，AD是△ABC的中線，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∴∠ABC=∠C=12∵BE是△ABC的角平分線，∴∠ABE=123.4解析∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠BAC=∠ADC.在△ABC和△DEA中，AB∴△ABC≌△DEA（SAS），∴AE=BC=4.4.證明∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.在△ACD和△AED中，AC∴△ACD≌△AED，∴CD=ED，∴∠DEC=∠DCE.∵EF∥BC，∴∠FEC=∠DCE，∴∠DEC=∠FEC，∴EC平分∠DEF.5.解析BD=CE.理由如下:如圖，過點(diǎn)A作AP⊥BC于P.因?yàn)锳B=AC，所以BP=PC，因?yàn)锳D=AE，所以DP=PE，所以BP-DP=PC-PE，即BD=CE.理由也可如下:因?yàn)锳B=AC，所以∠B=∠C，因?yàn)锳D=AE，所以∠ADE=∠AED，所以∠ADB=∠AEC.在△ADB和△AEC中，∠所以△ADB≌△AEC（AAS），所以BD=CE.6.解析（1）證明:∵∠ACB=∠ECD，∴∠ACB-∠ECB=∠ECD-∠ECB，即∠ACE=∠BCD.又∵AC=BC，∠CAD=∠CBD，∴△CAE≌△CBD（ASA），∴CE=CD.（2）∵AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=72°，∵∠CAD=∠CBD，∠CAB=∠CAD+∠DAB=72°，∴∠CBD+∠DAB=72°，∴∠CBA+∠CBD+∠DAB=∠ABD+∠DAB=72°+72°=144°，∴∠ADB=180°-（∠ABD+∠DAB）=180°-144°=36°.7.C選項(xiàng)A，可得第三個(gè)角為90°，錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，可得第三個(gè)角為60°，錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，可得第三個(gè)角為50°，有兩個(gè)角相等，正確；選項(xiàng)D，100°+120°>180°，錯(cuò)誤.8.C如圖，分情況討論:①當(dāng)AB為等腰△ABC的底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)；②當(dāng)AB為等腰△ABC的腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè).綜上，符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為8.9.①②③④解析△ABC中，∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=180°?∠A∵DM是線段AB的垂直平分線，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=36°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，∴∠ABD=∠DBC，∴BD是∠ABC的平分線，②正確；∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∴∠BDC=∠C，∴BC=BD，∴△DBC是等腰三角形，③正確；∵BD=AD，∴△BCD的周長(zhǎng)=BD+BC+CD=AD+CD+BC=AC+BC=AB+BC，④正確.10.解析△ABC是等腰三角形.理由如下:在△BDF與△CEF中，∠DFB所以BF=CF，所以∠FBC=∠FCB，所以∠FBC+∠ABE=∠FCB+∠ACD，即∠ABC=∠ACB，所以AB=AC，所以△ABC是等腰三角形.11.解析（1）證明:∵AB=AC，∴∠B=∠C.在△ABD和△DCE中，AB∴△ABD≌△DCE（SAS），∴AD=DE，∴△ADE是等腰三角形.（2）∵△ABD≌△DCE，∴∠BAD=∠EDC，∴∠BAD+∠BDA=∠BDA+∠EDC=180°-∠ADE=140°，∴在△ABD中，∠B=180°-140°=40°，∴∠C=∠B=40°，∴∠BAC=180°-40°-40°=100°.12.解析（1）△AOG是等腰三角形.證明:因?yàn)锳C∥y軸，所以∠CAO=∠AOG，因?yàn)锳O平分∠BAC，所以∠CAO=∠GAO，所以∠GAO=∠AOG，所以AG=GO，所以△AOG是等腰三角形.（2）如圖，連接BC交y軸于K，過A作AN⊥y軸于N，因?yàn)锳C∥y軸，點(diǎn)B、C關(guān)于y軸對(duì)稱，所以AN=CK=BK.在△ANG和△BKG中，∠所以△ANG≌△BKG（AAS），所以AG=BG.由（1）得AG=OG，所以O(shè)G=BG，所以∠BOG=∠OBG，因?yàn)椤螼AG+∠AOG+∠BOG+∠OBG=180°，所以∠AOG+∠BOG=90°，所以AO⊥BO.13.75°解析∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=12∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED=180°?30°214.解析∵△ACD是等邊三角形，∴AC=AD，∠CAD=60°.在△ABC與△DEA中，AB∴△ABC≌△DEA（SSS），∴∠BAC=∠ADE，∴∠BAC+∠DAE=∠ADE+∠DAE=180°-115°=65°，∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°.15.解析（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC.又∵AE=BD，∴△AEC≌△BDA（SAS），∴AD=CE.（2）∵△AEC≌△BDA，∴∠ACE=∠BAD，∴∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°.16.①②③④解析根據(jù)等邊三角形的定義和判定方法可知，①②③④都是等邊三角形.17.解析△DEF是等邊三角形，理由如下:∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA，∵AD=BE=CF，∴BD=EC=AF.在△ADF和△BED中，AD∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF=DE，同理，△BED≌△CFE（SAS），∴DE=EF，∴DE=EF=FD，∴△DEF是等邊三角形.能力提升全練18.A由作法得MN垂直平分線段AB，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=50°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=50°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80°，∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=80°-50°=30°.19.C△ABC中，因?yàn)椤螧=40°，AB=CB，所以∠A=∠C=12在△AEF和△CFD中，AE所以△AEF≌△CFD（SAS），所以∠AFE=∠CDF.因?yàn)椤螦FD=∠AFE+∠EFD，∠AFD=∠C+∠CDF，所以∠EFD=∠C=70°.20.A在△MNP中，因?yàn)椤螾=60°，MN=NP，所以△MNP是等邊三角形，所以∠PMN=∠PNM=60°.因?yàn)椤鱉NP的周長(zhǎng)為24，所以PM=PN=MN=8，又因?yàn)镸Q⊥PN，垂足為Q，所以PQ=NQ=4，∠QMN=12因?yàn)镹G=NQ=4，∠G+∠NQG=∠PNM，所以∠G=∠NQG=12所以QG=MQ=a，所以△MGQ的周長(zhǎng)=MN+NG+MQ+GQ=8+4+a+a=12+2a.故選A.21.7解析如圖，作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD，CD與OA、OB的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M、N，∴△PMN的周長(zhǎng)=PM+PN+MN=CM+DN+MN=CD，此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最小.∵點(diǎn)P與點(diǎn)D關(guān)于OB對(duì)稱，∴PO=OD，∠POB=∠DOB.∵點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于OA對(duì)稱，∴OP=OC，∠POA=∠COA，∵∠AOB=∠POA+∠POB=30°，∴∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠AOB=60°，又∵OC=OP=OD，∴△OCD為等邊三角形，∴CD=OC=OP=7cm，∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值為7cm.22.解析（1）在△BDC中，∵∠ABC=80°，BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=12在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=60°，∵CE=BC，∴△BCE是等邊三角形，∴∠EBC=60°，∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°.（2）∠BEC+∠BDC=110°，理由如下:設(shè)∠BEC=α，∠BDC=β，則α=∠A+∠ABE=40°+∠ABE，∵CE=BC，∴∠CBE=∠BEC=α，∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=40°+2∠ABE，在△BDC中，∵BD=BC，∴∠BDC+∠BCD+∠DBC=2β+40°+2∠ABE=180°，∴β=70°-∠ABE，∴α+β=40°+∠ABE+70°-∠ABE=110°，∴∠BEC+∠BDC=110°.23.解析【問題解決】證明:如圖1所示，在CD上截取CH=CE，連接EH.圖1因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠ECH=60°，所以△CEH是等邊三角形，所以EH=EC=CH，∠CEH=60°.因?yàn)椤鱀EF是等邊三角形，所以DE=FE，∠DEF=60°，所以∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°，所以∠DEH=∠FEC.在△DEH和△FEC中，DE所以△DEH≌△FEC（SAS），所以DH=CF，所以CD=CH+DH=CE+CF，所以CE+CF=CD.【類比探究】CF=CD+CE.理由如下:因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠A=∠B=60°.如圖2所示，過D作DG∥AB，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，圖2所以∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60°，所以△GCD為等邊三角形，所以DG=CD=CG.因?yàn)椤鱁DF為等邊三角形，所以ED=DF，∠EDF=∠GDC=60°，所以∠EDG=∠FDC.在△EG