山東專用2025屆高考數學二輪專題闖關導練四熱點問題專練熱點十四新定義新背景新情境含解析

PAGE熱點(十四)新定義，新背景，新情境1．定義集合A，B的一種運算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，則A*B＝()A．{1,2,3,4,5}B．{2,3,4,5}C．{2,3,4}D．{1,3,4,5}2．規(guī)定記號“⊙”表示一種運算，定義a⊙b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b為正實數)，若1⊙k2<3，則k的取值范圍是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)D．(0,2)3．設數列{an}的前n項和為Sn，若eq\f(Sn,S2n)為常數，則稱數列{an}為“祥瑞數列”．已知等差數列{bn}的首項為1，公差不為0，若數列{bn}為“祥瑞數列”，則數列{bn}的通項公式為()A．bn＝n－1B．bn＝2n－1C．bn＝n＋1D．bn＝2n＋14．2024年東京夏季奧運會將設置4×100米男女混合泳接力這一新的競賽項目，競賽的規(guī)則是：每個參賽國家派出2男2女共計4名運動員競賽，依據仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力依次，每種泳姿100米且由一名運動員完成，每個運動員都要出場．現在中國隊確定了備戰(zhàn)該項目的4名運動員名單，其中女運動員甲只能擔當仰泳或者自由泳，男運動員乙只能擔當蝶泳或自由泳，剩下的男女各一名運動員則四種泳姿都可以上，那么中國隊的布陣方式共有()A．6種B．12種C．24種D．144種5．定義一種運算：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc.已知函數f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinxsin\f(π,3),cosxcos\f(π,3)))，為了得到函數y＝sinx的圖象，只須要把函數y＝f(x)的圖象上全部的點()A．向左平移eq\f(π,3)個單位長度B．向右平移eq\f(π,3)個單位長度C．向上平移eq\f(π,3)個單位長度D．向下平移eq\f(π,3)個單位長度6．[2024·湖南長郡中學模擬]已知向量a與b的夾角為θ，定義a×b為a與b的向量積，且a×b是一個向量，它的模|a×b|＝|a||b|sinθ.若u＝(2,0)，u－v＝(1，－eq\r(3))，則|u×(u＋v)|＝()A．4eq\r(3)B.eq\r(3)C．6D．2eq\r(3)7．定義eq\f(n,\i\su(i＝1,n,u)i)為n個正數u1，u2，u3，…，un的“歡樂數”．若已知數列{an}的前n項的“歡樂數”為eq\f(1,3n＋1)，則數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(36,an＋2an＋1＋2)))的前2019項和為()A.eq\f(2018,2019)B.eq\f(2019,2020)C.eq\f(2019,2018)D.eq\f(2019,1010)8．定義一種運算：(a1，a2)?(a3，a4)＝a1a4－a2a3，將函數f(x)＝(eq\r(3)，2sinx)?(cosx，cos2x)的圖象向左平移n(n>0)個單位長度，所得圖象對應的函數為偶函數，則n的最小值為()A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,4)C.eq\f(5π,12)D.eq\f(π,3)9．(多選題)設函數f(x)的定義域為D，假如對隨意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，則稱函數f(x)為“H函數”．下列為“H函數”的是()A．y＝sinxcosxB．y＝lnx＋exC．y＝2xD．y＝x2－2x10．(多選題)若函數y＝f(x)的圖象上存在不同的兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線的斜率之和等于常數t，則稱函數y＝f(x)為“t函數”．下列函數中可以稱為“2函數”的是()A．y＝x－x3B．y＝x＋exC．y＝xlnxD．y＝x＋cosx11．(多選題)已知單位向量i，j，k兩兩的夾角均為θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜π，且θ≠\f(π,2)))，若空間向量a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，則有序實數組(x，y，z)稱為向量a在“仿射”坐標系O-xyz(O為坐標原點)下的“仿射”坐標，記作a＝(x，y，z)θ，則下列命題正確的是()A．已知a＝(1,3，－2)θ，b＝(4,0,2)θ，則a·b＝0B．已知a＝，b＝，其中x，y，z均為正數，則當且僅當x＝y時，向量a，b的夾角取得最小值C．已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θD．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(0,0,1)，則三棱錐O-ABC的表面積S＝eq\r(2)12．(多選題)[2024·新高考Ⅰ卷]信息熵是信息論中的一個重要概念．設隨機變量X全部可能的取值為1,2，…，n，且P(X＝i)＝pi>0(i＝1,2，…，n)，eq\i\su(i＝1,n,p)i＝1，定義X的信息熵H(X)＝－eq\i\su(i＝1,n,p)ilog2pi.()A．若n＝1，則H(X)＝0B．若n＝2，則H(X)隨著p1的增大而增大C．若pi＝eq\f(1,n)(i＝1,2，…，n)，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n＝2m，隨機變量Y全部可能的取值為1,2，…，m，且P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)，則H(X)≤H(13．甲、乙兩人玩猜數字嬉戲，先由甲心中想一個數字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數字，把乙猜的數字記為b，其中a，b∈{1,2,3,4,5}，若|a－b|≤1，就稱甲、乙“心有靈犀”．現隨意找兩人玩這個嬉戲，則他們“心有靈犀”的概率為________．14．已知函數f(x)的圖象在點(x0，f(x0))處的切線為l：y＝g(x)，若函數f(x)滿意?x∈I(其中I為函數f(x)的定義域)，當x≠x0時，[f(x)－g(x)](x－x0)＞0恒成立，則稱x0為函數f(x)的“轉折點”．已知函數f(x)＝ex－eq\f(1,2)ax2－2x在區(qū)間[0,1]上存在一個“轉折點”，則a的取值范圍是________．15．高斯是德國聞名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數”為：設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數，則y＝[x]稱為高斯函數．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函數f(x)＝eq\f(2x＋3,1＋2x＋1)，則函數y＝[f(x)]的值域為________．16．在實數集R中定義一種運算“*”，具有如下性質：(1)對隨意a，b∈R，a*b＝b*a；(2)對隨意a∈R，a*0＝a；(3)對隨意a，b∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－5c則對于函數f(x)＝x*eq\f(1,x)(x＞0)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝____________，函數f(x)的最小值為____________．熱點(十四)新定義，新背景，新情境1．答案：B解析：當x1＝1時，x2可以取1或2，則x1＋x2＝2或3；當x1＝2時，x2可以取1或2，則x1＋x2＝3或4；當x1＝3時，x2可以取1或2，則x1＋x2＝4或5.∴A*B＝{2,3,4,5}．故選B.2．答案：A解析：因為定義a⊙b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b為正實數)，1⊙k2<3，所以eq\r(k2)＋1＋k2<3，化為(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，所以－1<k<1.故選A.3．答案：B解析：設等差數列{bn}的公差為d(d≠0)，eq\f(Sn,S2n)＝k，因為b1＝1，則n＋eq\f(1,2)n(n－1)d＝keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,2)×2n2n－1d))，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因為對隨意的正整數n上式均成立，所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，解得d＝2，k＝eq\f(1,4).所以數列{bn}的通項公式為bn＝2n－1.故選B.4．答案：A解析：依據題意，若甲選擇仰泳，乙可以選擇蝶泳或自由泳，剩余兩人隨意選擇剩下的兩種泳姿，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝2×2＝4種選法，若甲選擇自由泳，則乙只能選擇蝶泳，剩余兩人隨意選擇剩下兩種泳姿，有Aeq\o\al(2,2)＝2種選法，因此一共有4＋2＝6種選法，故選A.5．答案：A解析：由題設知，f(x)＝sinxcoseq\f(π,3)－cosxsineq\f(π,3)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，所以為了得到函數y＝sinx的圖象，只須要把函數f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的圖象上全部的點向左平移eq\f(π,3)個單位長度．故選A.6．答案：D解析：通解易知v＝(1，eq\r(3))，u＋v＝(3，eq\r(3))，設向量u與u＋v的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(\r(3),2)，所以sinθ＝eq\f(1,2)，又|u＋v|＝2eq\r(3)，|u|＝2，所以|u×(u＋v)|＝2×2eq\r(3)×eq\f(1,2)＝2eq\r(3).優(yōu)解設向量u與u＋v的夾角為θ，因為u＋v＝(3，eq\r(3))，|u＋v|＝2eq\r(3)，|u|＝2，所以|u×(u＋v)|＝|u||u＋v|sinθ＝|u||u＋v|·eq\r(1－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(u·u＋v,|u||u＋v|)))2)＝eq\r(|u|2|u＋v|2－[u·u＋v]2)＝eq\r(4×12－36)＝2eq\r(3).故選D.7．答案：B解析：由題意得數列{an}的前n項和Sn＝eq\f(n,\f(1,3n＋1))＝3n2＋n，易知an＝6n－2.于是，eq\f(36,an＋2an＋1＋2)＝eq\f(36,6n×6n＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，故數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(36,an＋2an＋1＋2)))的前2019項和為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2019)－\f(1,2020)))＝1－eq\f(1,2020)＝eq\f(2019,2020).故選B.8．答案：C解析：由新運算可知f(x)＝eq\r(3)cos2x－sin2x＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以將函數f(x)的圖象向左平移eq\f(5π,12)個單位長度后，得到函數y＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,12)))＋\f(π,6)))的圖象，即y＝－2cos2x的圖象，明顯該函數為偶函數．經檢驗知選項A，B，D錯誤，選C.9．答案：AB解析：由題意，得“H函數”的值域關于原點對稱．A中，y＝sinxcosx＝eq\f(1,2)sin2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，其值域關于原點對稱，故A是“H函數”；B中，函數y＝lnx＋ex的值域為R，故B是“H函數”；C中，因為y＝2x＞0，故C不是“H函數”；D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不關于原點對稱，故D不是“H函數”．綜上所述，A，B是“H函數”，故選AB.10．答案：CD解析：設切點的橫坐標分別為x1，x2，對于A，y′＝1－3x2，所以兩條切線的斜率之和為2－3(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))，由于x1，x2不能同時為零，所以2－3(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))＜2，不符合題意；對于B，y′＝1＋ex，所以兩條切線的斜率之和為2＋＋＞2，不符合題意；對于C，y′＝lnx＋1，所以兩條切線的斜率之和為2＋lnx1＋lnx2＝2＋ln(x1x2)，當x1，x2互為倒數時，兩切線的斜率之和為2，符合題意；對于D，y′＝1－sinx，所以兩條切線的斜率之和為2－sinx1－sinx2，當sinx1＋sinx2＝0，即x1＝2kπ－x2或x1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,2)))π＋x2(k∈Z)時，兩條切線的斜率之和為2，符合題意．綜上所述，故選CD.11．答案：BC解析：對于A，由題可知a·b＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4i2＋12i·j－8i·k＋2i·k＋6j·k－4k2＝4＋12cosθ－6cosθ＋6cosθ－4＝12cosθ.由于θ≠eq\f(π,2)，所以a·b≠0，故該命題不正確；對于B，由題可知a＝xi＋yj，b＝zk，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)x＋yz,\r(x2＋y2＋xy)·z)＝eq\f(1,2)eq\r(1＋\f(xy,x2＋y2＋xy))，由基本不等式可知當且僅當x＝y時，cos〈a，b〉取最大值，即兩向量夾角取得最小值，故該命題正確；對于C，由題可知a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故該命題正確；對于D，由題可知三棱錐O-ABC是棱長為1的正四面體，其表面積S＝4×eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，故該命題不正確．綜上，故選BC.12．答案：AC解析：對于選項A，若n＝1，則p1＝1，log21＝0，∴H(X)＝－p1log2p1＝－log21＝0，A正確；對于選項B，當p1＝eq\f(1,4)時，H(X)＝－eq\i\su(i＝1,n,p)ilog2pi＝－(p1log2p1＋p2log2p2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)log2\f(1,4)＋\f(3,4)log2\f(3,4)))，當p1＝eq\f(3,4)時，H(X)＝－eq\i\su(i＝1,n,p)ilog2pi＝－(p1log2p1＋p2log2p2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)log2\f(3,4)＋\f(1,4)log2\f(1,4)))，由此可得，當p1＝eq\f(1,4)與p1＝eq\f(3,4)時，信息熵相等，∴B錯誤；對于選項C，若pi＝eq\f(1,n)，則H(X)＝－eq\i\su(i＝1,n,p)ilog2pi＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)log2\f(1,n)＋…＋\f(1,n)log2\f(1,n)))＝n×eq\f(log2n,n)＝log2n，∴H(X)隨著n的增大而增大，C正確；對于選項D，若n＝2m，隨機變量Y的可能取值為1,2，…，m，由P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)知，P(Y＝1)＝p1＋p2m；P(Y＝2)＝p2＋p2m－1；P(Y＝3)＝p3＋p2m－2；…；P(Y＝m)＝pm＋pm＋1.H(X)＝－[(p1log2p1＋p2mlog2p2m)＋(p2log2p2＋p2m－1log2p2m－1)＋…＋(pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1)]，H(Y)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋(p2＋p2m－1)log2(p2＋p2m－1)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)]，H(Y)－H(X)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)]＋p1log2p1＋p2mlog2p2m＋…＋pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1＝p1·log2eq\f(p1,p1＋p2m)＋…＋p2m·log2eq\f(p2m,p1＋p2m).易知0<eq\f(p1,p1＋p2m)<1，…，0<eq\f(p2m,p1＋p2m)<1，∴l(xiāng)og2eq\f(p1,p1＋p2m)<0，…，log2eq\f(p2m,p1＋p2m)<0，∴H(Y)<H(X)，故D錯誤．13．答案：eq\f(13,25)解析：隨意兩人猜數字時互不影響，故各有5種可能，故基本領件有