魯教版（五四制）八年級(jí)下學(xué)期6.1菱形的性質(zhì)與判定

6.1菱形的性質(zhì)與判定

選擇題

1.如圖，要使平行四邊形42。變?yōu)榱庑?，需要添加的條件是（

A.AC=BDB.AD=BCC.AB=CDD.AB=BC

2.如圖，在平行四邊形ABC。中，DE,8尸分別是NAOC和/ABC的平分線，添加一個(gè)條

件，仍無(wú)法判斷四邊形3即E為菱形的是（）

A.ZA=60°B.DE=DF

C.EF±BDD.BD是NED/的平分線

3.如圖，在菱形A5CD中，E,尸分別是5C和CD的中點(diǎn)，且AELLBC,AFLCD,若AE1

=遮，則菱形ABCQ的周長(zhǎng)等于（）

A.4TB.8aC.4D.8

4.將2020個(gè)形狀、大小均相同的菱形按照如圖所示的方式排成一列，使得右側(cè)菱形的頂點(diǎn)

與左側(cè)菱形的對(duì)角線交點(diǎn)重合，若這些菱形的邊長(zhǎng)均為a,則陰影部分的周長(zhǎng)總和等于

()

A.2020aB.4038。C.4040〃D.4042〃

5.如圖，在菱形A8CD中，P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作PEL8c于點(diǎn)E.PFLAB

于點(diǎn)?若菱形48。的周長(zhǎng)為20,面積為24,則PE+尸產(chǎn)的值為（）

D

BEC

A.4B.建C.6D.至

55

6.如圖，在菱形ABC。中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8,2）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,2）,

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

A.（2,2）B.（2,4）C.（4,2）D.（4,4）

7.不能判定一個(gè)四邊形是菱形的條件是（）

A.四邊相等

B.對(duì)角線互相平分且有一組鄰邊相等

C.兩組對(duì)邊互相平行，且一組鄰邊相等

D.對(duì)角線互相垂直

8.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,ZBA￡）=120°,則對(duì)角線8。的長(zhǎng)是（）

A____________D

XJ

BC

A.6B.3C.673D.3T

9.如圖，下列四個(gè)條件中,能判定平行四邊形ABC。為菱形的是（）

D_________C

A/

AB

A.ZADB=90°B.OA^OBC.OA^OCD.AB=BC

10.某班同學(xué)在“為抗疫英雄祈?！钡闹黝}班會(huì)課上制作象征“平安歸來(lái)”的黃絲帶，如圖

所示，絲帶重疊部分形成的圖形是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形

11.兩張全等的矩形紙片ABCD,AECF按如圖方式交叉疊放在一起，AB=AF,AE=BC.若

AB=1,BC=3,則圖中重疊（陰影）部分的面積為（）

A.2B.?C.—D.—

33

12.如圖，在菱形A8CD中，AB=AC=1,點(diǎn)E、F分別為邊AB、8C上的點(diǎn)，S.AE=BF,

連接CE、交于點(diǎn)H,連接?！ń籄C于點(diǎn)。則下列結(jié)論：①AABF咨ACAE；②/

FHC=/B；?AADO^AACH；@S^ABCD=^其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

二.解答題

13.菱形ABC。的邊長(zhǎng)為6,/￡>=60°,點(diǎn)E在邊AD上運(yùn)動(dòng).

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，求A。：C。的值；

（2）如圖2,F是4B上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足BP+DE=6,求證：△<?￡尸是等邊三角形.

EDED

圖1

14.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，DE//BF,且分別交對(duì)角線AC于點(diǎn)E,F,連接

BE,DF.若BE=DE,求證：四邊形班即是菱形.

15.【教材呈現(xiàn)】如圖是九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第79頁(yè)的部分內(nèi)容

習(xí)題23.4

2.如圖，矩形458的對(duì)角線月(7、3D相交于點(diǎn)。，E、

尸、G、的用J為4。、BO、C。、D。的中點(diǎn)，求證：

四邊形EFGE是矩形.

請(qǐng)根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖①，寫(xiě)出完整的解題過(guò)程.

【結(jié)論應(yīng)用】

(1)在圖①中，若AB=2,/AOD=120°,則四邊形E打汨的面積為.

(2)如圖②，在菱形ABC。中，ZBA￡>=120°,。是其內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接。與菱形

ABCZ)各頂點(diǎn)，四邊形￡燈汨的頂點(diǎn)E、F、G、反分別在。4、OB、OC.OD上，EO=

2AE,EF//AB//GH,且EF=GH,若△EFO與△GHO的面積和為城，則菱形A8C。

的周長(zhǎng)為.

圖①圖②

16.四邊形ABC。為平行四邊形，AC為對(duì)角線，EF垂直平分AC交邊A。、于點(diǎn)E、F.

(1)如圖1,求證：四邊形AFCE是菱形;

(2)如圖2,若歹是8C的中點(diǎn)，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中與四

邊形AFCE面積相等的所有三角形和四邊形(四邊形AFCE除外).

圖1圖2

17.如圖，在四邊形48CD中，E、/分別為對(duì)角線8。上的兩點(diǎn)，5.BE=DF.

(1)若四邊形AECT是平行四邊形，求證：四邊形ABC。是平行四邊形；

(2)若四邊形AECP是菱形，則四邊形A8CO是菱形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由？

18.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足為。，AF平分NCA8,交.CD

于點(diǎn)￡交CB于點(diǎn)F.

(1)若NB=30°,AC=4,求CE的長(zhǎng)；

(2)過(guò)點(diǎn)尸作AB的垂線，垂足為G,連接EG,試判斷四邊形CEGF的形狀，并說(shuō)明

19.一張矩形紙A8CZ),將點(diǎn)8翻折到對(duì)角線AC上的點(diǎn)M處，折痕CE交于點(diǎn)E.將

點(diǎn)。翻折到對(duì)角線AC上的點(diǎn)X處，折痕AE交。C于點(diǎn)R折疊出四邊形AEC?

(1)求證：AF//CE；

(2)當(dāng)乙BAC=度時(shí)，四邊形AECF是菱形？說(shuō)明理由.

參考答案

一.選擇題

1.解：因?yàn)橐唤M鄰邊相等的平行四邊形是菱形，對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形,

那么可添加的條件是：AB=BC.

故選：D.

2.解：??,四邊形A5CD是平行四邊形，

???ZADC=ZABC9

又,：DE,5尸分別是NAOC,NA5C的平分線，

???ZABF=ZCDE,

9

：CD//ABf

：.ZCDE=ZAED,

：.ZABF=NAED,

J.DE//BF,

,:DE〃BF,DF//BE,

???四邊形DEBF是平行四邊形，

若DE=DF,則四邊形BEDE為菱形；

若EFLBD,則四邊形BFDE為菱形；

若BD平分/EDF,

ZBDF=NBDE,

'：DF//BE,

：.ZFDB=ZDBE=NBDE,

:.DE=EB,

???四邊形3尸。丘為菱形；

3.解：連接AC,

垂直平分邊BC,

.".AB=AC,

又：四邊形ABC。是菱形,

：.AB^BC,

：.AB=AC=BC,

：.AABC是等邊三角形，

；./8=60°,

：AE=?,AE±BC,

V3

AB=AE4-sinB=—t=^=2,

返

2

???菱形的周長(zhǎng)為8.

故選：D.

4.解：根據(jù)題意知，將2020個(gè)形狀、大小均相同的菱形按照如圖所示的方式排成一列，得

到2019個(gè)陰影菱形，且這些陰影菱形的大小完全一致，

如圖，由題意知，0A=OC,AB=BC=CD=AD=a,ZBAD=ZEOF,

由菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可知

J.OE//AD,

是△AC。的中位線《

；.OE=^AD=^a,

22

???一個(gè)陰影菱形的周長(zhǎng)為：laX4=2a,

2

.1.2019個(gè)陰影菱形的周長(zhǎng)和為：2aX2019=4038a,

故選：B.

5.解：連結(jié)BP,如圖,

?.?四邊形A8CD為菱形，菱形ABC。的周長(zhǎng)為20,

.'.BA=BC=5,S^ABC=」S菱形4BCD=12,

2

'/SAABC=S,\PAB+S^PBC>

」X5X尸￡+2X5X尸產(chǎn)=12,

22

：.PE+PF=—,

5

故選：B.

:四邊形ABC。是菱形，

：.AC±BD,AE=CE=^-AC,BE=DE=^BD,

22

:點(diǎn)8的坐標(biāo)為（8,2）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,2）,

：.OD=2,BD=8,

；.AE=O￡）=2,DE=4,

；.AC=4,

...點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（4,4）；

故選：D.

7.解：A、?.?四邊相等的四邊形是菱形,

選項(xiàng)A不符合題意；

8、?..對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形,

?.?有一組鄰邊相等，

這個(gè)平行四邊形是菱形，.?.選項(xiàng)8不符合題意；

c、?.?兩組對(duì)邊互相平行的四邊形是平行四邊形，

:一組鄰邊相等，

這個(gè)平行四邊形是菱形，

，選項(xiàng)8不符合題意；

。、：對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，

，選項(xiàng)。符合題意；

故選：D.

8.解：連接AC交3。于。，如圖所示：

:菱形A8C。的邊長(zhǎng)為6,/BAD=120：

：.AB=BC=6,OA=OC,OB=OD,ACLBD,ZABC=180°-ZBA￡)=60°,

：.AABC是等邊三角形，

：.AC=AB=6,

.-.AO=AAC=3,

2

在RtAAOB中，OB=4皿2_0卜2=J$2-32=317^,

:.BD=2OB=6M；

9.解：A、平行四邊形ABC。中，ZADB=90°,

不能判定四邊形ABC。為菱形，故選項(xiàng)A不符合題意；

B、?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.OA=OC,OB=OD,

"：OA=OB,

C.AC^BD,

平行四邊形ABC。是矩形，不能判定四邊形A8CD為菱形，故選項(xiàng)8不符合題意;

C、：四邊形A2C。是平行四邊形，

：.OA=OC,不能判定四邊形ABC。為菱形，故選項(xiàng)C不符合題意;

。、：四邊形A8CD是平行四邊形，AB=BC,

，平行四邊形是菱形；故選項(xiàng)。符合題意；

故選：D.

10.解：過(guò)點(diǎn)A作AEL8C于E,AFICD^F,如圖：

:黃絲帶寬度相同，

：.AB//CD,AD//BC,AE^AF,

四邊形ABCD是平行四邊形，

SQABCD=BC?AE=CD-AF,

5L'：AE=AF,

：.BC=CD,

四邊形ABC。是菱形，

故選：B.

11.解：設(shè)8c交AE于G,AD交CF于H,如圖所示:

:四邊形ABC。、四邊形AECF是全等的矩形，

C.AB^CE,/B=/E=90°,AD//BC,AE//CF,

四邊形AGCH是平行四邊形，

fZB=ZE

在和△CEG中，，ZAGB=ZCGE>

AB=CE

.?.△ABG沿ACEGCAAS),

；.AG=CG,

四邊形AGC”是菱形，

設(shè)AG=CG=x,貝!]86=2。-。6=3-方

在RtA4BG中，由勾股定理得：12+（3-X）2=/,

解得：尸5,

3

.?.CG=S,

3

菱形AGC7/的面積=CGXAB=a><l=互,

33

即圖中重疊（陰影）部分的面積為$；

3

故選：C.

12.解：：四邊形ABC。是菱形,

：.AB=BC,

'：AB=AC,

：.AB=BC^AC,

即△ABC是等邊三角形，

：.AB=CA,NEAC=/B=60°,

同理：△ADC是等邊三角形

：.ZOAD^60°,

fBF=AE

在和△CAE中，ZB=ZEAC，

AB=CA

AAABF^ACAE(SAS)；

AZBAF^ZACE,EC=AF,

:ZFHC=ZACE+ZFAC=ZBAF+ZFAC=ZBAC=60°,

:.NFHC=NB,

故①正確，②正確；

VZOAD=60°=NEAC#/HAC,

故③△AQO絲ZVICH不正確；

「△ABC是等邊三角形，4B=AC=1,

，△ABC的面積=返A(chǔ))=返,

44_

，菱形ABCD的面積=2zMBC的面積=返，

2

故④不正確；

故選：B.

—.解答題

13.(1)解：：四邊形ABC。是菱形，

：.BC^AD=6,AD//BC,

:點(diǎn)E為的中點(diǎn)，

：.AE=^AD=3,

2

'JAD//BC,

：.△NOEsXcOB,

.AO=AE=2=1.

"coBC?y

(2)證明：：四邊形ABC。是菱形，

J.AB^BC,AD//BC,/B=/D=60°,

：.ZCAE=ZACB,△ABC是等邊三角形，

J.AC^BC,ZACB=60°,

：.ZEAC=60°=ZB,

,：AE+DE=AD=6,BF+DE=6,

：.AE=BF,

在△ACE和△BCF中，

'AE=BF

<ZCAE=ZB-

AC=BC

/.AACE^ABCF(SAS),

：.CE=CF,ZACE=ZBCF,

：.ZACE+ZACF^ZBCF+ZACF=ZACB=60°,

即/ECP=60°,

；.△(?￡：〃是等邊三角形.

14.證明：：四邊形ABC。是平行四邊形,

：.AD=CB,AD//CB,

：.ZDAE=ZBCF,

,:DE〃BF,

：./DEF=ZBFE,

：.NAED=/CFB,

在△AOE和△CBE中，

,ZDAE=ZBCF

<NAED=NCFB，

AD=CB

:.LADE絲ACBF(AAS),

：.DE=BF,

又,：DE//BE,

...四邊形EBFD是平行四邊形,

:BE=DE,

四邊形班即為菱形.

15.【教材呈現(xiàn)】

證明：：四邊形A8CD是矩形，

：.OA=OC,OB=OD,AC=BD,

；.OA=OC=OB=OD,

,：AO,BO,CO,。。的中點(diǎn)E,F,G,H,

：.OE=OF=OG=OH,

...四邊形EFGH是平行四邊形，EG=FH,

四邊形EFG8是矩形.

【結(jié)論應(yīng)用】

解：(1)-：AB=2,

：.EF=^-AB=\,

2

\'ZBAD=90°,

：.ZFEH=90°,

VZAOD=120°,

NEO尸=60°,

...△OEP為等邊三角形，

：.ZEFO=60°,

：.EH=M，

四邊形EBGH的面積為1X?=?,

故答案為：Vs-

(2)過(guò)點(diǎn)G作GNLE尸于點(diǎn)N,

,JEF//GH,且EF=G8,

...四邊形EFGH為平行四邊形，

：.FG//BC,

VZBAD=120°,

：.ZABC^ZEFG^60°,

設(shè)EF=x,則NG=1,

2

?/A￡FO與△GH。的面積和為4在,

22

解得：尤=4,

：.EF=4,

,:EF〃AB,

：./\OEF^/\OAB,

.OE=EF

"0AAB

:EO=2AE,

,:EO=2AE,

?.?EF■_2—,

AB3

.\AB=6,

菱形ABC。的周長(zhǎng)為24.

故答案為：24.

16.(1)證明：垂直平分AC,

：.AO=OC,AE=CE,AF=CF,

：.ZAEO=ZCEO,ZAFO=ZCFO,

又；四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,

：.ZAEO=ZCFOZAFO,

：.AF=AE,

四邊形ABE是菱形；

(2)解：圖中與四邊形APCE面積相等的所有三角形分別為△ABC、AADC,四邊形分

別為四邊形4出石、四邊形CDER理由如下：

是的中點(diǎn)，

：.BF=CF,

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，四邊形ABCE是菱形，

C.AD//BC,AD=BC,△ABC的面積=ZkAZ)C的面積=」平行四邊形ABCD的面積，菱

2

形AFCE的面積=工■平行四邊形ABC。的面積，AE=CF=BF=』BC=LAD=DE,AE

222

//BF,

...△ABC的面積=Z\ADC的面積=菱形AFCE的面積，四邊形A8FE、四邊形CD所是

平行四邊形，

/.平行四邊形ABFE=平行四邊形CDEF=菱形AFCE的面積.

17.(1)證明：連接AC交