專題10圓（原卷版）-2021年初升高數(shù)學(xué)無憂銜接（人教A版2019）

專題10圓

考敢嫁述

平面幾何中直線與圓的位置關(guān)系包含的知識點較多，方法靈活，抓住核心概念和基本方法即可，對定理的

本質(zhì)要理解，看到相關(guān)已知能夠聯(lián)想到需要的定理，常常先分析所求問題的路徑，找準(zhǔn)方向，綜合運用條

件加以突破.

直線與圓有三種位置關(guān)系：相離、相切和相交.相切和相交是代數(shù)與幾何研究的重點.

常用的結(jié)論包括：

1.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

2.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.

3.相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等

4.切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項

5.割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

錦程要靠

《初中課程要求》1、圓的基本性質(zhì)

2、垂徑定理

3、點與圓的位置關(guān)系

4、點、直線與圓的位置關(guān)系

5、正多邊形與圓、弧長、扇形面積

《高中課程要求》1、握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程

2、能判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

3、能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題

高中必備知識點1：直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)有直線/和圓心為。且半徑為/■的圓，怎樣判斷直線/和圓0的位置關(guān)系？

圖3.3-1

觀察圖3.3-1,不難發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系為：當(dāng)圓心到直線的距離△＞廠時，直線和圓相離，

如圓。與直線4;當(dāng)圓心到直線的距離4=r時，直線和圓相切，如圓。與直線4；當(dāng)圓心到直

線的距離”時，直線和圓相交，如圓0與直線4.

圖3.3-2

在直線與圓相交時，設(shè)兩個交點分別為A、8.若直線經(jīng)過圓心，則A8為直徑；若直線不經(jīng)過

圓心，如圖3.3-2,連結(jié)圓心。和弦A8的中點M的線段垂直于這條弦A8.且在用VOM4中,

0A為圓的半徑r,為圓心到直線的距離d,朋A為弦長AB的一半，根據(jù)勾股定理，有

2.2,A8、2

產(chǎn)-d-=(——)2.

當(dāng)直線與圓相切時，如圖3.3-3,為圓。的切線，可得PA=PB,_LB4.,且在放APOA

22

中，PO2=PA+OA.

如圖3.3-4,PT為圓。的切線，Q46為圓。的割線，我們可以證得△RVT~AP78,因而

PT2^PAPB.

高中必備知識點2：點的軌跡

在幾何中，點的軌跡就是點按照某個條件運動形成的圖形，它是符合某個條件的所有點組成的.

例如，把長度為廠的線段的一個端點固定，另一個端點繞這個定點旋轉(zhuǎn)一周就得到一個圓，這

個圓上的每一個點到定點的距離都等于廠；同時，到定點的距離等于/■的所有點都在這個圓上.

這個圓就叫做到定點的距離等于定長r的點的軌跡.

我們把符合某一條件的所有的點組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡.這里含有兩層意

思：（1）圖形是由符合條件的那些點組成的，就是說，圖形上的任何一點都滿足條件；（2）圖

形包含了符合條件的所有的點，就是說，符合條件的任何一點都在圖形上.

下面，我們討論一些常見的平面內(nèi)的點的軌跡.

從上面對圓的討論，可以得出：

到定點的距離等于定長的點的軌跡是以定點為圓心，定長為半徑的圓.

我們學(xué)過，線段垂直平分線上的每一點，和線段兩個端點的距離相等；反過來，和線段兩個端

點的距離相等的點，都在這條線段的垂直平分線上.所以有下面的軌跡：

和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是這條線段的垂直平分線.

由角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，同樣可以得到另一個軌跡：

到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線.

'典例周所

高中必備知識點1：直線與圓的位置關(guān)系

【典型例題】

在同一平面直角坐標(biāo)系中有5個點：A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2.-2).

X

(1)畫出AABC的外接圓。P,并指出點D與。P相的位置關(guān)系；

(2)E點是y軸上的一點，若直線DE與。P相切，求點E的坐標(biāo).

【變式訓(xùn)練】

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于P、Q兩點給出如下定義：若點P到x、y軸的距離中的最大值等于點Q到

x、y軸的距離中的最大值，則稱P、Q兩點為"等距點"，如圖中的P、Q兩點即為"等距點”.

②若點B在直線y=x+6上，且A、B兩點為"等距點"，則點B的坐標(biāo)為；

(2)直線/：y=kx-3(k>0)與x軸交于點C,與y軸交于點D.

①若71(-1,ti)、T2(4,t2)是直線/上的兩點，且71、萬為"等距點”，求k的值；

②當(dāng)k=l時，半徑為r的。。上存在一點M,線段CD上存在一點N,使得M、N兩點為“等距點”，直接寫

出r的取值范圍.

【能力提升】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點4(1,3)、B(3,3)、C(4,2).

(1)請在圖中作出經(jīng)過點A、8、C三點的G)M,并寫出圓心M的坐標(biāo);

(2)若。(1,4),試判斷直線8D與0M的位置關(guān)系，并說明理由.

高中必備知識點2：點的軌跡

【典型例題】

如圖，點4(-4,3),將/ABC繞點。旋轉(zhuǎn)180。得到A4'B'C'.

(1)請在圖中畫出ZJA'B'C',并寫出點4'的坐標(biāo)；

(2)求旋轉(zhuǎn)過程中a點的軌跡長.

【變式訓(xùn)練】

閱讀理解：在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點p、Q的坐標(biāo)分別是p(X1,yi)>

Q(x2,丫2)，貝UP、Q這兩點間的距離為|PQ|=J(Xi-?)2+01-丫2/.如P(1-2),Q(3,4),則

IPQ|=7(1-3)2+(2-4)2=2V2.

對于某種兒何圖形給出如下定義：符合一定條件的動點形成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡.如平

面內(nèi)到線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線.

解決問題：如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx6交y軸于點A,點A關(guān)于x軸的對稱點為點B,

過點B作直線I平行于x軸.

(1)到點A的距離等于線段AB長度的點的軌跡是;

(2)若動點C(x,y)滿足到直線I的距離等于線段CA的長度，求動點C軌跡的函數(shù)表達式；

問題拓展：(3)若(2)中的動點C的軌跡與直線y=kx弓交于E、F兩點，分別過E、F作直線I的垂線，垂

足分別是M、N,求證：①EF是△AMN外接圓的切線；②右+之為定值.

【能力提升】

在數(shù)學(xué)上，我們把符合一定條件的動點所形成的圖形叫做滿足該條件的點的軌跡.例如：動點P的坐標(biāo)滿

足(m,m-1),所有符合該條件的點組成的圖象在平面直角坐標(biāo)系xOy中就是一次函數(shù)y=x-1的圖象.即

點P的軌跡就是直線y=x-1.

(1)若m、n滿足等式mn-m=6,則(m,n-1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中的軌跡是；

(2)若點P(X,y)到點A(0,1)的距離與到直線y=-l的距離相等，求點P的軌跡；

(3)若拋物線y=[/上有兩動點M、N滿足MN=a(a為常數(shù)，且a24),設(shè)線段MN的中點為Q,求點Q

到x軸的最短距離.

對點端稱

1.如圖，將回0沿弦A8折疊，AB恰好經(jīng)過圓心°，若回。的半徑為6,則AB的長為()

o

AB

A.44B.RC.2〃D.6兀

2.如圖，AB為。。的直徑，直線E尸與相切于點O,直線AC交取于點”、交。。于點C,連

接A。、0D,則下列結(jié)論第誤的是（）

A.希AHIIOD,則A3平分N84H；B.若AO平分N8AH，則b;

C.若AH_LEF，則AO平分NBAH；D.若DH2=CH-AH，則A”,所.

3.如圖，在。0中，點C在優(yōu)弧AB上，將弧BC沿折疊后剛好經(jīng)過AB的中點￡）.若。0的半徑為

5,AB=4也,則AC的長是（）

25410萬

B.-------C.-------D.4%

43

4.如圖，已知AABC,。為AC上一點,以。8為半徑的圓經(jīng)過點A,且與8C、OC交于點E、D,

設(shè)NC=e，/A=〃，則（）

A.若。+/=80°,則弧OE的度數(shù)為10。

B.若a+〃=80°,則弧。石的度數(shù)為20。

C.若a/=80°,則弧。七的度數(shù)為30。

D.若a/=80°,則弧。七的度數(shù)為40。

5.如圖，AB為的直徑，C為圓上一點，過點C的切線與直徑AB的延長線交于點D,若ZADC=20°,

則的度數(shù)為（）

6.如圖，MBC是等腰直角三角形，AC=8C=2,以斜邊AB上的點。為圓心的圓分別與AC、BC相切于點E、

F,與AB分別相交于點G、H,且EH的延長線與CB的延長線交于點D,則8的長為（）

7.如圖，已知回。的半徑為10,A、8是囪。上的兩點，0406=90°,C是射線。8上一個動點，連結(jié)AC并延

長交回。于點。，過點。作。A3。。交。B的延長線于點E.當(dāng)班從30。增大到60。時，弦AD在圓內(nèi)掃過的面

積是（)

100萬._/-50萬64萬，，rr50萬__/r

A.----------25V3B.-------C.---------16V3D.----------25V3

3333

8.如圖，在矩形ABC。中，BC=8,以AB為直徑作回。，將矩形ABC。繞點8旋轉(zhuǎn)，使所得矩形A8C'。'的邊

C,。與回。相切，切點為E,邊AB與回。相交于點F.若BF=8,則CD長為（）

A.9B.10C.873D.12

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，半徑為2的與X軸的負(fù)半軸交于點A，點B是OO

4

上一動點，點尸為弦AB的中點，直線丁=一§尤+4與x軸、y軸分別交于點C,E，則APCE面積的

10.如圖，AA6C內(nèi)接于。0,其外角平分AD交。0于D,OM_LAC于M,則結(jié)論①=②

AC+AB=2aV^③AC—AB=2AM④S△A加=S△A8c中正確的是()

A.①B.①②③C.③④D.①②③④

11.如圖，在扇形BCO中，N88=15()。，以點B為圓心，長為半徑畫弧交于弧6。點A，得扇形84C,

若BC=4,則圖中陰影部分的面積為.

12.如圖，內(nèi)接于回。，E是邊8C的中點，連接0E并延長交回。于點D,連接CD,若團88=26。，則回

A=°.

D

13.如圖，在邊長為4的正方形中，以點A為圓心，的長為半徑畫弧，再以為直徑畫半圓,

若陰影部分的面積分別為、，與，貝汁邑―5=.

DC

14.如圖，AB是OO的直徑，弦CD_LA6,NC=30。，CD=273.則圖中陰影部分的面積為S陰影=

15.如圖，在扇形。鉆中，已知NAOB=90°,0A=2,過的中點C作，CELOB,垂

足分別為。、E，則圖中陰影部分的面積為

16.己知，如圖，A8是回。的直徑，點P在8A的延長線上，弦CD交AB于E,連接。D、PC、BC,QAOD=2

MBC,E1P=0D,過E作弦G甩8C交圓于G、F兩點，連接CF、BG.則下列結(jié)論：

①CDMB；②PC是回。的切線；③。DI3GF；④弦CF的弦心距等于gBG.其中正確的是—（只需填序號）

B

17.如圖，銳角AABC內(nèi)接于。。，AH_13c于點”，直徑MN_LBC,MN交AB于點、D,

A￡>:30=5:12,連結(jié)AM，BM，已知圓的半徑為13,5c=24,貝iJCH=,四邊形AMBC的面

積為_______

18.如圖，的弦A3、8相交于點E，C為弧AB的中點，過點。作。。的切線交AB的延長線于

253

點、F,連接AC,若ACUDF,的半徑為——，BE=-AE,則CE=.

19.如圖，在半徑為3亞的國。中，AB是直徑，AC是弦，。是AC的中點，AC與BD交于點E.若E是BD

的中點，則AC的長是

20.如圖，己知的半徑為2,弦A8=2有，點P為優(yōu)弧APB上動點，點/為△PAB的內(nèi)心，當(dāng)點P

從點A向點3運動時，點/移動的路徑長為

21.如圖，四邊形A5C。內(nèi)接于OO,AC是直徑，AB=BC,過點8作BF//AC交。。的延長線于

點、F.

（1）求證：8尸是的切線；

（2）若AC=26，CD=‘A￡）,求8廠的值.

2

22.我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.例如線段AB的最小覆蓋圓就是

以線段A6為直徑的圓.銳角三角形的最小覆蓋圓是該三角形的外接圓.

（1）分別在圖1，圖2中作出的最小覆蓋圓.（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）根據(jù)（1）中的作圖，鈍角三角形的最小覆蓋圓是

H

（3）某地要修建一個5G基站，服務(wù)四個村莊E、F、G、H（其位置如圖3所示），為使信號可以覆蓋四個

村莊，且基站所需發(fā)射功率最?。ň嚯x越小，所需功率越?。?，此基站應(yīng)建在何處？請說明理由.

23.已知，如圖，AB是回。的直徑，點C為囪。上一點，OF0BC于點F,交回。于點E,AE與8c交于點H,點

。為。E的延長線上一點，且I3ODB=MEC.

（1）求證：BD是回。的切線；

3

（2）若回。的半徑為5,sin^=-,求的長.

24.如圖，A0是。。的半徑，04_149且04=40，8是半圓。上一點，連接AB，作過

點C作半圓O的切線CE，交A。的延長線于點P，切點為E，連接

（1）當(dāng)跖回"時，求證：CE=OP；

（2）當(dāng)NR4P=度時，oABCO為菱形.

25.如圖，已知以AB為直徑的。。中，點。，。在AB的同側(cè)，點。是AC的中點，連接8。，過點O

作。E_L8C于點E，。尸_LA3于點F.

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)已知A5=l(),30=8,求8C的長.

26.如圖，在四邊形A8CD中，AB=AC,/ADB=90°,過人民