2023-2024學(xué)年浙江省嘉興市重點(diǎn)名校高三4月質(zhì)量調(diào)研(二模)數(shù)學(xué)試題_第1頁(yè)
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2022-2023學(xué)年浙江省嘉興市重點(diǎn)名校高三4月質(zhì)量調(diào)研(二模)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)的直線與軸交于點(diǎn),線段與交于點(diǎn).若,則的方程為()A. B. C. D.2.拋物線方程為,一直線與拋物線交于兩點(diǎn),其弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則直線的方程為()A. B. C. D.3.若2m>2n>1,則()A. B.πm﹣n>1C.ln(m﹣n)>0 D.4.已知雙曲線C:()的左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn).若,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.5.在中,為邊上的中點(diǎn),且,則()A. B. C. D.6.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是且,若為最大邊,則的取值范圍是()A. B. C. D.7.已知函數(shù),關(guān)于x的方程f(x)=a存在四個(gè)不同實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(0,1)∪(1,e) B.C. D.(0,1)8.已知正方體的體積為,點(diǎn),分別在棱,上,滿足最小,則四面體的體積為A. B. C. D.9.如圖,四邊形為正方形,延長(zhǎng)至,使得,點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).設(shè),則的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過(guò)圓的圓心,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.211.如圖所示,已知某幾何體的三視圖及其尺寸(單位:),則該幾何體的表面積為()A. B.C. D.12.正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,它的底面邊長(zhǎng)為,側(cè)棱長(zhǎng)為,則它的外接球的表面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.定義在封閉的平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離的最大值稱為平面區(qū)域的“直徑”.已知銳角三角形的三個(gè)點(diǎn),,,在半徑為的圓上,且,分別以各邊為直徑向外作三個(gè)半圓,這三個(gè)半圓和構(gòu)成平面區(qū)域,則平面區(qū)域的“直徑”的最大值是__________.14.已知,在方向上的投影為,則與的夾角為_(kāi)________.15.在等差數(shù)列()中,若,,則的值是______.16.如圖,在中,,,,點(diǎn)在邊上,且,將射線繞著逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),并在所得射線上取一點(diǎn),使得,連接,則的面積為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系;曲線C1的普通方程為(x-1)2+y2=1,曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).(Ⅰ)求曲線C1和C2的極坐標(biāo)方程:(Ⅱ)設(shè)射線θ=(ρ>0)分別與曲線C1和C2相交于A,B兩點(diǎn),求|AB|的值.18.(12分)已知函數(shù),.(1)求證:在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),且;(2)若當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求證:.19.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若對(duì)恒成立,求的取值范圍.20.(12分)如圖,設(shè)橢圓:,長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)與拋物線:的焦點(diǎn)重合,且橢圓的離心率是.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)過(guò)作直線交拋物線于,兩點(diǎn),過(guò)且與直線垂直的直線交橢圓于另一點(diǎn),求面積的最小值,以及取到最小值時(shí)直線的方程.21.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù),試討論的單調(diào)性;(2)若,,求的取值范圍.22.(10分)設(shè)函數(shù),其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(Ⅰ)若在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍;(Ⅱ)若,函數(shù)與函數(shù)的圖象交于,且線段的中點(diǎn)為,證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】

由題可得,所以,又,所以,得,故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得,所以,又,所以,得,,所以橢圓的方程為.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義,橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解.2.A【解析】

設(shè),,利用點(diǎn)差法得到,所以直線的斜率為2,又過(guò)點(diǎn),再利用點(diǎn)斜式即可得到直線的方程.【詳解】解:設(shè),∴,又,兩式相減得:,∴,∴,∴直線的斜率為2,又∴過(guò)點(diǎn),∴直線的方程為:,即,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交的中點(diǎn)弦問(wèn)題,解題方法是“點(diǎn)差法”,即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線方程相減后可把弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)建立關(guān)系.3.B【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合特殊值進(jìn)行辨析.【詳解】若2m>2n>1=20,∴m>n>0,∴πm﹣n>π0=1,故B正確;而當(dāng)m,n時(shí),檢驗(yàn)可得,A、C、D都不正確,故選:B.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)指數(shù)冪的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小,根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)冪或?qū)?shù)的大小關(guān)系,需要熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合特值法得出選項(xiàng).4.D【解析】

設(shè),利用余弦定理,結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè),由雙曲線的定義可知:因此再由雙曲線的定義可知:,在三角形中,由余弦定理可知:,因此雙曲線的漸近線方程為:.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用,考查了余弦定理的應(yīng)用,考查了雙曲線的漸近線方程,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.5.A【解析】

由為邊上的中點(diǎn),表示出,然后用向量模的計(jì)算公式求模.【詳解】解:為邊上的中點(diǎn),,故選:A【點(diǎn)睛】在三角形中,考查中點(diǎn)向量公式和向量模的求法,是基礎(chǔ)題.6.C【解析】

由,化簡(jiǎn)得到的值,根據(jù)余弦定理和基本不等式,即可求解.【詳解】由,可得,可得,通分得,整理得,所以,因?yàn)闉槿切蔚淖畲蠼?,所以,又由余弦定理,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,所以,即,又由,所以的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式的化簡(jiǎn),余弦定理,以及基本不等式的綜合應(yīng)用,試題難度較大,屬于中檔試題,著重考查了推理與運(yùn)算能力.7.D【解析】

原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有四個(gè)不同的實(shí)根,換元處理令t,對(duì)g(t)進(jìn)行零點(diǎn)個(gè)數(shù)討論.【詳解】由題意,a>2,令t,則f(x)=a????.記g(t).當(dāng)t<2時(shí),g(t)=2ln(﹣t)(t)單調(diào)遞減,且g(﹣2)=2,又g(2)=2,∴只需g(t)=2在(2,+∞)上有兩個(gè)不等于2的不等根.則?,記h(t)(t>2且t≠2),則h′(t).令φ(t),則φ′(t)2.∵φ(2)=2,∴φ(t)在(2,2)大于2,在(2,+∞)上小于2.∴h′(t)在(2,2)上大于2,在(2,+∞)上小于2,則h(t)在(2,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減.由,可得,即a<2.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,2).故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查方程的根與函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,關(guān)鍵在于等價(jià)轉(zhuǎn)化,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為通過(guò)導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決問(wèn)題.8.D【解析】

由題意畫(huà)出圖形,將所在的面延它們的交線展開(kāi)到與所在的面共面,可得當(dāng)時(shí)最小,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為,得,進(jìn)一步求出四面體的體積即可.【詳解】解:如圖,

∵點(diǎn)M,N分別在棱上,要最小,將所在的面延它們的交線展開(kāi)到與所在的面共面,三線共線時(shí),最小,

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為,則,∴.

取,連接,則共面,在中,設(shè)到的距離為,

設(shè)到平面的距離為,

.

故選D.【點(diǎn)睛】本題考查多面體體積的求法,考查了多面體表面上的最短距離問(wèn)題,考查計(jì)算能力,是中檔題.9.C【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn),以分別為x軸,y軸建立直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可解決.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則,,設(shè),則,所以,且,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求變量的取值范圍,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,本題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,是一道基礎(chǔ)題.10.B【解析】

求出圓心,代入漸近線方程,找到的關(guān)系,即可求解.【詳解】解:,一條漸近線,故選:B【點(diǎn)睛】利用的關(guān)系求雙曲線的離心率,是基礎(chǔ)題.11.C【解析】

由三視圖知,該幾何體是一個(gè)圓錐,其母線長(zhǎng)是5,底面直徑是6,據(jù)此可計(jì)算出答案.【詳解】由三視圖知,該幾何體是一個(gè)圓錐,其母線長(zhǎng)是5,底面直徑是6,該幾何體的表面積.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了三視圖的知識(shí),幾何體的表面積的計(jì)算.由三視圖正確恢復(fù)幾何體是解題的關(guān)鍵.12.C【解析】

如圖所示,在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,計(jì)算長(zhǎng)度,設(shè)球半徑為,則,解得,得到答案.【詳解】如圖所示:在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,,故,,設(shè)球半徑為,則,解得,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的外接球問(wèn)題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

先找到平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的最大值為,再利用三角恒等變換化簡(jiǎn)即可得到最大值.【詳解】由已知及正弦定理,得,所以,,取AB中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)F,BC中點(diǎn)G,如圖所示顯然平面區(qū)域任意兩點(diǎn)距離最大值為,而,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理在平面幾何中的應(yīng)用問(wèn)題,涉及到距離的最值問(wèn)題,在處理這類問(wèn)題時(shí),一定要數(shù)形結(jié)合,本題屬于中檔題.14.【解析】

由向量投影的定義可求得兩向量夾角的余弦值,從而得角的大?。驹斀狻吭诜较蛏系耐队盀?,即夾角為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求向量的夾角,掌握向量投影的定義是解題關(guān)鍵.15.-15【解析】

是等差數(shù)列,則有,可得的值,再由可得,計(jì)算即得.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列,,又,,,故.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),也可以由已知條件求出和公差,再計(jì)算.16.【解析】

由余弦定理求得,再結(jié)合正弦定理得,進(jìn)而得,得,則面積可求【詳解】由,得,解得.因?yàn)?,所以,,所?又因?yàn)椋?因?yàn)?,所?故答案為【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,是中檔題三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(Ⅰ),;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù),可得曲線C1的極坐標(biāo)方程,然后先計(jì)算曲線C2的普通方程,最后根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式,可得結(jié)果.(Ⅱ)將射線θ=分別與曲線C1和C2極坐標(biāo)方程聯(lián)立,可得A,B的極坐標(biāo),然后簡(jiǎn)單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)由所以曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的普通方程為則曲線的極坐標(biāo)方程為(Ⅱ)令,則,,則,即,所以,,故.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,以及極坐標(biāo)方程中的幾何意義,屬基礎(chǔ)題.18.(1)詳見(jiàn)解析;(2)詳見(jiàn)解析.【解析】

(1)利用求導(dǎo)數(shù),判斷在區(qū)間上的單調(diào)性,然后再證異號(hào),即可證明結(jié)論;(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,分離參數(shù)只需時(shí),恒成立,設(shè)(),需,根據(jù)(1)中的結(jié)論先求出,再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)法,證明即可.【詳解】(1),令,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù),則,所以在區(qū)間上是增函數(shù).又因?yàn)?,,所以在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),且.(2)由題意,在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上恒成立,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),恒成立,設(shè)(),所以.由(1)可知,,使,所以,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,由此在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以.又因?yàn)?,所以,從而,所?令,,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù),所以,故.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)、極值最值、不等式的證明,分離參數(shù)是解題的關(guān)鍵,意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于較難題.19.(1)或;(2)或.【解析】試題分析:(1)根據(jù)絕對(duì)值定義將不等式化為三個(gè)不等式組,分別求解集,最后求并集(2)根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得最小值,再解含絕對(duì)值不等式可得的取值范圍.試題解析:(1)等價(jià)于或或,解得:或.故不等式的解集為或.(2)因?yàn)椋核裕深}意得:,解得或.點(diǎn)睛:含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論,二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類討論思想,法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動(dòng)向.20.(Ⅰ);(Ⅱ)面積的最小值為9,.【解析】

(Ⅰ)由已知求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)即得橢圓中的,再由離心率可求得,從而得值,得標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)直線方程為,設(shè),把直線方程代入拋物線方程,化為的一元二次方程,由韋達(dá)定理得,由弦長(zhǎng)公式得,同理求得點(diǎn)的橫坐標(biāo),于是可得,將面積表示為參數(shù)的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可求得最大值.【詳解】(Ⅰ)∵橢圓:,長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)與拋物線:的焦點(diǎn)重合,∴,又∵橢圓的離心率是,∴,,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的直線的方程設(shè)為,設(shè),,聯(lián)立得,∴,,∴.過(guò)且與直線垂直的直線設(shè)為,聯(lián)立得,∴,故,∴,面積.令,則,,令,則,即時(shí),面積最小,即當(dāng)時(shí),面積的最小值為9,此時(shí)直線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解,拋物線中弦長(zhǎng)的求解,涉及三角形面積范圍問(wèn)題,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題,屬綜合困難題.21.(1)答案不唯一,具體見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)由于函數(shù),得出,分類討論當(dāng)和時(shí),的正負(fù),進(jìn)而得出的單調(diào)性;(2)求出,令,得,設(shè),通過(guò)導(dǎo)函數(shù),可得出在上的單調(diào)性和值域,再分類討論和時(shí),的單調(diào)性,再結(jié)合,恒成立,即可求出的取值范圍.【詳解】解

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