一線三角一線三直角

...wd......wd......wd...-------------一線三角三等角型相似三角形是以等腰三角形〔等腰梯形〕或者等邊三角形為背景，一個與等腰三角形的底角相等的頂點(diǎn)在底邊所在的直線上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如以以下圖：等角的頂點(diǎn)在底邊上的位置不同得到的相似三角形的結(jié)論也不同，當(dāng)頂點(diǎn)移動到底邊的延長線時(shí)，形成變式圖形，圖形雖然變化但是求證的方法不變。此規(guī)律需通過認(rèn)真做題，細(xì)細(xì)體會。例1：如圖，等邊△ABC中，邊長為6，D是BC上動點(diǎn)，∠EDF=60°CADBEF〔1〕求證：△CADBEF〔2〕當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時(shí)，求BE。變式：如圖，在△ABC中，，，是邊上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且．ABCDE(1)求證：△ABCDE(2)如果，，求與的函數(shù)解析式，并寫出自變量的定義域；(3)當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，試說明△ADE是什么三角形，并說明理由．例2：如圖，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，∠EDF=∠B，CDEABFCDEABF變式：：如圖，在△ABC中，，，點(diǎn)D在邊AB上，，點(diǎn)E在邊BC上．又點(diǎn)F在邊AC上，且．(1)求證：△FCE∽△EBD；(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動時(shí)，是否有可能使．如果有可能，那么求出BD的長．如果不可能請說明理由．AABCDEF例3：如圖，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，點(diǎn)P為BC邊上一動點(diǎn)〔不與點(diǎn)B、C重合〕，過點(diǎn)P作射線PM交AC于點(diǎn)M，使∠APM=∠B；ABPCM〔1〕求證：△ABPABPCM〔2〕設(shè)BP=x，CM=y．求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域．〔3〕當(dāng)△APM為等腰三角形時(shí)，求PB的長．變式：如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一點(diǎn)，且BP=2，將一個大小與∠B相等的角的頂點(diǎn)放在P點(diǎn)，然后將這個角繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動，使角的兩邊始終分別與AB、AC相交，交點(diǎn)為D、E?！?〕求證△BPD∽△CEP〔2〕是否存在這樣的位置，△PDE為直角三角形假設(shè)存在，求出BD的長；假設(shè)不存在，說明理由。CCPEABD-------------壓軸題突破---一線三角例1：在中，，，點(diǎn)、分別在射線、上〔點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合〕，且保持.①假設(shè)點(diǎn)在線段上〔如圖〕，且，求線段的長；ABC②假設(shè)，，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；ABC1.與等腰三角形底角相等的角的頂點(diǎn)不僅在線段上還可以運(yùn)動至線段的延長線上，這類變式問題是上海中考中最常見的，雖然圖形改變，但是方法不變，依舊是原來的兩個三角形相似列出比例式后求解。當(dāng)?shù)妊切巫兪綖檎叫螘r(shí)，依然沿用剛剛的方法便可破解此類問題。2.此題是典型的圖形變式題，記住口訣：“圖形改變，方法不變〞。動點(diǎn)在線段上時(shí)，通過哪兩個三角形相似求解，當(dāng)動點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，還是找原來的兩個三角形，多數(shù)情況下這兩個三角形還是相似的，還是可以沿用原來的方法求解。變式：正方形的邊長為〔如圖〕，點(diǎn)、分別在直線、上〔點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合〕，且保持.當(dāng)時(shí)，寫出線段的長〔不需要計(jì)算過程，請直接寫出結(jié)果〕.AABCD例2：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．〔1〕如圖，P為AD上的一點(diǎn)，滿足∠BPC＝∠A．①求證；△ABP∽△DPC②求AP的長．〔2〕如果點(diǎn)P在AD邊上移動〔點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合〕，且滿足∠BPE＝∠A，PE交直線BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么①當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長線上時(shí)，設(shè)AP＝x，CQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；②當(dāng)CE＝1時(shí)，寫出AP的長〔不必寫出解題過程〕．CCDABP第一問因?yàn)槭堑妊切?，且滿足∠BPC＝∠A,很容易找到一線三角模型，尋找相似，列比例等式，求出AP的長。第二問題目要分類討論，注意題目里面給的一些提示，直線，射線，線段，這經(jīng)常是給出要分類討論的一些信息變式：在等腰三角形中，，是的中點(diǎn)，是上的動點(diǎn)〔不與、重合〕，連結(jié)，過點(diǎn)作射線，使，射線交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn).〔1〕求證：∽；〔2〕設(shè).①用含的代數(shù)式表示；②求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的定義域.例3：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．〔1〕如圖，P為BC上的一點(diǎn)，且BP=2．求證：△BEP∽△CPD；〔2〕如果點(diǎn)P在BC邊上移動〔點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合〕，且滿足∠EPF=∠C，PF交直線CD于點(diǎn)F，同時(shí)交直線AD于點(diǎn)M，那么①當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長線上時(shí)，設(shè)BP=，DF=，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；②當(dāng)時(shí)，求BP的長．EDEDCBA〔備用圖〕EDCBAP〔圖〕1.第〔2〕小題都是用常規(guī)的三等角型相似的方法。2.第二問題目要分類討論，注意題目里面給的一些提示，直線，射線，線段，這經(jīng)常是給出要分類討論的一些信息變式：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=BC=4，AD=2．點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，以M為頂點(diǎn)作∠EMF=∠B，射線ME交邊AB于點(diǎn)E，射線MF交邊CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF．〔1〕指出圖中所有與△BEM相似的三角形，并加以證明；〔2〕設(shè)BE=x，CF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；AABCDMEF-------------壓軸題突破---一線三直角三直角相似可以看著是“一線三等角〞中當(dāng)角為直角時(shí)的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個頂點(diǎn)在該直線上移動或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：當(dāng)題目的條件中只有一個或者兩個直角時(shí)，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)展轉(zhuǎn)化。例1、：如圖，AB⊥BC，AD//BC，AB=3，AD=2．點(diǎn)P在線段AB上，聯(lián)結(jié)PD，過點(diǎn)D作PD的垂線，與BC相交于點(diǎn)C．設(shè)線段AP的長為x．〔1〕當(dāng)AP=AD時(shí)，求線段PC的長；〔2〕設(shè)△PDC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；〔3〕當(dāng)△APD∽△DPC時(shí)，求線段BC的長．ABABCDPABCD〔備用圖〕此題重點(diǎn)在于：過點(diǎn)C作CE⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)E．(構(gòu)造一線三角，出現(xiàn)相似三角形，進(jìn)展求解)變式：如圖1，，，，點(diǎn)是射線上的一個動點(diǎn)〔點(diǎn)與點(diǎn)不重合〕，點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)〔點(diǎn)與點(diǎn)、不重合〕，聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作的垂線，交射線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．設(shè)，．〔1〕當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；〔2〕在〔1〕的條件下，取線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，假設(shè)，求的長；〔3〕如果動點(diǎn)、在運(yùn)動時(shí)，始終滿足條件，那么請?zhí)骄浚旱闹荛L是否隨著動點(diǎn)、的運(yùn)動而發(fā)生變化請說明理由．圖1圖2例2、如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=，∠ADC=∠DAB=90度，P是腰BC上一個動點(diǎn)〔不含點(diǎn)B、C〕，作PQAP交CD于點(diǎn)Q〔圖1〕求BC的長與梯形ABCD的面積；當(dāng)PQ=DQ時(shí)，求BP的長；〔圖2〕設(shè)BP=x，CQ=y,試求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域。第3問添加了輔助線MN，得到一線三角基本模型，得到解題突破口，出現(xiàn)相似，順利得到答案。變式：如圖，在中，，，，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)，交射線AC于點(diǎn)F．〔1〕求AC和BC的長；〔2分〕〔2〕當(dāng)∥時(shí)，求的長；〔5分〕〔3〕聯(lián)結(jié)，當(dāng)和相似時(shí)，求的長．〔7分〕AACFEDBACB〔備用圖〕ACB〔備用圖〕例3、如圖，在中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)為射線上一動點(diǎn)，且.〔1〕當(dāng)時(shí)，聯(lián)結(jié),求的余切值；〔2〕當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；〔3〕聯(lián)結(jié)，假設(shè)為等腰三角形，求的長.CAB備用圖2CAB備用圖2CAB備用圖1DABFECC1.第2問添加輔助線EH，得到三直角型相似，得到結(jié)果；2.第3問等腰三角形的分類討論，要注意嚴(yán)格按照三種情況進(jìn)展討論，在解答過程中，要時(shí)刻牢記等腰三角形三線合一這一性質(zhì)。變式：在梯形ABCD中,AD∥BC，.〔如圖1〕