專題11.9 三角形（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）（人教版）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題11.9三角形（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)1.三角形三邊的關(guān)系：定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長(zhǎng)，可求第三邊長(zhǎng)的取值范圍．2.三角形按“邊”分類：3.三角形的重要線段：（1）三角形的高從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱三角形的高．三角形的三條高所在的直線相交于一點(diǎn)的位置情況有三種：銳角三角形交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角三角形交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)；鈍角三角形交點(diǎn)在三角形外.（2）三角形的中線三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對(duì)邊中點(diǎn)的連線叫三角形的中線，一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，叫做三角形的重心．中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形.（3）三角形的角平分線三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.【知識(shí)點(diǎn)二】三角形的穩(wěn)定性

如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．

【知識(shí)點(diǎn)三】三角形的內(nèi)角和與外角和1.三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．推論：1.直角三角形的兩個(gè)銳角互余；2.有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.【知識(shí)點(diǎn)四】多邊形及有關(guān)概念

1.多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

2.正多邊形：各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形.如正三角形、正方形、正五邊形等．3.多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.

(1)從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n－3）條對(duì)角線，將多邊形分成（n－2）個(gè)三角形；(2)n邊形共有條對(duì)角線．

【知識(shí)點(diǎn)五】多邊形的內(nèi)角和及外角和公式

1.內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°(n≥3，n是正整數(shù))．

2.多邊形外角和：n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】利用三角形三邊關(guān)系求邊或證明【例1】（23-24七年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·期中）已知的三邊長(zhǎng)是．（1）若，且三角形的周長(zhǎng)是小于22的偶數(shù)，求的值；（2）化簡(jiǎn)．【答案】(1)或；(2)【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系、化簡(jiǎn)絕對(duì)值，熟練掌握三角形三邊關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．（1）由三角形三邊關(guān)系結(jié)合三角形的周長(zhǎng)是小于22的偶數(shù)，得出，即可得出答案；（2）由三角形三邊關(guān)系得，再利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．（1）解：的三邊長(zhǎng)是，，，即，三角形的周長(zhǎng)是小于22的偶數(shù)，，或；（2）解：由三角形三邊關(guān)系得：，，，．【變式1】（23-24九年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·開(kāi)學(xué)考試）在周長(zhǎng)為25的三角形中，最短邊是x，另一邊是，則x的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了三角形三邊關(guān)系、一元一次不等式組的解法，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和最短邊是x列出不等式組，即可求出答案．解：∵周長(zhǎng)為25的三角形中，最短邊是x，另一邊是，∴第三邊長(zhǎng)為，∴，或∴或解得，或∵最短邊是x，∴解得，，綜上可知，．故選：B．【變式2】（23-24七年級(jí)下·江蘇蘇州·期中）如果等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和7，那么它的周長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，求等腰三角形的周長(zhǎng)，即是確定等腰三角形的腰與底的長(zhǎng)求周長(zhǎng)，題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為3和7，而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形，解題的關(guān)鍵是驗(yàn)證能否組成三角形．解：若3為腰長(zhǎng)，7為底邊長(zhǎng)，∵，∴三角形不存在，若7為腰長(zhǎng)，3為底邊長(zhǎng)，則符合三角形的兩邊之各大于第三邊，∴這個(gè)三角形的周長(zhǎng)，故答案為：．【題型2】利用三角形三條重要線段進(jìn)行求值或證明【例2】（22-23七年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖：中，點(diǎn)D在上，且，E是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)F.

（1）寫出圖中哪條線段是哪個(gè)三角形的角平分線，哪條線段是哪個(gè)三角形的中線？（2）若，且的面積為3，求出的面積.【答案】(1)是的角平分線，是的角平分線，是的中線，是的中線(2)18【分析】（1）根據(jù)三角形角平分線、中線的定義即可求解；（2）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)求解．（1）解：由題意知，是的角平分線，是的角平分線，是的中線，是的中線．（2）解：的面積為3，E是的中點(diǎn)，，，．【點(diǎn)撥】本題考查三角形有關(guān)的線段，三角形中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握“等高三角形的面積比等于底邊長(zhǎng)度之比”．【變式1】（22-23七年級(jí)下·江蘇蘇州·期中）如圖，為的中線，為的中線．若的面積為12，，則中邊上的高為（）A．1 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】根據(jù)三角形中線平分三角形的面積得到的面積是3，設(shè)中邊上的高h(yuǎn)，列得，求出h即可．解：∵為的中線，的面積為12，∴的面積為6，∵為的中線，∴的面積是3，設(shè)中邊上的高h(yuǎn)，∵，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)撥】此題考查了三角形中線的性質(zhì)：三角形的中線平分三角形的面積，熟記該性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，則∠DAE=.【答案】10°【分析】在△ABC中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠BAC的度數(shù)，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得出∠CAD的度數(shù)，在△ACE中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠CAE的度數(shù)，再根據(jù)∠DAE=∠CAD-∠CAE即可求出結(jié)論．∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=80°．∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠CAD=∠BAC=40°.∵∠ACB=60°，AE⊥BC，∠CAE+∠AEC+∠ACB=180°，∴∠AEC=90°，∠CAE=180°-90°-60°=30°，∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=10°.故答案為10°．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理（角平分線的性質(zhì)）求出∠CAD、∠CAE的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【題型3】利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行求值或證明【例3】（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，中，是上一點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接．若．（1）求證：．（2）若，平分，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得，推得，根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可證明；（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，再根據(jù)角的平分線可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和是即可求解．（1）證明：∵，∴，又∵，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵平分，∴，在中，，∴．故的度數(shù)為．【變式1】（23-24七年級(jí)下·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，交于點(diǎn)O．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，長(zhǎng)方形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可以得到的度數(shù)，然后再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到的度數(shù)，最后由三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論．解：由折疊的性質(zhì)得到，，∵，∴，∵四邊形是長(zhǎng)方形，∴，∴，∴故選：A．【變式2】（2024七年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）將一副三角尺按如圖所示放置，直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，，，斜邊，垂足為，則．【答案】/15度【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，垂線，角的計(jì)算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．先在中，利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余求出，再根據(jù)垂直定義可得，從而可得，然后利用對(duì)頂角相等可得，從而利用三角形內(nèi)角和定理求出，最后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．解：，，，，，，，，，，，故答案為：．【題型4】利用三角形外角性質(zhì)進(jìn)行求值或證明【例4】（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，已知是的角平分線，是的外角的平分線，延長(zhǎng)，分別交于點(diǎn)F，P．（1）求證：；（2）小軒同學(xué)探究后提出等式：，請(qǐng)通過(guò)推理論證判斷“小軒發(fā)現(xiàn)”是否正確；（3）若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)“小軒發(fā)現(xiàn)”正確，理由見(jiàn)解析；(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論變形后可得結(jié)論；（3）根據(jù)三角形的外角和角平分線的定義，綜合已知，等量代換可得結(jié)論．（1）證明：∵是的平分線，∴．∵是的平分線，∴，∴；（2）由（1）知，∴，即：∴“小軒發(fā)現(xiàn)”是正確的；（3）在中，，在中，，∴．∵，∴∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，能正確運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．【變式1】（2024·河南·三模）如圖所示的是一輛自動(dòng)變速自行車的實(shí)物圖，圖2是抽象出來(lái)的部分示意圖，已知直線EF與BD相交于點(diǎn)P，，，，則的大小為（

）A． B． C． D．85°【答案】C【分析】由平行線的性質(zhì)得到，再由三角形外角定理即可求解．此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵．解：，，，，，，故選：C．【變式2】（2024·河北邯鄲·三模）如圖，從A觀察公路的走向是北偏東，在A的北偏東方向上有一點(diǎn)C，在點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)C在北偏東的方向上．（1）點(diǎn)B位于點(diǎn)C的方向上；（2）°．【答案】南偏西（或西偏南）【分析】本題考查了方向角，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握方向角，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)方向角求解作答即可；（2）如圖，由題意知，，則，，，根據(jù)，求解作答即可．（1）解：∵點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)C在北偏東的方向上，∴點(diǎn)B位于點(diǎn)C的南偏西方向上，故答案為：南偏西；（2）解：如圖，由題意知，，∴，，∴，∴，故答案為：．【題型5】利用直角三角形兩銳角關(guān)系進(jìn)行求值【例5】如圖，中，．（1）試說(shuō)明是的高；（2）如果，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）由等量代換可得到，故是直角三角形，即；（2）由面積法可求得的長(zhǎng)．（1）∵∴∵∴∴是直角三角形，即，∴是的高；（2）∵∴，∵，∴．【點(diǎn)撥】此題考查了同角的余角相等，三角形的面積，直角三角形的判定，正確理解直角三角形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式1】（22-23八年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）在下列條件中不能判定為直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】判定三角形是否為直角三角形，即計(jì)算各個(gè)角的度數(shù)，有一角為直角就是直角三角形，若無(wú)直角就不是直角三角形．解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合題意；B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合題意；C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合題意；D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合題意故答案為：C【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形的定義及判定，根據(jù)三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行細(xì)致的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式2】（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期中）在直角三角形中，比的3倍還多，則的大小為．【答案】或【分析】本題主要考查了直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是注意進(jìn)行分類討論，分兩種情況：當(dāng)為直角時(shí)，當(dāng)為直角時(shí)，分別求出結(jié)果即可．解：當(dāng)為直角時(shí)，，當(dāng)為直角時(shí)，，∵比的3倍還多，∴，∴，∴，∴，故答案為：或．【題型6】利用多邊形內(nèi)角和與外角和求邊數(shù)或度數(shù)【例6】（23-24八年級(jí)下·河南平頂山·期中）已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都比它相鄰的外角的4倍多．（1）求這個(gè)多邊形是幾邊形？并求出這個(gè)多邊形的內(nèi)角和．（2）求這個(gè)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)．【答案】(1)這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是，是十二邊形；(2)54【分析】本題主要考查多邊形內(nèi)角與外角的知識(shí)點(diǎn)，此題要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程求解即可．（1）設(shè)外角為，則內(nèi)角為，根據(jù)內(nèi)角與相鄰的外角是互補(bǔ)關(guān)系可得，解方程可得的值，再利用外角和外角的度數(shù)可得邊數(shù)；利用內(nèi)角和公式可得該多邊形內(nèi)角和（2）利用公式解答即可．解：（1）設(shè)外角為，由題意得：，解得：，，，這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是，是十二邊形；（2）時(shí)，對(duì)角線的條數(shù)為：．【變式1】（23-24七年級(jí)下·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，平分交于點(diǎn)E，，，M，N分別是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，和的平分線交于點(diǎn)F．則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了四邊形的內(nèi)角和，垂直的定義，角平分線的定義．利用平角的定義結(jié)合角平分線的定義求得，再利用四邊形的內(nèi)角和定理即可求解．解：∵和的平分線交于點(diǎn)F，∴，，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，故選：C．【變式2】（23-24八年級(jí)下·浙江湖州·階段練習(xí)）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為．【答案】7/七【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，熟練掌握多邊形內(nèi)角和的公式是解題的關(guān)鍵．設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式和外角和為列方程求解即可得出答案．解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為邊形的內(nèi)角和為，多邊形的外角和為解得這個(gè)多邊形的邊數(shù)為故答案為：7．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川德陽(yáng)·中考真題）如圖是某機(jī)械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)．首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)垂直與三角形的內(nèi)角和即可求出．解：∵，，∴，∵，∴，∴故選：B．【例2】（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，在中，，分別是內(nèi)角、外角的三等分線，且，，在中，，分別是內(nèi)角，外角的三等分線．且，，…，以此規(guī)律作下去．若．則度．【答案】【分析