人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊學(xué)案2：6 2 3-6 2 4 第1課時 組合及組合數(shù)的定義

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE16.2.3~6.2.4第1課時組合及組合數(shù)的定義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解組合的定義，正確認(rèn)識組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系.2.會用組合知識解決一些簡單的組合問題．知識梳理知識點一組合及組合數(shù)的定義1．組合一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．2．組合數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示．知識點二排列與組合的關(guān)系相同點兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素不同點排列問題中元素有序，組合問題中元素?zé)o序關(guān)系組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)與排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)間存在的關(guān)系A(chǔ)eq\o\al(m,n)＝講練互動探究點1組合的概念例1判斷下列問題是排列問題，還是組合問題．(1)從1，2，3，…，9九個數(shù)字中任取3個，組成一個三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有多少個？(2)從1，2，3，…，9九個數(shù)字中任取3個，然后把這三個數(shù)字相加得到一個和，這樣的和共有多少個？(3)從a，b，c，d四名學(xué)生中選2名去完成同一件工作，有多少種不同的選法？(4)5個人規(guī)定相互通話一次，共通了多少次電話？(5)5個人相互各寫一封信，共寫了多少封信？方法歸納判斷一個問題是否是組合問題的方法技巧區(qū)分排列與組合的關(guān)鍵是看結(jié)果是否與元素的順序有關(guān)，若交換某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，而交換任意兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題，也就是說排列問題與選取元素的順序有關(guān)，組合問題與選取元素的順序無關(guān)．由此可知，定序問題屬于組合，即排列時，如果限定某些元素保持規(guī)定的順序，則定序的這n個元素屬于組合問題．跟蹤訓(xùn)練1在下列問題中，哪些是組合問題？哪些是排列問題？(1)從a，b，c，d四名學(xué)生中選出2名學(xué)生完成兩件不同的工作，有多少種不同的選法？(2)a，b，c，d四支足球隊之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需賽多少場？(3)a，b，c，d四支足球隊爭奪冠亞軍，有多少種不同的結(jié)果？探究點2簡單的組合問題例2在一次數(shù)學(xué)競賽中，某學(xué)校有12人通過了初試，學(xué)校要從中選出5人參加市級培訓(xùn)．在下列條件下，有多少種不同的選法？(1)任意選5人；(2)甲、乙、丙三人必需參加；(3)甲、乙、丙三人不能參加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加．方法歸納解簡單的組合應(yīng)用題時，要先判斷它是不是組合問題，只有當(dāng)該問題能構(gòu)成組合模型時，才能運用組合數(shù)公式求解．解題時還應(yīng)注意兩個計數(shù)原理的運用，在分類和分步時，應(yīng)注意有無重復(fù)或遺漏．跟蹤訓(xùn)練2現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名．(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？(2)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？探究點3簡單的組合問題例3在一次數(shù)學(xué)競賽中，某學(xué)校有12人通過了初試，學(xué)校要從中選出5人去參加市級培訓(xùn)，在下列條件中，有多少種不同的選法？(1)任意選5人；(2)甲、乙、丙三人必須參加；(3)甲、乙、丙三人不能參加．方法歸納解答簡單的組合問題的思考方法(1)弄清要做的這件事是什么事；(2)選出的元素是否與順序有關(guān)，也就是看看是不是組合問題；(3)結(jié)合兩計數(shù)原理利用組合數(shù)公式求出結(jié)果.跟蹤訓(xùn)練3一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和1個黑球．(1)從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？(2)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？(3)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？課堂小結(jié)1．知識清單：(1)組合與組合數(shù)的定義．(2)排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系．(3)用列舉法寫組合．2．方法歸納：枚舉法．3．常見誤區(qū)：分不清“排列”還是“組合”．隨堂練習(xí)1．某施工小組有男工7人，女工3人，現(xiàn)要選1名女工和2名男工去支援另一施工隊，則不同的選法有______種．2．某單位擬安排6位員工在今年6月4日至6日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位員工中的甲不值4日，乙不值6日，則不同的安排方法共有______種．3．有4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的藍(lán)色卡片，從這8張卡片中取出4張排成一行．如果取出的4張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有________種．4．車間有11名工人，其中5名是鉗工，4名是車工，另外2名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工，現(xiàn)要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機(jī)床，問有多少種選派方法？▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁知識梳理知識點一組合及組合數(shù)的定義1．組合作為一組2．組合數(shù)所有不同組合的個數(shù)Ceq\o\al(m,n)知識點二排列與組合的關(guān)系相同點不同點關(guān)系Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m)講練互動探究點1組合的概念例1解：(1)當(dāng)取出3個數(shù)字后，如果改變?nèi)齻€數(shù)字的順序，會得到不同的三位數(shù)，此問題不但與取出元素有關(guān)，而且與元素的安排順序有關(guān)，是排列問題．(2)取出3個數(shù)字之后，無論怎樣改變這三個數(shù)字之間的順序，其和均不變，此問題只與取出元素有關(guān)，而與元素的安排順序無關(guān)，是組合問題．(3)2名學(xué)生完成的是同一件工作，沒有順序，是組合問題．(4)甲與乙通一次電話，也就是乙與甲通一次電話，無順序區(qū)別，為組合問題．(5)發(fā)信人與收信人是有區(qū)別的，是排列問題．跟蹤訓(xùn)練1解：(1)2名學(xué)生完成兩件不同的工作，有順序，是排列問題．(2)單循環(huán)比賽要求每兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題．(3)爭奪冠亞軍是有順序的，是排列問題．探究點2簡單的組合問題例2解：(1)從中任取5人是組合問題，共有Ceq\o\al(5,12)＝792種不同的選法．(2)甲、乙、丙三人必需參加，則只需要從另外9人中選2人，是組合問題，共有Ceq\o\al(2,9)＝36種不同的選法．(3)甲、乙、丙三人不能參加，則只需從另外的9人中選5人，共有Ceq\o\al(5,9)＝126種不同的選法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加，可分兩步：先從甲、乙、丙中選1人，有Ceq\o\al(1,3)＝3種選法；再從另外9人中選4人，有Ceq\o\al(4,9)種選法．共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,9)＝378種不同的選法．跟蹤訓(xùn)練2解：(1)從10名教師中選出2名去參加會議的選法數(shù)就是從10個不同的元素中取出2個元素的組合數(shù)，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45種．(2)從6名男教師中選2名，有Ceq\o\al(2,6)種選法，從4名女教師中選2名，有Ceq\o\al(2,4)種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有不同的選法Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)＝90種．探究點3簡單的組合問題例3解：(1)Ceq\o\al(5,12)＝792種不同的選法．(2)甲、乙、丙三人必須參加，只需從另外的9人中選2人，共有Ceq\o\al(2,9)＝36種不同的選法．(3)甲、乙、丙三人不能參加，只需從另外的9人中選5人，共有Ceq\o\al(5,9)＝126種不同的選法．跟蹤訓(xùn)練3解：(1)從口袋內(nèi)的8個球中取出3個球，取法種數(shù)是Ceq\o\al(3,8)＝eq\f(8×7×6,3×2×1)＝56．(2)從口袋內(nèi)取出3個球有1個是黑球，于是還要從7個白球中再取出2個，取法種數(shù)是Ceq\o\al(2,7)＝eq\f(7×6,2×1)＝21．(3)由于所取出的3個球中不含黑球，也就是要從7個白球中取出3個球，取法種數(shù)是Ceq\o\al(3,7)＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35．隨堂練習(xí)1．〖解析〗每個被選的人都無角色差異，是組合問題．分2步完成：第1步，選女工，有Ceq\o\al(1,3)種選法；第2步，選男工，有Ceq\o\al(2,7)種選法；故有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,7)＝63(種)不同選法．〖答案〗632．〖解析〗若甲在6日值班，在除乙外的4人中任選1人在6日值班有Ceq\o\al(1,4)種選法，然后4日、5日有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)種安排方法，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝24(種)安排方法；若甲在5日值班，乙在4日值班，余下的4人有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)＝12(種)安排方法；若甲、乙都在5日值班，則共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝6(種)安排方法．所以總共有24＋12＋6＝42(種)安排方法．〖答案〗423．〖解析〗分3類：第1類，當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4時，不同的排法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)種；第2類，當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,1,4,4時，不同的排法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)種；第3類，當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字2,2,3,3時，不同的排法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)種．故滿足題意的所有不同的排法共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝432(種)．〖答案〗4324．解：設(shè)A，B代表2名老師傅．A，B都不在內(nèi)的選派方法有Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(4,4)＝5(種)；A，B都在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(4,4)＝10(種)；A，B都在內(nèi)且當(dāng)車工的選派方法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(2,4)＝30(種)；A，B都在內(nèi)，一人當(dāng)鉗工，一人當(dāng)車工的選派方法有Ceq