2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.2.2反證法學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE2.2.2反證法內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.了解反證法是間接證明的一種基本方法；2.理解反證法的思索過(guò)程，會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題.加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算嚴(yán)格邏輯推理提高直觀想象授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第41頁(yè)[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問(wèn)點(diǎn)反證法eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P89－91，思索并完成以下問(wèn)題)王戎小時(shí)候，愛(ài)和小摯友在路上玩耍．一天，他們發(fā)覺(jué)路邊的一棵樹(shù)上結(jié)滿了李子，小摯友一哄而上，去摘李子，獨(dú)有王戎沒(méi)動(dòng)，等到小摯友們摘了李子一嘗，原來(lái)是苦的！他們都問(wèn)王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說(shuō)：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹(shù)上卻結(jié)滿了李子，所以李子確定是苦的．”本故事中王戎運(yùn)用了什么論證思想？提示：運(yùn)用了反證法思想．學(xué)問(wèn)梳理(1)定義：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最終得出沖突，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明白原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．(2)反證法常見(jiàn)的沖突類(lèi)型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出沖突．這個(gè)沖突可以是與已知條件沖突，或與假設(shè)沖突，或與定義、公理、定理、事實(shí)沖突等．思索：1.反證法的思維過(guò)程是怎樣的？提示：否定結(jié)論?推演過(guò)程中引出沖突?否定假設(shè)確定結(jié)論，即否定——推理——否定(經(jīng)過(guò)正確的推理導(dǎo)致邏輯沖突，從而達(dá)到新的否定，即確定原命題)．反證法的證明過(guò)程可以用以下框圖表示：eq\x(\a\al(確定條件p，,否定結(jié)論q))→eq\x(\a\al(導(dǎo)致邏,輯沖突))→eq\x(原命題成立)2．反證法的證明步驟是怎樣的？提示：用反證法證明命題時(shí)，要從否定結(jié)論起先，經(jīng)過(guò)正確的推理導(dǎo)致邏輯沖突，從而達(dá)到新的否定(即確定原命題)．這個(gè)過(guò)程包括下面三個(gè)步驟：(1)反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為真；(2)歸謬——由“反設(shè)”作為條件，經(jīng)過(guò)一系列正確的推理，得出沖突；(3)存真——由沖突結(jié)堅(jiān)決定反設(shè)錯(cuò)誤，從而確定原結(jié)論成立．即反證法的證明過(guò)程可以概括為：反設(shè)——?dú)w謬——存真．[自我檢測(cè)]1．證明“在△ABC中至多有一個(gè)直角或鈍角”，第一步應(yīng)假設(shè)()A．三角形中至少有一個(gè)直角或鈍角B．三角形中至少有兩個(gè)直角或鈍角C．三角形中沒(méi)有直角或鈍角D．三角形中三個(gè)角都是直角或鈍角解析：“至多有一個(gè)”的否定是“至少有兩個(gè)”．答案：B2．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么直線c與b的位置關(guān)系為()A．確定是異面直線 B．確定是相交直線C．不行能是平行直線 D．不行能是相交直線解析：假設(shè)c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b是異面直線沖突，故c與b不行能是平行直線．答案：C3．用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過(guò)程歸納為以下三個(gè)步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相沖突，∠A＝∠B＝90°不成立．②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角．③假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A＝∠B＝90°.正確依次的排列為_(kāi)_______．解析：反證法的步驟是：先假設(shè)命題不成立，然后通過(guò)推理得出沖突，最終否定假設(shè)，得到命題是正確的．答案：③①②授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第42頁(yè)探究一用反證法證明否定性命題[例1]已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求證：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.[證明]假設(shè)a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因?yàn)閍d－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，則a＝b＝c＝d＝0，這與已知條件ad－bc＝1沖突．故假設(shè)不成立，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.方法技巧(1)用反證法證明否定性命題的適用類(lèi)型：結(jié)論中含有“不”“不是”“不行能”“不存在”等詞語(yǔ)的命題稱為否定性命題，此類(lèi)問(wèn)題的正面比較模糊，而反面比較詳細(xì)，適合運(yùn)用反證法．(2)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟跟蹤探究1.已知三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列但不成等差數(shù)列，求證：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．證明：假設(shè)eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數(shù)列，則2eq\r(b)＝eq\r(a)＋eq\r(c)，∴4b＝a＋c＋2eq\r(ac).①∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac，②由②得b＝eq\r(ac)，代入①式，得a＋c－2eq\r(ac)＝(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0，∴a＝c，從而a＝b＝c，這與已知a，b，c不成等差數(shù)列相沖突，∴假設(shè)不成立．故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．探究二用反證法證明“至多、至少”問(wèn)題[例2]已知a，b，c∈(0,2)，求證：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.[證明]假設(shè)(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.因?yàn)閍，b，c∈(0,2)，所以2－a＞0,2－b＞0,2－c＞0.所以eq\f(2－a＋b,2)≥eq\r(2－ab)＞1.同理eq\f(2－b＋c,2)≥eq\r(2－bc)＞1，eq\f(2－c＋a,2)≥eq\r(2－ca)＞1.三式相加，得eq\f(2－a＋b,2)＋eq\f(2－b＋c,2)＋eq\f(2－c＋a,2)＞3，即3＞3，沖突．所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.延長(zhǎng)探究已知a，b，c∈(0,1)，求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于eq\f(1,4).證明：假設(shè)(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于eq\f(1,4).∵a，b，c都是小于1的正數(shù)，∴1－a,1－b,1－c都是正數(shù)．∴eq\f(1－a＋b,2)≥eq\r(1－ab)＞eq\r(\f(1,4))＝eq\f(1,2).同理，eq\f(1－b＋c,2)＞eq\f(1,2)，eq\f(1－c＋a,2)＞eq\f(1,2).三式相加，得eq\f(1－a＋b,2)＋eq\f(1－b＋c,2)＋eq\f(1－c＋a,2)＞eq\f(3,2)，即eq\f(3,2)＞eq\f(3,2)，明顯不成立．∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于eq\f(1,4).方法技巧應(yīng)用反證法常見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”當(dāng)命題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語(yǔ)時(shí)，干脆證明不易入手且探討較困難．這時(shí)，可用反證法證明，證明時(shí)常見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如：結(jié)論詞反設(shè)詞結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有對(duì)全部x成立存在某個(gè)x0不成立至多有一個(gè)至少有兩個(gè)對(duì)隨意x不成立存在某個(gè)x0成立至少有n個(gè)至多有n－1個(gè)p或q綈p且綈q至多有n個(gè)至少有n＋1個(gè)p且q綈p或綈q跟蹤探究2.用反證法證明：假如函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，那么方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根．(不考慮重根)證明：假設(shè)方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)α，β為它的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則f(α)＝f(β)＝0.因?yàn)棣痢佴拢环猎O(shè)α＜β，又函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，所以f(α)＜f(β)，這與f(α)＝f(β)＝0沖突，所以方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根．探究三用反證法證明唯一性命題[例3]用反證法證明：過(guò)已知直線a外一點(diǎn)A有且只有一條直線b與已知直線a平行．[證明]由兩條直線平行的定義可知，過(guò)點(diǎn)A至少有一條直線與直線a平行．假設(shè)過(guò)點(diǎn)A還有一條直線b′與已知直線a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.又b∥a，由平行公理知b′∥b.這與假設(shè)b∩b′＝A沖突，所以假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成立．方法技巧“唯一性”問(wèn)題是數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)問(wèn)題，常見(jiàn)的詞語(yǔ)有“唯一”“有且只有一個(gè)”“僅有一個(gè)”等．這類(lèi)問(wèn)題通常既要證明“存在性”，又要證明“唯一性”．證明“存在性”一般比較簡(jiǎn)潔，多數(shù)采納干脆證明的方法，但“唯一性”的證明須要用反證法，通?？杉僭O(shè)“存在兩個(gè)……”或“至少有兩個(gè)”等，再經(jīng)過(guò)推理論證，得出沖突.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第43頁(yè)[課后小結(jié)]用反證法證題要把握三點(diǎn)(1)必需先否定結(jié)論，對(duì)于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不全面的；(2)反證法必需從否定結(jié)論進(jìn)行推理，且必需依據(jù)這一條件進(jìn)行論證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面動(dòng)身進(jìn)行論證，就不是反證法；(3)反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出沖突，這個(gè)沖突可以與已知沖突，或與假設(shè)沖突，或與定義、公理、定理、事實(shí)沖突，但推導(dǎo)出的沖突必需是明顯的．[素養(yǎng)培優(yōu)]反設(shè)錯(cuò)誤或不全面致誤易錯(cuò)案例：已知x，y∈R，且x2＋y2＝0.求證：x，y全為零．易錯(cuò)分析：在利用反證法證明時(shí)，關(guān)鍵是嫻熟駕馭常用詞語(yǔ)的否定，如“全是”的否定是“不