2024年秋黃岡市蘄春縣實(shí)驗(yàn)高二數(shù)學(xué)10月考試卷附答案解析

年秋黃岡市蘄春縣實(shí)驗(yàn)高二數(shù)學(xué)10月考試卷一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1.直線的傾斜角是（

）A．π4 B． C． D．2.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（

）A．至少有一個(gè)紅球與都是黑球 B．至少有一個(gè)黑球與都是黑球C．至少有一個(gè)黑球與至少有1個(gè)紅球 D．恰有1個(gè)黑球與恰有2個(gè)黑球3.已知點(diǎn)，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則a，b的值分別是（

）A．，3 B．，2 C．1，3 D．，24.下列命題中正確的是（

）A．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是B．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C．若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為D．已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則5.已知直線的傾斜角滿足，則的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．6.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．則直線到平面的距離為（）．A. B.C.D.7．袋子中有大小、形狀、質(zhì)地完全相同的4個(gè)小球，分別寫有“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”四個(gè)字，若有放回地從袋子中任意摸出一個(gè)小球，直到寫有“紅”、“旗”的兩個(gè)球都摸到就停止摸球.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用1，2，3，4分別代表“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：411

231

324

412

112

443

213

144

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123114

142

111

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113

133由此可以估計(jì)，恰好在第三次就停止摸球的概率為（

）A． B． C． D．8.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)為底面的重心，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)的平面分別交棱，，于點(diǎn)，，，若，，，則（）A.B.C. D.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．向量與向量的夾角為π6B．C．向量在向量上的投影向量為D．向量與向量，共面10.甲罐中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙罐中有4個(gè)紅球、1個(gè)白球，先從甲罐中隨機(jī)取出1個(gè)球放入乙罐，分別以事件A1，A2表示由甲罐中取出的球是紅球、白球的事件，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出1個(gè)球，以事件B表示從乙罐中取出的球是紅球的事件，下列命題正確的是()A．事件A1，A2互斥B．事件B與事件A1相互獨(dú)立C．P(A1B)＝eq\f(1,2)D．P(B)＝eq\f(23,30)11.如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知A,B是相互獨(dú)立事件,且,,則.13.已知向量a=1,t,?1,b=2,1,1，若與的夾角為60°14.如圖，正方形ABCD，ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))，則線段MN最短為________．解答題（本題共5小題，共77分）15．已知三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.(1)求邊所在直線的斜率和傾斜角；(2)求BC邊上的中線所在直線的方程.16.已知空間三點(diǎn)．（1）求以為鄰邊的平行四邊形的面積；（2）設(shè)，若四點(diǎn)共面，求的值．17.如圖，已知平面，底面為正方形，，M，N分別為，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.18．為普及消防安全知識(shí)，某學(xué)校組織相關(guān)知識(shí)競(jìng)賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，，甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.(1)甲在比賽中恰好贏一輪的概率；(2)從甲、乙兩人中選1人參加比賽，派誰(shuí)參賽贏得比賽的概率更大？(3)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.19.如圖：在直三棱柱中，，，，M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)．(1)求證：∥平面；(2)求：平面BC1M與平面A1(3)在線段上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到平面MBC的距離為，若存在求此時(shí)的值，若不存在請(qǐng)說明理由．一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.直線的傾斜角是（

）A．π4 B． C． D．【答案】C2.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（

）A．至少有一個(gè)紅球與都是黑球 B．至少有一個(gè)黑球與都是黑球C．至少有一個(gè)黑球與至少有1個(gè)紅球 D．恰有1個(gè)黑球與恰有2個(gè)黑球【答案】D【解析】從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，可能為：1紅1黑、2紅、2黑，對(duì)于A：至少有一個(gè)紅球包括1紅1黑、2紅，與都是黑球是對(duì)立事件，不符合題意，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：至少有一個(gè)黑球包括1紅1黑、2黑，與都是黑球不是互斥事件，不符合題意，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：至少有一個(gè)黑球包括1紅1黑、2黑，至少有1個(gè)紅球包括1紅1黑、2紅，這兩個(gè)事件不是互斥事件，不符合題意，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：恰有1個(gè)黑球與恰有2個(gè)黑球是互斥事件而不是對(duì)立事件，符合題意，故選項(xiàng)D正確；故選：D.3．已知點(diǎn)，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則a，b的值分別是（

）A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2【答案】D【詳解】因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，解得.故選：D4．下列命題中正確的是（

）A．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是B．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C．若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為D．已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則4．C【分析】由空間點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)可判斷A；由向量的數(shù)量積的性質(zhì)可判斷B；由線面角的定義可判斷C；由共面向量定理可判斷D.【詳解】對(duì)于A，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，，有，則或，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則，解得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.5.已知直線的傾斜角滿足，則的斜率的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，故的取值范圍是.故選：C6.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．直線到平面的距離為（）．A. B. C. D.【詳解】平面,平面,平面,因此直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系.則設(shè)平面的法向量為，則，令，則設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則故直線到平面的距離為.7．袋子中有大小、形狀、質(zhì)地完全相同的4個(gè)小球，分別寫有“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”四個(gè)字，若有放回地從袋子中任意摸出一個(gè)小球，直到寫有“紅”、“旗”的兩個(gè)球都摸到就停止摸球.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用1，2，3，4分別代表“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：411

231

324

412

112

443

213

144

331

123114

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334

223

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133由此可以估計(jì)，恰好在第三次就停止摸球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題得恰好在第三次就停止摸球的隨機(jī)數(shù)有：324，443，334，共有3個(gè).由古典概型的概率公式得恰好在第三次就停止摸球的概率為.故選：B8.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)為底面的重心，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)的平面分別交棱，，于點(diǎn)，，，若，，，則（）A. B. C. D.【詳解】由題意可知，因?yàn)镈，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，所以，所以．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．向量與向量的夾角為π6B．C．向量在向量上的投影向量為D．向量與向量，共面9．BD【詳解】因?yàn)椋?，可得，則向量與向量的夾角為，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，即B正確；根據(jù)投影向量的定義可知，向量在向量上的投影向量為，所以C錯(cuò)誤；由向量，，，可知，向量與向量，共面，所以D正確.故選：ABD10.甲罐中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙罐中有4個(gè)紅球、1個(gè)白球，先從甲罐中隨機(jī)取出1個(gè)球放入乙罐，分別以事件A1，A2表示由甲罐中取出的球是紅球、白球的事件，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出1個(gè)球，以事件B表示從乙罐中取出的球是紅球的事件，下列命題正確的是()A．事件A1，A2互斥B．事件B與事件A1相互獨(dú)立C．P(A1B)＝eq\f(1,2)D．P(B)＝eq\f(23,30)【答案】ACD【解析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，得到有關(guān)事件的樣本點(diǎn)數(shù)，所以事件A1，A2不可能同時(shí)發(fā)生，故彼此互斥，故A正確；P(A1)＝eq\f(18,30)＝eq\f(3,5)，P(A2)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(15＋8,30)＝eq\f(23,30)，P(A1B)＝eq\f(15,30)＝eq\f(1,2)，故C正確，D正確；因?yàn)镻(A1B)＝eq\f(1,2)，P(A1)P(B)＝eq\f(3,5)×eq\f(23,30)＝eq\f(23,50)，則P(A1B)≠P(A1)P(B)，事件B與事件A1不獨(dú)立，故B錯(cuò)誤．11.如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【詳解】對(duì)于A，連接，，，，平面，，同理，，，直線平面，故A正確；對(duì)于B，∥，平面，平面，∥平面，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積為定值，利用等體積法知三棱錐的體積為定值，故B正確；對(duì)于C，∥，異面直線與所成的角即為與所成的角，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，與所成的角為，當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時(shí)，平面，，，此時(shí)，與所成的角為，異面直線與所成角的取值范圍是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，，則，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，得，所以，直線與平面所成角的正弦值為：，當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值取得最大值，最大值為，故D正確.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知A,B是相互獨(dú)立事件,且,,則.【答案】【解析】∵，，∴，.又∵A，B是相互獨(dú)立事件，∴和也為相互獨(dú)立事件，∴，故答案為：.13.已知向量a=1,t,?1,b=2,1,1，若與的夾角為60°【答案】214.如圖，正方形ABCD，ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))，則線段MN最短為________．14.eq\f(\r(2),2)解析建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A(1,0,0)，F(xiàn)(1,1,0)，C(0,0,1)．因?yàn)镃M＝BN＝a(0<a<eq\r(2))，且四邊形ABCD，ABEF為正方形，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，1－\f(\r(2),2)a))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，0))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a－1)).所以|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(a2－\r(2)a＋1)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(2),2)))2＋\f(1,2))，即MN的長(zhǎng)為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(2),2)))2＋\f(1,2)).當(dāng)a＝eq\f(\r(2),2)時(shí)，|eq\o(MN,\s\up6(→))|min＝eq\f(\r(2),2)，即M，N分別為AC，BF的中點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，最小值為eq\f(\r(2),2).解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為.(1)求直線的斜率和傾斜角；(2)求BC邊上的中線所在直線的方程.【解析】（1）由斜率公式得直線的斜率為，記傾斜角為，則，因?yàn)?，所以直線的傾斜角為.（2）y=95x16.已知空間三點(diǎn)．（1）求以為鄰邊的平行四邊形的面積；（2）設(shè)，若四點(diǎn)共面，求的值．【詳解】（1）因?yàn)椋裕?，?．（2），四點(diǎn)共面，

存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)，使得，

，解得，．17.如圖，已知平面，底面為正方形，，M，N分別為，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，空間向量法證明直線與法向量平行，即可證明結(jié)論成立；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方法向量，以及平面的一個(gè)法向量，計(jì)算向量夾角余弦值，即可得出結(jié)果；【詳解】（1）以為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則,，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，因?yàn)椋云矫?；?），，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為：．18．為普及消防安全知識(shí)，某學(xué)校組織相關(guān)知識(shí)競(jìng)賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，，甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.(1)甲在比賽中恰好贏一輪的概率；(2)從甲、乙兩人中選1人參加比賽，派誰(shuí)參賽贏得比賽的概率更大？(3)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.【答案】(1)(2)派甲參賽獲勝的概率更大(3)【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可；（2）利用獨(dú)