平面向量復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)

平面向量復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)平面向量復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)平面向量復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)一道高考“小"題的“大威力”在進(jìn)行“平面向量"這一部分復(fù)習(xí)時(shí)，我嘗試通過一個(gè)“項(xiàng)目塊"的模式，用一道2017年高考試題(江蘇卷，填空12題）作為知識方法的“領(lǐng)路人"，將“平面向量”一章的復(fù)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)一一擊破的教學(xué)案例?！臼谡n背景題目】（2017年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第12題)如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量的模分別為1,1，，與的夾角為，且，與的夾角為。若，，則（答案：3）【授課過程】環(huán)節(jié)一:以本年度高考題目作為引入，陌生情境下的核心內(nèi)容會使學(xué)生產(chǎn)生“畏難"情緒，教師對難點(diǎn)采用“低坡度、小臺階”的方式進(jìn)行拆解，讓學(xué)生在潛移默化中進(jìn)入“知識經(jīng)驗(yàn)”的構(gòu)建階段.師：同學(xué)們，2017年夏季高考剛剛過去,我們作為一名高一學(xué)生,一定對高考題充滿了神秘感。今天,就讓我們憑借自己的力量，嘗試攻克一道和平面向量有關(guān)的試題。屏幕投出一道填空題：(2017年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第12題)如圖,在同一個(gè)平面內(nèi),向量的模分別為1，1，，與的夾角為，且，與的夾角為。若，，則生1:老師，平面向量是本學(xué)期剛開始學(xué)習(xí)的內(nèi)容，現(xiàn)在和它有關(guān)的基本概念、定理我們都快忘光了，怎么還能解出高考題？師:我想，這位同學(xué)說出了大多數(shù)同學(xué)的顧慮.我們現(xiàn)在先不急于解出這道題,請大家看大屏幕。向量向量線性運(yùn)算向量及其基本概念向量的數(shù)量積基本定理坐標(biāo)表示師：此圖（節(jié)選自人教A版必修四第二章小結(jié))是“平面向量”這一章的知識結(jié)構(gòu)框架，我們一起來回顧一下基本知識要點(diǎn)。誰還記得向量的概念以及表示方法?生2：向量是指既有大小又有方向的量。生3：向量可以用有向線段來表示,也可以用字母表示。師：回答的都很好。生3能通過上面這道填空題具體說明一下嗎？生3：在這個(gè)題中，已知條件中的就是這三個(gè)向量的字母表示；而圖中對應(yīng)的有向線段可以看作是向量的圖形表示.師：說的不錯(cuò)。生2剛才說出了向量具備的兩大要素:大小和方向.向量的大小也叫向量的模,就是這個(gè)向量的長度。從知識結(jié)構(gòu)圖中大家能看到，我們目前學(xué)習(xí)的向量有線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，誰能說說線性運(yùn)算包括哪些?生4：向量的加法、減法，還有數(shù)乘運(yùn)算，都是線性運(yùn)算。師:具體說來，向量的加法有哪些運(yùn)算法則？減法呢?生5：加法有平行四邊形法則和三角形法則；減法有三角形法則。師：是的。誰能在黑板上給大家示范一下？三位同學(xué)主動在黑板上圖示三個(gè)法則，并在教師提示下,依據(jù)圖示寫出法則的字母表示（如：）。師：哪位同學(xué)能按自己的理解，談?wù)勏蛄康臄?shù)乘運(yùn)算？生6：我的理解,對一個(gè)向量乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，就是在對這個(gè)向量的大小伸長或縮短。師:向量除了大小，還有方向.那方向變了嗎？生6:若乘的是正數(shù)，就不變;是負(fù)數(shù),就變?yōu)榉捶较?。師：不錯(cuò)！還有其他情況嗎？生6：哦,若這個(gè)數(shù)是零，就得到零向量了！師：很好（與學(xué)生一起寫出數(shù)乘運(yùn)算的定義)！從以上的回顧，我們注意到,線性運(yùn)算是不改變向量本質(zhì)的運(yùn)算，運(yùn)算后的結(jié)果還是向量。那么大家的記憶里，向量還有什么“萬變不離其宗"的特性？（教師做出平移的手勢）生7：我記得,向量的“可平移性”非常特別！一個(gè)非零向量只要保持大小和方向不變，就可以在平面內(nèi)隨意平移！師：說的非常好！那么，（在黑板做示意圖）現(xiàn)在平面內(nèi)有兩個(gè)不共線的向量，任意給出該平面內(nèi)的一個(gè)向量，請問大家：能否用向量線性表示向量呢?生8：應(yīng)該可以，向量是可平移的呀！師：能詳細(xì)解釋一下嗎？(生8到黑板前，將三個(gè)向量平移，讓它們有共同的起點(diǎn)。然后利用向量加法的平行四邊形法則，將向量在向量方向上進(jìn)行分解.）生8:噢，借助共線向量間的數(shù)乘運(yùn)算，一定能得到!就是這道高考題里的等式呀！師：是的?。ń處熢诤诎灏逖荨捌矫嫦蛄炕径ɡ怼?，要求學(xué)生領(lǐng)會并理解記憶）所以，此題就是讓我們求解這一組實(shí)數(shù)。師：由向量去求兩個(gè)具體的數(shù)量，直接借助此圖示能否辦到呢？我們不妨將其作為一個(gè)課下研究性課題，老師期待你們課后的成果呈現(xiàn)。今天課上的重點(diǎn)是平面向量的章節(jié)復(fù)習(xí)，所以我們再看一下本章的知識結(jié)構(gòu)圖.向量的數(shù)量積運(yùn)算是怎樣定義的呢？哪位同學(xué)還有印象？（學(xué)生相互補(bǔ)充，給出了數(shù)量積的定義。有位同學(xué)還說出了數(shù)量積的坐標(biāo)表示。教師正好借此契機(jī)，給出了向量的坐標(biāo)表示，同學(xué)們相互協(xié)作，將向量中可以用坐標(biāo)描述的運(yùn)算、定理等一一用坐標(biāo)形式表示了出來）環(huán)節(jié)二：學(xué)生利用已形成的知識經(jīng)驗(yàn),對情境中的問題多角度、多方位思考探究師：大家完成的非常好！事實(shí)上，我們能注意到，無論是數(shù)量積運(yùn)算，還是坐標(biāo)表示,都非常巧妙的實(shí)現(xiàn)了向量的“形"與“數(shù)”的完美轉(zhuǎn)化！這好像正好與我們對于這道高考題的困惑不謀而合呢!下面請大家先自己嘗試解決此題,五分鐘后四人小組溝通解決情況，有突破性進(jìn)展的請及時(shí)告訴老師!鑒于大家解題中均會用到，的三角函數(shù)值，故我們先由，借助同角三角函數(shù)關(guān)系式,求得,;進(jìn)而由兩角和的余弦公式得到,。請大家選擇使用。（學(xué)生以小組形式踴躍談了不同的解題思路：【思路一】對兩側(cè)分別同時(shí)點(diǎn)乘，再對兩側(cè)分別平方，得到得到的兩個(gè)方程，求解即可；【思路二】對兩側(cè)分別同時(shí)點(diǎn)乘、，得到，由向量數(shù)量積的定義可以得到關(guān)于的兩個(gè)二元一次方程，兩個(gè)方程相加，即可得到3。點(diǎn)評：此解法思路清晰,運(yùn)算簡潔，推薦!【思路三】以方向?yàn)檩S正方向，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。xOBACy則，，，帶入，可得到的兩個(gè)方程，求解即可。)xOBACy師：剛才同學(xué)們提到的思路中，都非常好!一方面，充分把握了“平面向量”的“數(shù)形結(jié)合”的思想，另一方面，也對該章節(jié)的重點(diǎn)知識方法有了深刻的認(rèn)識。思路一與思路三請大家課下梳理思路，完善過程步驟，做到大演草上。師：同學(xué)們,最后我們再一次關(guān)注本章的知識結(jié)構(gòu)圖,誰能總結(jié)一下本節(jié)課的收獲？生9:我們回顧了“平面向量"一章的重點(diǎn)知識內(nèi)容：向量的概念、運(yùn)算以及坐標(biāo)表示.生10：還復(fù)習(xí)了一個(gè)定理：平面向量基本定理。但我記得本章好像還有一個(gè)定理的?師：對！本章還有一個(gè)定理：共線向量定理，相信大家復(fù)習(xí)完向量的數(shù)乘運(yùn)算后，能夠自主的將其整理出來，請大家課下自己整理到今天的演草上,結(jié)合我們剛才提到的研究性課題和演草，共同構(gòu)成了我們今天的課后作業(yè)，請大家認(rèn)真完成。師：誰還談?wù)勛约旱氖斋@?生11：老師,通過這節(jié)課,我發(fā)覺高考并不神秘，其實(shí)就是考查我們平時(shí)的典型知識方法。師:說的很好！高考一定是立足我們平時(shí)的教材重點(diǎn)內(nèi)容的，所以請大家在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,腳踏實(shí)地，不好高騖遠(yuǎn)，就一定能夠順利通過高考的選拔,實(shí)現(xiàn)自己的夢想的！環(huán)節(jié)三：通過課下研究性課題，學(xué)生進(jìn)行反饋、強(qiáng)化知識的落實(shí)【附：學(xué)生課下研究小組對該題的深入研究成果】AOBCMN方法一：將分別在、方向上進(jìn)行分解，則（如圖所示）,且，，從而AOBCMN，。從而在中，由