廣東省廣州市信孚教育集團(tuán)黃石中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

1、廣東省廣州市信孚教育集團(tuán)黃石中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為，值域?yàn)?，19的“孿生函數(shù)”共有（   ）個(gè)a.7            b.8           

2、; c.9              d.10參考答案：c略2. 如圖，在abc中，若，則+的值為(     )abcd參考答案：a考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義 專題：平面向量及應(yīng)用分析：根據(jù)向量的基本定理結(jié)合向量加法的三角形分別進(jìn)行分解即可解答：解：=+，=+，=，=+=+（）=+，=，=，則+=+=，故選：a點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量基本定理的應(yīng)用，根據(jù)向量的和差運(yùn)算將向量進(jìn)行分解是解決本題的關(guān)鍵3. 已知集合m=x|

3、y=ln(2-x2),n=x|，則（     ）   a1b1,0c1,0,1d參考答案：b4. 已知直線與圓相切，則b= (  )a. 3b. 1c. 3或1d. 參考答案：c【分析】根據(jù)直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑來求解.【詳解】由圓心到切線的距離等于半徑，得故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系中的相切，難度較易；注意相切時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑.5. 已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列中，與的等比中項(xiàng)為，則的最小值為（   ）     &

4、#160; a16                          b8                       

5、     c                     d4參考答案：b略6. 復(fù)數(shù)=（      ）a          b        

6、   c             d參考答案：b略7. 把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）所得的圖象解析式為，則（    ）a.      b. c.        d.參考答案：c略8. 已知，若的必要條件是，則 之間的關(guān)系是（a）     

7、;  （b）        （c）         （d）參考答案：a9. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為1，則輸出（  ）a         b       c.         d參考答案：d10.

8、命題p：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到的圖象；命題q：函數(shù)的最小正周期是，則復(fù)合命題“p或q”  “p且q”  “非p”為真命題的個(gè)數(shù)是（   ）  a0個(gè)         b.  1個(gè)           c、2個(gè)           d、3個(gè)參考答案：c二

9、、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍_參考答案：12. 在平面直角坐標(biāo)系中，若中心在坐標(biāo)原點(diǎn)上的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，且它的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸進(jìn)線方程為                .參考答案：略13. 已知函數(shù)f（x）=若f（2a2）f（a），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為參考答案：（2，1）【考點(diǎn)】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；二次函數(shù)

10、的性質(zhì)【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的解析式分別研究分段函數(shù)在各自區(qū)間上的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，由此性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解不等式，解出參數(shù)范圍即可【解答】解：函數(shù)f（x），當(dāng)x0 時(shí)，f（x）=x2+4x，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，它在0，+）上是增函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）=4xx2，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，它在（，0）上是增函數(shù)，該函數(shù)連續(xù)，則函數(shù)f（x） 是定義在r 上的增函數(shù)f（2a2）f（a），2a2a解得2a1實(shí)數(shù)a 的取值范圍是（2，1）故答案為：（2，1）14. 已知函數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是        

11、;  參考答案：略15. abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，若，c=1，則abc的面積為參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理【分析】利用正弦定理、和差公式、三角形面積計(jì)算公式即可得出【解答】解：2r=2，則，又sinb=sin（a+c）=sinacosc+cosasinc=，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理、和差公式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題16. 設(shè)都是定義在r上的函數(shù)，且在數(shù)列中，任取前k項(xiàng)相加，則前k項(xiàng)和大于的概率為         參考答案：略17. 函數(shù)的定

12、義域?yàn)?#160;         參考答案：略三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 已知函數(shù).（1）解關(guān)于x的不等式；（2）設(shè)函數(shù)的最大值為m，若，求的最大值.參考答案：（1）；（2）【分析】（2）分三段去絕對(duì)值進(jìn)行討論，解出不等式取并集即可；（2）先由絕對(duì)值不等式求出的最大值為，然后再由柯西不等式求出的最大值.【詳解】（1）若時(shí)，不等式即，解得，此時(shí)無解，若時(shí)，不等式即，解得，此時(shí)，若，不等式即，解得，此時(shí)，綜上所述，.（2），其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，故.由柯西不

13、等式，得： ，故，即的最大值為.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取到.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，三角絕對(duì)值不等式求最值，柯西不等式求最值，屬于中檔題.19. （本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，數(shù)列是等比數(shù)列，且.（i）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（ii）設(shè)數(shù)列對(duì)任意正整數(shù)n，均有成立，求的值.參考答案：（），且成等比數(shù)列， ，解得， 2分                4分又    6分 （）

14、，       ，即，     7分又+，    ，得 20. 已知函數(shù).（1）若函數(shù)，求的極值；（2）證明：. （參考數(shù)據(jù)：      ）參考答案：（1）見解析；（2）見證明【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為證exx2xlnx10，根據(jù)xlnxx（x1），問題轉(zhuǎn)化為只需證明當(dāng)x0時(shí)，ex2x2+x10恒成立，令k（x）ex2x2+x1，（x0），根據(jù)函數(shù)的單

15、調(diào)性證明即可【詳解】（1），當(dāng)，當(dāng)，在上遞增，在上遞減，在取得極大值，極大值為，無極大值.（2）要證f（x）+1exx2即證exx2xlnx10，先證明lnxx1，取h（x）lnxx+1，則h（x），易知h（x）在（0，1）遞增，在（1，+）遞減，故h（x）h（1）0，即lnxx1，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”，故xlnxx（x1），exx2xlnxex2x2+x1，故只需證明當(dāng)x0時(shí)，ex2x2+x10恒成立，令k（x）ex2x2+x1，（x0），則k（x）ex4x+1，令f（x）k（x），則f（x）ex4，令f（x）0，解得：x2ln2，f（x）遞增，故x（0，2ln2時(shí)，f（x）0，f（x）遞減

16、，即k（x）遞減，x（2ln2，+）時(shí)，f（x）0，f（x）遞增，即k（x）遞增，且k（2ln2）58ln20，k（0）20，k（2）e28+10，由零點(diǎn)存在定理，可知?x1（0，2ln2），?x2（2ln2，2），使得k（x1）k（x2）0，故0xx1或xx2時(shí)，k（x）0，k（x）遞增，當(dāng)x1xx2時(shí)，k（x）0，k（x）遞減，故k（x）的最小值是k（0）0或k（x2），由k（x2）0，得4x21，k（x2）2+x21（x22）（2x21），x2（2ln2，2），k（x2）0，故x0時(shí)，k（x）0，原不等式成立【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，考查轉(zhuǎn)

17、化思想，屬于中檔題21. 已知函數(shù)f（x）=（lnxk1）x（kr）（1）當(dāng)x1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值（2）若對(duì)于任意xe，e2，都有f（x）4lnx成立，求k的取值范圍（3）若x1x2，且f（x1）=f（x2），證明：x1x2e2k參考答案：【分析】（1）由題意x0， =lnxk，由此根據(jù)k0，k0利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)分類討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值（2）問題轉(zhuǎn)化為k+1對(duì)于xe，e2恒成立，令g（x）=，則，令t（x）=4lnx+x4，xe，e2，則，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍（3）設(shè)x1x2，則0x1ekx2ek+1，要證x1x2e2k，只要證x2，即證，由此利用

18、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明x1x2e2k【解答】解：（1）f（x）=（lnxk1）x（kr），x0， =lnxk，當(dāng)k0時(shí)，x1，f（x）=lnxk0，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（1，+），無單調(diào)減區(qū)間，無極值；當(dāng)k0時(shí)，令lnxk=0，解得x=ek，當(dāng)1xek時(shí)，f（x）0；當(dāng)xek，f（x）0，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（1，ek），單調(diào)減區(qū)間是（ek，+），在區(qū)間（1，+）上的極小值為f（ek）=（kk1）ek=ek，無極大值（2）對(duì)于任意xe，e2，都有f（x）4lnx成立，f（x）4lnx0，即問題轉(zhuǎn)化為（x4）lnx（k+1）x0對(duì)于xe，e2恒成立，即k+1對(duì)于xe，e2恒成立，令g（x）=，則，令t（x）=4lnx+x4，xe，e2，則，t（x）在區(qū)間e，e2上單調(diào)遞增，故t（x）min=t（e）=e4+4=e0，故g（x）0，g（x）在區(qū)間e，e2上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）max=g