專題12.27 全等三角形幾何模型分類專題（全章專項(xiàng)練習(xí)）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)專題12.27全等三角形幾何模型分類專題（全章專項(xiàng)練習(xí)）【模型目錄】【模型1】“共頂點(diǎn)等角”模型；【模型2】“8字”模型；【模型3】“一線三直角”模型；【模型4】“一線三等角”模型；【模型5】“手拉手”模型；【模型6】“倍長(zhǎng)中線”模型；【模型7】“截長(zhǎng)補(bǔ)短”模型；【模型8】“半角”模型.【模型1】“共頂點(diǎn)等角”模型；1．（2024·陜西西安·二模）如圖，點(diǎn)E在外部，點(diǎn)D在邊上，若，，，求證：．2．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，已知，，，試說(shuō)明：．（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期末）已知和的位置如下圖所示，.求證：(1)．(2)【模型2】“8字”模型；4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，點(diǎn)D在延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E是外一點(diǎn)，連接．若，，求證：．

5．（23-24八年級(jí)上·河北唐山·期末）如圖，點(diǎn)在的外部，點(diǎn)邊上，交于點(diǎn)，若，，．求證：．6．（23-24七年級(jí)下·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖，在中，，為高，且，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，連接．(1)求的長(zhǎng)；(2)判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；【模型3】“一線三直角”模型；7．（23-24八年級(jí)上·湖南郴州·期末）在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于，于．(1)如圖1的位置時(shí)，求證：；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)、、之間具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系．8．（2024八年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）如圖，，，，，垂足分別是．(1)求證：；(2)猜想線段之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．9．（23-24八年級(jí)上·貴州遵義·期末）如圖，已知：于點(diǎn)B，于點(diǎn)C，點(diǎn)E在線段上，且．

(1)請(qǐng)寫一對(duì)相等的角：__________________．(2)求證：．【模型4】“一線三等角”模型；10．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與、重合），連接AD，作，DE交線段于．(1)當(dāng)時(shí)，，；(2)當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)，，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（23-24八年級(jí)上·廣西南寧·開(kāi)學(xué)考試）如圖，是經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C的一條直線，，E、F分別是直線上兩點(diǎn)，且．(1)若直線經(jīng)過(guò)的內(nèi)部，且E、F在射線上．①如圖1，若，，試判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②如圖2，若，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于α與關(guān)系的條件，使①中的條件仍然成立，并說(shuō)明理由．(2)如圖3.若直線經(jīng)過(guò)的外部，，請(qǐng)?zhí)岢鲫P(guān)于，，三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想，并說(shuō)明理由．12．（22-23八年級(jí)上·廣西貴港·期末）如圖，是經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C的一條直線，，E、F分別是直線上兩點(diǎn)，且．

(1)若直線經(jīng)過(guò)內(nèi)部，且E、F在射線上，設(shè)：①如圖1，若，，求證：．②如圖2，若，①中結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如圖3，直線經(jīng)過(guò)外部，若，請(qǐng)直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【模型5】“手拉手”模型；（23-24八年級(jí)上·湖南郴州·期末）已知：如圖，在、中，，，，點(diǎn)、、三點(diǎn)在同一直線上，連接．求證：(1)；(2)．14．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知：如圖，，，，求證：．15．（23-24七年級(jí)下·河南駐馬店·階段練習(xí)）如圖，已知中，，點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），以AD為邊作，連接CE．(1)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖①，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)．①請(qǐng)寫出和之間的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為；②求證：；(2)嘗試探究：如圖②，當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，（1）中、、之間存在的數(shù)量關(guān)系是否成立?若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出新的數(shù)量關(guān)系，不證明．(3)拓展延伸：如圖③，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，若，求線段的長(zhǎng)．并求的面積．【模型6】“倍長(zhǎng)中線”模型；16．（23-24八年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）如圖，已知中，，，是的中線，求的取值范圍．17．（23-24七年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·期末）中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問(wèn)題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添加輔助線.(1)如圖①，中，若，，求邊上的中線的取值范圍；同學(xué)們經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．請(qǐng)你根據(jù)同學(xué)們的方法解答下面的問(wèn)題：①根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；②由已知和作圖能得到，其依據(jù)是______（用字母表示）；③由三角形的三邊關(guān)系可以求得的取值范圍是______（直接填空）；(2)如圖②，在和中，，，，連接，，若為的中線，猜想與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．18．（23-24八年級(jí)上·遼寧葫蘆島·期末）某校八年級(jí)（1）班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了試驗(yàn)探究活動(dòng)，請(qǐng)你和他們一起活動(dòng)吧．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，是的中線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，求證：．【理解與運(yùn)用】（2）如圖2，是的中線，若，求的取值范圍；（3）如圖3，是的中線，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，求證：．【模型7】“截長(zhǎng)補(bǔ)短”模型；19．（14-15八年級(jí)上·四川自貢·期末）如圖所示，，，分別是，的平分線，點(diǎn)E在上，求證：．

20．（23-24八年級(jí)·江蘇·假期作業(yè)）如圖，在中，，的角平分線、相交于點(diǎn)O，求證：．

21．（24-25八年級(jí)上·河南商丘·期末）如圖，，，分別平分和，經(jīng)過(guò)點(diǎn)．求證：．【模型8】“半角”模型.22．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，中兩邊、上有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且，，，．

(1)猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明；(2)若，，求的周長(zhǎng)．23．（2024八年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形中，，，E、F分別是邊、上的點(diǎn)，若．求證：；（2）如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊、延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，試探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論．24．（23-24七年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）【問(wèn)題背景】在四邊形中，，，，分別是、上的點(diǎn)，且，試探究圖中線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小亮同學(xué)認(rèn)為：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明，則可得到、、之間的數(shù)量關(guān)系是______．【探索延伸】在四邊形中如圖，，，分別是、上的點(diǎn)，，上述結(jié)論是否仍然成立？說(shuō)明理由．【結(jié)論運(yùn)用】如圖，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以海里小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以海里小時(shí)的速度，前進(jìn)小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)，處，且兩艦艇之間的夾角為，此時(shí)兩艦艇之間的距離是______海里．若此時(shí)兩個(gè)艦艇，同時(shí)接到命令，都以海里小時(shí)的速度前進(jìn)并盡快匯合，最短需要______小時(shí)．參考答案：1．見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先證明，根據(jù)證明，得出結(jié)論即可．【詳解】證明：，，，∵和中，，．．2．詳見(jiàn)解析【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解．【詳解】解：∵，∴，即，在和中，，∴，∴．3．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（）證明即可求證；（）證明即可求證；本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：在和中，，∴，∴；（2）證明：∵，，即，在和中，，∴，∴．4．證明見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)先證明，進(jìn)而證明，則可證明．【詳解】證明：∵，，∴，又∵，，∴，∴．5．見(jiàn)解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，再根據(jù)，，，判定，即可得到．【詳解】證明：，，，，，，，在與中，，，．6．(1)(2)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)是的高，可得，再結(jié)合，，即可證得，從而求得的長(zhǎng)；（2）根據(jù)，可得，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可將轉(zhuǎn)化為的內(nèi)角和，再根據(jù)，即可求得，從而證得．【詳解】（1）解：是的高，，即，又，，，，；（2）解：，理由如下：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，又，，又，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的高的含義，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】本題需要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，也利用了直角三角形的性質(zhì)，是一個(gè)探究性題目，對(duì)于學(xué)生的能力要求比較高．（1）由于中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于，于，由此即可證明，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（2）由于中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于，于，由此仍然可以證明，然后利用全等三角形的性質(zhì)也可以解決問(wèn)題；（3）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，仍然，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以得到．【詳解】（1）證明：中，，，又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于，于，，，在和中，，，，，；（2）證明：中，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于，于，，，，在和中，，，，，；（3）如圖3，中，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于，于，，，，在和中，，，，，；、、之間的關(guān)系為．8．(1)見(jiàn)解析(2)，見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)同角的余角相等得到，利用定理證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，結(jié)合圖形解答即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，∴．9．(1)A，2．（答案不唯一）(2)證明見(jiàn)詳解【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及性質(zhì)．（1）由直角三角形兩銳角互余可得出，，等量代換可得出．（2）利用證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，，由已知等量代換可得出．【詳解】（1）解：∵，，∴∴，又∵，∴，故答案為：A，2．（答案不唯一）（2）由（1）可得，在和中，，∴，∴，，∵，∴．10．(1)，(2)【分析】此題主要考查三角形綜合題，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．（）利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解題；（）當(dāng)時(shí)，利用，，求出，再利用，即可得出．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴；（2）解：當(dāng)時(shí)，，理由如下：，，又，，，在和中，，．11．(1)①證明見(jiàn)解析；②，理由見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，（1）①由，，可得，從而可證，故．②若，則可使得．根據(jù)題目已知條件添加條件，再使得一對(duì)角相等，便可得證．（2）題干已知條件可證，故，，從而可證明．【詳解】（1）解：①證明：∵，∴．又∵，∴．在和中，，∴．∴．②解：，理由如下：∵，∴．又∵，∴．又∵，∴．∴．∴．在和中，，∴．∴．（2）解：，理由如下：∵，∴，又∵，∴．∴．在和中，，∴．∴，．∴，即．12．(1)①見(jiàn)解析；②成立，見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法．（1）①證明，得出，，根據(jù)即可得出結(jié)論；②先證明，再證明，得出，，即可得出結(jié)論；（2）先證明，再證明，得出，，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：①由圖知：，又，在中，，，，，，，；②結(jié)論成立，理由如下：，，，又∵在中，，，，，，，，即①中兩個(gè)結(jié)論還成立；（2）解：，，又，且，，，，，，，．13．(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；全等問(wèn)題要注意找條件，有些條件需在圖形是仔細(xì)觀察，認(rèn)真推敲方可．做題時(shí)，有時(shí)需要先猜后證．（1）要證，現(xiàn)有，，需它們的夾角，而由很易證得，即可得出．（2）、有何特殊位置關(guān)系，從圖形上可看出是垂直關(guān)系，可向這方面努力．要證，需證，需證可由直角三角形提供．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，．∴；（2）解：∵，，，，，則．14．見(jiàn)解析【分析】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．由，推導(dǎo)出，即可證明，得，即可由，，又，證明．【詳解】證明：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，，又，∴．15．(1)①，；②見(jiàn)解析(2)不成立，存在的數(shù)量關(guān)系為，理由見(jiàn)解析(3)，【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用,等腰直角三角形的性質(zhì)：（1）①根據(jù)條件，，，，判定，即可得出和之間的關(guān)系；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得到；（2）根據(jù)已知條件，判定，得出，再根據(jù)，即可得到；（3）根據(jù)條件判定，得出，進(jìn)而得到，最后根據(jù)，，即可求得線段的長(zhǎng)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．【詳解】（1）①如圖1，由題意，，，，，，，在和中，，，，，，即；故答案為：，；②由①得，，；（2）不成立，存在的數(shù)量關(guān)系為．理由：如圖，由同理可得，在和中，，，，，；（3）如圖3，由(1)同理可得，在和中，，，，，，，．，，即．16．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系．延長(zhǎng)到，使，連接，證明，得出，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)到，使，連接，∵是的中線，，在與中，，，，，，即，．17．(1)①見(jiàn)解析；②；③(2)，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形．（1）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；②由是中線得到，又，，通過(guò)“”可證．據(jù)此可解答；③由，，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系有，即，因此；（2）延長(zhǎng)，使得，連接，證明，可得，再證明即可．【詳解】（1）解：①根據(jù)題意畫出圖形：；②解：是中線，，在和中，，．故答案為：；③解：，，，，即，，，．故答案為：；（2）解：，理由如下：如圖，延長(zhǎng)，使得，連接，根據(jù)（1）中原理可得，，，，，，，，，∴．18．（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）證明見(jiàn)解析【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，涉及中點(diǎn)性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，如圖所示，根據(jù)題意，由三角形全等的判定得到，從而根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得證；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，如圖所示，由三角形全等的判定與性質(zhì)得到，設(shè)，在中，由三邊關(guān)系即可得到答案；（3）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，如圖所示，得到，再由三角形全等的判定與性質(zhì)得到，進(jìn)而可確定，再由全等性質(zhì)即可得證．【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，如圖所示：∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，如圖所示：∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，設(shè)，在中，由三邊關(guān)系可得，即，∴；（3）證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，如圖所示：∴，∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．19．見(jiàn)解析【分析】運(yùn)用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法，在上取點(diǎn)F，使，由角平分線定義得，，可證，得，結(jié)合平行線的性質(zhì)可證，進(jìn)一步證得，所以，得證結(jié)論．【詳解】在上取點(diǎn)F，使

∵，分別是，的平分線∴，∵∴在和中∴∴∴∵∴在和中，∴∴∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；運(yùn)用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法構(gòu)造全等三角形求證線段相等是解題的關(guān)鍵．20．證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義，得到，，在上截取，連接，分別證明，，得到，即可證明結(jié)論．【詳解】證明：，，、分別平分、，，，，，，如圖，在上截取，連接，

在和中，，，，，，，在和中，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，做輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．21．證明見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．在上截取，連接，證明和，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】證明：如圖，在上截取，連接，，分別平分和，，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，．22．(1)；理由見(jiàn)解析(2)13【分析】（1）延長(zhǎng)，則的延長(zhǎng)線上取，連接，證明，得出，，證明，得出，根據(jù)，即可得出答案；（2）根據(jù)，得出求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：；理由如下：延長(zhǎng)，則的延長(zhǎng)線上取，連接，如圖所示：

∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的