2025年高考數(shù)學專項題型點撥訓(xùn)練之解三角形

年高考數(shù)學專項題型點撥訓(xùn)練解三角形【題型一】最值與范圍：角與對邊【題型二】最值與范圍：角與鄰邊【題型三】范圍與最值：有角無邊型【題型四】三大線：角平分線應(yīng)用【題型五】三大線：中線應(yīng)用【題型六】三大線：高的應(yīng)用【題型七】圖形：內(nèi)切圓與外接圓【題型八】圖形：“補角”三角形【題型九】圖形：四邊形與多邊形作為高考固定題型，每次會出現(xiàn)在解答題的第一題或者第二題，新高考出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)不良題的新題型，無外乎的就是和三角函數(shù)與解三角形結(jié)合出現(xiàn)在解答題第一題里，占10分，難度不大也適應(yīng)了新高考的新題型，所以是熱門，必須要把各題型都能熟練掌握。今年從九省聯(lián)考的試卷可以看出，新結(jié)構(gòu)試卷中把原有的解三角形大題弱化了，新結(jié)構(gòu)試卷解三角形的位置會在選填中考察，出現(xiàn)在大題的機率也是有的，即使出現(xiàn)難度也是不大的，所以基礎(chǔ)題型和小題中對于正余弦定理的運用就需要掌握的透徹。易錯點一：正弦定理的邊角互化正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)等形式，以解決不同的三角形問題．易錯提醒：1.在用正弦定理進行邊角互化時需要注意2R的存在，等式兩邊2R的數(shù)量一致才可相消。2.在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在△ABC中，A>B?a>b?sinA>sinB.例（2024·遼寧遼陽·一模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，則的最小值為.變式1：（2024·四川涼山·二模）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則．易錯點二：判斷三角形個數(shù)1.在△ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解例（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．B．C．D．變式1：（2024高三·全國·專題練習）在中，，，若角有唯一解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題型一】最值與范圍：角與對邊注意正弦定理在進行邊角轉(zhuǎn)換時等式必須是齊次，關(guān)于邊的齊次式或關(guān)于角的正弦的齊次式，齊次分式也可以用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)換．求范圍問題，通常是把量表示為三角形某個角的三角函數(shù)形式，利用此角的范圍求得結(jié)論．【例1】（23-24高三下·河南濮陽·開學考試）已知的內(nèi)角的對邊分別是.若，則（

）A． B． C．2 D．3【例2】（2024·海南省直轄縣級單位·一模）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，且，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知中，角、、的對邊分別是．(1)求角的大?。?2)若，為邊上一點，，，求的面積．【變式1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角的對邊分別為的面積．(1)求角的大?。?2)若，求的面積．【變式2】（2024·云南貴州·二模）的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求角的值；(2)若的面積為，求.【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，．(1)求角；(2)設(shè)是的高，求的最大值．【題型二】最值與范圍：角與鄰邊三角形中最值范圍問題的解題思路：要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題。涉及求范圍的問題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進行求解，已知邊的范圍求角的范圍時可以利用余弦定理進行轉(zhuǎn)化．注意要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大【例1】（2024·安徽阜陽·一模）在中，角的對邊分別是，且．(1)求角的大?。?2)若，且，求的面積．【例2】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）在銳角的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知(1)求；(2)若，求的面積.【變式1】（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，則能使同時滿足條件的三角形不唯一的a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·河北·一模）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求角C的大??；(2)若，，求的面積．【變式3】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為，其中，．(1)求角的大小；(2)如圖，為外一點，，，求的最大值．【題型三】范圍與最值：有角無邊型【例1】（2024·北京石景山·一模）在銳角中，角的對邊分別為，且．(1)求角的大?。?2)求的取值范圍．【例2】（2024·吉林延邊·一模）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．(1)求B；(2)若點D在AC上，且，求．【變式1】（2024·廣東湛江·一模）已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圓的直徑為，求的取值范圍．【變式2】（2024·陜西·模擬預(yù)測）的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.(1)求；(2)若，求.【變式3】（2012·廣西南寧·一模）已知在中，角所對的邊分別為，且．(1)求角的大小；(2)設(shè)向量，求當取最大值時，的值．【題型四】三大線：角平分線應(yīng)用角平分線定理（大題中，需要證明，否則可能會扣過程分）：【例1】（2024·山東淄博·一模）如圖，在△ABC中，的角平分線交BC于P點，.

(1)若，求△ABC的面積;(2)若，求BP的長.【例2】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）在中，分別為邊所對的角，且滿足.(1)求的大??；(2)的角平分線交邊于點，當時，求.【例3】（2024·四川·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求角；(2)若的角平分線交于，求的長.【變式1】（2024·四川遂寧·二模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角C；(2)若CD是的角平分線，，的面積為，求c的值．【變式2】（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若方程在上有2個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；(2)在中，若，內(nèi)角A的角平分線，，求AC的長度．【變式3】（2024·四川廣安·二模）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若是的角平分線，，的面積為，求的值.【題型五】三大線：中線應(yīng)用中線的處理方法1.向量法：雙余弦定理法（補角法）：如圖設(shè)，在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因為，所以所以①+②式即可3.延伸補形法：如圖所示，延伸中線，補形為平行四邊形4.中線分割的兩三角形面積相等【例1】（2024·浙江·模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別為且，(1)求；(2)求邊上中線長的取值范圍．【例2】（2024·河北滄州·三模）在中，角A，，所對的邊分別為，，，，，且的面積為.若，邊上的兩條中線，相交于點，如圖所示.

(1)求的余弦值；(2)求的值.【例3】（2024·吉林長春·一模）在中，為邊上中線，，，．(1)求的面積；(2)若，求．【變式1】（2024·新疆阿勒泰·三模）在中，，為邊上的中線且，則的取值范圍是．【變式2】（23-24高三上·河北唐山·期末）在中，角的對邊分別為，(1)求；(2)設(shè)邊的中線，且，求的面積．【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求角的大??；(2)若的中線，求的最大值．【題型六】三大線：高的應(yīng)用高的處理方法：1.等面積法：兩種求面積公式如2.三角函數(shù)法：【例1】（2024·四川·模擬預(yù)測）在中，，，且，則邊上的高.【例2】（2024·全國·一模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且AD是BC邊上的高．．(1)求角A；(2)若，，求AD．【例3】（23-24高三下·山東濟南·開學考試）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知.(1)求；(2)若，且邊上的高為，求的周長.【變式1】（2021·湖南株洲·三模）已知中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)設(shè)AD是BC邊上的高，且，求面積的最小值．【變式2】（2024·貴州·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角的大??；(2)若，，求邊上的高.【變式3】（23-24高三上·河南周口·階段練習）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的正三角形的面積依次為，，，且．(1)求角A；(2)若，D為線段BC延長線上一點，且，，求的BC邊上的高．【題型七】圖形：內(nèi)切圓與外接圓外接圓：1.外接圓的圓心到三角形的三個頂點的距離相等。銳角三角形外心在三角形內(nèi)部。直角三角形外心在三角形斜邊中點上。鈍角三角形外心在三角形外。2.正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R為外接圓半徑內(nèi)切圓：等面積構(gòu)造法求半徑【例1】（2024·吉林·二模）已知的三個內(nèi)角的對邊分別為的外接圓半徑為，且.(1)求;(2)求的內(nèi)切圓半徑的取值范圍【例2】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為等邊三角形的頂點”.如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，且.以為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次為.

(1)求角；(2)若的面積為，求的周長.【例3】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·三模）在凸四邊形中，.(1)若.求的長；(2)若四邊形有外接圓，求的最大值.【變式1】（2024高三·江蘇·專題練習）已知點M為直角外接圓O上的任意一點，，則的最大值為．【變式2】（23-24高三下·重慶·開學考試）已知四邊形的外接圓面積為，且為鈍角，(1)求和；(2)若，求四邊形的面積．【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為平分，且．(1)求；(2)求的外接圓和內(nèi)切圓的面積之比．【題型八】圖形：“補角”三角形【例1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，在中，，D是斜邊上的一點，，.

(1)若，求和；(2)若，證明：.【例2】（2024·福建·模擬預(yù)測）在中，D為BC的中點，且.(1)求；(2)若，求.【變式1】（2024·甘肅隴南·一模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為.已知(1)求b；(2)D為邊上一點，，求的長度和的大小.【變式2】（2024·全國·模擬預(yù)測）在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足______．(1)求C；(2)點D在邊AB上，且，，求．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答記分．【題型九】圖形：四邊形與多邊形【例1】（2024·河南·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，的面積為．

(1)求；(2)證明：．【例2】（2024·云南大理·模擬預(yù)測）如圖所