海南省部分學(xué)校2024屆高三考前押題考試（三模）數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

數(shù)學(xué)注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（共40分）1.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和交集的定義可得【詳解】，故選:C2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因為，所以，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為位于第二象限．故選：B.3.樣本數(shù)據(jù)45，50，51，53，53，57，60的下四分位數(shù)為（）A.50 B.53 C.57 D.45【答案】A【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的概念即可求解.【詳解】由這組數(shù)據(jù)共7個，則，所以這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為第2個數(shù)據(jù)50.故選：A．4.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則（）A.33 B.44 C.66 D.88【答案】B【解析】【分析】將用和表示，計算出的值，再由得的值.【詳解】依題意，是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，由，所以，即，故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，則，根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，結(jié)合二倍角的余弦公式計算即可求解.【詳解】設(shè)，則，，所以，所以.故選：C．6.展開式中的系數(shù)為（）A. B.5 C.15 D.35【答案】A【解析】【分析】由分類、分步計數(shù)原理結(jié)合組合數(shù)即可運(yùn)算求解.【詳解】若要產(chǎn)生這一項，則當(dāng)在中取1時，再在中取2個、取4個1，當(dāng)在中取時，再在中取3個、取3個1，所以展開式中的系數(shù)為.故選：A.7.已知，則這三個數(shù)的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，結(jié)合，可得答案.【詳解】令，令得，令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，且，則，即.故選：C.8.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，動直線l與拋物線C交于異于原點(diǎn)O的A，B兩點(diǎn)，以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，若點(diǎn)（），則當(dāng)取最大值時，（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由拋物線的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程，然后分別過A、B、M向準(zhǔn)線作垂線，取最大值即直線AB過焦點(diǎn)時，再結(jié)合點(diǎn)差法代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題可知焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為，即為OP中點(diǎn)，則，．分別過A、B、M向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，，，如圖所示．則，當(dāng)直線AB過焦點(diǎn)時取等號，此時．設(shè)、，直線AB的斜率為k，由，兩式相減，得，所以，即，得，所以，又，所以．故選：B．二、多選題（共18分）9.已知直線，平面，則下列說法錯誤的是（）A.，則B.，則C.，則D.，則【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)線面之間的基本關(guān)系判斷A，根據(jù)面面平行的判定定理判斷BCD.【詳解】選項A中，可能在內(nèi)，也可能與平行，故A錯誤；選項B中，與也可能相交，故B錯誤；選項C中，與也可能相交，故C錯誤；選項D中，依據(jù)面面平行的判定定理可知，故D正確．故選：ABC．10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B.C.為偶函數(shù) D.在區(qū)間的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】先由正弦展開式，五點(diǎn)法結(jié)合圖象求出，可得A正確，B錯誤；由誘導(dǎo)公式可得C正確；整體代入由正弦函數(shù)的值域可得D正確.【詳解】由題意得，由圖象可得，又，所以，由五點(diǎn)法可得，所以.A：由以上解析可得，故A正確；B：由以上解析可得，故B錯誤；C：，故C正確；D：當(dāng)時，，所以最小值為，故D正確；故選：ACD.11.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），且，若，則下列結(jié)論正確的是（）A.雙曲線的離心率為B.雙曲線的漸近線方程為C.D.若點(diǎn)是雙曲線上異于的任意一點(diǎn)，則【答案】AD【解析】【分析】連接，根據(jù)對稱性可知且，由雙曲線的定義及求出，，再由，將兩邊平方，由數(shù)量積的運(yùn)算律得到，即可求出離心率，從而求出漸近線方程，即可判斷A、B、C，再由點(diǎn)差法求出，即可判斷D.【詳解】如圖，連接，由雙曲線定義可知，，由題意得關(guān)于原點(diǎn)對稱，故且，即四邊形為平行四邊形，因為，又所以，，由，所以，由，得，即有，所以，所以離心率，故A正確；又，所以，所以漸近線方程為，，故B、C錯誤，設(shè)點(diǎn)，因為是直線與雙曲線的交點(diǎn)，根據(jù)對稱性可得，所以.又點(diǎn)在雙曲線上，代入可得，兩式相減可得，所以，故D正確.故選：AD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（共15分）12.已知向量，，則向量在向量上的投影為______________.【答案】##【解析】【詳解】因為，，所以，所以向量在向量上的投影為.故答案為：.13.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用給定的區(qū)間的單調(diào)性列出不等式，構(gòu)造函數(shù)并求出最小值即得.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由在上單調(diào)遞減，得，，即，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則，解得，所以的取值范圍是.故答案為：14.若將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個三棱錐，八個頂點(diǎn)共截去八個三棱錐，可得到一個有十四個面的多面體.它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，如圖所示，已知該多面體過A，B，C三點(diǎn)的截面面積為，則其棱切球（球與各棱相切）的表面積為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，外接球的半徑為，根據(jù)該幾何體的對稱性可知該幾何體的棱切球即為底面棱長為2，側(cè)棱長為的正四棱柱的棱切球，利用勾股定理求解半徑，即可由球的表面積公式即可求解．【詳解】設(shè)，外接球的半徑為，該多面體是由棱長為的正方體沿正方體各棱的中點(diǎn)截去8個三棱錐所得，如圖，過，，三點(diǎn)的截面為正六邊形，其面積，即，根據(jù)該幾何體的對稱性可知該幾何體的棱切球即為底面棱長為2，側(cè)棱長為的正四棱柱的棱切球，故，即，故該多面體的棱切球的表面積為．故答案為：．四、解答題（共77分）15.在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，在下面三個條件中任選一個作為條件，解答下列問題，三個條件為：①；②；③.（1）求角A的大??；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理、三角恒等變換化簡計算即可求解；（2）由可得，由（1），根據(jù)余弦定理和三角形面積公式計算即可求解.【小問1詳解】若選①：，由正弦定理得，又，所以，又，所以，即，又，所以；若選②：，由正弦定理得，又，所以，即，又，所以；若選③：，，，即，又，所以，即，又，所以；【小問2詳解】由（1）知，，所以，即，又，所以，得，所以，解得，故.16.已如曲線在處的切線與直線垂直.（1）求的值；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)斜率關(guān)系，即可求導(dǎo)求解，（2）求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值求解.【小問1詳解】由于的斜率為，所以，又,故，解得，【小問2詳解】由（1）知，所以，故當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范圍為17.如圖，平面，∥，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接.（1）證明：∥平面；（2）求與平面所成角正弦值.【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)平行關(guān)系可得∥，結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；（2）建系，求平面的法向量，利用空間向量求線面角.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因為分別為的中點(diǎn)，則∥，且，由題意可知：∥，且，則∥，且，可知四邊形為平行四邊形，可得∥，且平面，平面，所以∥平面【小問2詳解】因為平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸所在直線，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，因為，所以與平面所成角正弦值為.18.已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn).（1）求C的方程；（2）設(shè)過C的左焦點(diǎn)且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率公式可得，將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，結(jié)合的關(guān)系，即可得答案；（2）依題意求出過C的左焦點(diǎn)且斜率為的直線方程，求出弦長，設(shè)P到的距離為，根據(jù)，即得答案.【小問1詳解】設(shè)的半焦距為，則.故.將代入C的方程有，故，，.所以C的方程為.【小問2詳解】由（1）可知的左焦點(diǎn)為.故過左焦點(diǎn)且斜率為的直線為：.將與的方程聯(lián)立，有.設(shè)，，則不妨取，.故.且P到的距離.所以面積為.19.在信息理論中，和是兩個取值相同的離散型隨機(jī)變量，分布列分別為：，，，，，．定義隨機(jī)變量的信息量，和的“距離”．（1）若，求；（2）已知發(fā)報臺發(fā)出信號為0和1，接收臺收到信號只有0和1．現(xiàn)發(fā)報臺發(fā)出信號為0的概率為，由于通信信號受到干擾，發(fā)出信號0接收臺收到信號為0的概率為，發(fā)出信號1接收臺收到信號為1的概率為．（?。┤艚邮张_收到信號為0，求發(fā)報臺發(fā)出信號為0的概率；（用，表示結(jié)果）（ⅱ）記隨機(jī)變量和分別為發(fā)出信號和收到信號，證明：．【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（1）首先得到的分布列，再根據(jù)所給定義求出；（2）（?。┯洶l(fā)出信號和分別為事件，收到信號和分別為事件，根據(jù)全概率公式求出，再由條件概率公式求出；（ⅱ）結(jié)合（?。┘八o定義表示出，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)