2023屆陜西省西安市周至縣高三下學(xué)期一模理科數(shù)學(xué)試題(解析版)_第1頁(yè)
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高考模擬試題PAGEPAGE1周至縣2022~2023學(xué)年度高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)(理科)試題注意事項(xiàng):1.本試題共4頁(yè),滿分150分,時(shí)間120分鐘.2.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.3.回答選擇題時(shí),選出每小題〖答案〗后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后,監(jiān)考員將答題卡按順序收回,裝袋整理;試題不回收.一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題:“,”的否定是()A., B.,C., D.,〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定方法寫(xiě)出命題的否定即可.〖詳析〗因?yàn)槿Q(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題,

所以命題“,”的否定為:“,”.故選:B2.設(shè)集合,,若,則的范圍是()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由,得,從而可求出的范圍.〖詳析〗因?yàn)椋?,因?yàn)?,,所以,故選:B3.若復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,可得,即得解〖詳析〗由題意:可得:在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第一象限故選:A4.已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,若,,則()A.15 B.20 C.25 D.-25〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得首項(xiàng)和公差即可求解.〖詳析〗設(shè)公差為,則有,即,聯(lián)立解得,所以,故選:B.5.下列區(qū)間中,函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗化簡(jiǎn),結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì),令,,對(duì)賦值,結(jié)合選項(xiàng)即可判斷.〖詳析〗由題,,令,,則,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因?yàn)?,所以是一個(gè)單調(diào)遞增的區(qū)間,故選:A6.公元五世紀(jì),數(shù)學(xué)家祖沖之估計(jì)圓周率的范圍是:,為紀(jì)念祖沖之在圓周率方面的成就,把3.1415926稱(chēng)為“祖率”,這是中國(guó)數(shù)學(xué)的偉大成就.甲同學(xué)是個(gè)數(shù)學(xué)迷,他在設(shè)置手機(jī)的數(shù)字密碼時(shí),打算將圓周率的前6位數(shù)字3,1,4,1,5,9進(jìn)行某種排列得到密碼.如果排列時(shí)要求兩個(gè)1不相鄰,那么甲同學(xué)可以設(shè)置的不同密碼個(gè)數(shù)為()A.240 B.360 C.480 D.720〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗直接利用插空法分兩步完成計(jì)算得到〖答案〗.〖詳析〗先把數(shù)字3,4,5,9四個(gè)數(shù)排列,共有種排列方法,四個(gè)數(shù)排列產(chǎn)生5個(gè)空,把兩個(gè)1插到5個(gè)空里,共有種方法,根據(jù)乘法分步原理得共有種.故選:A7.設(shè)、是兩個(gè)不同的平面.則“中有三個(gè)不共線的點(diǎn)到的距離相等”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗利用平行平面的性質(zhì)、特例法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.〖詳析〗如下圖所示:當(dāng)、相交時(shí),設(shè),若、、,且,則、到平面的距離相等,若線段的中點(diǎn),則、到平面的距離相等,則、、到平面的距離相等,即“中有三個(gè)不共線的點(diǎn)到的距離相等”“”;若,則內(nèi)所有點(diǎn)到平面內(nèi)的距離都相等,即“中有三個(gè)不共線的點(diǎn)到的距離相等”“”.因此,“中有三個(gè)不共線的點(diǎn)到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選:B.8.某種卷筒衛(wèi)生紙繞在圓柱形盤(pán)上,空盤(pán)時(shí)盤(pán)芯直徑為40,滿盤(pán)時(shí)直徑為120,已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1,則滿盤(pán)時(shí)衛(wèi)生紙的總長(zhǎng)度大約()(π≈3.14,精確到1)A.60 B.80 C.100 D.120〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗將衛(wèi)生紙的長(zhǎng)度近似看成400個(gè)直徑成等差數(shù)列的圓周長(zhǎng)的和,利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求得滿盤(pán)時(shí)衛(wèi)生紙的總長(zhǎng)度大約為100〖詳析〗空盤(pán)直徑,半徑是,周長(zhǎng)是滿盤(pán)直徑是,半徑是,周長(zhǎng)是,則每一圈周長(zhǎng)成等差數(shù)列,共400項(xiàng),,故選:C.9.某校高二年級(jí)學(xué)生舉行中國(guó)象棋比賽,經(jīng)過(guò)初賽,最后確定甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)入決賽.決賽規(guī)則如下:累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽,負(fù)者下一場(chǎng)輪空,直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后,剩余的兩人繼續(xù)比賽,直至其中一人被淘汰,最后的勝者獲得冠軍,比賽結(jié)束.若經(jīng)抽簽,已知第一場(chǎng)甲、乙首先比賽,丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為,則()A.甲獲得冠軍的概率最大 B.甲比乙獲得冠軍的概率大C.丙獲得冠軍的概率最大 D.甲、乙、丙3人獲得冠軍的概率相等〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)比賽進(jìn)行的場(chǎng)次進(jìn)行分類(lèi)討論,結(jié)合相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式,求得甲、乙、丙三人獲得冠軍的概率,從而確定正確〖答案〗.〖詳析〗根據(jù)決賽規(guī)則,至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽,至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽,(1)甲獲得冠軍有兩種情況:①共比賽四場(chǎng)結(jié)束,甲四連勝奪冠,概率為②共比賽五場(chǎng)結(jié)束,并且甲獲得冠軍.則甲的勝、負(fù)、輪空結(jié)果共有四種情況∶勝勝勝負(fù)勝,勝勝負(fù)空勝,勝負(fù)空勝勝,負(fù)空勝勝勝,概率分別為,即,因此,甲最終獲得冠軍的概率為;(2)乙獲得冠軍,與(1)同理,概率也為;(3)丙獲得冠軍,概率為,由此可知丙獲得冠軍的概率最大,即A,B,D錯(cuò)誤,C正確,故選∶C.10.對(duì)于函數(shù),若對(duì)任意的,,,為某一三角形的三邊長(zhǎng),則稱(chēng)為“可構(gòu)成三角形的函數(shù)”,已知是可構(gòu)成三角形的函數(shù),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)構(gòu)成三角形的條件,只需研究該函數(shù)的最小值與最大值,只要保證,即可保證該函數(shù)為“可構(gòu)成三角形的函數(shù)”,即得〖答案〗.〖詳析〗由題意得,,當(dāng)時(shí),,適合題意;的定義域?yàn)镽,則,所以是偶函數(shù),因?yàn)闉榕己瘮?shù),故只需考慮在上的范圍,當(dāng)時(shí),,此時(shí)在單調(diào)遞減,故,由題意知對(duì)任意的,恒成立,需,此時(shí)無(wú)最小值,故需,即;.當(dāng),在上單調(diào)遞增,,對(duì)對(duì)任意的,恒成立,需,但此時(shí)無(wú)最大值,需,即,綜上:,故選:B11.已知雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)的直線與圓相切于點(diǎn)Q,與雙曲線的右支交于點(diǎn)P,若線段的垂直平分線恰好過(guò)右焦點(diǎn),則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意畫(huà)出草圖,由題意O為的中點(diǎn)可得,求出,即可得到,,根據(jù)雙曲線定義推得長(zhǎng)度,在直角三角形中用勾股定理即可找到之間的關(guān)系,即可求得離心率.〖詳析〗設(shè)的焦距為,則,由題意過(guò)的直線與圓相切于點(diǎn)Q,連接,則,連接,設(shè)M為的中點(diǎn),則,則,因?yàn)镺為的中點(diǎn),故Q為的中點(diǎn),即,在中,,故,則,由于M為的中點(diǎn),所以,即,在雙曲線中,P在右支上,有,所以,又,所以在中,,即,化簡(jiǎn)得,故雙曲線的離心率為,故選:A〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』:要求雙曲線的離心率,即要求出之間的關(guān)系,因而解答本題時(shí),根據(jù)題意推出相關(guān)線段的長(zhǎng),特別是,繼而在中應(yīng)用勾股定理即是關(guān)鍵所在.12.過(guò)點(diǎn)可作三條直線與曲線相切,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù),設(shè)切點(diǎn)為,得到切線方程,代入點(diǎn)坐標(biāo)得到,設(shè),計(jì)算函數(shù)的極值,得到〖答案〗.〖詳析〗,,設(shè)切點(diǎn)為,則切線方程為,切線過(guò)點(diǎn),,整理得到,方程有三個(gè)不等根.令,則,令,則或,當(dāng)或時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,極大值,極小值,函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn),則,的取值范圍為.故選:D二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知向量,,若,則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_____.〖答案〗-6〖解析〗〖祥解〗先求得的坐標(biāo),再根據(jù)求解.〖詳析〗解:因?yàn)橄蛄?,,所以,又因?yàn)?,所以,解得,故〖答案〗為:?14.若拋物線y2=2x上的一點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為,則點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為_(kāi)____.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗求得點(diǎn)M坐標(biāo),將點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到拋物線y2=2x的準(zhǔn)線的距離即可.〖詳析〗設(shè)點(diǎn)M,∵|MO|=∴∴y2=2或y2=-6(舍去),∴x==1∴M到拋物線y2=2x的準(zhǔn)線x=-的距離d=1-(-)=∵點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到拋物線y2=2x的準(zhǔn)線的距離,∴點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為故〖答案〗為.〖『點(diǎn)石成金』〗本題考查拋物線定義的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想,求得點(diǎn)M的坐標(biāo)是關(guān)鍵.15.若定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,且不等式的解集為,則符合題意的一個(gè)函數(shù)〖解析〗式為_(kāi)_____.〖答案〗(〖答案〗不唯一)〖解析〗〖祥解〗先化簡(jiǎn)條件“不等式的解集為”,再結(jié)合奇函數(shù)和單調(diào)性寫(xiě)出〖解析〗式.〖詳析〗因?yàn)榈慕饧癁椋詴r(shí),的解為;時(shí),的解為;又因?yàn)槎x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以的〖解析〗式可以為〖答案〗不是唯一的,符合題意即可.故〖答案〗為:(〖答案〗不唯一)16.我們可以用下面的方法在線段上構(gòu)造出一個(gè)特殊的點(diǎn)集:如圖,取一條長(zhǎng)度為1的線段,第1次操作,將該線段三等分,去掉中間一段,留下兩段;第2次操作,將留下的兩段分別三等分,各去掉中間一段,留下四段;按照這種規(guī)律一直操作下去.若經(jīng)過(guò)次這樣的操作后,去掉的所有線段的長(zhǎng)度總和大于,則的最小值為_(kāi)_________.(參考數(shù)據(jù):)〖答案〗12〖解析〗〖祥解〗設(shè)每次操作留下的長(zhǎng)度為,得到為等比數(shù)列,公比為,首項(xiàng)為,求出,從而得到去掉的所有線段長(zhǎng)度總和為,列出不等式,求出〖答案〗.〖詳析〗設(shè)每次操作留下的長(zhǎng)度為,則,,且每次操作留下的長(zhǎng)度均為上一次操作留下長(zhǎng)度的,所以為等比數(shù)列,公比為,首項(xiàng)為,故,所以經(jīng)過(guò)次這樣的操作后,去掉的所有線段長(zhǎng)度總和為,故,即,兩邊取對(duì)數(shù)得:,因?yàn)?,所以,則n的最小值為12.故〖答案〗為:12三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:共60分.17.在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,滿足.(1)求B;(2)若的周長(zhǎng)為6,,求的面積.〖答案〗(1)(2)〖解析〗〖祥解〗(1)利用正弦定理先邊化角,再借助和角正弦公式化簡(jiǎn)得,從而可解;(2)利用余弦定理和已知的周長(zhǎng)得到,再借助三角形的面積公式即可求解.〖小問(wèn)1詳析〗∵,根據(jù)正弦定理可得:,即.∴,即.∵,∴,∴,又,∴.〖小問(wèn)2詳析〗由余弦定理知,即,又,,∴.∴18.偏差是指?jìng)€(gè)別測(cè)定值與測(cè)定的平均值之差,在成績(jī)統(tǒng)計(jì)中,我們把某同學(xué)的某科考試成績(jī)與該科平均成績(jī)的差叫某科偏差(實(shí)際成績(jī)-平均成績(jī)=偏差).在某次考試成績(jī)統(tǒng)計(jì)中,教研人員為了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)偏差x(單位:分)與物理偏差y(單位:分)之間的關(guān)系進(jìn)行分析,隨機(jī)挑選了8位同學(xué),得到他們的兩科成績(jī)偏差數(shù)據(jù)如下:學(xué)生序號(hào)12345678數(shù)學(xué)偏差x/分20151332物理偏差y/分6.53.53.51.50.5(1)若x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求y關(guān)于x的線性回歸方程;(2)若本次考試數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?00分,物理平均成績(jī)?yōu)?0.5分,試由(1)的結(jié)論預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?16分的同學(xué)的物理成績(jī).參考公式:,.參考數(shù)據(jù):,.〖答案〗(1)(2)75分.〖解析〗〖祥解〗(1)根據(jù)線性回歸方程的求法直接求解;(2)利用回歸方程以及偏差的定義求解.〖小問(wèn)1詳析〗由題意可得,,,又,,∴,,∴y關(guān)于x的線性回歸方程為:.〖小問(wèn)2詳析〗設(shè)該同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)閃,則物理偏差為W-70.5.又?jǐn)?shù)學(xué)偏差為,∴,解得.∴預(yù)測(cè)這位同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)?5分.19.如圖,在直三棱柱中,,E為的中點(diǎn),,.(1)證明:;(2)求平面與平面ABC所成角的余弦值.〖答案〗(1)證明見(jiàn)〖解析〗(2)〖解析〗〖祥解〗(1)證明平面,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo),求得平面的法向量,根據(jù)空間角的向量求法即可求得〖答案〗.〖小問(wèn)1詳析〗證明:在直三棱柱中,平面,平面,故,又,平面,故平面,平面,所以.〖小問(wèn)2詳析〗由題意知平面,,分別以所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由已知得E為的中點(diǎn),,,所以,故,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,即,令,則,所以,因?yàn)槠矫?,故平面ABC的一個(gè)法向量可取為,故,由圖可知平面與平面ABC所成角為銳角,故平面與平面ABC所成角的余弦值為.20.已知橢圓C:的離心率為,右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn),A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為M,證明:三點(diǎn)共線.〖答案〗(1)(2)證明見(jiàn)〖解析〗〖解析〗〖祥解〗(1)根據(jù)題意求得c,結(jié)合離心率求得,即得〖答案〗;(2)判斷直線l的斜率存在,設(shè)出直線方程,并和橢圓方程聯(lián)立,可得根與系數(shù)的關(guān)系式,表示出,的坐標(biāo),利用向量的共線證明三點(diǎn)共線,即得結(jié)論.〖小問(wèn)1詳析〗∵橢圓C的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,拋物線的焦點(diǎn)為,∴,又,∴,∴,∴橢圓C的方程為.〖小問(wèn)2詳析〗證明:由(1)知橢圓C的左焦點(diǎn)為,當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),其方程為:,此時(shí)直線l與橢圓C沒(méi)有交點(diǎn),不符合題意;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為,,,則.聯(lián)立,消去y得,∴,解得,∴,,∵,,又,,∴,∵與共線,而與有公共點(diǎn),即、、三點(diǎn)共線.〖『點(diǎn)石成金』〗思路『點(diǎn)石成金』:本題涉及到直線和橢圓的位置關(guān)系的問(wèn)題,解答并不困難,要證明三點(diǎn)共線,一般結(jié)合向量的共線來(lái)證明,利用向量共線的坐標(biāo)表示,計(jì)算即可.21.已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若有且僅有2個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)證明:.〖答案〗(1)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增(2)(3)證明見(jiàn)〖解析〗〖解析〗〖祥解〗(1)利用導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性;(2)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性、最值的關(guān)系求解;(3)利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系證明不等式.〖小問(wèn)1詳析〗∵,∴,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),令,得;令,得.∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.〖小問(wèn)2詳析〗由(1)知當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,不符合題意;當(dāng)時(shí),,且,當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí),的增長(zhǎng)速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的增長(zhǎng)速率,所以趨于,由此作出的圖象,∴若有且僅有2個(gè)零點(diǎn),只需.設(shè),則.∴當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減.又,∴或.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為.〖小問(wèn)3詳析〗證明:由(1)可知當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),設(shè),則.當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,又,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).∴.〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』:導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法:一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性,常化為不等式恒成立問(wèn)題.注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用;二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理.(二)選考題:共10分.考生從22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.〖選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程〗22.在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)已知直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),設(shè),求的值.〖答案〗(1),(2)〖解析〗〖祥解〗(1)消參可求l的普通方程,利用,可求直角坐標(biāo)方程;(2)根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義結(jié)合韋達(dá)定理求解.〖小問(wèn)1詳析〗∵直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),∴消去t可得直線l的普通方程為.∵曲線C極坐標(biāo)方程為,即,又∵,,∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為.〖小問(wèn)2詳析〗將(t為參數(shù))代入,得,顯然,即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根,設(shè)點(diǎn)A,B在直線l的參數(shù)方程中對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是,,則,,∴,∴.〖選修4-5:不等式選講〗23.已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí),求不等式解集;(2)若,求取值范圍〖答案〗(1)(2)〖解析〗〖祥解〗(1)分類(lèi)討論去絕對(duì)值求解;(2)根據(jù)求的最小值,運(yùn)算求解.〖小問(wèn)1詳析〗當(dāng)時(shí),由,即當(dāng)時(shí),,解得;當(dāng)時(shí),,無(wú)解;當(dāng)時(shí),,解得,綜上所述:不等式的解集為〖小問(wèn)2詳析〗∵,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,則的最小值為因?yàn)?,所以所以或解得或綜上,即的取值范圍為.高考模擬試題PAGEPAGE1周至縣2022~2023學(xué)年度高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)(理科)試題注意事項(xiàng):1.本試題共4頁(yè),滿分150分,時(shí)間120分鐘.2.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.3.回答選擇題時(shí),選出每小題〖答案〗后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后,監(jiān)考員將答題卡按順序收回,裝袋整理;試題不回收.一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題:“,”的否定是()A., B.,C., D.,〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定方法寫(xiě)出命題的否定即可.〖詳析〗因?yàn)槿Q(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題,

所以命題“,”的否定為:“,”.故選:B2.設(shè)集合,,若,則的范圍是()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由,得,從而可求出的范圍.〖詳析〗因?yàn)椋?,因?yàn)?,,所以,故選:B3.若復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,可得,即得解〖詳析〗由題意:可得:在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第一象限故選:A4.已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,若,,則()A.15 B.20 C.25 D.-25〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得首項(xiàng)和公差即可求解.〖詳析〗設(shè)公差為,則有,即,聯(lián)立解得,所以,故選:B.5.下列區(qū)間中,函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗化簡(jiǎn),結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì),令,,對(duì)賦值,結(jié)合選項(xiàng)即可判斷.〖詳析〗由題,,令,,則,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因?yàn)?,所以是一個(gè)單調(diào)遞增的區(qū)間,故選:A6.公元五世紀(jì),數(shù)學(xué)家祖沖之估計(jì)圓周率的范圍是:,為紀(jì)念祖沖之在圓周率方面的成就,把3.1415926稱(chēng)為“祖率”,這是中國(guó)數(shù)學(xué)的偉大成就.甲同學(xué)是個(gè)數(shù)學(xué)迷,他在設(shè)置手機(jī)的數(shù)字密碼時(shí),打算將圓周率的前6位數(shù)字3,1,4,1,5,9進(jìn)行某種排列得到密碼.如果排列時(shí)要求兩個(gè)1不相鄰,那么甲同學(xué)可以設(shè)置的不同密碼個(gè)數(shù)為()A.240 B.360 C.480 D.720〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗直接利用插空法分兩步完成計(jì)算得到〖答案〗.〖詳析〗先把數(shù)字3,4,5,9四個(gè)數(shù)排列,共有種排列方法,四個(gè)數(shù)排列產(chǎn)生5個(gè)空,把兩個(gè)1插到5個(gè)空里,共有種方法,根據(jù)乘法分步原理得共有種.故選:A7.設(shè)、是兩個(gè)不同的平面.則“中有三個(gè)不共線的點(diǎn)到的距離相等”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗利用平行平面的性質(zhì)、特例法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.〖詳析〗如下圖所示:當(dāng)、相交時(shí),設(shè),若、、,且,則、到平面的距離相等,若線段的中點(diǎn),則、到平面的距離相等,則、、到平面的距離相等,即“中有三個(gè)不共線的點(diǎn)到的距離相等”“”;若,則內(nèi)所有點(diǎn)到平面內(nèi)的距離都相等,即“中有三個(gè)不共線的點(diǎn)到的距離相等”“”.因此,“中有三個(gè)不共線的點(diǎn)到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選:B.8.某種卷筒衛(wèi)生紙繞在圓柱形盤(pán)上,空盤(pán)時(shí)盤(pán)芯直徑為40,滿盤(pán)時(shí)直徑為120,已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1,則滿盤(pán)時(shí)衛(wèi)生紙的總長(zhǎng)度大約()(π≈3.14,精確到1)A.60 B.80 C.100 D.120〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗將衛(wèi)生紙的長(zhǎng)度近似看成400個(gè)直徑成等差數(shù)列的圓周長(zhǎng)的和,利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求得滿盤(pán)時(shí)衛(wèi)生紙的總長(zhǎng)度大約為100〖詳析〗空盤(pán)直徑,半徑是,周長(zhǎng)是滿盤(pán)直徑是,半徑是,周長(zhǎng)是,則每一圈周長(zhǎng)成等差數(shù)列,共400項(xiàng),,故選:C.9.某校高二年級(jí)學(xué)生舉行中國(guó)象棋比賽,經(jīng)過(guò)初賽,最后確定甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)入決賽.決賽規(guī)則如下:累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽,負(fù)者下一場(chǎng)輪空,直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后,剩余的兩人繼續(xù)比賽,直至其中一人被淘汰,最后的勝者獲得冠軍,比賽結(jié)束.若經(jīng)抽簽,已知第一場(chǎng)甲、乙首先比賽,丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為,則()A.甲獲得冠軍的概率最大 B.甲比乙獲得冠軍的概率大C.丙獲得冠軍的概率最大 D.甲、乙、丙3人獲得冠軍的概率相等〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)比賽進(jìn)行的場(chǎng)次進(jìn)行分類(lèi)討論,結(jié)合相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式,求得甲、乙、丙三人獲得冠軍的概率,從而確定正確〖答案〗.〖詳析〗根據(jù)決賽規(guī)則,至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽,至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽,(1)甲獲得冠軍有兩種情況:①共比賽四場(chǎng)結(jié)束,甲四連勝奪冠,概率為②共比賽五場(chǎng)結(jié)束,并且甲獲得冠軍.則甲的勝、負(fù)、輪空結(jié)果共有四種情況∶勝勝勝負(fù)勝,勝勝負(fù)空勝,勝負(fù)空勝勝,負(fù)空勝勝勝,概率分別為,即,因此,甲最終獲得冠軍的概率為;(2)乙獲得冠軍,與(1)同理,概率也為;(3)丙獲得冠軍,概率為,由此可知丙獲得冠軍的概率最大,即A,B,D錯(cuò)誤,C正確,故選∶C.10.對(duì)于函數(shù),若對(duì)任意的,,,為某一三角形的三邊長(zhǎng),則稱(chēng)為“可構(gòu)成三角形的函數(shù)”,已知是可構(gòu)成三角形的函數(shù),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)構(gòu)成三角形的條件,只需研究該函數(shù)的最小值與最大值,只要保證,即可保證該函數(shù)為“可構(gòu)成三角形的函數(shù)”,即得〖答案〗.〖詳析〗由題意得,,當(dāng)時(shí),,適合題意;的定義域?yàn)镽,則,所以是偶函數(shù),因?yàn)闉榕己瘮?shù),故只需考慮在上的范圍,當(dāng)時(shí),,此時(shí)在單調(diào)遞減,故,由題意知對(duì)任意的,恒成立,需,此時(shí)無(wú)最小值,故需,即;.當(dāng),在上單調(diào)遞增,,對(duì)對(duì)任意的,恒成立,需,但此時(shí)無(wú)最大值,需,即,綜上:,故選:B11.已知雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)的直線與圓相切于點(diǎn)Q,與雙曲線的右支交于點(diǎn)P,若線段的垂直平分線恰好過(guò)右焦點(diǎn),則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意畫(huà)出草圖,由題意O為的中點(diǎn)可得,求出,即可得到,,根據(jù)雙曲線定義推得長(zhǎng)度,在直角三角形中用勾股定理即可找到之間的關(guān)系,即可求得離心率.〖詳析〗設(shè)的焦距為,則,由題意過(guò)的直線與圓相切于點(diǎn)Q,連接,則,連接,設(shè)M為的中點(diǎn),則,則,因?yàn)镺為的中點(diǎn),故Q為的中點(diǎn),即,在中,,故,則,由于M為的中點(diǎn),所以,即,在雙曲線中,P在右支上,有,所以,又,所以在中,,即,化簡(jiǎn)得,故雙曲線的離心率為,故選:A〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』:要求雙曲線的離心率,即要求出之間的關(guān)系,因而解答本題時(shí),根據(jù)題意推出相關(guān)線段的長(zhǎng),特別是,繼而在中應(yīng)用勾股定理即是關(guān)鍵所在.12.過(guò)點(diǎn)可作三條直線與曲線相切,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù),設(shè)切點(diǎn)為,得到切線方程,代入點(diǎn)坐標(biāo)得到,設(shè),計(jì)算函數(shù)的極值,得到〖答案〗.〖詳析〗,,設(shè)切點(diǎn)為,則切線方程為,切線過(guò)點(diǎn),,整理得到,方程有三個(gè)不等根.令,則,令,則或,當(dāng)或時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,極大值,極小值,函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn),則,的取值范圍為.故選:D二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知向量,,若,則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_____.〖答案〗-6〖解析〗〖祥解〗先求得的坐標(biāo),再根據(jù)求解.〖詳析〗解:因?yàn)橄蛄?,,所以,又因?yàn)?,所以,解得,故〖答案〗為:?14.若拋物線y2=2x上的一點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為,則點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為_(kāi)____.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗求得點(diǎn)M坐標(biāo),將點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到拋物線y2=2x的準(zhǔn)線的距離即可.〖詳析〗設(shè)點(diǎn)M,∵|MO|=∴∴y2=2或y2=-6(舍去),∴x==1∴M到拋物線y2=2x的準(zhǔn)線x=-的距離d=1-(-)=∵點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到拋物線y2=2x的準(zhǔn)線的距離,∴點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為故〖答案〗為.〖『點(diǎn)石成金』〗本題考查拋物線定義的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想,求得點(diǎn)M的坐標(biāo)是關(guān)鍵.15.若定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,且不等式的解集為,則符合題意的一個(gè)函數(shù)〖解析〗式為_(kāi)_____.〖答案〗(〖答案〗不唯一)〖解析〗〖祥解〗先化簡(jiǎn)條件“不等式的解集為”,再結(jié)合奇函數(shù)和單調(diào)性寫(xiě)出〖解析〗式.〖詳析〗因?yàn)榈慕饧癁?,所以時(shí),的解為;時(shí),的解為;又因?yàn)槎x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以的〖解析〗式可以為〖答案〗不是唯一的,符合題意即可.故〖答案〗為:(〖答案〗不唯一)16.我們可以用下面的方法在線段上構(gòu)造出一個(gè)特殊的點(diǎn)集:如圖,取一條長(zhǎng)度為1的線段,第1次操作,將該線段三等分,去掉中間一段,留下兩段;第2次操作,將留下的兩段分別三等分,各去掉中間一段,留下四段;按照這種規(guī)律一直操作下去.若經(jīng)過(guò)次這樣的操作后,去掉的所有線段的長(zhǎng)度總和大于,則的最小值為_(kāi)_________.(參考數(shù)據(jù):)〖答案〗12〖解析〗〖祥解〗設(shè)每次操作留下的長(zhǎng)度為,得到為等比數(shù)列,公比為,首項(xiàng)為,求出,從而得到去掉的所有線段長(zhǎng)度總和為,列出不等式,求出〖答案〗.〖詳析〗設(shè)每次操作留下的長(zhǎng)度為,則,,且每次操作留下的長(zhǎng)度均為上一次操作留下長(zhǎng)度的,所以為等比數(shù)列,公比為,首項(xiàng)為,故,所以經(jīng)過(guò)次這樣的操作后,去掉的所有線段長(zhǎng)度總和為,故,即,兩邊取對(duì)數(shù)得:,因?yàn)椋?,則n的最小值為12.故〖答案〗為:12三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:共60分.17.在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,滿足.(1)求B;(2)若的周長(zhǎng)為6,,求的面積.〖答案〗(1)(2)〖解析〗〖祥解〗(1)利用正弦定理先邊化角,再借助和角正弦公式化簡(jiǎn)得,從而可解;(2)利用余弦定理和已知的周長(zhǎng)得到,再借助三角形的面積公式即可求解.〖小問(wèn)1詳析〗∵,根據(jù)正弦定理可得:,即.∴,即.∵,∴,∴,又,∴.〖小問(wèn)2詳析〗由余弦定理知,即,又,,∴.∴18.偏差是指?jìng)€(gè)別測(cè)定值與測(cè)定的平均值之差,在成績(jī)統(tǒng)計(jì)中,我們把某同學(xué)的某科考試成績(jī)與該科平均成績(jī)的差叫某科偏差(實(shí)際成績(jī)-平均成績(jī)=偏差).在某次考試成績(jī)統(tǒng)計(jì)中,教研人員為了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)偏差x(單位:分)與物理偏差y(單位:分)之間的關(guān)系進(jìn)行分析,隨機(jī)挑選了8位同學(xué),得到他們的兩科成績(jī)偏差數(shù)據(jù)如下:學(xué)生序號(hào)12345678數(shù)學(xué)偏差x/分20151332物理偏差y/分6.53.53.51.50.5(1)若x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求y關(guān)于x的線性回歸方程;(2)若本次考試數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?00分,物理平均成績(jī)?yōu)?0.5分,試由(1)的結(jié)論預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?16分的同學(xué)的物理成績(jī).參考公式:,.參考數(shù)據(jù):,.〖答案〗(1)(2)75分.〖解析〗〖祥解〗(1)根據(jù)線性回歸方程的求法直接求解;(2)利用回歸方程以及偏差的定義求解.〖小問(wèn)1詳析〗由題意可得,,,又,,∴,,∴y關(guān)于x的線性回歸方程為:.〖小問(wèn)2詳析〗設(shè)該同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)閃,則物理偏差為W-70.5.又?jǐn)?shù)學(xué)偏差為,∴,解得.∴預(yù)測(cè)這位同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)?5分.19.如圖,在直三棱柱中,,E為的中點(diǎn),,.(1)證明:;(2)求平面與平面ABC所成角的余弦值.〖答案〗(1)證明見(jiàn)〖解析〗(2)〖解析〗〖祥解〗(1)證明平面,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo),求得平面的法向量,根據(jù)空間角的向量求法即可求得〖答案〗.〖小問(wèn)1詳析〗證明:在直三棱柱中,平面,平面,故,又,平面,故平面,平面,所以.〖小問(wèn)2詳析〗由題意知平面,,分別以所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由已知得E為的中點(diǎn),,,所以,故,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,即,令,則,所以,因?yàn)槠矫?,故平面ABC的一個(gè)法向量可取為,故,由圖可知平面與平面ABC所成角為銳角,故平面與平面ABC所成角的余弦值為.20.已知橢圓C:的離心率為,右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn),A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為M,證明:三點(diǎn)共線.〖答案〗(1)(2)證明見(jiàn)〖解析〗〖解析〗〖祥解〗(1)根據(jù)題意求得c,結(jié)合離心率求得,即得〖答案〗;(2)判斷直線l的斜率存在,設(shè)出直線方程,并和橢圓方程聯(lián)立,可得根與系數(shù)的關(guān)系式,表示出,的坐標(biāo),利用向量的共線證明三點(diǎn)共線,即得結(jié)論.〖小問(wèn)1詳析〗∵橢圓C的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,拋物線的焦點(diǎn)為,∴,又,∴,∴

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