12.3 角的平分線的性質(zhì)

12.3角的平分線的性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)練1．如圖，AB∥CD，∠1=70°，F(xiàn)G平分∠EFD，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．70°2．如圖，BD平分∠ABC，BC⊥DE于點E，AB=7，，則SΔABD=A．28 B．21 C．14 D．73．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，若AB=20，△ABD的面積為60，則A．12 B．10 C．6 D．44．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，則下列結(jié)論：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，平分∠ABC，交CD于點E，若BC=16，DE=6，則△BCE的面積等于（）A．36 B．48 C．60 D．726．如圖，兩把完全相同的長方形直尺按如圖方式擺放，記兩把尺的接觸點為點P．其中一把直尺邊緣恰好和射線OA重合，而另一把直尺的下邊緣與射線OB重合，上邊緣與射線OA于點M，聯(lián)結(jié)OP．若∠BOP＝28°，則∠AMP的大小為（

）A．62° B．56° C．52° D．46°7．如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，則∠MAB=A．35° B．40° C．45° D．60°8．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，則△DBE的周長是（

）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D，若CD＝4，AB＝15，則△ABDA．15 B．30 C．45 D．6010．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC，AB邊于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交BC邊于點D，若BD＝5，則A．7 B．6 C．5 D．411．如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長分別是10，15，20，其三條角平分線相交于點O，連接OA，OB，OC，將△ABC分成三個三角形，則S△12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，垂足為E，若△ABC和△ADE的周長分別為30和6，則13．如圖所示，已知：AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=140°，∠BED的度數(shù)為______．14．如圖，在ΔABC中，∠ACB=α，∠ACB的平分線與∠ABC的外角平分線交于點E，則∠AEB的度數(shù)為___________.（用含α的式子表示）15．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AD=8，AB=6，若△ACD的面積為16，則△ABC的面積為________．16．如圖，表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有____處．17．如圖，∠AOB中，以點O為圓心，任意長為半徑作弧，交OA于點M，交OB于點N，分別以點M，N為圓心，以大于12MN的長為半徑作弧，兩弧交于點C，作射線OC，過點C作CD⊥OA于點D．CE//OA交OB于點E，若∠CEB=5018．如圖，BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，F(xiàn)D的延長線交BE于點E（1）若∠BAC=56°，∠DCA=22°，∠EBD=23°，求∠BEF的度數(shù)；（2）若∠BAC=α，∠DCA=β，∠BEF=γ，請直接寫出α、β、γ三者之間的關(guān)系．19．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點E，點F在BC上，連接DF，且AD=DF．(1)求證：；(2)若AE=3，BF=4，求AB的長．20．如圖，小聰想畫∠AOB的角平分線，手頭沒有量角器和圓規(guī)，只有一個帶刻度的直角三角尺，于是他按如下方法操作：在OA，OB邊上量取OC＝OD＝1cm，分別過點C，點D作CF⊥OA，DE⊥OB，CF與DE交于點P，作射線OP，則射線OP就是∠AOB的角平分線．請判斷小聰?shù)淖龇ㄊ欠窨尚?？并說明理由．21．如圖，點D、B分別在∠A的兩邊上，C是∠A內(nèi)一點，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F．求證：CE=CF．能力提升練22．如圖，有三塊菜地△ACD、△ABD、△BDE分別種植三種蔬菜，點D為AE與BC的交點，AD平分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面積為96，則菜地△ACD的面積是（

）A．24 B．27 C．32 D．3623．如圖，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，連接AC、BD交于點M，連接OM，下列結(jié)論：①；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC，其中正確的為（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④24．如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分線AD，BE相交于點P，過P作PF⊥AD交BC的延長線于點F，交AC于點H，則下列結(jié)論：①∠APB=135°；②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四邊形ABDE=74S△ABP；⑤S△APH=S△ADEA．2 B．3 C．4 D．525．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點D，DE//AB，交AC于點E，DF⊥AB于點F，DE=5,DF=3，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=926．如圖，BD平分∠ABC，F(xiàn)，G分別是BA，BC上的點（BF≠BG），EF=EG，則∠BFE與∠BGE的數(shù)量關(guān)系一定滿足的是（

）A．∠BFE+∠BGE=90° C．∠BFE=2∠BGE D．∠27．如圖，△ABC的兩個外角的平分線相交于點P，則下列結(jié)論正確的是（）A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC28．如圖是用直尺和圓規(guī)作已知角∠AOB平分線OP的示意圖，仔細(xì)觀察，根據(jù)三角形全等的知識，說明畫出OP的依據(jù)是（

）A．邊角邊，全等三角形對應(yīng)角相等 B．角邊角，全等三角形對應(yīng)角相等C．邊邊邊，全等三角形對應(yīng)角相等 D．斜邊直角邊，全等三角形對應(yīng)角相等29．如圖，在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過O點作EF∥BC交AB于點E，交AC于點F，過點O作OD⊥AC于D，下列四個結(jié)論：①EF=BE+CF；②∠BOC=90°?12∠A；③點O到ΔABC各邊的距離相等；④設(shè)OD=m，，則30．如圖，ΔABC的面積為8cm2，AP垂直∠B的平分線BP于P，則ΔPBC的面積為________．31．如圖，在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD(OA<OC)，∠AOB=∠COD=α，直線AC,BD交于點M，連接OM．以下結(jié)論：①；②∠OAC=∠OBD；③∠CMD=α；④OM平分∠BOC．其中正確的是___________（填序號）．32．如圖，在x、y軸上分別截取OA、OB，使OA＝OB，再分別以點A、B為圓心，以大于12AB的長度為半徑畫弧，兩弧交于點C．若C的坐標(biāo)為（3a，﹣a＋8），則a拓展培優(yōu)練33．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD的延長線于F．(1)求證：△ABE≌△ADF；(2)若BC=8cm，DF=3cm，求CD的長．34．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE交于點F，連接AF．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)求證：FA平分∠BFE．35．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F，M、N分別為AB、（1）求證：DE＝DF；（2）若DM＝DN，△ADM和△ADN的面積分別為36和50，求△DME36．小明的學(xué)習(xí)過程中，對教材中的一個有趣問題做如下探究：(1)【習(xí)題回顧】已知：如圖1，在ΔABC中，∠ACB=90°，AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點F．求證：∠CFE=(2)【變式思考】如圖2，在ΔABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，若ΔABC的外角∠BAG的平分線交CD的延長線于點F，其反向延長線與BC邊的延長線交于點E，若∠B=40°，求∠CEF和∠CFE(3)【探究延伸】如圖3，在ΔABC中，在AB上存在一點D，使得∠ACD=∠B，角平分線AE交CD于點F．ΔABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長線交于點M．若∠M=35°，求∠CFE37．已知，點C在∠MAN的平分線AP上，點B、D分別在AM、AN上，連接CB、CD．(1)如圖1，若，請直接寫出線段BC與DC的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，，鄭么（1）中探究的結(jié)論是否成立？若成立，請給出證明：若不成立，請說明理由．

12.3角的平分線的性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)練1．如圖，AB∥CD，∠1=70°，F(xiàn)G平分∠EFD，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．70°【答案】B【分析】由AB∥CD，∠1=70°，可得出∠EFD=∠1=70°，再由角平分線的定義即可得出∠2的度數(shù)．【詳解】解：∵AB∥CD，∠1=70°，∴∠EFD=∠1=70°．又∵FG平分∠EFD，∴∠2=12∠EFD故選B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，是基礎(chǔ)題．2．如圖，BD平分∠ABC，BC⊥DE于點E，AB=7，，則SΔABD=（

A．28 B．21 C．14 D．7【答案】C【分析】作DH⊥BA于，由角平分線的性質(zhì)得到DH=DE=4，結(jié)合三角形面積公式解題．【詳解】解：作DH⊥BA于∵BD平分∠ABC，BC⊥DE，DH⊥∴DH=DE=4∴S故選：C．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，若AB=20，△ABD的面積為60，則CD長(A．12 B．10 C．6 D．4【答案】C【分析】過點D作DE⊥AB于點E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=CD，再由△ABD的面積為60，可得DE=6，即可求解．【詳解】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，∵∠C=90°，AD平分∴DE=CD，∵AB=20，△ABD的面積為60，∴12解得：DE=6，∴CD=6．故選：C【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，則下列結(jié)論：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正確的有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)題中條件，結(jié)合圖形及角平分線的性質(zhì)得到結(jié)論，與各選項進(jìn)行比對，排除錯誤答案，選出正確的結(jié)果．【詳解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠C=∠E=90°，∵AD=AD，∴△DAC≌△DAE，∴∠CDA=∠EDA，∴①AD平分∠CDE正確；無法證明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB錯誤；∵BE+AE=AB，AE=AC，∴BE+AC=AB，∴④BE+AC=AB正確；∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，∴∠BDE=∠BAC，∴②∠BAC=∠BDE正確．綜上，正確的個數(shù)的3個，故選：C．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)；題目是一道結(jié)論開放性題目，考查了同學(xué)們利用角平分線的性質(zhì)解決問題的能力，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維能力．5．如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，平分∠ABC，交CD于點E，若BC=16，DE=6，則△BCE的面積等于（）A．36 B．48 C．60 D．72【答案】B【分析】作EF⊥BC交BC于點F，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可以得到EF=DE，再根據(jù)三角形的面積公式，即可求得△BCE【詳解】解：作EF⊥BC交BC于點F，∵CD是AB邊上的高，∴ED⊥∵平分∠ABC，∴EF=DE∵BC=16，DE=6，∴S△故選：B．【點睛】本題考查了三角形的面積和角平分線性質(zhì)．理解和掌握角的平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．如圖，兩把完全相同的長方形直尺按如圖方式擺放，記兩把尺的接觸點為點P．其中一把直尺邊緣恰好和射線OA重合，而另一把直尺的下邊緣與射線OB重合，上邊緣與射線OA于點M，聯(lián)結(jié)OP．若∠BOP＝28°，則∠AMP的大小為（

）A．62° B．56° C．52° D．46°【答案】B【分析】根據(jù)題意，兩把完全相同的長方形直尺的寬度一致，根據(jù)擺放方式可知，點P到射線OA，OB的距離相等，進(jìn)而可得OP是∠AOB的角平分線，進(jìn)而可得∠AOP=∠BOP，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠MPO=∠POB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠AMP=∠AOP+∠MPO，即可求解．【詳解】解：∵兩把完全相同的長方形直尺的寬度一致，點P到射線OA，OB的距離相等，∴OP是∠AOB的角平分線，∵∠BOP=28°，∴∠AOP=∠BOP=28°，∵M(jìn)P∥OB∴∠MPO=∠POB=28°∴∠AMP=∠AOP+∠MPO=56°故選：B【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的角平分線的判定，三角形的外角性質(zhì)，找到隱含條件P到射線OA，OB的距離相等是解題的關(guān)鍵．7．如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，則∠MAB=（

A．35° B．40° C．45° D．60°【答案】A【分析】由已知條件和平行線的性質(zhì)可得∠DAB=70°，過點M作MN⊥AD于點N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得MN=MC，根據(jù)M是BC的中點，可得MB=MN，根據(jù)角平分線的判定定理可得AM是∠DAB的角平分線，進(jìn)而可得∠【詳解】如圖，過點M作MN⊥AD于點N，∵∠B=∠C=90°,DM平分∠ADC∴CD∥AB，MN=MC∵∴∵M(jìn)是BC的中點，∴∴平分∠DAB∴故選A【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，掌握角平分線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，則△DBE的周長是（

）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】B【分析】由在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∠BAC的平分線AD交BC于D，DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得CD=ED，AC=AE=BC，繼而可得△DBE的周長=AB．【詳解】∵在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC于D，DE⊥AB于E，∴CD=ED，∠ADC=∠ADE，∴AE=AC，∵AC=BC，∴BC=AE，∴△DBE的周長是：BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=7cm．故選B．【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D，若CD＝4，AB＝15，則△ABD的面積是（

A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DC=4，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【詳解】解：作DE⊥AB于E，由基本尺規(guī)作圖可知，AD是△ABC的角平分線，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=4，∴△ABD的面積=12×AB×DE故選：B．【點睛】本題考查的是作圖——基本作圖，角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC，AB邊于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交BC邊于點D，若BD＝5，則CD的長可能是（A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】過點D作DE⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CD=DE，根據(jù)點到直線的距離垂線段最短可得DE<DB即可求解．【詳解】由作圖可知，AP是∠CAB過點D作DE⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CD=DE，根據(jù)點到直線的距離垂線段最短可得DE<DB∴故選D【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，理解題意，AP是∠CAB11．如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長分別是10，15，20，其三條角平分線相交于點O，連接OA，OB，OC，將△ABC分成三個三角形，則S△【答案】2：3：4【分析】過點O分別向三邊作垂線段，通過角平分線的性質(zhì)得到三條垂線段長度相等，再通過面積比等于底邊長度之比得到答案．【詳解】解：過點O分別向BC、BA、AC作垂線段交于D、E、F三點．∵CO、BO、AO分別平分∠∴∵，S△BCO=12∴S故答案為：2：3：4【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，往三角形的三邊作垂線段并得到面積之比等于底之比是解題關(guān)鍵．12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，垂足為E，若△ABC和△ADE的周長分別為30和6，則【答案】12【分析】由BD平分∠ABC，可得∠EBD=∠CBD，可證Rt△EBD≌Rt△CBD（AAS），可得BE=BC，ED=CD，可求AC+AE=6，可求2BC+AE+AC=30即可．【詳解】解：∵DE⊥AB，∠ACB=9∴∠BED=∠BCD=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠CBD，在Rt△EBD和Rt△CBD中，∠EBD=Rt△EBD≌Rt△CBD（AAS），∴BE=BC，ED=CD，∵△ADE的周長為6，∴AD+ED+AE=AD+DC+AE=AC+AE=6，∵△ABC的周長為30，∴AB+BC+AC=AE+BE+BC+AC=2BC+AE+AC=30，∴2BC=30-（AE+AC）=30-6=24，∴BC=12．故答案為12．【點睛】本題考查角平分線定義，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形周長，掌握角平分線定義，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形周長是解題關(guān)鍵．13．如圖所示，已知：AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=140°，∠BED的度數(shù)為______．【答案】80°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠ABE+∠CDE的度數(shù)，從而求得結(jié)果．【詳解】∵AB∥CD∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，∠BFD=∠ABF+∠CDF=140°∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE∴∠ABE+∠CDE=280°∴∠BED=80°．【點睛】平行線的判定與性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)的重點，貫穿于整個初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，是中考常見題，一般難度不大，需熟練掌握．14．如圖，在ΔABC中，∠ACB=α，∠ACB的平分線與∠ABC的外角平分線交于點E，則∠AEB的度數(shù)為___________.（用含α的式子表示）【答案】90°?【分析】如圖，過點E作ΔABC三邊的垂線，垂足分別為D，F(xiàn)，G，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)證得EF=DE，然后根據(jù)角平分線的判定證得∠FAE=∠EAD，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)求得∠EBA=，∠BAE=【詳解】解：過點E作ED⊥AB于點D，EF⊥AC于點F，EG⊥BC于點∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABC的外角，∴EF=FG=ED，∴AE也是∠BAC外角的平分線，∴∠ABG=2∵∠∴∠EBA=，∠BAE=，∴∠EBA+∠BAE==180°+α2，∴∠AEB=180°?α2=90°?故答案為：90°?α【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和判定，正確理解三角形的有關(guān)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．15．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AD=8，AB=6，若△ACD的面積為16，則△ABC的面積為________．【答案】12【分析】過點C作CE⊥AB于E，過點C作CF⊥AD于F，由角平分線的性質(zhì)可得CE=CF，由△ACD的面積和底求得高CF的值，便可解答；【詳解】解：如圖，過點C作CE⊥AB于E，過點C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠DAB，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵AD=8，△ACD面積=16，∴CF=4，∵AB=6，CE=CF=4，∴△ACB面積=12，故答案為：12；【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）；掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．如圖，表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有____處．【答案】4．【分析】作直線l1、l2、l3所圍成的三角形的外角平分線和內(nèi)角平分線，外角平分線相交于點P1、P2、P3，內(nèi)角平分線相交于點P4，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行判斷．【詳解】解：如圖示，作直線l1、l2、l3所圍成的三角形的外角平分線和內(nèi)角平分線，外角平分線相交于點P1、P2、P3，內(nèi)角平分線相交于點P4，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到這4個點到三條公路的距離分別相等．故答案是：4．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．如圖，∠AOB中，以點O為圓心，任意長為半徑作弧，交OA于點M，交OB于點N，分別以點M，N為圓心，以大于12MN的長為半徑作弧，兩弧交于點C，作射線OC，過點C作CD⊥OA于點D．CE//OA交OB于點E，若∠CEB=50【答案】65°##65度【分析】根據(jù)作圖先得出OC平分∠AOB，根據(jù)CE∥OA，得出∠OCE=∠BOC，根據(jù)∠BEC為ΔOCE的外角，得出∠CEB=∠BOC+∠OCE，即可求出∠AOC=25°，根據(jù)CD⊥OA，得出【詳解】解：根據(jù)作圖可知，OC平分∠AOB，∴，∵CE∥∴∠∴∠∵∠BEC為ΔOCE的外角，∴∠∴∠∵CD∴∠∴∠故答案為：65°．【點睛】本題主要考查了角平分線的基本作圖，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意求出∠AOC=25°18．如圖，BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，F(xiàn)D的延長線交BE于點E（1）若∠BAC=56°，∠DCA=22°，∠EBD=23°，求∠BEF的度數(shù)；（2）若∠BAC=α，∠DCA=β，∠BEF=γ，請直接寫出α、β、γ三者之間的關(guān)系．【答案】（1）39°；（2）γ=【分析】（1）連接BC，根據(jù)∠EBD=23°，BE平分∠ABD，求出∠ABD的度數(shù)，然后根據(jù)∠BAC=56°，∠DCA=22°，求出∠DBC的度數(shù)，然后根據(jù)DF是∠BDC的平分線，求出∠BDF的度數(shù)，最后根據(jù)外角的性質(zhì)即可求出∠BEF（2）連接BC，首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和BE平分∠ABD，表示出∠BDC的度數(shù)，然后根據(jù)DF平分∠BDC，表示出∠BDF的度數(shù)，利用∠BDF=【詳解】解：（1）如圖所示，連接BC，∵∠EBD=23°,BE，，∴∠DBC+∴∠∵DF是∠BDC，∴∠BEF=（2）如圖所示，連接BC，∵BE是∠ABD∴∠EBD=，=180°?180°∵DF平分∠BDC∴∠∵∠，，∴α,β,γ三者之間的關(guān)系是γ≡1【點睛】此題考查了角平分線的運用，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意表示出∠BDF．19．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點E，點F在BC上，連接DF，且AD=DF．(1)求證：；(2)若AE=3，BF=4，求AB的長．【答案】(1)證明見解析(2)10【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)可得DE=DC，證明Rt△（2）證明△BED≌△BCDAAS，可得BE=BC，根據(jù)AB=BE+AE（1）證明：（1）∵∠C=90°，∴DC⊥BC，又∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，∴DE=DC，∠AED=90°，在Rt△AED和Rt△FCD中，∵AD=DFDE=DC，∴（2）解：由（1）可得CF=AE=3，∴BC=BF+CF=4+3=7，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠DEB=∠C，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠CBD，在△BED和△BCD中，∵∠DEB=∠C∠EBD=∠CBDBD=BD，∴△BED≌△BCDAAS，∴BE=BC=7，∴AB=BE+AE=7+3=10，【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握角平分線的性質(zhì)并證明三角形全等．20．如圖，小聰想畫∠AOB的角平分線，手頭沒有量角器和圓規(guī)，只有一個帶刻度的直角三角尺，于是他按如下方法操作：在OA，OB邊上量取OC＝OD＝1cm，分別過點C，點D作CF⊥OA，DE⊥OB，CF與DE交于點P，作射線OP，則射線OP就是∠AOB的角平分線．請判斷小聰?shù)淖龇ㄊ欠窨尚校坎⒄f明理由．【答案】小聰?shù)淖龇尚?，理由見解析【分析】通過已知條件證明△COF?△DOE，得到∠OFC=∠OED，OE=OF，再根據(jù)已知條件證明△PCE【詳解】小聰?shù)淖龇尚?，理由如下：∵CF⊥OA，DE⊥OB，∴∠OCF=在△COF和△DOE中，∠∴△COF∴∠OFC=∠OED，OE=OF，又∵OC=OD，∴OE?OC=OF?OD，即，在△PCE和△PDF中，∠∴△PCE∴，又∵CF⊥OA，DE⊥OB，∴OP平分∠AOB；【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，準(zhǔn)確證明是解題的關(guān)鍵．21．如圖，點D、B分別在∠A的兩邊上，C是∠A內(nèi)一點，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F．求證：CE=CF．【答案】見解析【分析】首先證明△ADC≌△ABC可得∠DAC＝∠BAC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得結(jié)論．【詳解】證明：在△ADC和△ABC中，AD=AB∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC＝∠BAC，∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，∴CE＝CF．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．能力提升練22．如圖，有三塊菜地△ACD、△ABD、△BDE分別種植三種蔬菜，點D為AE與BC的交點，AD平分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面積為96，則菜地△ACD的面積是（

）A．24 B．27 C．32 D．36【答案】C【分析】利用三角形的中線平分三角形的面積求得S△ABD=S△BDE=96，利用角平分線的性質(zhì)得到△ACD與△ABD的高相等，進(jìn)一步求解即可．【詳解】解：∵AD=DE，S△BDE=96，∴S△ABD=S△BDE=96，過點D作DG⊥AC于點G，過點D作DF⊥AB于點F，∵AD平分∠BAC，∴DG=DF，∴△ACD與△ABD的高相等，又∵AB=3AC，∴S△ACD=13S△ABD=1故選：C．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．23．如圖，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，連接AC、BD交于點M，連接OM，下列結(jié)論：①；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC，其中正確的為（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】B【分析】由SAS證明得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正確；由全等三角形的性質(zhì)得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AOB=∠COD=40°，②正確；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如圖所示：則∠OGC=∠OHD=90°，由AAS證明△OCG?△ODH（AAS），得出OG=OH，由角平分線的判定方法得出MO平分∠BOC，④正確；由∠AOB=∠COD，得出當(dāng)∠DOM=∠AOM時，OM平分∠BOC，假設(shè)∠DOM=∠AOM，由得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM?△BOM，得出OB=OC，OA=OB，所以O(shè)A=OC，而OA>OC，故③錯誤；即可得出結(jié)論．【詳解】∵∠AOB=∴∠即∠在△AOC和△BOD中，∴（SAS）∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正確；∴∠OAC=由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∴∠AOB=∠COD=40°作OG⊥MC于G，OH⊥則∠OGC=在△OCG和△ODH中，∴△OCG∴OG=OH∴MO平分∠BOC，④∴∠∴當(dāng)∠DOM=∠AOM時，OM平分∠BOC假設(shè)∠∵∴∠COM=∵M(jìn)O平分∠∴∠CMO=在△COM和△BOM中，∴△COM∴OB=OC，∵OA=OB，∴OA=OC，與OA>OC矛盾，∴③錯誤；正確的有①②④；故選：B【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．24．如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分線AD，BE相交于點P，過P作PF⊥AD交BC的延長線于點F，交AC于點H，則下列結(jié)論：①∠APB=135°；②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四邊形ABDE=74S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正確的結(jié)論有（

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】①正確．利用三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義即可解決問題．②正確．證明△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再證明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可解決問題．③錯誤．利用反證法，假設(shè)成立，推出矛盾即可．④錯誤，可以證明S四邊形ABDE=2S△ABP．⑤正確．由DH∥PE，利用等高模型解決問題即可．【詳解】解：在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°又∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC∴∠BAD+∠ABE=12（∠A+∠B∴∠APB=135°，故①正確∴∠BPD=45°又∵PF⊥AD∴∠FPB=90°+45°=135°∴∠APB=∠FPB又∵∠ABP=∠FBPBP=BP∴△ABP≌△FBP（ASA）∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF在△APH和△FPD中，∠∴△APH≌△FPD（ASA）∴PH=PD∴AD=AP+PD=PF+PH．故②正確∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD∵∠HPD=90°∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∴HD∥EP∴S△EPH=S△EPD∴S△APH=S△AED，故⑤正確∵S四邊形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD=S△ABP+S△APH+S△PBD=S△ABP+S△FPD+S△PBD=S△ABP+S△FBP=2S△ABP，故④不正確若DH平分∠CDE，則∠CDH=∠EDH∵DH∥BE∴∠CDH=∠CBE=∠ABE∴∠CDE=∠ABC∴DE∥AB，這個顯然與條件矛盾，故③錯誤故選B．【點睛】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定方法，三角形內(nèi)角和定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．25．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點D，DE//AB，交AC于點E，DF⊥AB于點F，DE=5,DF=3，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=9【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD=DF=3，故B正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線得到AE=DE=5，故C正確；由此判斷D正確；再證明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A錯誤．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點D，DF⊥∴CD=DF=3，故B正確；∵DE=5，∴CE=4，∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正確；∴AC=AE+CE=9，故D正確；∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，∴△BDF≌△DEC，

∴BF=CD=3，故A錯誤；故選：A．【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，等邊對等角證明角相等，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記各知識點并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．26．如圖，BD平分∠ABC，F(xiàn)，G分別是BA，BC上的點（BF≠BG），EF=EG，則∠BFE與∠BGE的數(shù)量關(guān)系一定滿足的是（

）A．∠BFE+∠BGE=90° C．∠BFE=2∠BGE D．∠【答案】B【分析】分別作EM⊥AB,EN⊥BC于點M、N，BD為∠ABC的角平分線有EM=EN，易證△EMF?△ENG，進(jìn)而有∠MFE=【詳解】解：分別作EM⊥AB,EN⊥BC∵BD為∠ABC∴EM=EN∵EF=EG∴△EMF∴∠MFE=∴∠BFE+故選：B．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，作垂線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．27．如圖，△ABC的兩個外角的平分線相交于點P，則下列結(jié)論正確的是（）A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC【答案】B【分析】過點P分別作PD⊥BA交BA延長線于點D，PE⊥BC交BC延長線于點E，PF⊥AC于點F，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，即可求解．【詳解】解：如圖，過點P分別作PD⊥BA交BA延長線于點D，PE⊥BC交BC延長線于點E，PF⊥AC于點F，∵△ABC的兩個外角的平分線相交于點P，∴PD=PF，PE=PF，∴PD=PE，∴點P在∠ABC的角平分線上，即BP平分∠ABC．故選：B【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，熟練掌握角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上是解題的關(guān)鍵．28．如圖是用直尺和圓規(guī)作已知角∠AOB平分線OP的示意圖，仔細(xì)觀察，根據(jù)三角形全等的知識，說明畫出OP的依據(jù)是（

）A．邊角邊，全等三角形對應(yīng)角相等B．角邊角，全等三角形對應(yīng)角相等C．邊邊邊，全等三角形對應(yīng)角相等D．斜邊直角邊，全等三角形對應(yīng)角相等【答案】C【分析】結(jié)合題意，根據(jù)角平分線尺規(guī)作圖、全等三角形的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意，得：OD=OC，DP=CP在△ODP和△OCPOD=OCDP=CP∴△ODP∴∠DOP=∠COP，即∠∴畫出OP的依據(jù)是：邊邊邊，全等三角形對應(yīng)角相等故選：C．【點睛】本題考查了角平分線、全等三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線尺規(guī)作圖、全等三角形的性質(zhì)，從而完成求解．29．如圖，在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過O點作EF∥BC交AB于點E，交AC于點F，過點O作OD⊥AC于D，下列四個結(jié)論：①EF=BE+CF；②∠BOC=90°?12∠A；③點O到ΔABC各邊的距離相等；④設(shè)OD=m，，則【答案】①③④【分析】由角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，三角形的性質(zhì)等對結(jié)論進(jìn)行判定即可．【詳解】解：在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=，；故②錯誤；在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，，∠OCB=∠∵EF//BC，∠OCB=∠，∠FOC=∠∴BE=OE，CF=OF，，故①正確；過點O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，，；故④正確；在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴點O到ΔABC各邊的距離相等，故③正確．故答案為：①③④．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)的有關(guān)角平分線的綜合問題，一般地，從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.也就是說，一個點只要在角的平分線上，那么這個點到該角的兩邊的距離相等．30．如圖，ΔABC的面積為8cm2，AP垂直∠B的平分線BP于P，則ΔPBC的面積為________．【答案】4c【分析】延長AP交BC于E，根據(jù)AP垂直∠B的平分線BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以證明兩三角形面積相等，即可證明三角形PBC的面積．【詳解】解：延長AP交BC于E，如圖所示：∵AP垂直∠B的平分線BP于P，∴∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，在△APB和△EPB中&∠∴△APB≌△EPB（ASA），∴S△APB=S△EPB，AP=PE，∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC=S△PCE，∴S△PBC=S△PBE+S△PCE=12S△ABC=4cm2故答案為4cm2．【點睛】本題考查了三角形面積和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出S△PBC=S△PBE+S△PCE=12S△ABC31．如圖，在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD(OA<OC)，∠AOB=∠COD=α，直線AC,BD交于點M，連接OM．以下結(jié)論：①；②∠OAC=∠OBD；③∠CMD=α；④OM平分∠BOC．其中正確的是___________（填序號）．【答案】①②③【分析】由SAS證明△AOC≌△BOD得出∠OAC=∠OBD，AC=BD，①②正確；由全等三角形的性質(zhì)得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，得出∠AMB=∠AOB=α，可得③正確；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，利用全等三角形的對應(yīng)高相等得出OG=OH，由角平分線的判定方法得∠AMO=∠DMO，假設(shè)OM平分∠BOC，則可求出∠AOM=∠DOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO=OD，而OC=OD，所以O(shè)A=OC，而OA＜OC，故④錯誤；即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵∠AOB=∠COD=α，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，&OA=OB&∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OAC=∠OBD，AC=BD，故①②正確；由三角形的內(nèi)角和定理得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，∵∠OAC=∠OBD，∴∠AMB=∠AOB=α，∴∠CMD=α，故③作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如圖所示，∵△AOC≌△BOD，∴結(jié)合全等三角形的對應(yīng)高可得：OG=OH，∴MO平分∠AMD，∴∠AMO=∠DMO，假設(shè)OM平分∠BOC，則∠BOM=∠COM，∵∠AOB=∠COD，∴∠AOB+∠BOM=∠COD+∠COM，即∠AOM=∠DOM，在△AMO與△DMO中，&∠∴△AMO≌△DMO（ASA），∴OA=OD，∵OC=OD，∴OA=OC，而OA＜OC，故④錯誤；正確的個數(shù)有3個；故答案為：①②③．【點睛】本題屬于三角形的綜合題，是中考填空題的壓軸題，本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．32．如圖，在x、y軸上分別截取OA、OB，使OA＝OB，再分別以點A、B為圓心，以大于12AB的長度為半徑畫弧，兩弧交于點C．若C的坐標(biāo)為（3a，﹣a＋8），則a【答案】2【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖可知，點C在∠AOB角平分線上，所以C點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，即可以求出a的值．【詳解】解：根據(jù)題目尺規(guī)作圖可知，交點C是∠AOB角平分線上的一點，∵點C在第一象限，∴點C的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是正數(shù)且橫坐標(biāo)等于縱坐標(biāo)，即3a=-a+8，得a=2，故答案為：2．【點睛】本題考查了角平分線尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)，以及平面直角坐標(biāo)系的知識，結(jié)合直角坐標(biāo)系的知識列方程求解是解答本題的關(guān)鍵．拓展培優(yōu)練33．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD的延長線于F．(1)求證：△ABE≌△ADF；(2)若BC=8cm，DF=3cm，求CD的長．【答案】(1)證明見解析(2)2cm【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)可知，證明Rt△ABE（2）由△ABE≌△ADF，可得BE=DF，證明Rt△ACE≌Rt△ACFHL，則CE=CF，根據(jù)CD=CF?DF(1)證明：∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，∴，在Rt△ABE和Rt△∵AB=ADAE=AF∴Rt△∴△ABE(2)解：∵△ABE∴BE=DF，在Rt△ACE和Rt△∵AC=ACAE=AF∴Rt△∴CE=CF，∴CD=CF?DF=BC?DF?DF=2∴CD的長為2cm．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于找出三角形全等的條件．34．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE交于點F，連接AF．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)求證：FA平分∠BFE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)SAS證明結(jié)論即可；（2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可解決問題．(1)證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠∴△BAD≌△CAE（SAS）；(2)證明：如圖，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，∵12∴AM＝AN，∴點A在∠BFE平分線上，∴FA平分∠B