2024-2025學年上海市普陀區(qū)八年級（上）期中數(shù)學試卷（含解析）

-2025學年上海市普陀區(qū)八年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共6題，每題2分，滿分12分）1．（2分）下列二次根式中，與是同類二次根式的是A． B． C． D．2．（2分）下列運算正確的是A． B． C． D．3．（2分）下列選項是一元二次方程的是A． B． C． D．為常數(shù)）4．（2分）下列關于的方程中，一定有實數(shù)根的是A． B． C． D．5．（2分）下列命題中，是真命題的是A．如果一元二次方程有兩個實數(shù)根，那么 B．如果，那么 C．兩腰及一腰上的高對應相等的兩個等腰三角形全等 D．底邊及一個內角相等的兩個等腰三角形全等6．（2分）在△中，為中點，下列說法錯誤的是A．點、到直線的距離相等 B．如果，，，那么 C．如果，，垂足分別為點，，那么 D．如果，那么二、填空題（本大題共12題，每題3分，滿分36分）7．（3分）當時，有意義．8．（3分）化簡：．9．（3分）的有理化因式可以是．（只需填一個）10．（3分）已知一個一元二次方程有一個根為，且常數(shù)項為0，請寫出一個滿足要求的方程：．11．（3分）不等式的解集是．12．（3分）在實數(shù)范圍內因式分解：．13．（3分）關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，那么的取值范圍是．14．（3分）把命題“全等三角形的對應邊相等”改寫成“如果，那么”的形式．．15．（3分）某工廠五月份的產(chǎn)值為100萬元，七月份的產(chǎn)值為81萬元，如果每個月產(chǎn)值降低的百分率相同，那么這個降低的百分率為．（填百分數(shù)）16．（3分）如圖，在△中，，平分，，已知，那么．17．（3分）如圖，已知，，，如果，，，那么．18．（3分）我們知道二次根式具有以下性質：，小普同學經(jīng)過思考，得出，利用這些結論，準確解出形如的方程，方法如下：由題意，可知，得．原方程變形為，，（舍去）或，．已知，參考以上方法，可求得．三、解答題（本大題共7題，第19-22題每題6分；第23-24題每題8分；第25題12分，滿分52分）19．（6分）計算：．20．（6分）計算：．21．（6分）配方法解方程：．22．（6分）線段上的一點將分割成、兩段，如果的長度是與長度的比例中項，即，那么稱點為線段的黃金分割點．如圖，已知線段，點是線段的黃金分割點，求的長度．23．（8分）求證：如果一個三角形一邊上的中線平分這條邊所對的內角，那么這個三角形是等腰三角形．如圖所示，小普同學按照題目要求畫出了△以及邊上的中線，請你依據(jù)此圖完成命題的證明．已知：如圖，在△中，．求證：．證明：24．（8分）如圖，已知一個一面靠墻（圖中陰影部分，墻長10米），三面用籬笆圍成的正方形倉庫，該倉庫的邊長為4米，且倉庫的一邊緊貼墻的一端，現(xiàn)因業(yè)務需要進行擴建，保留邊，拆除另外兩面籬笆與，不計損耗，用拆除的舊籬笆加上8米長的新籬笆進行如圖所示的擴建．如果要求新的長方形倉庫的面積增加32平方米，求新倉庫相鄰兩邊的長．25．（12分）已知在△中，，，，過點作直線，點為直線上一點，連接，作交直線于點．（1）如圖，當在線段上時．①設，那么．（用含的代數(shù)式表示）．②求證：；（2）設點到直線的距離為，當△的面積為4時，請直接寫出的值．

參考答案一、選擇題（本大題共6題，每題2分，滿分12分）1．（2分）下列二次根式中，與是同類二次根式的是A． B． C． D．解：、，與不是同類二次根式，故本選項不符合題意；、，與不是同類二次根式，故本選項不符合題意；、，與是同類二次根式，故本選項符合題意；、，與不是同類二次根式，故本選項不符合題意；故選：．2．（2分）下列運算正確的是A． B． C． D．解：、，故符合題意；、，故不符合題意；、，故不符合題意；、，故不符合題意，故選：．3．（2分）下列選項是一元二次方程的是A． B． C． D．為常數(shù)）解：．含有分式，不是一元二次方程，故此選項不符合題意；．是代數(shù)式，不是一元二次方程，故此選項不符合題意；．是一元二次方程，故此選項符合題意；．為常數(shù)），當時，不是一元二次方程，故此選項不符合題意；故選：．4．（2分）下列關于的方程中，一定有實數(shù)根的是A． B． C． D．解：、由得，，方程沒有實數(shù)根，故不符合題意；、，△，方程沒有實數(shù)根，故不符合題意；、，當且，同號時，方程沒有實數(shù)根，故不符合題意；、，經(jīng)整理得：，解得：，方程有實數(shù)根，符合題意；故選：．5．（2分）下列命題中，是真命題的是A．如果一元二次方程有兩個實數(shù)根，那么 B．如果，那么 C．兩腰及一腰上的高對應相等的兩個等腰三角形全等 D．底邊及一個內角相等的兩個等腰三角形全等解：．如果一元二次方程有兩個實數(shù)根，那么，原命題不是真命題，故不符合題意；．如果，那么，此命題為真命題，故符合題意；．如圖1，△和△都是等腰三角形，且，且腰上的高，從圖形中顯然可看出這兩個三角形不全等，原命題是假命題，故不符合題意；．如圖2，等腰△和△中，，但△與△不全等，因此原命題是假命題，不符合題意．故選：．6．（2分）在△中，為中點，下列說法錯誤的是A．點、到直線的距離相等 B．如果，，，那么 C．如果，，垂足分別為點，，那么 D．如果，那么解：連接，過作于，過作于，如圖1，則，在△和△中，，△△，，點、到直線的距離相等，故選項正確，但不符合題意；如圖2，，，，，，，，，，，即，，故選項正確，但不符合題意；如圖3，為中點，，又，，，，故選項正確，但不符合題意；由選知，當時，，與、數(shù)量關系無關，故選項錯誤，符合題意；故選：．二、填空題（本大題共12題，每題3分，滿分36分）7．（3分）當時，有意義．解：是二次根式，，．故答案為：．8．（3分）化簡：．解：，故答案為：．9．（3分）的有理化因式可以是（答案不唯一）．（只需填一個）解：，的有理化因式可以是，故答案為：（答案不唯一）．10．（3分）已知一個一元二次方程有一個根為，且常數(shù)項為0，請寫出一個滿足要求的方程：．解：設一元二次方程為：，一元二次方程有一個根為，，，故該方程為（答案不唯一），故答案為：（答案不唯一）．11．（3分）不等式的解集是．解：移項、合并同類項得，，不等式兩邊同乘以得，．12．（3分）在實數(shù)范圍內因式分解：．解：根據(jù)，其中、是一元二次方程的兩個根，的兩個根為，，，故答案為：．13．（3分）關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，那么的取值范圍是．解：原方程可化為：，一元二次方程有兩個實數(shù)根，，解得，故答案為：．14．（3分）把命題“全等三角形的對應邊相等”改寫成“如果，那么”的形式．如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應邊相等．解：命題“全等三角形的對應邊相等”改寫成“如果，那么”的形式為如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應邊相等．故答案為如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應邊相等．15．（3分）某工廠五月份的產(chǎn)值為100萬元，七月份的產(chǎn)值為81萬元，如果每個月產(chǎn)值降低的百分率相同，那么這個降低的百分率為．（填百分數(shù)）解：設這個降低的百分率為，根據(jù)題意，得，解得，（舍去），這個降低的百分率為，故答案為：．16．（3分）如圖，在△中，，平分，，已知，那么52．解：，，，，，平分，，，，，故答案為：52．17．（3分）如圖，已知，，，如果，，，那么5．解：，，，，，，，，在△和△中，，△△，，，又，，故答案為：5．18．（3分）我們知道二次根式具有以下性質：，小普同學經(jīng)過思考，得出，利用這些結論，準確解出形如的方程，方法如下：由題意，可知，得．原方程變形為，，（舍去）或，．已知，參考以上方法，可求得．解：由題意，可知，，，，，，，，解得（舍去）或，，，故答案為：．三、解答題（本大題共7題，第19-22題每題6分；第23-24題每題8分；第25題12分，滿分52分）19．（6分）計算：．解：．20．（6分）計算：．解：．21．（6分）配方法解方程：．解：，，，，，，．22．（6分）線段上的一點將分割成、兩段，如果的長度是與長度的比例中項，即，那么稱點為線段的黃金分割點．如圖，已知線段，點是線段的黃金分割點，求的長度．解：設，則，點是線段的黃金分割點，，即，化簡，得，解得，（舍去），的長度為．23．（8分）求證：如果一個三角形一邊上的中線平分這條邊所對的內角，那么這個三角形是等腰三角形．如圖所示，小普同學按照題目要求畫出了△以及邊上的中線，請你依據(jù)此圖完成命題的證明．已知：如圖，在△中，平分，交邊于點，且，．求證：．證明：解：由題意得：平分，交邊于點，且，求證：．證明如下：如圖：延長至，使，連接，在△和△中，，△△，，，平分，，，，，故答案為：平分，交邊于點，且；．24．（8分）如圖，已知一個一面靠墻（圖中陰影部分，墻長10米），三面用籬笆圍成的正方形倉庫，該倉庫的邊長為4米，且倉庫的一邊緊貼墻的一端，現(xiàn)因業(yè)務需要進行擴建，保留邊，拆除另外兩面籬笆與，不計損耗，用拆除的舊籬笆加上8米長的新籬笆進行如圖所示的擴建．如果要求新的長方形倉庫的面積增加32平方米，求新倉庫相鄰兩邊的長．解：設米，則米，根據(jù)題意，得，解得，（舍去），米，米，答：新倉庫相鄰兩邊的長分別為8米，6米．25．（12分）已知在△中，，，，過點作直線，點為直線上一點，連接，作交直線于點．（1）如圖，當在線段上時．①設，那么．（用含的代數(shù)式表示）．②求證：；（2）設點到直線的距離為，當△的面積為4時，請直接寫出的值．【解答】（1）①解：，，，，，，，故答案為：；②證明：在上取點，使，聯(lián)結，如圖1，，，，又，，，，，由①知：，在△和△中，，△