湖北省宜昌市協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

宜昌市協(xié)作體高二期中考試數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚。3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效。4.本卷命題范圍：人教A版必修第二冊(cè)第十章，選擇性必修第一冊(cè)第一章~第二章第3節(jié)。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線和直線的位置關(guān)系為A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直2.已知向量，，且，則x=A.-3 B.-1 C.1 D.03.已知直線l的一個(gè)方向向量為，則直線l的傾斜角為A.0 B. C. D.4.袋子中有一些大小質(zhì)地完全相同的紅球、白球和黑球，從中任意摸出一球，摸出的球是紅球或白球的概率為0.56，摸出的球是紅球或黑球的概率為0.68，則摸出的球是白球或黑球的概率為A.0.64 B.0.72 C.0.76 D.0.825.如圖，已知是邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格上不共線的三個(gè)格點(diǎn)，點(diǎn)P為平面ABC外一點(diǎn)，且，，若，則A. B. C.6 D.6.已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為A. B. C. D.7.若平面內(nèi)兩條平行直線與間的距離為，則實(shí)數(shù)a=A. B.2 C.或2 D.或18.在正三棱錐P-ABC中，，且該三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在以O(shè)為球心的球面上，設(shè)點(diǎn)O到平面PAB的距離為m，到平面ABC的距離為n，則A. B. C. D.3二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知直線，則A.l不過(guò)原點(diǎn) B.l在x軸上的截距為C.l的斜率為 D.l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為10.甲、乙兩個(gè)口袋中裝有除了編號(hào)不同外其余完全相同的號(hào)簽.其中甲袋中有編號(hào)為1,2,3的三個(gè)號(hào)簽；乙袋中有編號(hào)為1,2,3,4,5,6的六個(gè)號(hào)簽.現(xiàn)從甲、乙兩袋中各抽取1個(gè)號(hào)簽，從甲、乙兩袋抽取號(hào)簽的過(guò)程互不影響.記事件A：從甲袋中抽取號(hào)簽1；事件B：從乙袋中抽取號(hào)簽5；事件C：抽取的兩個(gè)號(hào)簽和為4；事件D：抽取的兩個(gè)號(hào)簽編號(hào)不同，則下列說(shuō)法正確的是A. B.C.事件C與D互斥 D.事件A與事件D相互獨(dú)立11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是DD1，A1B1，CD，BC的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有A.E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面 B.BD與EF所成角的大小為C.在線段BD上存在點(diǎn)M，使得MC1⊥平面EFGD.在線段A1B上任取一點(diǎn)N，三棱錐N-EFG的體積為定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知直線l的方程為，則坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離為_(kāi)_______.13.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，若，則直線BD1與CD之間的距離為_(kāi)_______.14.九宮格數(shù)獨(dú)游戲是一種訓(xùn)練推理能力的數(shù)字謎題游戲.九宮格分為九個(gè)小宮格，某小九宮格如圖所示，小明需要在9個(gè)小格子中填上1~9中不重復(fù)的整數(shù)，小明通過(guò)推理已經(jīng)得到了4個(gè)小格子中的準(zhǔn)確數(shù)字，a,b,c,d,e這5個(gè)數(shù)字未知，且b,d為偶數(shù)，則的概率為_(kāi)_______.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點(diǎn)，，B，C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng).（1）求BC邊上的高所在直線的一般式方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)B的直線l平分△ABC的面積，求直線l的方程.16.（本小題滿分15分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，，，，點(diǎn)D滿足.（1）用表示；（2）若三棱錐A1-ABC的所有棱長(zhǎng)均為2，求及.17.（本小題滿分15分）在菱形ABCD中，，AB=2，將菱形ABCD沿著B(niǎo)D翻折，得到三棱錐A-BCD如圖所示，此時(shí).（1）求證：平面ABD⊥平面BCD；（2）若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，求直線BE與平面ABC所成角的正弦值.18.（本小題滿分17分）為培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，協(xié)同發(fā)展學(xué)科綜合能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，某校數(shù)學(xué)組舉行了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)大賽，素養(yǎng)大賽采用回答問(wèn)題闖關(guān)形式.現(xiàn)有甲、乙兩人參加數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)大賽，甲、乙兩人能正確回答問(wèn)題的概率分別是和.假設(shè)兩人是否回答出問(wèn)題，相互之間沒(méi)有影響；每次回答是否正確，也沒(méi)有影響.（1）若乙回答了4個(gè)問(wèn)題，求乙至少有1個(gè)回答正確的概率；（2）若甲、乙兩人各回答了3個(gè)問(wèn)題，求甲回答正確的個(gè)數(shù)比乙回答正確的個(gè)數(shù)恰好多2個(gè)的概率；（3）假設(shè)某人連續(xù)2次未回答正確，則退出比賽，求甲恰好回答5次被退出比賽的概率.19.（本小題滿分17分）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，定義：過(guò)點(diǎn)，且方向向量為（）的直線的點(diǎn)方向式方程為；過(guò)點(diǎn)，且法向量為（）的平面的點(diǎn)法向式方程為，將其整理為一般式方程為，其中.（1）求經(jīng)過(guò)，的直線的點(diǎn)方向式方程；（2）已知平面，平面，平面，若，，證明：；（3）已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1所在平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，，，側(cè)面BCC1B1所在平面的一般式方程為，側(cè)面ACC1A1所在平面的一般式方程為，求平面ABB1A1與平面ACC1A1的夾角大小.

宜昌市協(xié)作體高二期中考試·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1.A直線和直線的斜率分別為，-2，因?yàn)椋?故選A.2.C因?yàn)?，故，?故選C.3.D因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為，所以l的斜率，又，所以，因?yàn)?，所?故選D.4.C設(shè)摸出紅球的概率為，摸出白球的概率為，摸出黑球的概率為，所以，，且，所以，，所以，即摸出的球是白球或黑球的概率為0.76.故選C.5.B因?yàn)椋裕瑒t，所以.故選B.6.D依題意，向量在向量上的投影向量為，所以投影向量的坐標(biāo)為.故選D.7.A①當(dāng)時(shí)，可得，，由，則此時(shí)不符合題意；②當(dāng)時(shí)，可得直線l1的斜率，直線l2的斜率，由，整理可得，則，解得或，當(dāng)時(shí)，可得，，整理l2的方程可得，由兩平行直線之間的距離，所以此時(shí)不符合題意：當(dāng)時(shí)，可得，，整理l2的方程可得，由兩平行直線之間的距離，所以此時(shí)符合題意.綜上可得.故選A.8.B在正三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC，又PA=1，，所以，所以PA⊥PB，同理可得PA⊥PC，PC⊥PB，即PA，PB，PC兩兩垂直，把該三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，則三棱錐的外接球就是正方體的外接球，正方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑，易得，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面ABC的法向量為，則令，則，所以，則點(diǎn)O到平面ABC的距離，所以.故選B.9.ACD因?yàn)?，所以l不過(guò)原點(diǎn)，所以A正確；令，得，所以l在x軸上的截距為，所以B錯(cuò)誤；把化為，所以l的斜率為，所以C正確；把化為，所以直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，所以D正確.故選ACD.10.ABD樣本點(diǎn)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共18種可能的結(jié)果，則，，A正確；事件C包含的樣本點(diǎn)有(1,3)，(3,1)，(2,2)，共3種可能的結(jié)果，則，B正確；事件D包含的樣本點(diǎn)有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共15種可能的結(jié)果，故事件C與D不互斥，C錯(cuò)誤：，由，得A，D相互獨(dú)立，D正確.故選ABD.11.AD以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，設(shè)，則，所以解得故，即E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，故A正確；因?yàn)?，，所以，所以BD與EF所成角的大小為，故B錯(cuò)誤；假設(shè)在線段BD上存在點(diǎn)M，符合題意.設(shè)，則，若MC1⊥平面EFG，則，.因?yàn)椋?，所以此方程組無(wú)解，所以在線段BD上不存在點(diǎn)M，使得MC1⊥平面EFG，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以A1B//EG，又平面EFG，平面EFG，所以A1B//平面EFG，故A1B上的所有點(diǎn)到平面EFG的距離即為B到平面EFG的距離，是定值，又△EFG的面積是定值，所以在線段A1B上任取一點(diǎn)N，三棱錐N-EFG的體積為定值，故D正確.故選AD.12.方法一：直線l過(guò)點(diǎn)與，記到直線l的距離為d，則在△AOB中，，而，，，所以.方法二：直線l的方程改寫(xiě)為，由點(diǎn)到直線的距離公式，原點(diǎn)到直線l的距離為.13.以AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸建立空間直線坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則，，，設(shè)與BD1，CD都垂直的一個(gè)向量，且，，取，則，，所以，所以直線BD1與CD之間的距離為.14.這個(gè)試驗(yàn)的等可能結(jié)果用下表表示：a113355113355b222222888888c355113355113d888888222222e531531531531共有12種等可能的結(jié)果，其中的結(jié)果有6種，所以的概率為.15.解：（1）因?yàn)锽，C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，所以， 1分， 2分所以BC邊上高所在直線的斜率為， 3分因?yàn)?，所以BC邊上高所在直線的方程為，所以BC邊上高所在直線的一般式方程為. 5分（2）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)B的直線l平分△ABC的面積，所以直線l經(jīng)過(guò)邊AC的中點(diǎn)， 7分又，所以直線l的方程. 13分16.解：（1）因?yàn)?，所以?2分所以. 7分（2）因?yàn)槿忮FA1-ABC的所有棱長(zhǎng)均為2，所以，， 9分， 11分又. 13分所以. 15分17.（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，，所以△BAD與△BCD均為正三角形，取BD的中點(diǎn)O，連結(jié)OA，OC，則OA⊥BD， 2分因?yàn)锳B=2，所以，因?yàn)?，所以O(shè)A⊥OC， 4分又，BD，平面BCD，所以O(shè)A⊥平面BCD. 5分因?yàn)槠矫鍭BD，所以平面ABD⊥平面BCD. 6分（2）解：由（1）可知，OA，OB，OC兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OA所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以，所以，，， 9分設(shè)為平面ABC的一個(gè)法向量，則令，得，，所以. 11分， 13分設(shè)直線BE與平面ABC所成角為，則，所以直線BE與平面ABC所成角的正弦值為. 15分18.解：（1）記“乙至少有1個(gè)回答正確”為事件M，所以，即乙至少有1個(gè)回答正確的概率是. 5分（2）記“甲答對(duì)第i個(gè)問(wèn)題”為事件，“乙答對(duì)第i個(gè)問(wèn)題”為事件，則甲回答正確的個(gè)數(shù)比乙回答正確的個(gè)數(shù)恰好多2個(gè)為事件，所以，即甲回答正確的個(gè)數(shù)比乙回答正確的個(gè)數(shù)恰好多2個(gè)的概率是. 11分（3）記“甲答對(duì)第i個(gè)問(wèn)題”為事件，則甲恰好回答5次被退出比賽為事件，所以，即甲恰好回答5次被退出比賽的概率是. 17分19.（1）解：由，得，直線AB的方向向量為， 1分故直線AB的點(diǎn)方向式方程為.