數(shù)學(xué)-湖南省長(zhǎng)沙市（炎德英才大聯(lián)考）長(zhǎng)郡中學(xué)2025屆高三上學(xué)期月考試卷（三）試題和答案

得分本試卷共8頁。時(shí)量120分鐘。滿分150分。1.設(shè)集合A={1,2},B={2,3},C={1,2,3,4},則A.A∩B=B.AUB=CC.AUC=C2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和復(fù)數(shù)z?=1+2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)A.5B.√5C.—3—4iD.—3+3.已知向量a,b滿足|a|=3,|b|=2√3,且a⊥(a+b),則b在a方向上的A.3B.—3C.—3aD.—a4.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(5)=4,f(x+3)是偶函數(shù)，Vx?,x?∈(3,十一),A.f(0)<4C.f(2)>45.若正四棱錐的高為8,且所有頂點(diǎn)都在半徑為5的球面上，則該正四棱A.24B.32C.966.已知曲線y=e2在x=1處的切線l恰好與曲線y=a+lnx相切，則實(shí)數(shù)a的值為數(shù)學(xué)試題(長(zhǎng)郡版)第1頁(共8頁)7.在直角坐標(biāo)系中，繞原點(diǎn)將x軸的正半軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角)交縱坐標(biāo)且△OAB的面積,則B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為AA8.已知雙曲線C(a>0,b>0)的左頂點(diǎn)為A,F(c,0)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在直線x=2c上，且曲線C的離心率是A.2√6B.2√3二、選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.)9.函數(shù))的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)中正確的有A.f(x)的最小正周期為2π是f(x)的最小值個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函D.把函數(shù)y=f(x)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)y=3sin2x的圖象數(shù)學(xué)試題(長(zhǎng)郡版)第2頁(共8頁)A.若B?P與平面ABCD所成的角為,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為11.在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)藝術(shù)體操項(xiàng)目集體全能決賽中，中國(guó)隊(duì)以69.800分的成績(jī)奪得金牌，這是中國(guó)藝術(shù)體操隊(duì)在奧運(yùn)會(huì)上獲得的第一枚金牌.藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線C:y2=2px(p>0)繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,180°,270°后所得三條曲線與C圍成的(如圖陰影區(qū)域),A,B為C與其中兩條曲線A.開口向上的拋物線的方程為C.直線x+y=t截第一象限花瓣的弦長(zhǎng)的最大值為D.陰影區(qū)域的面積大于4選擇題答題卡題號(hào)123456789得分答案三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.)12.若(x—1)?=ao+ajx+a?x2+a?x3+a?x?+asx?,則a?=則實(shí)數(shù)a的取值范圍是數(shù)學(xué)試題(長(zhǎng)郡版)第3頁(共8頁)14.設(shè)Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積，若T,+an=m,其中常數(shù)m>0,數(shù)列四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)15.(本小題滿分13分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知(b+c—a)(b+(1)求A;(2)若D為BC邊上一點(diǎn)，∠BAD=3∠CAD,AC=4,AD=√3,求數(shù)學(xué)試題(長(zhǎng)郡版)第4頁(共8頁)16.(本小題滿分15分)AC=1,AA?=2.(2)若直線BA?與平面BCC?B?所成角的正弦值,求平面A?BB?與平面BCC?B?夾角的余弦值.數(shù)學(xué)試題(長(zhǎng)郡版)第5頁(共8頁17.(本小題滿分15分)人工智能(AI)是一門極富挑戰(zhàn)性的科學(xué)，自誕生以來，理論和技術(shù)日益成熟.某公司研究了一款答題機(jī)器人，參與一場(chǎng)答題挑戰(zhàn).若開始基礎(chǔ)分值為m(m∈N*)分，每輪答2題，都答對(duì)得1分，僅答對(duì)1題得0分，都答錯(cuò)得一1分.若該答題機(jī)器人答對(duì)每道題的概率均為,每輪答題相互獨(dú)立，每輪結(jié)束后機(jī)器人累計(jì)得分為X,當(dāng)X=2m時(shí)，答題結(jié)(1)當(dāng)m=3時(shí)，求機(jī)器人第一輪答題后累計(jì)得分X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)當(dāng)m=4時(shí)，求機(jī)器人在第6輪答題結(jié)束且挑戰(zhàn)成功的概率.數(shù)學(xué)試題(長(zhǎng)郡版)第6頁(共8頁)18.(本小題滿分17分)已知橢圓(C)的長(zhǎng)軸是短軸倍，且橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為3.A,B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過A,B分別做橢圓的切線，取橢圓上x軸上方任意兩點(diǎn)P,Q(P在Q的左側(cè)),并過P,Q兩點(diǎn)分別作橢圓的切線交于R點(diǎn)，直線RP交點(diǎn)A的切線于I,直線RQ交點(diǎn)B的切線于J,過R作AB的垂線交IJ于K.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若R(1,2),直線RP與RQ的斜率分別為k?與k?,求k?k?的值；(3)求證：數(shù)學(xué)試題(長(zhǎng)郡版)第7頁(共8頁)19.(本小題滿分17分)對(duì)于函數(shù)f(x),若實(shí)數(shù)xo滿足f(xo)=xo,則稱xo為f(x)的不動(dòng)點(diǎn).的不動(dòng)點(diǎn)的集合為A.以minM和maxM分別表示集合M中的最小元素和最大元素.(1)若a=0,求A的元素個(gè)數(shù)及maxA;(2)當(dāng)A恰有一個(gè)元素時(shí)，a的取值集合記為B.。數(shù)學(xué)試題(長(zhǎng)郡版)第8頁(共8頁)二、選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.)*。*。,又....A?C?D,所以AC//平面A?C?D,同理可證BC//平面A?C?D,又因?yàn)锳CNB?C=C,且AC,B?CC平面AB?C,所以平面AB?C//平面A?C?D,因?yàn)锽?PC平面AB?C,所以B?P//AB,CD的中點(diǎn)E,F,連接EF,AF,BF,可得點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)，若A?P⊥BP,因?yàn)锳AA?⊥平面ABCD,且BPC平面ABCD,所以AA?⊥BP,A?P∩A?A=A?,A?P,A?AC平面A?AP,故BP工平面A|AP,又APC平面A?AP,故BP⊥AP,所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，又因?yàn)锳B=2AD=2,可得線段EF與以AB為直徑的圓只有一個(gè)交點(diǎn)F,所以當(dāng)點(diǎn)P與F重合時(shí)，即當(dāng)且僅當(dāng)P為CD的中點(diǎn)時(shí)，能使得A?P⊥BP,所以CAF,EF,可得點(diǎn)P在線段AF上運(yùn)動(dòng)，沿著AF將直角△AA?F和平面△ADF展開在一個(gè)平面上，如圖所示，在對(duì)于B,根據(jù)A項(xiàng)分析，由可解得x=0或x=2,即xa=2,代入可得yx=2,對(duì)于C,如圖，設(shè)直線x+y=t與第一象限花瓣分別交于點(diǎn)M,N,即得M(t+1-√2t+1,√2t+1-1),N(√2t+1-1,t+1-√2t+1),則弦長(zhǎng)為|MN|=√2(t+2-2√2t+1)2=√2|t+由圖知，直線x+y=t經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)t取最大值4,經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)t取最小值0,即在第一象限部分滿足0<I<4,在拋物線)上取一點(diǎn)P,使過點(diǎn)P的切線與直線OA平行，由y'=x=1可得切點(diǎn)坐標(biāo)為..下的面積必大故原圖中的陰影部分面積必大故D正確.下三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.)設(shè)g(x)=x2+4x+a-2,對(duì)稱軸為x=-2,g(x)在(-0,-2)上單調(diào)遞減，在(-2,+0)上單調(diào)遞增，∴g(1)>0,且g(-2)<0,即解得-3<a<6,所以a的取值范圍是(-3,6).②若d≠0,則1-a-1=dm2-dma-1∴解得因?yàn)椤螧AD=3∠CAD,事*事*因?yàn)?故……13分,解得AC=3.因?yàn)锳?C⊥AB,AC,ABC平面ABC,ACNAB=A,所以A?C⊥平面ABC.……………(2)易知A?C,AC,BC兩兩相互垂直，分別以CA,CB,CA?為x,y,z軸建立空間直角坐(0,-k,√3),CB=(0,k,0),CC設(shè)平面BCC?B?的法向量n=(x,y,z),令x=√3,則y=0,z=1,所以平面BCC?B?的一個(gè)法向量n=(√3,0,1),設(shè)直線BA與平面BCC?B?所成的角為0,則,解得k=1,………10分可令z=1,則x?=√3.yo=√3,可所以平面A?BB?的一個(gè)法向量m=(√3,√3,1),設(shè)平面A?BB?與平面BCC?B?的夾角為α,則15分所以第一輪答題后累計(jì)得分X的分布列為：X432……………………8分情況①:前5輪答題中，得1分的有3輪，得0分的有2輪，第6輪得1分；情況②:前4輪答題中，得1分的有3輪，得—1分的有1輪，第5、6輪都得1分，…15分地地所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程………(2)設(shè)過點(diǎn)R的切線方程為y-2=k(x—1),即y=kx+(2—k),由△=0→64k2(2—k)2=4(4k2+3)[4(2—k)2—12],因?yàn)锳I//K'K//JB,設(shè)P,Q兩點(diǎn)處切線斜率分別為k?,k?,過R點(diǎn)的橢圓的切線方程為y-yo=k(x—x?),即y=kx+(y?—kx?),由△=0,得64k2(kx?—y?)2=4(4k2+3)[4(kx?—yo)2-12],只需證即k?(4-x3)+y?(2+x?)=k?(x2-4)+y(2-x?)4(k?+k?)+2x,yo=(因?yàn)樗陨鲜匠闪?，成?……………………17分所以g(x)在上調(diào)遞增；單調(diào)遞減，注意到g(1)=0,所以g(x)上恰有一個(gè)零點(diǎn)x=1,且又g(e-2)=—e-2<0,所以,所以g(x)上恰有一個(gè)零點(diǎn)x。,即f(x)在上恰有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x=1,上恰有一個(gè)所以A={x。,1},所以A的元素個(gè)數(shù)為2,當(dāng)a>0時(shí),其定義域?yàn)?0,+一),設(shè)F(x)=4ax2-2x+1,則△=4—16a,又h(1)=0,所以h(x)在(0,+)上恰有一個(gè)零點(diǎn)x=1,即f(x)在(0,+○)上恰有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x=1,符合題意；②當(dāng)時(shí)，△>0,故F(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)x?,x?(x?<x?).又因?yàn)镕(0)=1>0,F(1)=4a-1<0,所以0<x?<1<x?,所以h(x)在(0,x?)上單調(diào)遞增，在(x?,x?)上單調(diào)遞減，在(x?,十)上單調(diào)遞