《分類思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探究》5900字（論文）

分類思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究摘要數(shù)學(xué)分類思想是一種思想也是一種邏輯，同時又是一種重要的解題策略。通過正確的分類標(biāo)準(zhǔn)和分類步驟，可以化繁雜為簡單，使復(fù)雜的問題得到簡單、清晰、完整、嚴(yán)密的解答。本文介紹分類思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中五個方面的應(yīng)用：（1）涉及數(shù)學(xué)概念是分類定義；（2）運用的數(shù)學(xué)定理、公式或運算性質(zhì)、法則是分類給出的；（3）求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能的；（4）參變量的取值不同會造成不同結(jié)果的；（5）較復(fù)雜的或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題需要用分類討論的解題策略來解決。關(guān)鍵詞：分類思想；應(yīng)用；中學(xué)數(shù)學(xué)；分類步驟目錄TOC\o"1-2"\h\u1前言 51.1數(shù)學(xué)分類思想的意義 51.2國內(nèi)外對數(shù)學(xué)分類思想的研究 52數(shù)學(xué)分類思想的基本概念 52.1數(shù)學(xué)分類思想的概念 52.2數(shù)學(xué)分類思想的要求 63簡述幾種分類討論的原因 63.1數(shù)學(xué)概念是分類定義的 63.2數(shù)學(xué)定理、公式或運算性質(zhì)、法則是分類給出的 63.3結(jié)論有多種情況或可能的 73.4參變量的取值不同會造成不同結(jié)果的 83.5較復(fù)雜或非常規(guī)的問題過程需要用分類討論 84分類步驟 95總結(jié) 9參考文獻(xiàn) 101前言1.1數(shù)學(xué)分類思想的意義分類思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要解決策略，它被運用到各個不同的領(lǐng)域之中，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、嚴(yán)密性和靈活性以及提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力有著重要作用，是中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必需掌握的思想[]。人在初中時期，思維的轉(zhuǎn)變訓(xùn)練變得尤為重要。許多重要的數(shù)學(xué)概念、原則、法則的組成并不是沒有規(guī)律可循，而在一定的邏輯系統(tǒng)之下，我們能夠得以將這些展示[]。因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要求學(xué)生具有一定的邏輯推理能力，讓他們建立起一個完善的數(shù)學(xué)思維體系。其中，掌握分類思想是非常重要的。在解決數(shù)學(xué)問題時，對于題目中因存在無法確定的因素而影響解題時或者得出結(jié)論不能統(tǒng)一表達(dá)時，我們往往將他們按照一定標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干個小問題來解決。通過正確的分類，便能輕易的將思維全面發(fā)展，可以化繁雜為簡單，使復(fù)雜的問題得到簡單、清晰、完整、嚴(yán)密的解答[]。1.2國內(nèi)外對數(shù)學(xué)分類思想的研究進(jìn)入21世紀(jì)以后，對于數(shù)學(xué)思想方法的研究也越來越受到各國研究者的重視，先后有著許多關(guān)于數(shù)學(xué)思想的專著出版，并被翻譯成中文，在我國數(shù)學(xué)界和數(shù)學(xué)教育界廣為流傳并有著廣泛的影響。其中前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家亞歷山大洛夫著的《數(shù)學(xué)一一它的內(nèi)容、方法和意義》用通俗易懂的語言介紹了現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法的歷史演進(jìn)，內(nèi)容由淺入深，文字簡潔明快，將寓意深刻的數(shù)學(xué)思想方法于淺顯的數(shù)學(xué)知識中，這本書曾經(jīng)對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)影響很大[]。除此之外，美國的數(shù)學(xué)家M?克萊因的著作《古今數(shù)學(xué)思想》也是一本影響深刻的書。該書以分成四卷的形式呈現(xiàn)給讀者，其內(nèi)容主要是從數(shù)學(xué)思想的角度研究了數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，數(shù)學(xué)語言凝煉簡潔，數(shù)學(xué)邏輯清晰嚴(yán)密，數(shù)學(xué)知識深刻卻淺顯易懂，數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)寓其中，充滿理性的魅力，讀來引人入勝，耐人尋味，發(fā)人深省。這兩部著作影響最為廣泛，成為數(shù)學(xué)專業(yè)人士、廣大的中學(xué)一線教師和師范類大學(xué)生非常喜愛的數(shù)學(xué)用書之二。在我國現(xiàn)今的中學(xué)數(shù)學(xué)教育中，越來越重視學(xué)生的邏輯思維能力、綜合運用能力和探索研究能力，傳統(tǒng)的教育模式已經(jīng)遠(yuǎn)去，新的教育模式亟待建立。而分類思想一直承擔(dān)著引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行涵蓋多知識點、面、邏輯性、綜合性與探索性研究的教學(xué)任務(wù)。因此，除外國研究者外，我國也有著許多針對研究數(shù)學(xué)分類思想而出版的文章。在楊曼的《分類思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的運用》、馬書的《分類思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用》、顧亞琴的《分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運用》、鄧夥《關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法及教學(xué)策略的研究》、高興霞的《淺談中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的分類思想》、劉芳芳《淺析中學(xué)數(shù)學(xué)分類思想方法》、李偉振的《試論中學(xué)數(shù)學(xué)分類討論思想及應(yīng)用》、宋陽的《數(shù)學(xué)分類思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究》、王瑞的《通過分類思想進(jìn)行初中數(shù)學(xué)課程的高效教學(xué)》這些文章中，作者們從他們理解的角度出發(fā)，將他們的想法以簡單明了的文字，配合些許例題對數(shù)學(xué)分類思想做出了詳細(xì)的介紹，并且寫出了數(shù)學(xué)分類思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)，和數(shù)學(xué)分類方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。2數(shù)學(xué)分類思想的基本概念2.1數(shù)學(xué)分類思想的概念數(shù)學(xué)分類思想是高中數(shù)學(xué)中重要的解題思想。其意思是在研究一個問題但是并不能一概而論時，將這個問題按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分成若干個小問題，然后根據(jù)題意一一討論，最終得以逐一解決，這就是分類思想[]。數(shù)學(xué)分類思想，是一種思想也是一種邏輯，同時又是一種重要的解題策略。分類思想具有較高的邏輯性和綜合性，有利于學(xué)生應(yīng)對中學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)任務(wù)，提升他們的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性和科學(xué)性[]。因此，在數(shù)學(xué)解題中分類思想有著重要的作用。我們會遇到含有未知參數(shù)的函數(shù)形如y=ax2+bx+c之類的題，此時首先要判斷是它一次函數(shù)還是二次函數(shù)，由此可得它的最基礎(chǔ)的分類討論標(biāo)準(zhǔn)就是a=0或a≠0。其分類思路就是根據(jù)二次項系數(shù)與零的關(guān)系來分類。在這一類型的題里里，還可以分為a<0，a=0和a>0這三類，這三類的分類標(biāo)準(zhǔn)就是按照的正負(fù)與其函數(shù)的圖象的開口方向是上或下的關(guān)系，但是其中最容易忘記的就是有2.2數(shù)學(xué)分類思想的要求正確的應(yīng)用分類思想，是完整解題的基礎(chǔ)。想要應(yīng)用分類思想的解決問題，則要保證分類方法的正確性和科學(xué)性，以及掌握它的分類原則。其中分類思想的分類原則有最基礎(chǔ)的兩條：一是分類的標(biāo)準(zhǔn)必須一致，分類討論不是隨意的分類，需要遵循一定的原則，標(biāo)準(zhǔn)也需要一致，從開始直結(jié)束需要遵循同一個分類標(biāo)準(zhǔn)，否則容易弄錯題意，混淆思維；二是在分類時不能遺漏且不能重復(fù)，遺漏分類可能會導(dǎo)致結(jié)論出現(xiàn)遺漏，同樣重復(fù)分類可能會導(dǎo)致結(jié)論重復(fù)或者錯誤[]。例如，在將數(shù)軸上的數(shù)進(jìn)行分正負(fù)數(shù)時，要牢記0也在數(shù)軸上但卻不屬于正數(shù)也不屬于負(fù)數(shù)。3簡述幾種分類討論的原因3.1概念是分類定義的有些數(shù)學(xué)概念本就是分類定義而成的。比如絕對值、實數(shù)、平方根、直線與平面所成的角等等。我們在對這些數(shù)學(xué)概念進(jìn)行研究時，為了使我們更加方便、清晰且深刻地理解，在討論期間就會加上分類方法討論。例1：若|a?b|=b?a,且|a|=4,|b|=3,則(a+b)2解：由|a|=4,|b|=3,；則a=±4,b=±3；由于|a?b|=b?a，所以b?a≥0，即b>a；故當(dāng)b=3,a=?4時當(dāng)b=?3,a=?4時綜上得(a+b)23.2定理、公式或運算性質(zhì)、法則是分類給出的研究涉及的數(shù)學(xué)定理、公式或運算性質(zhì)、法則是分類給出的[]。我們使用一元二次方程的判別式時、兩圓間的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、等比數(shù)列的前n項和公式等都用到了分類思想。在進(jìn)行某些限制運算時，如，除法、開偶次方根、含有絕對值符號的運算也是有分類思想在內(nèi)的。例2：化簡(3m?n)分析：由于算術(shù)平方根的運算法則，它開出的結(jié)果都是正數(shù)，但是不知道3m和n的大小，所以要對3m和解：原式=|3m?n|（1）當(dāng)3m>n時，即

m>n3（2）當(dāng)3m<n時，即

m<n3

例3：已知角α的終邊經(jīng)過點P(12m,?5m)(m≠0)，求sinα解析：根據(jù)三角函數(shù)的概念和平方根的運算法則可以求得結(jié)果。解答：r=(12m)

m>0,costanα=

m<0,costan點評：絕對值和算術(shù)平方根的概念在進(jìn)行計算時都是需要分類討論的概念，通過分類討論可以將題目簡單化，在計算時能得到正確的、完整的的結(jié)果。3.3問題的結(jié)論有多種情況或可能的在求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能的，我們可以用分類討論的方法來解答[]。在初、高中時期，學(xué)生們將接觸到更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)研究，其中有一類是在求解過程中數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能的。例4：已知x1>0，x1≠1，且xn+1=xn(xn解：作差

x=由題意知xn>0(n∈N+)故要分0<x1<1和（1）若0<x1<1時，可用數(shù)學(xué)歸納法證明1?xn>0.當(dāng)n=1時，顯然成立.假設(shè)n=k時，有1?x1?所以對?n∈N+,1?xn>0若x1>1時，同(1)類似可證xn+1<xn。點評：這題因為這題比較大小，要先作差之后明顯得知要比較xn和1的大小關(guān)系，所以使用數(shù)學(xué)歸納法時要分0<x1<13.4參變量的取值不同會造成不同結(jié)果的對于一些含有參數(shù)的不等式或等式，結(jié)果會因參數(shù)取值的改變而改變，所以我們在對這類的題目進(jìn)行研究時，通常會到分類討論的思想。例5：關(guān)于x的含參數(shù)方程ax2+2(a?3)x+(a?2)=0至少有一個整數(shù)解，且a解析：方程中的二次項系數(shù)a的取值可為任意數(shù)，但是當(dāng)a=0和a≠0時，對原方程的解可造成有不同的結(jié)果和不同的解法，故本題分為a=0和a≠0兩種不同的情況。解答：（1）當(dāng)a=0時，原方程為一元一次方程：?6x?2=0此方程解x=?1（2）當(dāng)a≠0時,原方程是一元二次方程，因為它至少有一個整數(shù)根，表明了判別式為?=4(a?3)2?4a(a?2)=4(9?4a)，所以是令k2=9?4a，則因為a≠0，所以k≠3，a=k由求根公式可得:

x所以x1=?1+3+k要讓x1為整數(shù)，k可取1、5、7，即a=2、?4、?10要讓x2為整數(shù)，而k為正奇數(shù)，所以只能k=1即a=2綜上所述，a的值為2、-4、-10.3.5較復(fù)雜或非常規(guī)的問題是需要用分類討論的遇到較復(fù)雜的或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，在推理過程中需要用分類討論的的解題策略來解決。例5：若x∈(0,1)，a>0且a≠1，比較|loga(1+x)|分析：因在實數(shù)集中，|k|2=k2。故要比較|loga(1+x)|解：作差

|==由0<x<1,(1lga)2>0，故0<x2又由于?1<?x<0即0<1?x<11<1+x<2即12故[lg(1?x)2][lg(所以有|故|log4分類步驟一般的,我們對一道數(shù)學(xué)題進(jìn)行分類討論時，可以簡化為以下四步：確定分類討論的對象以及討論對象的全域；合理分類，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏；逐段逐類討論，分級進(jìn)行；歸納總結(jié)，得出整個題目的結(jié)論[]。例6：設(shè)集合A={x|x+1≤0，或x?4≥0}，分析：因為A∩B=B，所以集合B是集合A的子集。又因為集合B中含有參數(shù)，所以要分B=?和B≠?兩種情況來進(jìn)行討論，由此求得實數(shù)a的取值范圍。解：由題意可知A={x|x≤?1，或因為A∩B=B，所以A?B；當(dāng)B=?時，滿足A?B，此時2a>a+當(dāng)B≠?時，則2a≤a+2，a+2≤?1，或2a≤a+2綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為a≤?3或例7：解關(guān)于x的不等式x2分析：原不等式是關(guān)于x的一元二次不等式，可化為(x?a)(x?a2)>0。由于a與a2的取值無法確定，此不等式無法解答，因此要對解：（1）當(dāng)0<a<1時，（2）當(dāng)a=0時，a=a2，不等式的解集為當(dāng)a=1時，a=a2，不等式的解集為當(dāng)a>1或a總結(jié)：例題很明顯要用分類討論的方法來解題，所以做這題時，要按照分類討論的基本步驟來解答，先確定所要討論的對象，再確定分類標(biāo)準(zhǔn)的正負(fù)，然后逐步進(jìn)行分類討論得出結(jié)果，然后歸納總結(jié)得出最終結(jié)果。5總結(jié)本文通過對分類思想的意義的敘述開始，講述了分類思想的概念和原則，更主要的是針對分類思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用做出了探討。文章詳細(xì)介紹了分類思想的步驟和方法，由此我們可以歸納出數(shù)學(xué)分類思想應(yīng)用的具體步驟為：首先針對探討對象全域做出確認(rèn)，其次根據(jù)全域和題目所求，依照統(tǒng)一的分類標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏地進(jìn)行分類，然后根據(jù)分類，逐類討論，最終歸納總結(jié)，得出最終結(jié)果。我們在遇見問題需要分類時，可按照上述的步驟將問題逐漸簡單化，把原來困難、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化各個簡單的小問題，最終將問題解決。所謂分類思想，其意思是在研究一個問題但是并不能一概而論時，將這個問題按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分成若干個小問題，然后根據(jù)題意一一討論，最終得以逐一解決，這就是分類思想。它是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其基本思路是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解成若干個基礎(chǔ)性的小問題，通過對基礎(chǔ)性小問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略。分類思想是初高中常見的解決問題的方法之一，也是學(xué)生必須掌握的解決問題的方法之一。在高中數(shù)學(xué)中，分類討論時非常重要的一種解題思路，每次高考的數(shù)學(xué)試卷中，必然會有需要用到這種思想方法的題目。但是我在高一實習(xí)時，我發(fā)現(xiàn)高一的學(xué)生他們對分類思想掌握得并不熟練、甚至有一些對需要分類討論的的題目有著厭惡心理，認(rèn)為分類討論太麻煩。其實我們之所以要將分類思想交給學(xué)生們是為了學(xué)生在解決問題時能夠更簡單的、清晰的解答，是為了教給他們一個解決問題的方式，但是效果卻有一些本末倒置，讓人不得不反思。回溯整篇文章內(nèi)容，我們不難發(fā)現(xiàn)分類思想確實是學(xué)生解決問題的一大幫手，所以為了更好的教學(xué)和學(xué)生更好的學(xué)習(xí)，分類思想的重要性不言而喻。我們應(yīng)該以學(xué)生接受的思維方式，才能在相對平順的環(huán)境中應(yīng)用數(shù)學(xué)解題過程的分類思想。參考文獻(xiàn)[1]顧亞琴.分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運用[J].新高考(升學(xué)考試),2017(7).[2]李偉振.試論中學(xué)數(shù)學(xué)分類討論思想及應(yīng)用[J].廣西教育，2018(6).[3]夏滄桑.淺析分類思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用[J].教育教學(xué)論壇,2012(08):158-159.[4]高興霞.淺談中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的分類思想[J].新課程(下),2019,000(004):108.[5]馬書平.分類思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].新課程(中),2015,