2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練五十一兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系課時(shí)作業(yè)理含解析新人教A版

PAGE課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練五十一兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系一、選擇題(每小題5分,共35分)1.已知直線(xiàn)l的傾斜角為QUOTE,直線(xiàn)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,2)和B(a,-1),且直線(xiàn)l與l1平行,則實(shí)數(shù)a的值為 ()A.0 B.1C.6 D.0或6【解析】選C.由直線(xiàn)l的傾斜角為QUOTE得l的斜率為-1,因?yàn)橹本€(xiàn)l與l1平行,所以l1的斜率為-1.又直線(xiàn)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,2)和B(a,-1),所以l1的斜率為QUOTE,故QUOTE=-1,解得a=6.2.過(guò)點(diǎn)P(4,-1)且與直線(xiàn)3x-4y+6=0垂直的直線(xiàn)方程是 ()A.4x+3y-13=0 B.4x-3y-19=0C.3x-4y-16=0 D.3x+4y-8=0【解析】選A.因?yàn)閮芍本€(xiàn)垂直,直線(xiàn)3x-4y+6=0的斜率為QUOTE,所以所求直線(xiàn)的斜率k=-QUOTE,則直線(xiàn)方程為y-(-1)=-QUOTE(x-4),化簡(jiǎn)得4x+3y-13=0.3.已知點(diǎn)AQUOTE,BQUOTE,直線(xiàn)l的方程為kx-y-k+1=0,且與線(xiàn)段AB相交,則直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍為 ()A.QUOTE∪QUOTEB.QUOTE∪QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選A.直線(xiàn)l:kx-y-k+1=0整理為kQUOTE-QUOTE=0即可知道直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)PQUOTE,作出直線(xiàn)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圖象如圖:因?yàn)锳(2,-3),B(-3,-2),P(1,1),所以kPA=QUOTE=-4,kPB=QUOTE=QUOTE,要使直線(xiàn)l與線(xiàn)段AB相交,則直線(xiàn)l的斜率k滿(mǎn)意kPB≤k或k≤kPA,所以k≤-4或k≥QUOTE即直線(xiàn)l的斜率的取值范圍是(-∞,-4]∪QUOTE.4.將一張坐標(biāo)紙折疊一次,使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合,點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m,n)重合,則m+n等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由題意可知,紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)連線(xiàn)的中垂線(xiàn),即直線(xiàn)y=2x-3,它也是點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m,n)連線(xiàn)的中垂線(xiàn),于是QUOTE解得QUOTE故m+n=QUOTE.5.已知直線(xiàn)p:3x-2y+1=0,直線(xiàn)q:ax+(b-1)y=0,且p∥q,若a,b均為正數(shù),則QUOTE+QUOTE的最小值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.8 D.24【解析】選A.因?yàn)橹本€(xiàn)p:3x-2y+1=0,直線(xiàn)q:ax+(b-1)y=0,且p∥q,所以2a=3(1-b),即QUOTE+b=1,因?yàn)閍,b均為正數(shù),所以QUOTE+QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE+3=QUOTE+QUOTE≥QUOTE+2QUOTE=QUOTE+4=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即a=b=QUOTE時(shí)取等號(hào),所以QUOTE+QUOTE的最小值為QUOTE.6.已知P1QUOTE與P2QUOTE是直線(xiàn)y=kx+1(k為常數(shù))上兩個(gè)不同的點(diǎn),則關(guān)于x和y的方程組QUOTE的解的狀況是 ()A.無(wú)論k,P1,P2如何,總是無(wú)解B.無(wú)論k,P1,P2如何,總有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有兩解D.存在k,P1,P2,使之有無(wú)窮多解【解析】選B.由題意,點(diǎn)P1QUOTE與P2QUOTE是直線(xiàn)y=kx+1(k為常數(shù))上兩個(gè)不同的點(diǎn),直線(xiàn)y=kx+1的斜率存在,所以k=QUOTE,即a1≠a2,且b1=ka1+1,b2=ka2+1,所以a2b1-a1b2=ka1a2-ka1a2+a2-a1=a2-a1,由方程組QUOTE(1)×b2-(2)×b1可得:(a1b2-a2b1)x=b2-b1,即(a1-a2)x=b2-b1,所以方程組有唯一的解.7.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),過(guò)定點(diǎn)P的直線(xiàn)l:ax+y-1=0與過(guò)定點(diǎn)Q的直線(xiàn)m:x-ay+3=0相交于點(diǎn)M,則|MP|2+|MQ|2= ()A.QUOTE B.QUOTE C.5 D.10【解析】選D.由題意知P(0,1),Q(-3,0),因?yàn)檫^(guò)定點(diǎn)P的直線(xiàn)ax+y-1=0與過(guò)定點(diǎn)Q的直線(xiàn)x-ay+3=0垂直,所以MP⊥MQ,所以|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=9+1=10.二、填空題(每小題5分,共15分)8.已知A,B兩點(diǎn)分別在兩條相互垂直的直線(xiàn)2x-y=0和x+ay=5上,且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為PQUOTE,則QUOTE=.

【解析】由于直線(xiàn)2x-y=0與直線(xiàn)x+ay=5垂直,則2-a=0,解得a=2,聯(lián)立QUOTE解得QUOTE所以,直線(xiàn)2x-y=0與直線(xiàn)x+2y=5交于點(diǎn)CQUOTE,由直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)度等于斜邊的長(zhǎng)度的一半,且AC⊥BC,所以QUOTE=2QUOTE=2QUOTE=2QUOTE.答案:2QUOTE9.已知直線(xiàn)l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4.當(dāng)m=時(shí),這三條直線(xiàn)無(wú)法圍成三角形.

【解析】當(dāng)三條直線(xiàn)中的任兩條平行,或三條直線(xiàn)交于一點(diǎn)時(shí),三條直線(xiàn)無(wú)法圍成三角形,當(dāng)l1∥l2時(shí),QUOTE=QUOTE?m=4,當(dāng)l1∥l3時(shí),QUOTE=QUOTE?m=-QUOTE,當(dāng)l2∥l3時(shí),QUOTE=QUOTE,無(wú)解,當(dāng)三條直線(xiàn)交于一點(diǎn)時(shí),QUOTE解得:x=QUOTE,y=QUOTE,將點(diǎn)QUOTE代入直線(xiàn)l3:2x-3my=4,整理為3m2+m-2=0,解得m=-1或m=QUOTE.綜上可知:m=4,-QUOTE,-1,QUOTE.答案:4,-QUOTE,-1,QUOTE10.已知坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l1:x-y+1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A,設(shè)直線(xiàn)l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,則當(dāng)點(diǎn)B(2,-1)到直線(xiàn)l2的距離最大時(shí),直線(xiàn)l2的方程為.

【解析】設(shè)A(x0,y0),依題意可得QUOTE解得QUOTE即A(-1,1).設(shè)點(diǎn)B(2,-1)到直線(xiàn)l2的距離為d,當(dāng)d=|AB|時(shí)取得最大值,此時(shí)直線(xiàn)l2垂直于直線(xiàn)AB,又-QUOTE=QUOTE,所以直線(xiàn)l2的方程為y-1=QUOTE(x+1),即3x-2y+5=0.答案:3x-2y+5=0【一題多解】作出直線(xiàn)y=x+1,原點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=x+1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A(-1,1),連接AB兩點(diǎn),過(guò)A作AB的垂線(xiàn),就是直線(xiàn)l2,所以直線(xiàn)l2的方程為3x-2y+5=0.答案:3x-2y+5=01.(5分)若a,b為正實(shí)數(shù),直線(xiàn)2x+(2a-3)y+2=0與直線(xiàn)bx+2y-1=0相互垂直,則ab的最大值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由直線(xiàn)2x+(2a-3)y+2=0與直線(xiàn)bx+2y-1=0相互垂直,所以2b+2(2a-3)=0,即2a+b=3,又a,b為正實(shí)數(shù),所以2a+b≥2QUOTE,即2ab≤QUOTE=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)a=QUOTE,b=QUOTE時(shí)取“=”,所以ab的最大值為QUOTE.2.(5分)“a=QUOTE”是“直線(xiàn)(a+1)x+3ay+1=0與直線(xiàn)(a-1)x+(a+1)y-3=0相互垂直”的 ()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.由于直線(xiàn)(a+1)x+3ay+1=0與直線(xiàn)(a-1)x+(a+1)y-3=0,當(dāng)a=0時(shí),分別化為:x+1=0,-x+y-3=0,此時(shí)兩條直線(xiàn)不垂直,舍去;當(dāng)a=-1時(shí),分別化為:-3y+1=0,-2x-3=0,此時(shí)兩條直線(xiàn)相互垂直,因此a=-1滿(mǎn)意條件;當(dāng)a≠-1,0時(shí),兩條直線(xiàn)的斜率分別為:-QUOTE,QUOTE,由于兩條直線(xiàn)垂直,可得-QUOTE×QUOTE=-1,解得a=QUOTE或-1(舍去).綜上可得:兩條直線(xiàn)相互垂直的充要條件為:a=QUOTE或-1.所以“a=QUOTE”是“直線(xiàn)(a+1)x+3ay+1=0與直線(xiàn)(a-1)x+(a+1)y-3=0相互垂直”的充分而不必要條件.3.(5分)已知直線(xiàn)l1:y=x·sinα和直線(xiàn)l2:y=2x+c,則直線(xiàn)l1與l2 ()A.通過(guò)平移可以重合B.不行能垂直C.可能與x軸圍成等腰直角三角形D.通過(guò)繞l1上某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以重合【解析】選D.依據(jù)題意,由于直線(xiàn)l1:y=sinα·x和直線(xiàn)l2:y=2x+c,因?yàn)閟inα∈[-1,1],所以不存在α,使得sinα=2,故A錯(cuò)誤;當(dāng)sinα×2=-1,即sinα=-QUOTE時(shí),l1⊥l2,故B錯(cuò)誤;由于QUOTE=2>0,x軸所在直線(xiàn)方程為y=0,要使l1,l2與x軸圍成等腰直角三角形,則必有l(wèi)1⊥l2,所以l1:y=-QUOTEx,但此時(shí)圍成的三角形不是等腰三角形,僅為直角三角形,故C錯(cuò)誤.由于l1,l2斜率不相等,所以l1,l2相交,當(dāng)l2繞l1,l2的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)可以與l1重合,故D正確.【加練備選·拔高】坐標(biāo)原點(diǎn)OQUOTE在動(dòng)直線(xiàn)m(x-2)+n(y-2)=0上的投影為點(diǎn)P,若點(diǎn)Q(-1,-1),那么QUOTE的取值范圍為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因?yàn)閯?dòng)直線(xiàn)mQUOTE+n(y-2)=0過(guò)定點(diǎn)M(2,2),點(diǎn)OQUOTE在動(dòng)直線(xiàn)m(x-2)+nQUOTE=0上的投影為點(diǎn)P,所以∠OPM=90°,則P在以O(shè)M為直徑的圓上,所以此圓的圓心A坐標(biāo)為QUOTE,即A(1,1),半徑r=QUOTEOM=QUOTE,又QQUOTE,所以|AQ|=2QUOTE>QUOTE,則點(diǎn)Q在圓外,所以QUOTE的取值范圍為QUOTE.4.(10分)已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)直線(xiàn)2x+y-5=0與x-2y=0的交點(diǎn).(1)點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3,求l的方程.(2)求點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值.【解析】(1)經(jīng)過(guò)兩條已知直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0.所以QUOTE=3.即2λ2-5λ+2=0,所以λ=2或QUOTE.所以l的方程為x=2或4x-3y-5=0.(2)由QUOTE解得交點(diǎn)P(2,1),如圖,過(guò)P作任始終線(xiàn)l,設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離,則d≤|PA|(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立).(其余距離d與PA構(gòu)成直角三角形,PA為它們的斜邊),所以dmax=|PA|=QUOTE.5.(10分)已知兩直線(xiàn)l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.試確定m,n的值,使(1)l1與l2相交于點(diǎn)P(m,-1);(2)l1∥l2;(3)l1⊥l2,且l1在y軸上的截距為-1.【解析】(1)由題意得QUOTE,解得m=1,n=7.(2)當(dāng)m=0時(shí),明顯l1不平行于l2;當(dāng)m≠0時(shí),由QUOTE=QUOTE≠Q(mào)UOTE,得QUOTE所以QUOTE或QUOTE即m=4,n≠-2或m=-4,n≠2時(shí),l1∥l2.(3)當(dāng)且僅當(dāng)m·2+8·m=0,即m=0時(shí),l1⊥l2.又-QUOTE=-1,所以n=8.即m=0,n=8時(shí),l1⊥l2,且l1在y軸上的截距為-1.【加練備選·拔高】1.已知直線(xiàn)l1:ax+2y+6=0,直線(xiàn)l2:x+QUOTEy+a2-1=0.(1)求a為何值時(shí),l1∥l2;(2)求a為何值時(shí),l1⊥l2.【解析】(1)因?yàn)橐筶1∥l2,所以QUOTE解得a=-1或a=2(舍去),所以當(dāng)a=-1時(shí),l1∥l2.(2)因?yàn)橐筶1⊥l2,所以a·1+2·QUOTE=0,解得a=QUOTE,所以當(dāng)a=QUOTE時(shí),l1⊥l2.2.已知平面內(nèi)兩點(diǎn)M(4,-2),N(2,4).(1)求MN的垂直平分線(xiàn)方程;(2)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)