2025年海南省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年海南省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的。

1.(5分)設(shè)全集U=R,集合A={x|/-3x-4>0},則CUA=()

A.{x\-l<x<4}B.{x|-4<x<l}C.{x|-lWxW4}D.{x|-4WxWl}

2.(5分)復(fù)數(shù)z=沿的虛部為（）

A.2B.-2C.2iD.-2z

TTTTTT,TT

3.(5分)已知a,b為單位向量，若|a+b|-—\CL-b|=0,則|a—=()

A.2B.V2C.1D.0

4.(5分)若tana=2tan0,sin(a-0)=t,則sin(a+p)=()

A.ItB.-2tC.3tD.-3t

5.(5分)已知點(diǎn)M為雙曲線C--,2=4上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作C的兩條漸近線的垂線，垂足分

別為A,B,則四邊形。4MB（。為原點(diǎn)）的面積為（)

1

A.4B.2C.1D.-

2

6.(5分)在正四棱錐P-AIBICLDI中，PBilPDi.用一個(gè)平行于底面的平面去截該正四棱錐，得到幾何

體ABC。-AiBiCiDi,AB=\,AiBi=2,則幾何體A8C￡)-AiBCiOi的體積為()

V24>/27V217V2

A.一B.C.D.

6369

7.（5分）已知函數(shù)/'（x）=tcm（3x+軟3>0）,若方程/（無）=1在區(qū)間（0,TT）上恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則

3的取值范圍是（）

A.(2,3]B.[2,3)C.(3,4]D.[3,4)

8.(5分)已知函數(shù)/(x)=2A+2-%+cosx+x2,若。=/(-3),b=f(e),c=f(it),貝!J()

A.b<a<cB.b<.c<-aC.c〈a〈bD.c〈b〈a

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)或不選的得0分。

（多選）9.（6分）已知XTV（p,o2）,貝!！（）

A.E（X）=n

B.。（X）=。

C.P(XW|i+。)+P(XWR-。)=1

D.P（X2n+2。）>P（XWR-O）

（多選）10.（6分）已知定義在R上的函數(shù)/（無）不恒等于0,7（it）=0,且對(duì)任意的無，yCR,有了（2x）

+f（2y）=2f（x+y）/（x-y）,則（）

A.f（0）=1

B.f（x）是偶函數(shù)

C.f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（it,0）中心對(duì)稱

D.2TT是/（無）的一個(gè)周期

（多選）11.（6分）在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)藝術(shù)體操項(xiàng)目集體全能決賽中，中國(guó)隊(duì)以69.800分的成績(jī)奪得

金牌，這是中國(guó)藝術(shù)體操隊(duì)在奧運(yùn)會(huì)上獲得的第一枚金牌.藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花

瓣的圖案，它可看作由拋物線C：/=20x（p>0）繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°、180°、270°后所

得三條曲線與C圍成的（如圖陰影區(qū)域），A,2為C與其中兩條曲線的交點(diǎn)，若p=l,貝U（）

A.開口向上的拋物線的方程為y=

B.\AB\=4

3

C.直線x+y=f截第一象限花瓣的弦長(zhǎng)最大值為］

D.陰影區(qū)域的面積大于4

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）（久一3。展開式的常數(shù)項(xiàng)是.

S+9

13.（5分）已知數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和S九二層+九，當(dāng)口—取最小值時(shí)，〃=.

14.（5分）2024年新高考數(shù)學(xué)I卷多選題的計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)如下：

①本題共3小題，每小題6分，共18分；

②每小題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)或不選的得0分；

③部分選對(duì)的得部分分.考生甲在此卷多選題的作答中，第一小題選了三個(gè)選項(xiàng)，第二小題選了兩個(gè)選

項(xiàng)，第三小題選了一個(gè)選項(xiàng)，則他多選題的所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的第80百分位數(shù)

為.

三、填空題：本大題共5小題，每小題13分，共15分。

15.(13分)在△4BC中，A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足.

請(qǐng)?jiān)冖?a-b')sin(A+C)=(a-c)(sinA+sinC)；②s譏(看—C)cos(C+§)=/,這兩個(gè)中任選一個(gè)

作為條件，補(bǔ)充在橫線上，并解答問題.

(1)求C；

(2)若△A8C的面積為5舊，。為AC的中點(diǎn)，求8。的最小值.

16.(15分)某學(xué)校食堂有A,8兩家餐廳，張同學(xué)第1天選擇A餐廳用餐的概率為/從第2天起，如果

3

前一天選擇A餐廳用餐，那么次日選擇A餐廳用餐的概率為一；如果前一天選擇B餐廳用餐，那么次日

4

1

選擇A餐廳用餐的概率為］設(shè)他第n天選擇A餐廳用餐的概率為Pn.

(1)求P2的值及Pn+1關(guān)于Pn的表達(dá)式；

(2)證明數(shù)列｛匕-各是等比數(shù)列，并求出｛P〃｝的通項(xiàng)公式.

17.(15分)已知邊長(zhǎng)為4的菱形A8C。(如圖1),ABAD=J,4c與8。相交于點(diǎn)O,E為線段A。上一

點(diǎn)，將三角形ABD沿8。折疊成三棱錐A-BCD(如圖2).

(1)證明：BD±CE；

V15

(2)若三棱錐A-BCD的體積為8,二面角B-CE-0的余弦值為一，求OE的長(zhǎng).

18.(17分)已知橢圓C：及+，=l(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為為，F(xiàn)2,離心率為點(diǎn)P為C上一

點(diǎn)，△尸尸說2周長(zhǎng)為2魚+2,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)直線/：y=x+機(jī)與C交于A,5兩點(diǎn)，

(力求△045面積的最大值；

—>—>—>

(n)設(shè)OQ=0A+OB,試證明點(diǎn)Q在定直線上，并求出定直線方程.

19.(17分)定義：如果函數(shù)/(無)在定義域內(nèi)，存在極大值/(xi)和極小值了(尤2),且存在一個(gè)常數(shù)左，

使/(尤1)-f(X2)=左(尤LX2)成立，則稱函數(shù)/(%)為極值可差比函數(shù)，常數(shù)上稱為該函數(shù)的極值

差比系數(shù).己知函數(shù)f(x)=無一:一aZnx.

(1)當(dāng)a=?時(shí)，判斷了(尤)是否為極值可差比函數(shù)，并說明理由；

(2)是否存在a使/(無)的極值差比系數(shù)為2-a?若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)若越<a<-,求/(x)的極值差比系數(shù)的取值范圍.

22

2025年海南省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的。

1.(5分)設(shè)全集U=R,集合A={小2-3x-4>0},則CuA=()

A.{x\-l<x<4}B.{x\-4<J;<1}C.{x|-1WXW4}D.{x|-4WxWl}

【解答】解：???A={MxV-I或%>4},U=R,

，CuA={x|-1?4}.

故選：C.

2.(5分)復(fù)數(shù)z=言的虛部為()

A.2B.-2C.2iD.-2i

【解答】解：由題意可得z=言=簿%二3

3+』-4i_2-471

=9--Q-1—2,1,

1-t2

故其虛部為：-2

故選：B.

7T—T—TT—

3.(5分)已知a,b為單位向量，若|a+—|a—=0,則|a—b|二()

A.2B.V2C.1D.0

【解答】解:由向+&—日一&=0,得:+&=向一百,

T—TTTTT_>

\a+b\2=\a-b\2,即(Q+h)2=(a—Z?)2,得Q-b=0,

\a-b\=JG—b)2=Ja2—2a-b+b2=Vl2+l2=V2.

故選：B.

4.(5分)若tana=2tan0,sin(a-p)=t,則sin(a+0)=()

A.2tB.-2tC.3tD.-3t

SITLCC2.SITII3

【解答】解：由tana=2tanP，得----=-----,即sinacos0=2cosasin0,

~cosacosp

由sin(a-P)=t,得sinacosP-cosasinp=6

故sinacosP=2?,cosasin0=/,

則sin(a+p)=sinacosp+cosasinp=3t,

故選：c.

5.（5分）已知點(diǎn)M為雙曲線C：/-『=4上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)〃分別作C的兩條漸近線的垂線，垂足分

別為A,B,則四邊形0AM3（。為原點(diǎn)）的面積為（）

1

A.4B.2C.1D.-

2

【解答】解：設(shè)M（尤0,州），則與2一%2=4,雙曲線的漸近線方程為y=±x,

過點(diǎn)M分別作C的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A,B,則四邊形O4M8（。為原點(diǎn)）是矩形，

由點(diǎn)到直線的距離得又用=壓?jiǎn)嵘茄?|=十如

V2V2

四邊形OAMB的面積為|肱4|?|加8|=畫券?筆型=*匚次一=2.

<2722

故選：B.

6.（5分）在正四棱錐P-AIBICLDI中，PBilPDi.用一個(gè)平行于底面的平面去截該正四棱錐，得到幾何

體ABC。-A181C1D1,AB=1,AiBi=2,則幾何體A8CD-AiBiGDi的體積為（）

【解答】解：設(shè)正四棱錐尸-ALBIGDI的側(cè)棱長(zhǎng)為。，

連接4cl與交于點(diǎn)。1,連接PO1,則POi,平面ABCD

因?yàn)?81=2,所以B/i=722+22=2vL

因?yàn)樗栽赗t△尸81D1中，a2+a2=（2V2）2,

解得：a=2,所以POi=JPB：-Bi<J2=J22-（&）2=

又因?yàn)橛靡粋€(gè)平行于底面的平面去截該正四棱錐，得到幾何體ABCO-AIBICLDI,AB=1,

則幾何體ABCD-AiBiCiDi為正四棱臺(tái)，

連接AC,8。交于點(diǎn)。，所以。為PO1的中點(diǎn)，

所以。。1=挈=孝，所以幾何體ABC。-4B1C01的體積為:

122L—7V27V2

--(22+I2+V22-I2)-—=——.

326

故選：C.

7.（5分）已知函數(shù)f（x）=tcm（3x+$（3>0）,若方程f（x）=1在區(qū)間（0,ir）上恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則

O）的取值范圍是（）

A.(2,3]B.[2,3)C.(3,4]D.[3,4)

【解答】解：當(dāng)疣(0,1T)時(shí),3%+今WC,0)71+f

則由題意可得產(chǎn)taiu-1在%€4,即+9上有3個(gè)實(shí)數(shù)根，

r一，「兀7171

即可得一+37T<O)7T+—<—+47T,

444

解得3Vo)W4,即3的取值范圍是(3,4].

故選：C.

8.(5分)已知函數(shù)/(x)=2x+2-x+cosx+x2,若〃=/(-3),b=f(^),c=f(n),貝！J()

A.b<a<cB.b〈c〈aC.c<a<bD.c<b<a

【解答】解：因?yàn)?(x)=2x+2--x+cosx+x2,

所以函數(shù)定義域?yàn)镽,/(-x)=2-x+2x+cos(-x)+(-x)2=2X+2-X+COSX+X2=/(X),

所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故。=/(-3)=/(3),

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=(2X-2*)/〃2+(2x-siar)=g(x),

所以g'(%)=(2x+2x)(/n2)2+(2-cosx),

因?yàn)?2%+2一％)(歷2)2>0,2-cosx>0,所以g'(x)>0,

所以g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，故g(x)>g(0)=0即/(x)>0,

所以f(x)在(0,+°°)單調(diào)遞增，又eV3Vm

所以/(e)<f(3)<f(K),所以b〈〃Vc.

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)或不選的得0分。

(多選)9.(6分)已知XTV(n，o2),貝IJ()

A.E(X)

B.D(X)=。

C.P(XWp_+。)+Po)=1

D.P(X2n+2o)>Po)

【解答】解：由XMHn，。2)可得E(X)=出。(x)=。2,故A正確，B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知，P(X<|i-o)=p(X2u+。)，

故P(XW|i+。)+P(XWp-。)=尸(XWp_+。)+P(X^n+o)=1,即C正確；

對(duì)于。，利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知，P(XWR-O)=P(X>u+。)，

而P(X>u+。)>P(X2u+2。)，故尸(XNu+2。)<P(XWR-。)，故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

(多選)10.(6分)已知定義在R上的函數(shù)/(x)不恒等于0,/(IT)=0,且對(duì)任意的無，yeR,有/(2x)

+f(2y)—2f(x+y)fCx-y),貝ij()

A.f(0)=1

B.f(x)是偶函數(shù)

C./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(m0)中心對(duì)稱

D.2TT是尤)的一個(gè)周期

【解答】解：由/(2x)4f(2y)=?f(x+y)/(x-y),令x=?可得/(2x)4/(2無)=2/(2x)/(0),

解得了(0)=1,故A正確；

令天=-?可得/(2無)4/(-2x)=2f(0)f(2x)=4(2x),則/(2x)=f(-2x),

即可得對(duì)任意的xeR,滿足/(x)=/(-x),即/(x)是偶函數(shù)，故8正確；

令x+y—Tt,則由/(2x)+f(2y)—2f(尤+y)/(x-y),可得/(2ir-2y)+f(2y)—If(n)/(n-2y)

=0,

即/(x)滿足/(2ir-尤)+f(x)=0,因此可得了(無)的圖象關(guān)于點(diǎn)(it,0)中心對(duì)稱，故C正確；

由于/1(x)是偶函數(shù)，得了(尤-2TT)+f(x)=0,即/(x)+f(x+2n)=0,

可得了(尤-2TT)—f(X+2TT),也即/(x)—f(x+4it),所以41T是/(x)的一個(gè)周期，故。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

(多選)11.(6分)在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)藝術(shù)體操項(xiàng)目集體全能決賽中，中國(guó)隊(duì)以69.800分的成績(jī)奪得

金牌，這是中國(guó)藝術(shù)體操隊(duì)在奧運(yùn)會(huì)上獲得的第一枚金牌.藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花

瓣的圖案，它可看作由拋物線C：y2=2px(p>0)繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°、180°、270°后所

得三條曲線與C圍成的(如圖陰影區(qū)域)，A,8為C與其中兩條曲線的交點(diǎn)，若p=l,則()

A.開口向上的拋物線的方程為y=

B.|AB|=4

3

C.直線x+y=f截第一象限花瓣的弦長(zhǎng)最大值為了

4

D.陰影區(qū)域的面積大于4

【解答】解：由題意，開口向右的拋物線方程為C：/=2為頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為0),

將其逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的拋物線開口向上，焦點(diǎn)為尸2(0,分，則其方程為/=2?即y=故

A正確；

對(duì)于8,根據(jù)A項(xiàng)分析，由可解得，x=0或彳=2,即XA=2,代入可得yA=2,

由圖象對(duì)稱性，可得A(2,2),B(2,-2),故|A8|=4,即8正確；

對(duì)于C,如圖,

設(shè)直線x+y=t與第一象限花瓣分別交于點(diǎn)M,N,

y=—%+tAT1ZDXMt+1―V2t+1y=—x+t=V2t+1-1

由y2=2x解得由/=2y解得'

yM=V2FT1-1YN=力+1—+1

即號(hào)M(t+1-72t+LV2t+1—1),NG2t+1-1,t+1—、2t+1),

則弦長(zhǎng)為：|MN|=〔2(t+2—272t+1)2=夜|t+2—2V2t+1|,

由圖知，直線x+y=t經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)f取最大值4,經(jīng)過點(diǎn)。時(shí)f取最小值0,

即在第一象限部分滿足0<fW4,不妨設(shè)觀=V^F下I，則1<MW3,且1=包升,

代入得，|MN|=夜|咚i+2-2&|=孝@—2產(chǎn)—1],(1<〃W3),

V2

由此函數(shù)的圖象知，當(dāng)〃=2時(shí)，川取得最大值為三，即C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，根據(jù)對(duì)稱性，每個(gè)象限的花瓣形狀大小相同，

故可以先求:部分面積的近似值.如圖，

在拋物線y=2小,(%20)上取一點(diǎn)P,使過點(diǎn)P的切線與直線。4平行，

由<=x=l可得切點(diǎn)坐標(biāo)為P(L1),因/OA：x-y=0,則點(diǎn)尸到直線的距離為d=g=*

于是S.A=*xx?%由圖知，半個(gè)花瓣的面積必大于去

故原圖中的陰影部分面積必大于8x：=4,故。正確.

故選：ABD.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)(久-1)4展開式的常數(shù)項(xiàng)是6.

【解答】解：0—^)4展開式的通項(xiàng)公式為小1=噩。].?(—?■，

當(dāng)4-r=r時(shí)，即r=2,

則乃=6,

則展開式的常數(shù)項(xiàng)為6.

故答案為：6.

13.(5分)己知數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和Sn=/+n,當(dāng)包型取最小值時(shí)，n=3.

an

【解答】解：由題意得m=Si=2,

當(dāng)九＞2時(shí)，an—Sn-Sn-\=2n,

又m=2滿足該式，所以斯=2幾，

2

r1szi+9n+n+9n91m917

an2n22n222n22

n9

當(dāng)且僅當(dāng)一=一，即〃=3時(shí)取等號(hào)，

22n

所以當(dāng)過2取最小值時(shí)，n=3.

an

故答案為：3.

14.(5分)2024年新高考數(shù)學(xué)I卷多選題的計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)如下：

①本題共3小題，每小題6分，共18分；

②每小題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)或不選的得0分；

③部分選對(duì)的得部分分.考生甲在此卷多選題的作答中，第一小題選了三個(gè)選項(xiàng)，第二小題選了兩個(gè)選

項(xiàng)，第三小題選了一個(gè)選項(xiàng)，則他多選題的所有可能總得分(相同總分只記錄一次)的第80百分位數(shù)

為13.

【解答】解：甲在此卷多選題的作答中，

第一小題選了三個(gè)選項(xiàng)，因此甲此題的得分可以是。分，或6分；

第二小題選了兩個(gè)選項(xiàng)，因此甲此題的得分可以是0分，或4分，或6分；

第三小題選了一個(gè)選項(xiàng)，因此甲此題的得分可以是0分，或2,或3,

因此甲多選題的所有可能總得分為0分，2分，3分，4分，6分，7分，8分，9分，12分，13分，14

分，15分,共12種情況,

因?yàn)?2X80%=9.6,所以甲多選題的所有可能總得分(相同總分只記錄一次)的第80百分位數(shù)為13

分.

故答案為：13.

三、填空題：本大題共5小題，每小題13分，共15分。

15.(13分)在△ABC中，A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足.

請(qǐng)?jiān)冖?a-b)sin(A+C)=(a-c)(sinA+sinC)；②s譏/一C)cos(C+§)=今這兩個(gè)中任選一個(gè)

作為條件，補(bǔ)充在橫線上，并解答問題.

(1)求c；

(2)若△ABC的面積為5百，。為AC的中點(diǎn)，求的最小值.

【解答】解：(1)選擇條件①，(。-。)sin(A+C)=(Q-C)(sinA+sinC),

則(a-b)sinB=Ca-c)(sinA+sinC),

由正弦定理可得Qa-b)b=(a-c)(o+c),BP?2+/?2-c1=ab,

所以cosC=a￥〃0=2,由Cc(0,n),所以C=與；

ZabL3

選擇條件②，sin/-C)cos(C+$=,，

即sizi匿—g+C)]cos(C+$=,，所以cos?(C+號(hào))=,，

由CE(0,7T),可<C+4<與"，則cos(C+手)=—2，

所以C+A冬則c=*

(2)由S=譏C=x學(xué)=58，解得〃Z?=20,

TTT

又BD=BC+CD,

—>—>—>—>—>—>—>

所以BD?=(BC+CD)2=BC2+2BC-CD+CD2

2

1D7111

2a2

---1----

a224*222

-10

所以舊叫2，訕，當(dāng)且僅當(dāng)a=VTU,b=2同時(shí)等式成立，

所以的最小值是VIU；

另解：因?yàn)镾-BC=5百，D為AC中點(diǎn)，

所以SABDC=*SAABC=，a??sin^,得ab—20,

在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC-CD-cosC

_211t21入、O1r__1r_ic

=a+彳bl—ctbN2a不b—亍ab=方ab=10,

4ZZZ?Z

所以BDNVTU,當(dāng)且僅當(dāng)a=VTU,b=2VIU時(shí)等式成立，

所以80的最小值是JTU.

16.（15分）某學(xué)校食堂有A,8兩家餐廳，張同學(xué)第1天選擇A餐廳用餐的概率為土從第2天起，如果

3

前一天選擇A餐廳用餐，那么次日選擇A餐廳用餐的概率為一；如果前一天選擇8餐廳用餐，那么次日

4

1

選擇A餐廳用餐的概率為3設(shè)他第n天選擇A餐廳用餐的概率為Pn.

（1）求尸2的值及Pn+1關(guān)于Pn的表達(dá)式；

（2）證明數(shù)歹（）｛/-各是等比數(shù)列，并求出｛P，，｝的通項(xiàng)公式.

【解答】解：（1）設(shè)4="第”天去A餐廳用餐"，Bn="第W天去2餐廳用餐”,

則Q=AaUB",且4與治互斥.根據(jù)題意得

12

PI=P（4）=9P（BI）=I-P（&）*，P（B?）=i—p（an）,

產(chǎn)（4九+1|4九）=4，尸（”九+1|8九）=2，

B=P（4）=PPQPC&Mi）+P（B1）P（A2|B1）=1"3抖2"＞1臺(tái)7

31

Pn+1=尸（AT+1）=尸（ZQPG^+ilAi）+尸（%）產(chǎn)缶九+11%）=+2（1—匕），

11

即Pn+l=彳8+2,

21121112

（2）0九+i-可=Q&+力-W=4%一石=4（匕-W），

又因?yàn)槠摺芬?，。，所以正一芻是以一翔首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列，

所以64=（0）X（扔T,

17.（15分）已知邊長(zhǎng)為4的菱形ABC。（如圖1）,ABAD=J,4C與8。相交于點(diǎn)O,E為線段AO上一

點(diǎn)，將三角形46。沿8。折疊成三棱錐A-BCD（如圖2）.

（1）證明：BD±CE；

V15

（2）若三棱錐A-8CQ的體積為8,二面角3-CE-0的余弦值為一，求OE的長(zhǎng).

【解答】解：（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛8C。是邊長(zhǎng)為4的菱形，并且4艮4。=梟

所以△AB。，△BCD均為等邊三角形,

故AOJ_8。，COLBD,且4。=<;。=2痔

因?yàn)锳Ou平面AC。，COu平面AC。，且AOCCO=O,

所以8Z)_L平面AC。，

因?yàn)镃Eu平面AC。，所以BD_LCE.

(2)設(shè)A到平面8CQ的距離為/?,因?yàn)榈冗叀鰾C。的邊長(zhǎng)為4,

所以三棱錐A-BCD的體積為工X—x42/I=8,所以八=2V3,

34

因?yàn)?。=2b，所以AO_L平面BCD

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。2所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，。4所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系。-xyz,

則。(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2y[3,0),4(0,0,2遮),

設(shè)E(0,0,〃)(?>0),

因?yàn)?。，平面AC。，所以送i=(l,0,0)是平面EC。的一個(gè)法向量,

設(shè)平面BCE的法向量為其=(%,y,z),

—?—?

又BC=(-2,2V3,0),BE=(—2,0,n),

/TTI—

故.BC=-2x+2V3y=0

m2-BE=—2x+nz=0

取X=遍，則y=1,z=

得血2=(V3/1,

因?yàn)槎娼荁-CE-0的余弦值為巫，

10

而1崔2lV3V15

所以r---h=---i===7-，

m10

liH^2|lx4+J

7nz

解得71=字或n=—字(舍去)，

此時(shí)。E=

r2“2V2

18.(17分)已知橢圓C：今+4=l(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)2,禺心率為77，點(diǎn)尸為。上一

CLI)2

點(diǎn)，△PF/2周長(zhǎng)為2或+2,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)直線/：y=x+:"與C交于A,B兩點(diǎn),

(z)求△O4B面積的最大值；

—>—>—>

(〃?)設(shè)0Q=04+0B,試證明點(diǎn)。在定直線上，并求出定直線方程.

【解答】解：(1)設(shè)焦距為2c,

旦

a=V2/

依題意得，行=0’解得

2a+2c=2V2+2,c=1/

又〃2=廿+°2,所以房=〃2,。2=1,

%2

所以。的方程為二+y2=1.

2

(2)(z)設(shè)A(xi,yi),B(X2,”),

(%22_

聯(lián)立(2+丫-1，得3x2+4mx+2m2-2=0,

y=x-\-m

由A=16m2-4X3X(2m2-2)>0,解得m2<3,

2m2—2

所以％]+&=--'%1%2=

-3-

>—m'

x

所以|ZB|=J%—冷產(chǎn)+(yi-、2)2=V2XJ%+上)2—4%I%2=V24—8m

3-

而點(diǎn)。到直線/：尤-y+m=0的距離為d=粵，

V2

所以△048的面積S=1x4J3T*粵=學(xué)*7(3-m2)m2<孝X(3*；)+、=與,

當(dāng)且僅當(dāng)3-年=/，即爪=±乎時(shí)，△048的面積取得最大值

(z'z)設(shè)Q(x,y),

—>—>—>

日仍=%1+%2

因?yàn)?。Q=04+0B,所以(無，y)=(xi+%2,yi+y2),ty

即=yi+y2

因?yàn)?1+%2=---妥，所以+%2+2m—

4m

X-..Q-

所以

2m

y=^r

所以y=一/，

故點(diǎn)Q在定直線y=-2X,

19.(17分)定義：如果函數(shù)/(%)在定義域內(nèi)，存在極大值/Cn)和極小值/(%2),且存在一個(gè)常數(shù)左，

使/(%1)-/(及)=k(X1-X2)成立，則稱函數(shù)/(x)為極值可差比函數(shù)，常數(shù)左稱為該函數(shù)的極值

_