全國(guó)統(tǒng)考2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十二章概率12.2古典概型與幾何概型學(xué)案理含解析北師大版

12.2古典概型與幾何概型必備學(xué)問預(yù)案自診學(xué)問梳理1.基本領(lǐng)件在一次試驗(yàn)中,我們經(jīng)常要關(guān)切的是全部可能發(fā)生的基本結(jié)果,它們是試驗(yàn)中不能再分的最簡(jiǎn)潔的隨機(jī)事務(wù),其他事務(wù)可以用它們來描繪,這樣的事務(wù)稱為.

2.基本領(lǐng)件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本領(lǐng)件是的.

(2)任何事務(wù)(除不行能事務(wù))都可以表示成的和.

3.古典概型(1)定義:具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型,簡(jiǎn)稱古典概型.①有限性:試驗(yàn)中全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件.

②等可能性:每個(gè)基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性.

(2)古典概型的概率公式P(A)=A包含的基本事件的個(gè)數(shù)4.幾何概型(1)定義:假如每個(gè)事務(wù)發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事務(wù)區(qū)域的(面積或體積)成比例,那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱為幾何概型.

(2)特點(diǎn):①無限性:在一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè);②等可能性:每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性.(3)公式:P(A)=.

5.隨機(jī)模擬方法運(yùn)用計(jì)算機(jī)或者其他方式進(jìn)行的模擬試驗(yàn),以便通過這個(gè)試驗(yàn)求出隨機(jī)事務(wù)的概率的近似值的方法就是隨機(jī)模擬方法.1.任一隨機(jī)事務(wù)的概率都等于構(gòu)成它的每一個(gè)基本領(lǐng)件概率的和.2.求試驗(yàn)的基本領(lǐng)件數(shù)及事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件數(shù)的方法有:列舉法、列表法和樹狀圖法.3.與面積有關(guān)的幾何概型,若已知圖形不明確,可將兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),這樣基本領(lǐng)件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域,即可借助平面區(qū)域解決問題.考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)在一次古典概型試驗(yàn)中,其基本領(lǐng)件的發(fā)生肯定是等可能的.()(2)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.()(3)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形態(tài)有關(guān).()(4)在古典概型中,每個(gè)基本領(lǐng)件的概率都是1n;假如某個(gè)事務(wù)A包括的結(jié)果有m個(gè),則P(A)=mn.((5)隨機(jī)模擬方法是以事務(wù)發(fā)生的頻率估計(jì)概率.()2.《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》《紅樓夢(mèng)》是我國(guó)古典小說四大名著.若在這四大名著中,任取2種進(jìn)行閱讀,則取到《紅樓夢(mèng)》的概率為()A.23 B.1C.13 D.3.如圖為中國(guó)古代劉徽的《九章算術(shù)注》中探討“勾股容方”問題的圖形,圖中△ABC為直角三角形,四邊形DEFC為它的內(nèi)接正方形,已知BC=2,AC=4,在△ABC上任取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自正方形DEFC的概率為()A.19 B.C.49 D.4.(2024江蘇,4)將一顆質(zhì)地勻稱的正方體骰子先后拋擲2次,視察向上的點(diǎn)數(shù),則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是.

5.在長(zhǎng)為10cm的線段AB上任取一點(diǎn)C,作一矩形,鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC,CB的長(zhǎng),則該矩形面積小于16cm2的概率為.

關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)古典概型的概率【例1】(1)《史記》卷六十五《孫子吳起列傳第五》中有這樣一道題:齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬,田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬,田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹馬進(jìn)行一場(chǎng)競(jìng)賽,齊王獲勝的概率是()A.23 B.35 C.59(2)在一次競(jìng)賽中某隊(duì)共有甲,乙,丙等5位選手參與,賽前用抽簽的方法確定出場(chǎng)的依次,則乙、丙都不與甲相鄰出場(chǎng)的概率是()A.110 B.15 C.25解題心得求有關(guān)古典概型的概率問題的解題策略(1)求古典概型的概率的步驟是:①推斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是否是等可能的,設(shè)所求的事務(wù)為A;②分別計(jì)算基本領(lǐng)件的總數(shù)n和所求的事務(wù)A所包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)m;③利用古典概型的概率公式P(A)=mn,求出事務(wù)A的概率(2)對(duì)與依次相關(guān)的問題處理方法為:若把依次看作有區(qū)分,則在求試驗(yàn)的基本領(lǐng)件的總數(shù)和事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)時(shí)都看作有區(qū)分,反之都看作沒區(qū)分.(3)基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)的確定方法方法適用條件列表法此法適合于從多個(gè)元素中選定兩個(gè)元素的試驗(yàn),也可看成是坐標(biāo)法樹狀圖法樹狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法,適合于有依次的問題及較困難問題中基本領(lǐng)件數(shù)的探求對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2024云南大理高三模擬)擲硬幣試驗(yàn)是很常見卻又特別出名的一個(gè)概率試驗(yàn),很多聞名的科學(xué)家都做過這個(gè)試驗(yàn),比如蒲豐、德摩根等.通過擲硬幣的試驗(yàn),可以讓人們感受到隨機(jī)事務(wù)的發(fā)生,形成概率的觀念.若拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面對(duì)上記為1,反面對(duì)上記為0.現(xiàn)拋擲一枚硬幣6次,出現(xiàn)兩個(gè)0和四個(gè)1的概率為()A.1564 B.516 C.916(2)(2024河北保定模擬)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)制了一副“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”.右圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”,其中正方形ABCD內(nèi)部為“趙爽弦圖”,它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的.我們將圖中陰影所在的四個(gè)三角形稱為“風(fēng)葉”,若從該“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩點(diǎn),則該兩點(diǎn)取自同一片“風(fēng)葉”的概率為()A.37 B.47 C.314考點(diǎn)古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用【例2】某中學(xué)組織了一次數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平模擬測(cè)試,學(xué)校從測(cè)試合格的男生、女生中各隨機(jī)抽取100人的成果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,分別制成了如圖所示的男生和女生數(shù)學(xué)成果的頻率分布直方圖.(注:分組區(qū)間為[60,70),[70,80),[80,90),[90,100])(1)若得分大于或等于80認(rèn)定為優(yōu)秀,則男生、女生的優(yōu)秀人數(shù)各為多少?(2)在(1)中所述的優(yōu)秀學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人,從這5人中隨意選取2人,求至少有一名男生的概率.解題心得求古典概型與統(tǒng)計(jì)問題的一般步驟第一步:依據(jù)概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)問確定元素(總體、個(gè)體)以及要解決的概率模型;其次步:將全部基本領(lǐng)件列舉出來(可用樹狀圖);第三步:計(jì)算基本領(lǐng)件總數(shù)n,事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件數(shù)m,代入公式P(A)=mn第四步:回到所求問題,規(guī)范作答.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2某縣共有90個(gè)農(nóng)村淘寶服務(wù)網(wǎng)點(diǎn),隨機(jī)抽取6個(gè)網(wǎng)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)其元旦期間的網(wǎng)購(gòu)金額(單位:萬元)的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數(shù),葉為個(gè)位數(shù).(1)依據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù);(2)若網(wǎng)購(gòu)金額(單位:萬元)不小于18的服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)定義為優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn),其余為非優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn),依據(jù)莖葉圖推斷這90個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)的個(gè)數(shù);(3)從隨機(jī)抽取的6個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中再任取2個(gè)作網(wǎng)購(gòu)商品的調(diào)查,求恰有1個(gè)網(wǎng)點(diǎn)是優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)的概率.考點(diǎn)幾何概型(多考向探究)考向1與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型【例3】(1)(2024廣西壯族自治區(qū)高三模擬)在區(qū)間[-1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k,使直線y=k(x+3)與圓x2+y2=1相交的概率為()A.12 B.13 C.24(2)如圖,四邊形ABCD為矩形,AB=3,BC=1,以A為圓心,1為半徑作四分之一個(gè)圓弧DE,在∠DAB內(nèi)任作射線AP,則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為.

解題心得解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考察對(duì)象和對(duì)象的活動(dòng)范圍.(1)當(dāng)考察對(duì)象為點(diǎn),點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí)用線段長(zhǎng)度之比計(jì)算;(2)當(dāng)考察對(duì)象為線時(shí),一般用角度之比計(jì)算.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)某學(xué)校星期一至星期五每天上午共支配五節(jié)課,每節(jié)課的時(shí)間為40分鐘,第一節(jié)課上課的時(shí)間為7:50~8:30,課間休息10分鐘.某同學(xué)請(qǐng)假后返校,若他在8:50~9:30之間隨機(jī)到達(dá)教室,則他聽其次節(jié)課的時(shí)間不少于20分鐘的概率為()A.15 B.14 C.13(2)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),射線OT落在30°角的終邊上,任作一條射線OA,則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為.

考向2與面積、體積有關(guān)的幾何概型【例4】(1)(2024山東濰坊高三檢測(cè))七巧板是一種古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具,是由七塊板組成的.而這七塊板可拼成很多圖形,例如三角形、不規(guī)則多邊形、各種人物、動(dòng)物、建筑物等,若用七巧板拼成一只雄雞,在雄雞平面圖形上隨機(jī)取一點(diǎn),則恰好取自雄雞雞尾(陰影部分)的概率為()A.14 B.17 C.18(2)(2024河南南陽高三模擬)燈籠是傳統(tǒng)的照明工具,在傳統(tǒng)節(jié)日各家庭院中掛上各種彩燈更顯得祥瑞喜慶,某庭院掛著一盞表面積為4π平方分米的西瓜燈(看成球),燈籠中蠟燭的燈焰可以近似看成底面半徑為2厘米,高為4厘米的圓錐,若在該燈籠內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自燈焰內(nèi)的概率為()A.0.004 B.0.012 C.0.024 D.0.036解題心得求與面積、體積有關(guān)的幾何概型的基本思路:用圖形精確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域,由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事務(wù)A對(duì)應(yīng)的區(qū)域,在圖形中畫出事務(wù)A對(duì)應(yīng)的區(qū)域,然后用公式P(A)=構(gòu)成事件A的區(qū)域面積對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)(2024江西南昌二中高三月考)如圖是折扇的示意圖,A為OB的中點(diǎn),若在整個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自扇面(扇環(huán))部分的概率是()A.14 B.12 C.58(2)已知在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB=2,現(xiàn)在該四棱錐內(nèi)部或側(cè)面任取一點(diǎn)O,則四棱錐O-ABCD的體積不小于23的概率為.考向3與線性規(guī)劃有關(guān)的幾何概型【例5】(2024湖南衡陽八中高三月考)若不等式組x+2y-3≤0,2x-y+4≥0,y≥0表示的區(qū)域?yàn)棣?不等式x2+y2-2x-2y+1≤0A.π4 B.π8 C.π5解題心得幾何概型與線性規(guī)劃的交匯問題:先依據(jù)約束條件作出可行域,再確定形態(tài),求面積大小,進(jìn)而代入公式求概率.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5兩位同學(xué)約定下午5:30~6:00在圖書館見面,且他們?cè)?:30~6:00之間到達(dá)的時(shí)刻是等可能的,先到的同學(xué)需等待,15分鐘后還未見面便離開,則兩位同學(xué)能夠見面的概率是()A.1136 B.14 C.12考點(diǎn)隨機(jī)模擬方法【例6】從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè),則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為()A.4nm B.2nm C.解題心得將π看作未知數(shù)表示出四分之一的圓面積,依據(jù)幾何概型的概率公式,四分之一的圓面積與正方形面積之比等于m與n之比,從而用m,n表示出π的近似值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6(2024湖北金字三角高三線上聯(lián)考)“割圓術(shù)”是劉徽最突出的數(shù)學(xué)成就之一,他在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù),并作為計(jì)算圓的周長(zhǎng)、面積以及圓周率的基礎(chǔ).劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積始終算到了正3072邊形,并由此求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個(gè)近似數(shù)值,這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上圓周率計(jì)算的最精確數(shù)據(jù).如圖,當(dāng)分割到圓內(nèi)接正六邊形時(shí),某同學(xué)利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法向圓內(nèi)隨機(jī)投擲點(diǎn),計(jì)算得出該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的頻率為0.8269,那么通過該試驗(yàn)計(jì)算出來的圓周率近似值為()(參考數(shù)據(jù):30.8269≈A.3.1419 B.3.1417 C.3.1415 D.3.141312.2古典概型與幾何概型必備學(xué)問·預(yù)案自診學(xué)問梳理1.基本領(lǐng)件2.(1)互斥(2)基本領(lǐng)件3.(1)①只有有限個(gè)②相等4.(1)長(zhǎng)度(3)構(gòu)成事件考點(diǎn)自診1.(1)√(2)√(3)×(4)√(5)√2.B4本名著選兩本共有C42=6種,選取的兩本中含有《紅樓夢(mèng)》的共有C31=3種,所以任取2種進(jìn)行閱讀,則取到《紅樓夢(mèng)》的概率為33.C由圖形得,△ABC為直角三角形,四邊形DEFC為它的內(nèi)接正方形,已知BC=2,AC=4,設(shè)CD=x,由DE∥BC則有ADAC=DECB,即4-x4=x2,解得x=43,設(shè)在△ABC上任取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自正方形DEFC為事務(wù)A,4.19本題考查古典概型第1,2次向上的點(diǎn)數(shù)分別記為a,b,每個(gè)樣本點(diǎn)記為(a,b),則全部的樣本點(diǎn)為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共36個(gè),其中,點(diǎn)數(shù)和為5的樣本點(diǎn)為(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),故所求概率為4365.25設(shè)線段AC的長(zhǎng)為xcm,則線段CB長(zhǎng)為(10-x那么矩形面積為x(10-x)<16,解得x<2或x>8,又0<x<10,所以該矩形面積小于16cm2的概率為P=410關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1(1)A(2)B(1)因?yàn)殡p方各有3匹馬,所以“從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹馬進(jìn)行一場(chǎng)競(jìng)賽”的事務(wù)數(shù)為9種,滿意“齊王獲勝”的這一條件的狀況為:齊王派出上等馬,則獲勝的事務(wù)數(shù)為3;齊王派出中等馬,則獲勝的事務(wù)數(shù)為2;齊王派出下等馬,則獲勝的事務(wù)數(shù)為1;故滿意“齊王獲勝”這一條件的事務(wù)數(shù)為6種,依據(jù)古典概型公式可得,齊王獲勝的概率P=69=23(2)在一次競(jìng)賽中某隊(duì)共有甲,乙,丙等5位選手參與,賽前用抽簽的方法確定出場(chǎng)的依次,基本領(lǐng)件總數(shù)n=A55=120,“乙、丙都不與甲相鄰出場(chǎng)”包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)m=A22A33+A22A3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)A(2)A(1)拋擲一枚硬幣6次的基本領(lǐng)件總數(shù)n=26=64,這六次恰好有兩個(gè)0和四個(gè)1包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)為m=C62所以概率是P=mn(2)由題意,從“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)頂點(diǎn)的基本領(lǐng)件有C82=28(其中這兩個(gè)頂點(diǎn)取自同一片“風(fēng)葉”的基本領(lǐng)件有4C32依據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式,可得所求概率為1228例2解(1)由題可得,男生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.01+0.02)×10=30,女生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.015+0.03)×10=45.(2)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是530+45=115,所以樣本中包含的男生人數(shù)為30女生人數(shù)為45×115=3.則從5人中隨意選取2人共有C52=抽取的2人中沒有男生有C32=3(種),則至少有一名男生有C52-故至少有一名男生的概率為710,即選取的2人中至少有一名男生的概率為7對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2解(1)由題意知,樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x=4+6+12+12+18+206(2)樣本中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有2個(gè),頻率為26=13,由此估計(jì)這90個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有90×13(3)樣本中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有2個(gè),分別記為a1,a2,非優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有4個(gè),分別記為b1,b2,b3,b4,從隨機(jī)抽取的6個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中再任取2個(gè)的可能狀況有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),共15種,記“恰有1個(gè)是優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)”為事務(wù)M,則事務(wù)M包含的可能狀況有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),共8種,故所求概率P(M)=815例3(1)C(2)13(1)因?yàn)閳A心(0,0),半徑r=1,直線與圓相交,所以圓心到直線y=k(x+3)的距離d=|3k|1+k2≤1,解得-24≤k(2)連接AC,如圖所示,tan∠CAB=CBAB=13=33,所以∠CAB=π6,直線AP在∠CAB內(nèi)時(shí),直線AP與線段對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)B(2)16(1)由題意可知,其次節(jié)課的上課時(shí)間為8:40~9:20,時(shí)長(zhǎng)40分鐘若聽其次節(jié)課的時(shí)間不少于20分鐘,則需在8:50~9:00之間到達(dá)教室,時(shí)長(zhǎng)10分鐘.所以聽其次節(jié)課的時(shí)間不少于20分鐘的概率為1040=14(2)因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的,所以射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為60°例4(1)C(2)A(1)設(shè)包含7塊板的正方形邊長(zhǎng)為4,其面積為4×4=16.則雄雞的雞尾面積為標(biāo)號(hào)為6的板塊,其面積為S=2×1=2.所以在雄雞平面圖形上隨機(jī)取一點(diǎn),則恰好取自雄雞雞尾(陰影部分)的概率為216(2)設(shè)該燈籠的半徑為R,則4πR2=4π,解得R=1(分米),所以該燈籠的體積V=4π×133=4π3(立方分米)=4000π3(立方厘米),該燈籠內(nèi)的燈焰的體積V1=13×π×22×4對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)D(2)2764(1)設(shè)扇形的圓心角為α,大扇形的半徑長(zhǎng)為R,小扇形的半徑長(zhǎng)為r,則S大扇形=α2R2,S小扇形=α2r2,依據(jù)幾何概型