高中數(shù)學(xué)人教版（A版）選擇性必修 第一冊(2019)-高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測之講案 專題二十二 圓錐曲線的“三定”與探索性問題【教師版】新高考

專題25圓錐曲線的“三定”與探索性問題

縱觀近幾年高考圓錐曲線的綜合問題是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)和重點(diǎn)，在歷年高考中出現(xiàn)的頻率較高，主要注

重考查學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算能力，分析問題和解決問題的能力.其中直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系常

常與平面向量、三角函數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)、不等式等知識交匯命題.涉及求軌跡、與圓相結(jié)合、定點(diǎn)、定值、最

值、參數(shù)范圍、存在性問題等.本文就高中階段出現(xiàn)這類問題加以類型的總結(jié)和方法的探討.

一、定點(diǎn)問題

求解直線或圓錐曲線過定點(diǎn)問題的基本思路是：把直線或圓錐曲線方程中的變量X,y看成常數(shù)，把方程的一端

化為零，將方程轉(zhuǎn)化為以參數(shù)為主變量的方程，這個(gè)方程對任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，

這樣就得到一個(gè)關(guān)于x,y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或圓錐曲線所過的定點(diǎn).

例1.已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)尸（“一1）作兩條直線分別與拋物線C：Y=4y相切于點(diǎn)％、B,A3的中

點(diǎn)為M，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.直線A8過定點(diǎn)（。，2）；

B.PM的斜率不存在；

C.y軸上存在一點(diǎn)N,使得直線N4與直線N3關(guān)于y軸對稱；

D.4、“兩點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離的倒數(shù)和為定值.

【答案】A

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，得出切線方程，進(jìn)而可得直線A5方程，即可求出直線A8定點(diǎn)判斷A：聯(lián)

立直線A8方程和拋物線求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)可判斷B；設(shè)N（0，b）,可得仁+女=二-----二當(dāng)6二—1時(shí)

-4

11?

滿足條件，可判斷C；可求出一7+——7=1,即可判斷D.

X+1K+I

【解析】設(shè)A（Xi，y）,區(qū)（工2，%），?；.??.??過點(diǎn)4的切線方程為）,-%=:不。一司），即

422

y——x^=—xix——xffy=-xlx——x[t同理過點(diǎn)B的切線方程為y二萬/不一1工；，

將3，—1）分別代入上式，得-1=5%—y,-l=^x2-y2,

???直線AB的方程為]x-y+l=O，???直線AB過定點(diǎn)（。，1），故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

x2=4y

聯(lián)立方程得：X2-2OV-4=0，△=4。2+16>0，則玉+%2=2。，^-^=-4,

-x-y+l=O2

，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為五士三二a,1軸，故B選項(xiàng)正確，不符合題意:

2

設(shè)N（0,b）,由題意得不工0,電。0,設(shè)直線附、的斜率分別為占、J

則匕+啟=$+-=（產(chǎn)…）5+￡）=2〃（一八1），

%）x2X1-x2-4

當(dāng)力=一1時(shí)，勺+&=0,即直線N4與直線N5關(guān)于y軸對稱，C選項(xiàng)正確，不符合題意;

???點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為%+1，點(diǎn)B到準(zhǔn)線的距離為%+1，

)1+%+2

[+]=y+—+2=y+/+2

二,D選項(xiàng)正確，不符合題

???y+i%+i(y+i)(%+D,，%+乂+%+1(衰)+y+%+i

1O

意，故選A.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：直線與拋物線的綜合何題的求解策略:

（1）有關(guān)直線與拋物線9=2〃%（。＞0）相交所得的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物

線的焦點(diǎn)且與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，則可直接使用公式|陰=苞4+和+〃求解；若不過焦點(diǎn)，則用一般的

弦長公式求解；

（2）涉及中點(diǎn)、距離等問題時(shí)，一般要利用根與系數(shù)的關(guān)系及“設(shè)而不求，整體代入''思想求解.

例2.（多選題）（2021江蘇南通市?高三期口）已知拋物線C：產(chǎn)=4尤其焦點(diǎn)為凡P為直線x=-2上任意

一點(diǎn)，過P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為4,B,斜率分別為肌，&2,則（）

,,1

A.k】k,=一一B.必-如=2

■2

C.48過定點(diǎn)（2,0）D.目的最小值為8

【答案】AC

【分析】設(shè)尸（2,0）,4不y）,8（與必）則城=4加，”2=4也，對拋物線的方程兩邊求導(dǎo)，可得切線的斜

率、切線的方程，聯(lián)立兩切線方程求得P的橫坐標(biāo)，可判斷A；由切線的斜率相減，化簡可判斷B；求得A8

的直線方程，結(jié)合恒過定點(diǎn)，可判斷C；由拋物線的定義和基本不等式可判斷D.

【解析】由題意可得尸（2,0）,拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2,設(shè)4（內(nèi)，），1）,8（乙,必），

則#=4玉，￡=4x2，由）2=4%得工=二，求導(dǎo)得f=^2y=^

44,2

所以工；=,所以過A的切線的方程為x-x\='^"（y-X），

化為尸工），-支■①，同理可得過B的切線方程為x="y-"②，

242'4

由①②解得x=2遏，由尸的橫坐標(biāo)為-2,即繩二-2,則M必二-8，攵必=/一二一：,故A正確;

44乂必2

因?yàn)?5處胡=.不為定值’

故B錯(cuò)誤;

因?yàn)?的直線方程為），-y—入二立■工-與，即廠丁什------x匚

Xl-X2I4）乂+必%+丁2

4

整理得￥=（%-2）,所以A8恒過定點(diǎn)（2,0）,故C正確;

y+%

將|AF卜忸耳轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，HR\AFjBFl=（xi+1）（X2+I）=x\X2+（A1+X2）+1=（，M）+1+

16

-^-+—=5+—+—>5+2=9

"y2y當(dāng)且僅當(dāng)協(xié)|=閱時(shí)取得等號，所以|A4忸目的最小值為

(44)144廠N16

9,故D錯(cuò)誤，故選AC.

例3.（2021四川南充市?高三月考（文））設(shè)尸為橢圓C：±+±二1的右焦點(diǎn)，不垂直于x軸且不過點(diǎn)產(chǎn)

43

的直線，與。交于M，N兩點(diǎn)，在△J0RV中，若NM/W的外角平分線與直線MN交于點(diǎn)?，則P的橫坐

標(biāo)為.

【答案】4

22

【分析】根據(jù)橢圓方程?十三=1,設(shè)由橢圓的第二定義得到

\MF\=2--X19\NF\=2--X2,設(shè)P（m,叫,然后根據(jù)外角平分線定理，立扁=扁求解?

【解析】如圖所示:

因?yàn)闄E圓方程為?+?=1,所以〃=2,6=百,c=l,所以橢圓的右焦點(diǎn)是r（1,0）,所以離心率為

\Mk'\Ml

e=-=\，設(shè)由橢圓的第二定義得：,口?

所以四周=2_：對閃周=2_；勺，

2—X.

/、\MF\\MP\_2

設(shè)。（八〃），由外角平分線定理得扁=扁，即，化簡得

1

5

2（%一-4）=3〃2（七一%），解得m=4,所以P的橫坐標(biāo)為4.

1）

例4.（2021江西吉安模擬）已知橢圓。：乂+[石

1（。＞6＞0）經(jīng)過點(diǎn)尸＞/3,-,且離心率e=——

a2b2\2）2

（1）求橢圓C的方程;

（2）已知斜率存在的直線/.與橢圓相交于A，8兩點(diǎn)，點(diǎn)。松一,0總滿足乙4QO=N8QO,證明：直線

/過定點(diǎn).

【答案】（1）二+y2=l；（2）證明見解析.

4

【分析】⑴由離心率6=*可得/=4ZA再根據(jù)橢圓過點(diǎn)尸（退,；）可得2+.=L聯(lián)立可得答案?

（2）設(shè)直線/的方程為了=丘+〃?，A（x，yJ,8（9,%），將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，又因

為NAQO=/BQO,所以心Q+原Q=。，將韋達(dá)定理代入得出答案.

【解析】（1）因?yàn)闄E圓￡=的離心率°=乎，所以e2=l—\=[*]，即

y231

/二4/，又橢圓。：與十=l（a>b>0）經(jīng)過點(diǎn)'代入橢圓方程可得不十/二1,

a

31

~2----2=I

聯(lián)立方程組可得《a24b2,解得/=4，6=1,所以橢圓C的方程為三+y2=].

〃2=4/4

（2）設(shè)直線/的方程為y="+m,A（X,yJ,8（毛,%），

2

x2_

消去,得(

聯(lián)立方程組《1+>=11+4A:2|x2+8A7nr+4/n2-4=0,A=16(4A:2-nz2+1)>0,即

y=kx+m

—8初74〃/一4

M<4k2+1,x+Xj=

{1+4公'-1+4出

y_kx^+/nkx+/n

'萬.2+2=0

因?yàn)镹AQO=N3QO,所以心。+即o=0.-47346

X.----x-------&——

323'323

4行+x2)-^^-/n=0,

即（處+機(jī)）x-+{kx+/〃)%1-

2323

得2kl4=-4)-8kmo,化簡得根=-辰，直線）的方程為

y=R（上一6）,所以，直線/恒過定點(diǎn)（6,0）.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查求橢圓方程和直線過定點(diǎn)問題，解答本題的關(guān)鍵是由NAQO=N8QO,所以

473A0/3

"0+原2=0，即23%+in-%---（--玉-十七）一：而二°，將韋達(dá)定理代入，屬于中檔題.

3

例5.已知拋物線。的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)41,2)為拋物線C上一點(diǎn).

(1)求拋物線。的方程.

⑵若點(diǎn)8(1,—2)在拋物線C上，過點(diǎn)8作拋物線。的兩條弦BP與3。若總產(chǎn)履Q=-2,

求證：直線PQ過定點(diǎn).

【解析】(1)若拋物線的焦點(diǎn)在工軸上，設(shè)掘物線方程為爐=or,代入點(diǎn)41,2),

可得。=4,所以拋物線方程為)2=4k

若拋物線的焦點(diǎn)在)，軸上，設(shè)拋物線方程為r=〃少，代入點(diǎn)41,2),

可得片/所以拋物線方程為/=5.

綜上所述，拋物線C的方程是V=4x或/=3，.

(2)證明：因?yàn)辄c(diǎn)8(1,—2)在拋物線。上，所以由(1)可得拋物線C的方程是＞2=4尤

易知直線8尸，〃。的斜率均存在，設(shè)直線出尸的方程為)，+2=41—1),將直線8b的方程代入

y1=4x,消去y,得Rx2—(2R+42+4)X+(〃+2)2=0.設(shè)P(jq,y),則％i=—m一，

所以*夢，用一鋁換點(diǎn)P坐標(biāo)中的匕可得Q((kf)2,2—2勒從而直線PQ的斜率為

2A+4

k-2+2*23+4左"9k

(女+2)2；=一K+2，+必+4=—以+2女+2,故直線段的方程是y-2+2&=_.+2々+2［戈一伏一】)、

在上述方程中，令x=3,解得y=2,所以直線尸。恒過定點(diǎn)(3,2).

例6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)F(LO)，過直線八x=2S側(cè)的動(dòng)點(diǎn)P作PHJJ于點(diǎn)"，U/PF的角平

分線交K軸于點(diǎn)M,且|P"|二VZ|MF|,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線r.

(1)求曲線廠的方程；

(2)過點(diǎn)F作直線m交曲線「于4B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在［上，旦BC"無釉，試問：直線〃■是否恒過定點(diǎn)？請說明理由.

【答案】(1)9+*=1；(2)答案見解析.

【解析】⑴設(shè)PQy），由題可知|MF|=|PF|，所以鼠=鬻=￥，即由罟E=f，

化簡整理得?+y2=L即曲線r的方程為:+y2=t.

（2）由已知可得直線m的斜率不為0,???可設(shè)直線m的方程為#=町+1,

聯(lián)立方程組k+丫？=］消去4得（娥+2）y2+2ny-l=0,A>0恒成立，

記4alM）,3。23），則C（2,y2），則以+為=一/，以必=一品，匕=叱+L

???直線AC的斜率為A=簾，直線AC的方程為y-y2=^（x-2）,

即”爺口一2+骨，又卷=$=熹書

?,?直線4c的方程為y="可（4—2+》=左二？a—5??.直線北過定點(diǎn)0）.

X^-22女一222

二、定值問題

定值是證明求解的一個(gè)量與參數(shù)無關(guān)，解這類試題時(shí)要會合理選擇參數(shù)（參數(shù)可能是宜線的斜率、截距，也可能

是動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)等），使用參數(shù)表達(dá)其中變化的量，再使用這些變化的量表達(dá)需要求解的解題目標(biāo).當(dāng)使用直線的

斜率和截距表達(dá)直線方程時(shí)，在解題過程中要注意建立斜率和截距之間的關(guān)系，把雙參數(shù)問題化為單參數(shù)問題

解決.

22

例1.（2021湖北大課改聯(lián)考）已知橢圓C:三十匯=1的左右頂點(diǎn)分別為A5,過“軸上點(diǎn)M（-4,0）作一

42

直線尸。與橢圓交于P,。兩點(diǎn)（異于AB）,若直線AP和的交點(diǎn)為N,記直線MN和AP的斜率分別

為占，&，則匕:&=（）

11

A.-B.3C.—D.2

32

【答案】A

【分析】首先利用三點(diǎn)共線表示點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，并利用方程聯(lián)立，得出尸，。兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，代入3,即可

k2

求值.

【解析】設(shè)N（x,y），。（丹，y）,。（電,力），設(shè)直線。。的方程：x=my4,

=上

x,+2x+2

由P,N、A和Q,N,8三點(diǎn)共線可知，

%_y

W-2x—2

:2y(4-2)+2%(％+2)2%(加%-6)+2%(2)

一,(尢2—2)+%(％+2)一%(四2-6)+%(%]-2)

.x=2my)，2-6y-2y2-?、=2沖a+6y6%⑴

3%一必’3凹一必

x=my-4

聯(lián)立J22得(加+2)y?—8〃iy+12—0,△=64/n2-48(/M2+2)=16(〃/—6)>0,/M2>6>

三+二=1

142

8m123,、

M+%=，%%=，??陽M二尹+%），

〃/+2m2+2

代入⑴得x+4=^^=3,右專k.x4-2j21

—=------=I---------=—故選A.

k2x+4x+43

【思路點(diǎn)睛】本題的思路利用韋達(dá)定理設(shè)而不求，巧妙運(yùn)用X+%與X%關(guān)系化簡，從而達(dá)到求值目的.

例2.（多選題）（2021?河北張家口市?高三期末）拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線/過點(diǎn)凡斜率左＞0,

且交拋物線C于A,8（點(diǎn)A在x軸的下方）兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為孫91旭于4，Bqj.加于耳，下列

結(jié)論正確的是（）

ULUULUi「

A.若BF=3FA，則％=J3B.兩+國=1

C.若k=l,則|A.=12D.幺尸片二90。

【答案】ABD

【分析】對A,延長B4.交準(zhǔn)線冶于。，根據(jù)相似得出NA4Q=60。即可求解；對B,聯(lián)立直線與拋物

線，利用韋達(dá)定理即可求解；對C,將B中A換為1,利用弦長公式即可求出；對D,利用

NBBF=.NAA,尸=ZA,FA可得.

【解析】延長B4,交準(zhǔn)線加于Q.

設(shè)|E4|=|A411n,|四=|鶴|=3l恒@=),

3」四八_.

則△QAA[SAQBB[=>；—7—1---rn------——nx—故NAAQ=60。，故陽8二百，■正確;

\QB\忸叫x+4/3r9

…(xT)

設(shè)4（彳乂）,3&,%），聯(lián)立直線與拋物線，得攵2A*2一（2二+4）一丫+公=0,

y2=4x

Jk2+41111X.+X-y-^-2

???M+W=F，g=L二網(wǎng)+同一.+]+.+廣中2+(%+xj+]=，故B正確

若k=l,則玉+工2=6,|蝴=%+/+2=8,故C錯(cuò)誤;

?;/BB、F=NB/B,ZAA.F=ZA.FA,+/)以=180。一片回+180。-/4尸:9。。故

D正確，故選ABD.

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線焦點(diǎn)弦問題，解題的關(guān)鍵是正確理解拋物線的定義，利用定義得出線段關(guān)系求解.

例3.（2021.云南師大附中高三月考（文））已知點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線V=3x與過焦點(diǎn)的直線交于A,B

兩點(diǎn)，則次?麗等于?

【答案】-227

16

【分析】由題知拋物線丁=34的焦點(diǎn)廠(1,()),進(jìn)而分直線AB斜率存在和不存在兩種情況討論求解即可.

【解析】設(shè)A弓，y,8與，％,當(dāng)直線A3斜率不存在時(shí)，yl=p=-.y2=-p=-f

\7\722

所以雙正仔斗口力權(quán)也+心三.

39

當(dāng)直線A5斜率存在時(shí)，設(shè)方程為％=沖+1(加工0),與拋物線聯(lián)立方程得：y2-3my--=0,所以

，,麗?麗=("，乂]?[4,/]=:弁￡+y)，2=-%.故答案為：鼻.

4VJ/VJ16lo

【點(diǎn)睛】本題考查過拋物線的焦點(diǎn)的弦的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，分類討論思想，是中檔題.本題解題的關(guān)

鍵在于根據(jù)己知條件分直線斜率存在和不存在兩種情況討論：此外，掌握過拋物線焦點(diǎn)的弦的相關(guān)性質(zhì)，

能夠快速解題.

例4.在直角坐標(biāo)系wy中，曲線的點(diǎn)均在C?：。-5)2+V=9外，且對G上任意一點(diǎn)M,M到直線

尢=-2的距離等于該點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值.

(I)求曲線G的方程;

(II)設(shè)PC%,%)(y*+3)為圓g外一點(diǎn)，過尸作圓G的兩條切線，分別與曲線G相交于點(diǎn)A,R和C,

D.證明：當(dāng)尸在直線x=Y上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)之積為定值.

【解析】(【)解法1：設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),由已知得卜+2|=而二分彳-3,

易知圓C?上的點(diǎn)位于直線冗=-2的右側(cè).于是尢+2>0,所以J(x—5)2+/=x+5.

化簡得曲線G的方程為V=20x.

解法2:由題設(shè)知，曲線G上任意一點(diǎn)M到圓心C2(5,0)的距離等于它到直線％=-5的距離，因此，曲線q

是以(5,0)為焦點(diǎn)，直線x=-5為準(zhǔn)線的拋物線，故其方程為V=20x.

(II)當(dāng)點(diǎn)P在直線x=T上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P的坐標(biāo)為(—4,%),又先工±3,則過「且與圓。2相切的直線的斜率

攵存在且不為0,每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，切線方程為

y—%=-H4)^|Jkx—y+yo+4k=O.于是%+則=整理得72A?+)，；-9二0.

收+1

設(shè)過P所作的兩條切線PAPC的斜率分別為匕/2,則勺,22是方程①的兩個(gè)實(shí)根，故

=

k,+k2②，由1°'得-20)，+20(.%+4K)=0.③

設(shè)四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為加%,%，%，則%%是方程③的兩個(gè)實(shí)根，所以

*%二22^④，同理可得％⑤

于是由②，④，⑤三式得y必附=則%+：產(chǎn)。+外)「00回+"+6。+】6帙］

"21

二頓th%+16%］=64Go所以當(dāng)尸在％=T上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A3,C力的縱坐標(biāo)之積為定值6400.

她

22

例5.已知橢圓，+斗=1(〃>6>0)的焦距為2近，且經(jīng)過點(diǎn)卜夜,1).過點(diǎn)0(0,-2)的斜率為2的直線

/與橢圓交于AB兩點(diǎn)，與x軸交于P點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于工軸的對稱點(diǎn)C,直線8。交工軸于點(diǎn)Q.

(1)求女的取值范圍；

(2)試問：|。"?|兇是否為定值？若是，求出定值；否則，說明理由.

【答案】(1)-8,-*)=(￥，+8；(2)答案見解析.

【解析】(1)由已知得生=1,c=拒，??.。=2,b=厄,所以橢圓方程為三+工=1

a42

設(shè)直線/的方程為丁=丘一2,與橢圓］+?=1聯(lián)立得。+2二卜2-8米+4=0.

、

由A=64公一］6（1+2r）>0得公>g,所以攵e-oo,-

，+<X>?

（2）令A(yù)（X|,yJ,8（毛,必），則。（不，一,），則大+工2=言^7'g二i±2.

1I乙Ki十乙K

2（2

由y=收一2中，令y=0得巧,二1，即尸1層°

設(shè)直線BC的方程為丁=紀(jì)”（不一為）—令y=0得x=一%+」%

將y=g一2,必=3-2代入上式得:

F416k

_七%+百%.2煙/一2（%+/）,172F_iZ2F_^

。一下丁一不+看）-4=屐q_4

1+2二

所以|0斗|兇=陣|.同='.|24|=4,為定值.

K

三、探索性問題

解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的存在性問題，往往是先假設(shè)所求的元素存在，然后再推理論證，檢驗(yàn)說明假設(shè)

是否正確.其解題步驟為：

（1）先假設(shè)存在，引入?yún)⒆兞?，根?jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程（組）或不等式（組）.

（2）解此方程（組）或不等式（組），若有解則存在；若無解則不存在.

（3）得出結(jié)論.

例1.（2021?江西贛州期末）如圖，已知拋物線用：/=2〃），（〃>0）的焦點(diǎn)為尸（0』），過焦點(diǎn)戶作直線交拋

物線于A,8兩點(diǎn)，在A,8兩點(diǎn)處的切線相交于N,再分別過A,B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C,D.

（1）求證：點(diǎn)N在定直線上；

（2）是否存在點(diǎn)M使得△8DV的面積是AACN的面積和AABN的面積的等差中項(xiàng)，若存在，請求出點(diǎn)N

的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，N士等,T

【分析】⑴由題意設(shè)直線AB:y=Ax+l,A（x”y）,網(wǎng)程必），將直線F拋物線方程聯(lián)立求出兩根之

和、兩根之積，求出直線AN:y=±x-二以及直線=-迂，將兩直線聯(lián)立求出交點(diǎn)印證.

2424

（2）由（1）知點(diǎn)N為C。的中點(diǎn)，取A5的中點(diǎn)E,則EN=A。；」。,利用拋物線的定義可得

3s_C4.CC_AFCNBFCN

A力—2匕N,、JBN—LAEIY+3&BEN，MACN—3，MBDN_2,根據(jù)

2s3=5*”/，可得28F=AF+AB，即超二一2%，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.

【解析】（1）由題知〃=2,所以M:f=4y,設(shè)直線45:、=依+1,A（ay）,外J必），

y="+1x+X）=4k/

聯(lián)立《\,得f一4京一4=0,所以二，對丁二土求導(dǎo)得），=彳，所以直線AN的斜率為

IX=4），、百“2=T142

■2

八『彳,所以直線AN:y—y=5（％-演）即AN:y=￡x—3-①

同理直線BN:y=Ex-迂②

24

x=\+x^=2k

2

聯(lián)立①和②得，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2攵,一1）,即點(diǎn)N在定直線），=-1上.

/=一1

，4

AC+8。

（2）由（1）知點(diǎn)N為。。的中點(diǎn)，取A8的中點(diǎn)E,則EN=由題知4C+3O=A3,

2

「°ENCNENDN「ENCNABCN

所以A8=2EN,所以=S^AEN+=-—+—；—=2X---=---

.。ACCNAFCNeBDDNBFCN

而S^ACV==2，S^BDN==2*

若存在點(diǎn)N滿足題意，則22^^=3。5+3”服，即2M=AF+AB,

所以2（為-0）=°—x+w—%即々=一2五③

\x+%=4A

又因?yàn)閇

[中2=-4

萬

將③代入④解得2二土注，由（I）知M2攵1）即-11,經(jīng)檢驗(yàn)，存在N1±—&,-1滿足題意.

4

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：木題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是由A（4y）,網(wǎng)與,必），求出

點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2上—1）以及％=-2百，考查了計(jì)算能力、推理能力.

22

例2.（2021?安徽安慶市?高三一模（文））已知橢圓C：]+a=1（。>6>0）直線/:

x—46》+百=0過橢圓的左焦點(diǎn)尸，與橢圓C在第一象限交于點(diǎn)M，三角形MFO的面積為也，4、

4

8分別為橢圓的上下頂點(diǎn)，?、。是橢圓上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線小的斜率為心八，直線。5的斜率為即8,若2MM+&@=°，問直線R2是否過定點(diǎn)，若過定

點(diǎn)，求出定點(diǎn)；否則說明理由.

2

【答案】（1）^+/=1；（2）直線P。過定點(diǎn)（0,3）.

【分析】（1）根據(jù)直線工一4by+6=0過左焦點(diǎn)尸，得到c=JJ，再由三角形MFO的面積為包，求

4

得點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入橢圓方程求解；（2）設(shè)直線修的方程為了=丘+1,則的方程為丁=-2"-1,分

別與橢圓方程聯(lián)立求得點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)，寫出PQ的直線方程求解.

【解析】（1）直線/：工一46），十6=0過左焦點(diǎn)尸，所以尸卜石,0）,c=B

又由從而橢圓經(jīng)過點(diǎn).

242\）

由橢圓定義知2a=!+J12+』=4,即。=2,故橢圓的方程為C：—+/=1.

2V44

y=kx+\

（2）設(shè)直線24的方程為丁="+1,則Q8的方程為），=一2米一1,由廣2,、，得

x~+4y=4

/-8k1-4公、

（4公+1）38收=（）,從而點(diǎn)尸坐標(biāo)為

、4爐+1'4新+1,

有二得（原2+1片+16"=0,從而點(diǎn)Q坐標(biāo)為/76k16儲-1、

由，J6F+ri6Z:2+lJ，

由條件知Aw0,從而直線尸。的斜率存在，心”=吃上1

PQ4k

所以直線尸。的方程為y一黑二察［十篇〉即"筌過定點(diǎn)（。,3）,故直線

PQ過定點(diǎn)（0,3）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定點(diǎn)問題的常見解法：①假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方

程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)；②

從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)適合題意.

22

例3.（2021?江西重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體聯(lián)考）己知橢圓。：5+寫=1（4＞匕＞0）,長軸為4,不過原點(diǎn)。且不平

行于坐標(biāo)軸的直線/與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段A3的中點(diǎn)為直線OM的斜率與直線/的斜率的乘積為定

值-%

（I）求橢圓C的方程；

（2）若直線/過右焦點(diǎn)尸2,問尸軸上是否存在點(diǎn)。，使得三角形為正三角形，若存在，求出點(diǎn)。，若不

存在，請說明理由.

【答案】（I）￡+￡=1：（2）不存在這樣的點(diǎn)。，理由見解析.

43

【分析】（1）由題意可得。=2,設(shè)點(diǎn)A（x，yJ,8（/必），利用點(diǎn)差法可得心8MoM=—」.即可求出

a~

b,從而得解；（2）設(shè)直線/：），=4（工-1）,聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可表示出點(diǎn)

M，假設(shè)存在點(diǎn)。，求出MQ的直線方程，從而得到。點(diǎn)坐標(biāo)，利用弦長公式求出、眼。|,由

△ABQ為等邊三角形，則|MD|二等|A5|，即可得到方程，即可判斷；

【解析】⑴由題意可知：勿=4,所以。=2,設(shè)點(diǎn)A（/y）,8（々%），A,8在橢圓上,

.i+￡-i

z+從-1..........①

09

i+A=i

3.y2fy+必二3

因?yàn)樾膹V府歷=一日③

Xy+X24

由①?②得N—g+K—4=0,即可一石iy一％=0,所以B?山=一￡

2

a~ab~b~CTx2-x1x1+x2a~

22

由③得-與7，，〃=3，..?橢圓C方程為：工+匕=1.

a"443

x2y2

（2）設(shè)直線/：y=-x-l）聯(lián)立，工十7=得(3+442)工2—8攵21+4&2-12=0,

y=k(x-1)

Sk24F—12

3+4欠2

:.yi+y2=k(xl-1)+k(x2-\)=k(xi+x2)-2k=kx^---2k=--^-

D+QKDI，K

必3k

(3+4亡3+4FJ

3k144、

假設(shè)存在點(diǎn)。，則歷。的直線方程為：y+X-,D0,-----r

3+4-一一%3+4F>I3+4公

心4攵2-12」2(1+燈

所以|A81=717/卜］一司=VI*弘

(3+4吃3+4/3+4火2

|MD|=Jl+4-.竺二-。4|%|爐71

V/3+奴3+4改

若△A5O為等邊三角形則：|加/）|二等朱鬻會工"+27S方程無

|AB|，

實(shí)數(shù)解，，不存在這樣的點(diǎn)n

【點(diǎn)睛】（1）解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去M或y）建立一元二次方程，然后借

助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.

(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí),務(wù)必考慮全面.不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.

例4.一種作圖工具如圖1所示.O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞0轉(zhuǎn)動(dòng)，長桿MN通過N處較鏈與ON

連接，MN上的栓子?？裳鼗跘8滑動(dòng)，旦DN=ON=1,MN=3.當(dāng)栓子。在滑槽A5