2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第八講函數(shù)的圖象學(xué)案含解析新人教版

PAGE第八講函數(shù)的圖象學(xué)問梳理·雙基自測(cè)eq\x(知)eq\x(識(shí))eq\x(梳)eq\x(理)學(xué)問點(diǎn)函數(shù)的圖象1．利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的流程2．平移變換y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>0，__右移__a個(gè)單位),\s\do5(a<0，__左移__|a|個(gè)單位))y＝f(x－a)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(b>0，__上移__b個(gè)單位),\s\do5(b<0，__下移__|b|個(gè)單位))y＝f(x)＋b.3．伸縮變換y＝f(x)eq\o(→,\s\up12(0<ω<1，圖象上全部點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)__伸長__為原來的eq\f(1,ω)倍),\s\do10(ω>1，圖象上全部點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)__縮短__為原來的__eq\f(1,ω)__倍))y＝f(ωx)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(A>1，圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)__伸長__為原來的A倍),\s\do5(0<A<1，圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)__縮短__為原來的__A__倍))y＝Af(x)．4．對(duì)稱變換y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對(duì)稱))y＝__－f(x)__；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對(duì)稱))y＝__f(－x)__；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱))y＝__－f(－x)__.5．翻折變換y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(去掉y軸左邊圖象，保留y軸右邊圖象),\s\do5(將y軸右邊的圖象翻折到左邊))y＝__f(|x|)__；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(留下x軸上方圖象),\s\do5(將x軸下方圖象翻折上去))y＝__|f(x)|__.eq\x(歸)eq\x(納)eq\x(拓)eq\x(展)1．函數(shù)對(duì)稱的重要結(jié)論(1)若f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線__x＝m__對(duì)稱．(2)設(shè)函數(shù)y＝f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，則函數(shù)y＝f(x－m)與y＝f(m－x)(m>0)的圖象關(guān)于直線__x＝m__對(duì)稱．(3)若f(a＋x)＝f(b－x)，對(duì)隨意x∈R恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱．(4)函數(shù)y＝f(a＋x)與函數(shù)y＝f(b－x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(b－a,2)對(duì)稱．(5)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．(6)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)中心對(duì)稱．2．函數(shù)圖象平移變換八字方針(1)“左加右減”，要留意加減指的是自變量．(2)“上加下減”，要留意加減指的是函數(shù)值．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測(cè))題組一走出誤區(qū)1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝f(x＋1)是由y＝f(2x)左移1個(gè)單位得到．(×)(2)函數(shù)y＝f(1－x)的圖象，可由y＝f(－x)的圖象向左平移1個(gè)單位得到．(×)(3)當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，函數(shù)y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同．(×)(4)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．(×)(5)若函數(shù)y＝f(x＋2)是偶函數(shù)，則有f(x＋2)＝f(－x－2)．(×)(6)若函數(shù)y＝f(x)滿意f(x＋1)＝f(x－1)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．(×)題組二走進(jìn)教材2．(必修1P73T1改編)函數(shù)y＝logax與函數(shù)y＝eqlog\s\do8(\f(1,a))x的圖象關(guān)于__x軸__對(duì)稱；函數(shù)y＝ax與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的圖象關(guān)于__y軸__對(duì)稱；函數(shù)y＝log2x與函數(shù)y＝2x的圖象關(guān)于__y＝x__對(duì)稱．3．(必修4P55T2(1)改編)為了得到函數(shù)f(x)＝log2x的圖象，只需將函數(shù)g(x)＝log2eq\f(x,8)的圖象向__上__平移3個(gè)單位．將函數(shù)f(x)＝log2x左移2個(gè)單位得到解析式為y＝__log2(x＋2)__.4．(必修1P36T2改編)已知圖甲中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)y＝f(x)，則圖乙中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)在下列給出的四式中只可能是(C)A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)[解析]由圖可知當(dāng)x≤0時(shí)，y＝f(x)，故選C．題組三走向高考5．(2024·浙江，4)函數(shù)y＝xcosx＋sinx在區(qū)間[－π，π]上的圖象可能是(A)[解析]本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別．設(shè)f(x)＝xcosx＋sinx，f(x)的定義域?yàn)镽.因?yàn)閒(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，解除選項(xiàng)C，D．又f(π)＝πcosπ＋sinπ＝－π<0，解除選項(xiàng)B，故選A．6．(2015·北京，7,5分)如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(C)A．{x|－1<x≤0} B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1<x≤1} D．{x|－1<x≤2}[解析]作出函數(shù)y＝log2(x＋1)的圖象，如圖所示：其中函數(shù)f(x)與y＝log2(x＋1)的圖象的交點(diǎn)為D(1,1)，結(jié)合圖象可知f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1<x≤1}，故選C．考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)函數(shù)的圖象考向1作函數(shù)的圖象——自主練透例1作出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|；(2)y＝|x－2|·(x＋1)；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(4)y＝|log2(x＋1)|.[分析](1)先由函數(shù)的奇偶性畫出y軸右側(cè)圖象，再畫左側(cè)；(2)先對(duì)肯定值分類探討，將原函數(shù)化成分段函數(shù)的形式，再分段作圖即可；(3)先化簡解析式，分別常數(shù)，再利用圖象變換畫出圖象；(4)將y＝log2x的圖象向左平移1個(gè)單位→y＝log2(x＋1)的圖象→將y＝log2(x＋1)的圖象位于x軸下方的部分向上翻折→y＝|log2(x＋1)|的圖象．[解析](1)先作出函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象，保留函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象中x≥0的部分，再作出函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象中x>0部分關(guān)于y軸的對(duì)稱部分，即得函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的圖象，如圖實(shí)線部分．(2)先化簡，再作圖．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2，x≥2，,－x2＋x＋2，x<2，))圖象如圖實(shí)線所示．(3)∵y＝eq\f(2x－1,x－1)＝eq\f(2x－1＋1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，∴其圖象可由y＝eq\f(1,x)的圖象沿x軸向右平移1個(gè)單位，再沿y軸向上平移2個(gè)單位得到，其圖象如圖所示．(4)利用函數(shù)y＝log2x的圖象進(jìn)行平移和翻折變換，圖象如圖實(shí)線所示．名師點(diǎn)撥函數(shù)圖象的畫法(1)干脆法：當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟識(shí)的基本函數(shù)時(shí)，就可依據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)干脆作出．(2)轉(zhuǎn)化法：含有肯定值符號(hào)的函數(shù)，可脫掉肯定值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫圖象．(3)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、伸縮、翻折、對(duì)稱等變換得到，可利用圖象變換作出．注：y＝eq\f(ax＋b,cx＋d)(c≠0)的圖象是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(d,c)，\f(a,c)))為對(duì)稱中心以直線x＝－eq\f(d,c)，y＝eq\f(a,c)為漸近線的雙曲線．易錯(cuò)提示：(1)畫函數(shù)的圖象肯定要留意定義域．(2)利用圖象變換法時(shí)要留意變換依次，對(duì)不能干脆找到熟識(shí)的基本函數(shù)的要先變形，并應(yīng)留意平移變換與伸縮變換的依次對(duì)變換單位及解析式的影響．考向2識(shí)圖與辨圖——師生共研例2(1)(2024·課標(biāo)Ⅰ，5,5分)函數(shù)f(x)＝eq\f(sinx＋x,cosx＋x2)在[－π，π]的圖象大致為(D)(2)下圖可能是下列哪個(gè)函數(shù)的圖象(C)A．y＝2x－x2－1 B．y＝eq\f(2xsinx,4x＋1)C．y＝(x2－2x)ex D．y＝eq\f(x,lnx)(3)(2024·荊州質(zhì)檢)若函數(shù)y＝f(x)的曲線如圖所示，則函數(shù)y＝f(2－x)的曲線是(C)[解析](1)∵f(－x)＝eq\f(sin－x－x,cos－x＋－x2)＝－eq\f(sinx＋x,cosx＋x2)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．又∵f(π)＝eq\f(sinπ＋π,cosπ＋π2)＝eq\f(π,－1＋π2)>0，∴選D．(2)函數(shù)圖象過原點(diǎn)，所以D解除；當(dāng)x>0起先時(shí)函數(shù)值是負(fù)數(shù)，而B項(xiàng)原點(diǎn)右側(cè)起先時(shí)函數(shù)值為正數(shù)，所以B解除；當(dāng)x<0時(shí)，2x<1，∴2x－x2－1<0，所以A解除；而C都滿意，故選C．(3)解法一：先關(guān)于y軸對(duì)稱，得到y(tǒng)＝f(－x)的圖象，再向右平移兩個(gè)單位，即可得到y(tǒng)＝f[－(x－2)]＝f(2－x)的圖象．所以答案為C．(留意，左右平移是針對(duì)字母x改變，上下平移是針對(duì)整個(gè)式子改變)．解法二：由f(0)＝0知y＝f(2－x)的圖象過點(diǎn)(2,0)，解除B、D．又f(1)＝f(2－1)>0即y＝f(2－x)在x＝1處的函數(shù)值大于0，解除A，故選C．名師點(diǎn)撥函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下幾方面入手(1)從函數(shù)的定義域，推斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，推斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，推斷圖象的改變趨勢(shì)．(3)從函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對(duì)稱性．(4)從函數(shù)的周期性，推斷圖象的循環(huán)往復(fù)．(5)從函數(shù)的特征點(diǎn)，解除不合要求的圖象．〔變式訓(xùn)練1〕(1)(2024·課標(biāo)Ⅲ，7,5分)函數(shù)y＝eq\f(2x3,2x＋2－x)在[－6,6]的圖象大致為(B)(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x，則如圖所示的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是(C)A．y＝f(|x|) B．y＝－|f(x)|C．y＝－f(－|x|) D．y＝f(－|x|)(3)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3xx≤1，,eqlog\s\do8(\f(1,3))xx>1))則函數(shù)y＝f(1－x)的大致圖象是(D)[解析](1)設(shè)f(x)＝eq\f(2x3,2x＋2－x)(x∈[－6,6])，則f(－x)＝eq\f(2－x3,2－x＋2x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，解除選項(xiàng)C；當(dāng)x＝－1時(shí)，f(－1)＝－eq\f(4,5)<0，解除選項(xiàng)D；當(dāng)x＝4時(shí)，f(4)＝eq\f(128,16＋\f(1,16))≈7.97，解除選項(xiàng)A．故選B．(2)題圖中是函數(shù)y＝－2－|x|的圖象，即函數(shù)y＝－f(－|x|)的圖象，故選C．(3)解法一：先畫出函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3xx≤1，,eqlog\s\do8(\f(1,3))xx>1))的草圖，令函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，得函數(shù)f(－x)的圖象，再把所得的函數(shù)y＝f(－x)的圖象，向右平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y＝f(1－x)的圖象，故選D．解法二：由已知函數(shù)f(x)的解析式，得y＝f(1－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(31－xx≥0，,eqlog\s\do8(\f(1,3))1－xx<0，))故該函數(shù)圖象過點(diǎn)(0,3)，解除A；過點(diǎn)(1,1)，解除B；在(－∞，0)上單調(diào)遞增，解除C．選D．考向3函數(shù)圖象的應(yīng)用——多維探究角度1函數(shù)圖象的對(duì)稱性例3(1)(2024·課標(biāo)全國Ⅲ，7)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y＝lnx的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的是(B)A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)(2)已知函數(shù)f(2x＋1)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(2x)的圖象關(guān)于下列哪個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱？(C)A．(1,0) B．(－1,0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))[解析](1)本題考查函數(shù)圖象的對(duì)稱性．解法一：y＝lnx圖象上的點(diǎn)P(1,0)關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)是它本身，則點(diǎn)P在y＝lnx圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的圖象上，結(jié)合選項(xiàng)可知，B正確．故選B．解法二：設(shè)Q(x，y)是所求函數(shù)圖象上任一點(diǎn)，則其關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)P(2－x，y)在函數(shù)y＝lnx圖象上．∴y＝ln(2－x)．故選B．(2)f(2x＋1)是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，而f(2x)的圖象是由f(2x＋1)的圖象向右平移eq\f(1,2)個(gè)單位得到的，故關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))成中心對(duì)稱．[小題巧解]用特別點(diǎn)的對(duì)稱性解決函數(shù)圖象的對(duì)稱性問題．角度2利用函數(shù)圖象探討函數(shù)性質(zhì)例4已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x,x－1)，則下列結(jié)論正確的是(B)A．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱B．函數(shù)f(x)在(－∞，1)上是減函數(shù)C．函數(shù)f(x)的圖象上至少存在兩點(diǎn)A，B，使得直線AB∥x軸D．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱[解析]因?yàn)閥＝eq\f(2x,x－1)＝eq\f(2x－1＋2,x－1)＝eq\f(2,x－1)＋2.所以該函數(shù)圖象可以由y＝eq\f(2,x)的圖象向右平移1個(gè)單位長度，向上平移2個(gè)單位長度得到，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)中心對(duì)稱，在(－∞，1)上為減函數(shù)，B正確，A、D錯(cuò)誤；易知函數(shù)f(x)的圖象是由y＝eq\f(2,x)的圖象平移得到的，所以不存在兩點(diǎn)A，B使得直線AB∥x軸，C錯(cuò)誤．故選B．角度3利用函數(shù)圖象探討不等式例5設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式eq\f(fx－f－x,x)<0的解集為(D)A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)[解析]f(x)為奇函數(shù)，eq\f(fx－f－x,x)<0?eq\f(fx,x)<0?xf(x)<0，由題意可知f(x)的大致圖象如圖所示，所以所求不等式的解集為(－1,0)∪(0,1)．[引申]若將“奇函數(shù)f(x)”改為“偶函數(shù)f(x)”，不等式eq\f(fx＋f－x,x)<0的解集為__(－∞，－1)∪(0,1)__.名師點(diǎn)撥(1)利用函數(shù)的圖象探討函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于已知解析式，易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)常借助圖象探討：①從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；②從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；③從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性．(2)利用函數(shù)的圖象探討不等式思路當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解，但其與函數(shù)有關(guān)時(shí)，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度1)已知f(x)＝ln(1－x)，函數(shù)g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，則g(x)的解析式為__g(x)＝－ln(x－1)__.(2)(角度1)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，則函數(shù)y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖象關(guān)于(D)A．直線y＝0對(duì)稱 B．直線x＝0對(duì)稱C．直線y＝1對(duì)稱 D．直線x＝1對(duì)稱(3)(角度2)對(duì)于函數(shù)f(x)＝lg(|x－2|＋1)，則下列說法不正確的是(C)A．f(x＋2)是偶函數(shù)B．f(x)在區(qū)間(－∞，2)上是減函數(shù)，在區(qū)間(2，＋∞)上是增函數(shù)C．f(x)沒有最小值D．f(x)沒有最大值(4)(角度3)函數(shù)f(x)是定義在[－4,4]上的偶函數(shù)，其在[0,4]上的圖象如圖所示，那么不等式eq\f(fx,cosx)<0的解集為__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))__.[解析](1)設(shè)P(x，y)為函數(shù)y＝g(x)上隨意一點(diǎn)，則點(diǎn)P(x，y)關(guān)于點(diǎn)(1,0)的對(duì)稱點(diǎn)Q(2－x，－y)在函數(shù)y＝f(x)圖象上，即－y＝f(2－x)＝ln(x－1)，所以y＝－ln(x－1)，所以g(x)＝－ln(x－1)．(2)解法一：設(shè)t＝x－1，則y＝f(t)與y＝f(－t)，關(guān)于t＝0對(duì)稱，即關(guān)于x＝1對(duì)稱．故選D．解法二：y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖象分別由y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象同時(shí)向右平移一個(gè)單位而得，又y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．故選D．(3)對(duì)于A，f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函數(shù)；對(duì)于B，當(dāng)x∈(－∞，2)時(shí)，f(x)＝lg(3－x)是減函數(shù)，當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f(x)＝lg(x－1)是增函數(shù)；對(duì)于C，f(x)＝lg(|x－2|＋1)≥0有最小值0；對(duì)于D，沒有最大值．故選C．(4)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上，y＝cosx>0，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，4))上，y＝cosx<0.由f(x)的圖象知，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))上，eq\f(fx,cosx)<0.因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，y＝cosx也是偶函數(shù)，所以y＝