2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)突破：抽象函數(shù)及其性質(zhì)（解析版）

專(zhuān)題突破卷03抽象函數(shù)及其性質(zhì)

后題型陵覽Q

r

定義域問(wèn)題

/值域問(wèn)題

/求解析式

抽象函數(shù)奇偶性問(wèn)題

及其性債

Ry周期性問(wèn)題

對(duì)稱性問(wèn)題

\求解不等式

i題型突破G

1.定義域問(wèn)題

1.己知函數(shù)y=〃2x-l)的定義域是[―2,3],則y=〃ain(x+3)的定義域是()

A.(—3,3]B.—>2C.[—1,3]D.(—3,5]

【答案】D

【分析】先求出y=/(x)的定義域，再根據(jù)x+3>0可得y=/(x”n(x+3)的定義域.

【詳解】???函數(shù)y=/(2x—1)的定義域是[―2,3],即無(wú)《—2,3],則2x-le[—5,5],

???函數(shù)y=的定義域是［-5,5］,

f-5<x<5

對(duì)于函數(shù)y=/(x>ln(x+3)可得x+；>0,解得-3<xW5,

故y=〃x”n(x+3)的定義域是(―3,5］.

故選：D.

2.已知函數(shù)/(x+2)的定義域?yàn)?-1,1),則函數(shù)y="2x-l)的定義域?yàn)?)

A.(-1,1)B.(-3,1)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】D

【分析】求抽象函數(shù)的定義域，只需要牢記對(duì)應(yīng)法則括號(hào)中的式子取值范圍相同即可.

【詳解】設(shè)x+2=t,則/(x+2)=/(t),

因?yàn)楹瘮?shù)/(x+2)的定義域?yàn)?-1,1),所以當(dāng)時(shí)，/(x+2)有意義，

所以l<x+2<3,故當(dāng)且僅當(dāng)1</<3時(shí)，函數(shù)〃。有意義，

所以函數(shù)/⑺的定義域?yàn)?L3),

由函數(shù)/(2x—l)有意義可得l<2x—1<3,所以l<x<2,

所以函數(shù)〃2x-l)的定義域?yàn)?1,2),

故選：D.

3.(2023春?浙江?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)已知函數(shù)>=/(尤)的定義域是R,值域?yàn)椋?2,8］,則下列函數(shù)中值域

也為［-2,8］的是()

A.j=3/(x)+lB.y=f(3x+I)C.y=-f(x)D.y=|f(2x)|

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義及定義域求解即可.

【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋?2,8］,

可知，、=3/'(幻+1的值域?yàn)椋?5,25］,>=-/(幻的值域?yàn)椋?8,2］,

y="(2x)1的值域?yàn)椋?,8］,y=/(3x+l)的值域?yàn)椋?2,8］,

故選：B

4.若函數(shù)y=〃x)的定義域?yàn)椋?1』，則＞=上土的定義域?yàn)?)

X+1

A.[0,2]B.[-2,0]

C.[-2,-l)u(-l,2]D.[-2,-l)u(-l,0]

【答案】D

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法，列出方程組，即可求得答案.

【詳解】因?yàn)閥=/(x)的定義域是［-U］,所以-"無(wú)41,根據(jù)抽象函數(shù)定義域求法,

f(x+1)「―IWx+lWl

在函數(shù)y=—2中，，解得一2WX<-1或—1<XWO.

?x+1|x+l*0

故選：D.

5.已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)閯t＞=的定義域?yàn)開(kāi)________________

【答案】［一2,-1)

【分析】抽象函數(shù)定義域求解，x+1需整體在范圍內(nèi)，從而解出無(wú)的范圍，同時(shí)注意需保證

X2-2X-3＞0,最后求出交集即可得解.

〃x+l)

【詳解】由己知，/(2的定義域?yàn)椋?1』，所以對(duì)于＞=

JX2-2龍-3

—1+「\

x需滿足f-2尤-3>。'解得"4一2，-1)

故答案為：卜2,-1).

2.值域問(wèn)題

6.已知是定義在［-2,2］上的奇函數(shù)，且當(dāng)尤＞0時(shí)，〃力的圖象如圖所示，那么的值域是(

A.[-3,3]B.(-3,-2]U[2,3)

C.［-3,-2)U(2,3］D.［-3,-2)U{0}U(2,3］

【答案】D

【分析】由圖象得出函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,2］上的值域，并得出〃0)=0,利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)

y=/(力在區(qū)間［-2,0)上的值域，由此可得出函數(shù)y=/⑺的值域.

【詳解】由圖象可知，當(dāng)0<xV2時(shí)，2</(x)W3,

由于函數(shù)y=/(x)是定義在［—2,2］上的奇函數(shù)，貝1］〃0)=。.

當(dāng)一2Wx<0時(shí)，0<—xW2,則2</(—x)<3,即2<—/(x)43,解得一3</(x)<-2.

即函數(shù)y=/⑺在區(qū)間［-2,0)上的值域?yàn)椋?3,-2).

因此，函數(shù)y=〃尤)的值域?yàn)椋?3,-2)U{0}U(2,3］.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查奇函數(shù)值域的求解，解題時(shí)應(yīng)充分利用奇函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題

的能力，屬于中等題.

7.(1)已知函數(shù)/⑴的定義域?yàn)?L2］,值域?yàn)樵O(shè)g(x)=f(2x-l),求g(x)的定義域和值域；

(2)已知g(x)=f(2x—1)+1,且g(x)的定義域?yàn)?L2］,值域?yàn)椋?5,+?),求函數(shù)/(x)的定義域和值域.

【答案】(1)g(x)的定義域?yàn)?,g，值域?yàn)椋?5,內(nèi)).(2)Ax)的定義域?yàn)?L3］,值域?yàn)椋踕,+⑹.

【解析】(1)根據(jù)1<2X-1V2得到定義域，g(x)和了⑶值域相同得到答案.

(2)根據(jù)1<%<2得到l<2x-1V3,得到定義域，再計(jì)算值域得到答案.

3

【詳解】(1)因?yàn)?<2%-”2,所以值域?yàn)椋?5,y).

因此函數(shù)g(x)的定義域?yàn)椤?|,值域?yàn)椋?5,轉(zhuǎn)).

(2)因?yàn)?<%W2,所以2<2xV4,所以l<2x—”3.

因?yàn)間(x)N-5,所以g(x)-12-6.

因?yàn)間(無(wú))=/(2x-l)+l,所以f(2x-l)-g(尤)-1>-6:./(尤)>-6.

因此函數(shù)/(幻的定義域?yàn)?1,引，值域?yàn)椋?6,內(nèi)).

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的定義域和值域，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

8.定義在R上的函數(shù)“X)對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y都滿足/(力彳0,且/(x+y)=/(x)―/(y)，已知了⑺在(0,+功

上的值域?yàn)?0,1),則/'(X)在R上的值域是()

A.RB.(0,1)C.(。,+8)D.(0,l)U(l*)

【答案】C

【分析】令x=y=0,可得/(0)=/(0)-/(0)〃0)=1,再令y=T，可得/(0)=/(%)?/(一幻=1,得到〃力

在(-8,0)上的值域?yàn)?，收)，即得解.

【詳解】因?yàn)槎x在R上的函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y都滿足〃x)w0,且/(x+y)=/(?/(y),

令尤=y=0,可得。(0)=/(0)-/(0).-./(0)=1,

再令y=T*可得f(0)=f(x)"(-尤)=1,

又〃X)在(0,+力)上的值域?yàn)?0,1),因此在(-8,0)上的值域?yàn)?/p>

則/(x)在R上的值域是(0,+“).

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)的值域問(wèn)題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較

難題.

9.設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，g(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，若函數(shù)/(x)+g(x)的值域?yàn)椋?,3),則函

數(shù)〃X)-g(X)的值域?yàn)?

【答案】

【分析】設(shè)Mx)=〃x)+g(x),根據(jù)奇偶性的定義得出〃X)-g(X)=-/z(T),再根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得

出函數(shù)y=J(x)-g(x)的值域.

【詳解】設(shè)Mx)=/(x)+g(x),由于該函數(shù)的值域?yàn)椋?,3),則函數(shù)y=M-x)的值域也為［1,3),即

l</?(-x)<3.

函數(shù)y=/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，y=g⑺是R上的偶函數(shù)，

■-h(-x)=/(-x)+g(-x)=-/(x)+g(x),貝｝|/(x)-g(x)=-/z(-X),

由不等式的性質(zhì)得-因此，函數(shù)-g(x)的值域?yàn)?-

故答案為(-3,-1].

【點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)的值域，同時(shí)也考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及不等式的性質(zhì)，考查分析問(wèn)題

和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.

10.已知函數(shù)y=/(x),(1,2,3｝,yeN",對(duì)任意“e｛1,2｝都有〃/(〃))=3〃,且是增函數(shù)，則用

列舉法表示函數(shù)的值域是.

【答案】｛2,3,6｝

【分析】根據(jù)題意，令〃1)=。，由條件求得而0=2,即/(1)=2.而由/(。)=3知，"2)=3,于是得到了(3)

的值，將其值域用列舉法表示即可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，令fQ)=a,

對(duì)任意MN*都有/[/(〃)]=3",故有awl,否則，可得/==這與/[〃川=3x1=3矛盾；

從而“>1,而由/(/。))=3,即得/(a)=3.

又由7(x)是增函數(shù)，則即a<3,于是得到1<a<3.

又aeN*,從而a=2,即/'(1)=2.

而由〃a)=3知，"2)=3.

于是/(3)=/(*2))=3x2=6,

則函數(shù)的值域｛2,3,6｝；

故答案為｛2,3,6｝.

根據(jù)題意，令/⑴=*由條件求得而a=2,即/⑴=2.而由/(a)=3知，/(2)=3,于是得到“3)的值，

將其值域用列舉法表示即可得答案.

【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的求值，涉及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，求出a=2,是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

11.設(shè)函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都有/(尤+y)=f(x)+/(y),且x<o時(shí)，f(x)>0,/(1)=-1.

(1)求證/(x)是奇函數(shù)；

(2)求/⑴在區(qū)間[-3,3]上的最大值和最小值.

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)最小值-1,最大值1.

【分析】(1)利用賦值法，令x=O,y=。代入函數(shù)式,可求得”0),再令y=-X代入函數(shù)式，即可證明函數(shù)為奇

函數(shù).

(2)利用定義法，可證明函數(shù)在R上單調(diào)遞減.再根據(jù)/(尤+封=/(力+/(村,用/■⑴表示出最大值與

最小值即可求解.

【詳解】(1)證明：令x=0,y=。代入函數(shù)式可得

/(0+0)=/(0)+/(0)

即"0)=0

令代入函數(shù)式可得

?/'(-x)+"x)=/(O)=。

所以

函數(shù)定義域?yàn)镽,所以/(X)是奇函數(shù)

(2)先證明函數(shù)的單調(diào)性，證明過(guò)程如下：

任取士＜馬,則為-々＜0

由題意可知〃占一%)＞0

因?yàn)?(x+y)=/(x)+/(y)

所以/(%)—/(%)=/[(尤1一%)+%]-/(々)

=/(菁f)+/(%)-/(%)

=/(玉-尤2)＞。

即/(再)＞/(々)

所以/(%)在R上單調(diào)遞減，且/⑴=-；

所以Ax)在區(qū)間[—3,3]上的/(%)(=/(3),/(%)_=/(-3)

〃力皿=〃3)=〃1+2)

=/(1)+/(2)=3/(1)=-1

小)3=〃-3)-(3)=1

【點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，賦值法在求值中的應(yīng)用，

屬于中檔題.

3.求解析式

12.已知函數(shù)/(x)為定義在R上的函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：

(1)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y恒有/(x+y)=〃x)+/(y)+l；

(2)/(x)在R上單調(diào)遞減.

請(qǐng)寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)F(x)=.

【答案】-X-1(答案不唯一)

【分析】由(1)(2)可設(shè)〃2=6+可”0),由〃x+y)=/(x)+/(y)+l可求》=-1,從而可求解.

【詳解】由(1)(2)可設(shè)/(x)=ox+6(a<0),

由〃x+y)=/(x)+/(y)+i,

可得a(x+y)+6=ox+b+ay+6+l=a(x+y)+2Z7+l,

化簡(jiǎn)可得6=-1.

故的解析式可為=6-1(。<。).

取“=-1可得滿足條件的一個(gè)〃力=r-1.

故答案為:-X-1.

13.定義在R上的函數(shù)加)滿足〃0)=0,并且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都有/(x—y)=/(x)-y(2x-y+2),求

的解析式.

【答案】〃x)=/+2x

【分析】對(duì)/(x-y)=/(x)-y(2x-y+2)進(jìn)行賦值，解方程求得〃無(wú))的解析式.

【詳解】對(duì)任意實(shí)數(shù)x,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+2),

令丁=-得〃0)=/(力—x(2x-x+2),即/(O)=/(x)-x(x+2),

又/(0)=0,所以/(x)=x(無(wú)+2)=%2+21

14.定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)〃x)的圖象是一條連綿不斷的曲線，VxeR,于+/=[〃尤)了+舟⑺，

且/(X)的最大值為1，最小值為0.

(D求/(1)與/(—1)的值；

⑵求〃力的解析式.

【答案】(1"⑴=1，/(-1)=1

+8)

⑵/(x)=<-X3,XG(-1,0)

[0,1)

【分析】(1)利用賦值法，令x=l,得到"1)=1；令戶―1,得至iJ/(—1)=1；

(2)先由[/(尤)+白=[〃x)[一由⑴得到[〃力_尤3][〃同+月[〃"-1]=0,根據(jù)〃X)的最大值為

1,最小值為0及

圖象連續(xù)，寫(xiě)出了(x)的解析式.

(1)

令x=l,則/3(1)+1=尸(1)+/⑴，得尸⑴(〃1)T=/⑴一1

??.(/(1)+1)(/(1)-1)2=0,/(x)>0

???"1)=1

令廣一1,則r(T)+i=/2(T+〃T，

同理

(2)

由[/(尤)+尤6]=[/(X)]2_尤6〃尤)

M[/2(X)-X6][/(X)-1]=0,Bp[/(x)-%3][/(x)+?][/(x)-l]=0

這說(shuō)明VxeR,/(x)至少與1,丁，一工3其中之一相等

??"(X)的最大值為1,最小值為。

在區(qū)間(-?,1]和口,+8)上，一定有〃x)=1

/(元)=0只能在X=O處取得，因此〃。)=。

又：函數(shù)/(%)的圖象是一條連綿不斷的曲線

1,XG

的解析式為〃X)=-x3,xe(-l,0)

X3,XG［0,1)

15.若定義在R上的函數(shù)〃x)滿足〃x)=3/(附+尤2-2X,則〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.和［0,1］B.(-oo,-5］和［0,1］

C.和［l,+oo)D.［-5,0］^［1,+00)

【答案】B

【分析】當(dāng)X20可求得〃尤)=一;無(wú)2+無(wú)；當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,由已知關(guān)系式可得〃X)=3〃T)+X2-2X,

進(jìn)而得到/(X)=-1X2-5X；由二次函數(shù)性質(zhì)可得單調(diào)遞增區(qū)間.

［詳解］當(dāng)xNO時(shí)，/(X)=3/(X)+X2-2X,則〃x)=_gx2+尤，

\/(X)在［?！簧蠁握{(diào)遞增；

當(dāng)xvO時(shí)，一%>0,「./(—%)二—%,

\/⑴在(7,-5］上單調(diào)遞增；

綜上所述：〃司的單調(diào)遞增區(qū)間為(F,-司和［0,1］.

故選：B.

16.已知函數(shù)/(x)是定義域?yàn)?0,+8)的單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意的無(wú)€(。,內(nèi))，都有/'(/(X)-X2)=2,則

/(J2022)=.

【答案】2023

【分析】由是定義域?yàn)?0,+◎的單調(diào)函數(shù)及/(/(X)-d)=2知/(X)-Y為常數(shù)，

設(shè)/(X)-爐=冽，可得/(附=2,從而可求得加值確定/(x)的解析式即可.

【詳解】???對(duì)任意xe(0,+8),均有/(/(%)—=2,且/(x)在(0,+8)上單調(diào),

所以/(x)-d為常數(shù)，

...設(shè)/(尤)一V=根，/(x)-x2+m,優(yōu)為常數(shù)，

函數(shù)/(x)是定義域?yàn)?0,+8),故相>0

又f(加)=2=>〃7+〃2=2=>〃2=1或加=一2(舍)，

/(x)=x2+l,/(V2022)=2023

故答案為：2023.

17.求下列函數(shù)解析式：

⑴已知了(石+1)=尤-2?,求〃x)的解析式.

⑵已知/("+2/1￡|=3尤-2,求的解析式.

【答案】⑴/(x)=d-4x+3(x21)

22

(2)/⑴=T+——不("0)

x3

【分析】(1)令4+1=改21)，使用換元法求解析式；

(2)令x=，得+尤)=3-2,與原式組成方程組求解.

X\xJX

【詳解】(1)令?+—,則?=1-1

所以/(■)=(%—1)2_2(1—1)=〃—4%+3

所以/(x)=/一4X+3(X21)

綜上所述，結(jié)論是:/(%)=/一4冗+3(x21)

(2)令尤=!得/1_1]+2/(用=』_2,

/(x)+2/W=3x-2

由<

/W+2/(x)=--2

IWx

22

解得/(x)=_%+——彳("0)

x3

綜上所述，結(jié)論是：/(x)=-x+』2-；2(xxO)

4.奇偶性問(wèn)題

18.(多選)已知〃x)是定義在R上不恒為。的偶函數(shù)，g@)是定義在R上不恒為0的奇函數(shù)，則()

，(7(x))為奇函數(shù)B.g(g(x))為奇函數(shù)

C.f(g(x))為偶函數(shù)D.g(y(x))為偶函數(shù)

【答案】BCD

【分析】根據(jù)已知，利用奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.

【詳解】由題意可知，/(-%)=/(%),所以/(〃r))=/(〃尤))，所以〃〃切為偶函數(shù)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；

由g(f)=—g(x),得g(g(-x))=g(-g(x))=-g(g(x))，所以g(g(x))為奇函數(shù)，B項(xiàng)正確；

因?yàn)?(g(-x))=/(—g(x))=/(g(x))，所以/(g(M為偶函數(shù)，C項(xiàng)正確；

因?yàn)間(/(-x))=g(/(x))，所以g(/(x))為偶函數(shù)，D項(xiàng)正確.

故選：BCD.

19.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足〃f)=-〃2+x),當(dāng)-2W0時(shí),〃力單調(diào)遞增，則()

A.(tanm</(2023)<7,g3J

B.'tan篝上小加；］<“2023)

C./(log3^</(2023)</^tan^

D.<(tan"2023)

【答案】A

【分析】由題意求出函數(shù)的周期，然后根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)判斷出函數(shù)在［0,2］上的單調(diào)性，進(jìn)而將自變量的取

值轉(zhuǎn)化到區(qū)間［0,2］上，利用放縮法判斷出它們的大小關(guān)系，最后根據(jù)單調(diào)性求得答案.

【詳解】因?yàn)锳x)為偶函數(shù)，所以/(-x)=/(x),

又/(—3=一〃2+無(wú))，所以/(元)=—/(2+無(wú))，

所以f(x)=f(x+4),即是周期為4的函數(shù)，

貝IJ/(2023)=/(506x4-l)=1)=/(I).

rj-l717兀71

因?yàn)橐?lt;--<一

4243

所以l<tan1^<G/flog31U/(-log32)=/(log32)

0<log32<1.

因?yàn)?(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)-2Wx<0時(shí)，/(x)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)04xW2時(shí)，〃無(wú))單調(diào)遞減，tan—</(2023)<

故選：A.

20.(多選)已知了(九)是定義在R上的奇函數(shù),f(x)=f(2-x),f(l)=2,設(shè)g(x)=V(x+l),則()

A.函數(shù)/⑶的周期為4B.”2022)+/(—2023)=2

50

c.g(尤)是偶函數(shù)D.?住)=一52

k=T

【答案】ABD

【分析】先由函數(shù)是奇函數(shù)，/(x)=/(2-x),可判斷函數(shù)的周期，再根據(jù)周期性可將選項(xiàng)B中的函數(shù)值轉(zhuǎn)

化，由函數(shù)奇偶性的定義判斷g(x)是奇函數(shù)，根據(jù)函數(shù)周期性可以推得g(4左-2)+g(4Q=4,進(jìn)而求得

50

⑶=-52.

k=l

【詳解】對(duì)于A：S^/(%+4)=f(-x-2)=-f(x+2)=-/(-x)=/(x),所以/(x)是周期為4的函數(shù)，故A

正確；

對(duì)于B：因?yàn)榈闹芷跒?,所以八2022)=/(2)=/(0)=0,所以“2022)=0,

/(-2023)=-/(2023)=-/(-I)=/(I)=2,所以“2022)+/(-2023)=2,故B正確;

對(duì)于C：因?yàn)間(-無(wú))=—#(1一無(wú))=一葉(1+無(wú))=-g。)，所以g(無(wú))是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：因?yàn)?(2)=為0)=0,〃4)=迫0)=0,所以/(26=0,左eN*,

所以g(2k-l)=(2k-1)/(2%)=0,左eN*,

因?yàn)閒(4無(wú)+1)=/(I)=2,f(4k-1)=f(T)=-2,無(wú)eN*,

g(4k-2)+g(4k)=(4k-2)-f(4k-V)+4k-f(4k+1)=-2(44-2)+2?4%=4,%eN*,

Xg㈤=[g⑴+g⑶+…+g(49)]+卬⑵+g(4)+…+g(48)]+g(50)

k=l

=o+^+4+50x/(51)=48+50x/(3)=48+50x(-2)=-52；故D正確.

12個(gè)4

故選：ABD.

21.已知為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，單調(diào)遞增，且/(-忘)=0,/&]<一3,〃2)>3,

則函數(shù)g(x)=|/(x)|-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性結(jié)合函數(shù)值的范圍，作圖數(shù)形結(jié)合即可判斷.

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，且/(-0)=0,且/(X)為定義在R上的奇函數(shù),

所以"7)=-〃x),可得/(收)=0且在(-e,0)上單調(diào)遞增，

由g(x)=/(x)|-3=0,得,(x)|=3.

又因?yàn)椤?)>3,可得

“X)為定義在R上的奇函數(shù),又可得了1；|>3,|/(-2)|>3,

根據(jù)題意作出滿足要求的y=/(x)|的大致圖像，

由圖知，直線>=3與y=|/(x)|的圖像有4個(gè)公共點(diǎn)，

所以g(x)=|〃x)|-3有4個(gè)零點(diǎn).

22.(多選)已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,f為奇函數(shù)，且對(duì)于任意xeR,都有/(2-x)=f(x),

則()

A./(x+l)=/(x)B.f0

D?小二

c./(X+2)為偶函數(shù)為奇函數(shù)

【答案】BCD

【分析】由題意可得/(2-x)?(x),結(jié)合/卜+；)為奇函數(shù)可得〃x+2)=〃x),從而可判斷選項(xiàng)A；由

/(x)=-/(l-x),得，9=0,在〃%+1)=-/3中，令彳=一;可判斷選項(xiàng)B；由/(x+2)=/(x),

“2-x)=f(x)可判斷選項(xiàng)C；由/(x)=-/(l-x),〃x+2)=〃x)可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】由/卜+g)為奇函數(shù)，可得/卜+gj=-，r+￡|,EPf(x)=-/(l-x),

又因?yàn)?(2-工閆(%),所以/(2-力=-7(1-力，gp/(x+l)=-y(x),

所以/(x+2)=_/(x+l),所以〃x+2)=/(x),故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

由〃司=一/(1—力，得4m=0,由/卜+1)=-/卜)，得/［；，-/,￡!，

所以/］-1=0,故選項(xiàng)B正確；

由/(x+2)=/(x),f(2-x)=f(x),得/(2—x)=/(x+2),

所以/(x+2)為偶函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；

由〃x)=-/(l—X)，/(x+2)=/(x),可得一=

所以“X)=一/(TT),

即/［x-￡|=-/，x-￡|,故/［尤-；］為奇函數(shù)，故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD

23.(多選)己知/(x),g(x)都是定義在R上且不恒為0的函數(shù)，則()

A.y=為偶函數(shù)

B.y=g(x)+g(-x)為奇函數(shù)

C.若g(x)為奇函數(shù)，"X)為偶函數(shù)，則y=/(g(x))為奇函數(shù)

D.若為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，則y=/(x)-g(x)為非奇非偶函數(shù)

【答案】AD

【分析】根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】選項(xiàng)A：

設(shè)，7(X)=〃X)-〃-X),

因?yàn)閺V(X)是定義在R上的函數(shù)，所以〃(X)的定義域?yàn)镽,

/?(-%)=/(-x)-/(x)=/z(x),所以/z(x)為偶函數(shù)，故A正確；

選項(xiàng)B：

，(x)=g(x)+g(-x)，

因?yàn)間(x)是定義在R上的函數(shù)，所以《尤)的定義域?yàn)镽,r(-x)=g(-x)+g(x)=《x),所以《X)為偶函數(shù),

故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：

設(shè)加(x)=/(g(x))，

因?yàn)椤╔)，g(x)都是定義在R上的函數(shù)，所以"Z(X)的定義域?yàn)镽,

因?yàn)間(X)為奇函數(shù),/(X)為偶函數(shù),所以m(-x)=/(g(-%))=f(-g(x))=f(g(%))=m(x),

所以根(x)為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：

設(shè)"(x)=/(x)—g(x),

因?yàn)閺V(X)，g(x)都是定義在R上的函數(shù)，所以〃⑺的定義域?yàn)镽,

7?(X)+H(-X)=/(X)-g(X)+/(-X)-g(-X)=/(X)-g(X)-/(%)-g(%)=-2g(X),

因?yàn)間(x)是不恒為。的函數(shù)，

所以〃(x)+”(-x)=O不恒成立，所以“(X)不是奇函數(shù)，

"(%)一〃(一%)=/'(尤)一8(%)—[/'(一*)一8(—%)]=/(》)一8(%)+/(工)+8(尤)=2/'(尤),

因?yàn)槭遣缓銥?。的函?shù)，所以“(%)="(-%)不恒成立，

所以“(X)不是偶函數(shù)，所以,(X)是非奇非偶函數(shù)，故D正確，

故選：AD.

5.周期性問(wèn)題

24.若函數(shù)的定義域?yàn)镽,且==則“2023)=.

【答案】0

【分析】推導(dǎo)出函數(shù)“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,。)中心對(duì)稱，可得出〃T)=0,推導(dǎo)出函數(shù)為周期函數(shù)，

確定該函數(shù)的周期，結(jié)合函數(shù)的周期性可求得了(2023)的值.

【詳解】因?yàn)?所以，〃X)=一/[一(》-1)一3]=-/(一工一2),

所以函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(T0)中心對(duì)稱，

又因?yàn)楹瘮?shù)〃力的定義域?yàn)镽,所以〃T)=0.

由〃1一同=一/(一工一3),可得/(x+l)=-〃x-3),BP/(x+4)=-/(%),

所以,/(x+8)=-/(x+4)=〃x),所以函數(shù)的周期是8,

所以“2023)=〃8x253-1)=止1)=0.

故答案為：0.

25.設(shè)函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,〃x+l)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)xe[l,2]時(shí)，f(x)=ax2+b,若

j(o)+f(3)=i2,則()

A.5B.4C.—D.2

2

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的周期性、代入法進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)?(X+1)為奇函數(shù)，所以有〃x+l)=—X+1),

因?yàn)椤▁+2)為偶函數(shù)，所以有〃x+2)=/(r+2),

/(%+l)=-f(-%+l)^>/(x+2)=-/(-^)=/(-^+2)^>-f(%)=/(x+2)

n-/(x+2)=〃x+4)n+4),

所以函數(shù)的周期為4,

由〃x+l)=—〃r+l)n〃0)=—/(2),

由〃x+2)"(f+2)n〃3)=〃l),

由〃。）+/■⑶=12=>—〃2）+/■⑴=12=—（4a+6）+a+6=12na=T,

/(x+l)=_/(T+l)n〃l)=_Al)n〃l)=0na+/=On6=4,

3一4x'+4

dllI=5,

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的周期，利用賦值法是解題的關(guān)鍵.

2023

26.定義在R上的函數(shù)滿足/(尤+3)+/(》+1)=/(2)=1,則

左=1

【答案】1012

【分析】先根據(jù)題意可得到了(x+3)=/(x-l),從而可得到函數(shù)的周期性，再通過(guò)賦值尤=-1和x=0得到

"4)=0和”1)+/⑵+〃3)+〃4)=2,進(jìn)而即可求解.

【詳解】由/(x+3)+/(x+l)=(⑵=1,

貝"(x+l)+/d=〃2)=l,

所以/(尤+3)=/(x—l),即/(x+4)"(r),

所以/(x)是以4為周期的周期函數(shù).

令x=—1,得/⑵+/(0)"⑵,所以〃0)=。=〃4),

令x=0,則/⑶+/⑴"⑵,所以〃1)+〃2)+〃3)+/(4)=2〃2)=2,

2023

所以Z"女)=505X[〃1)+〃2)+〃3)+〃4)[+[〃1)+〃2)+〃3)]=K)12.

k=l

故答案為：1012.

27.已知定義在R上的函數(shù)滿足：〃f)+〃x)=0,/(2-x)=/(%),當(dāng)04x<l時(shí)，/(x)=2l-l,

則〃1鳴2023)=

…3999

【答案一訴

【分析】根據(jù)已知條件推導(dǎo)出函數(shù)/(X)是周期為4的周期函數(shù)，求得2<log22023-8<3,結(jié)合

/(log22023)=/(log22023-8)=-f(log22023-10),結(jié)合已知條件代值計(jì)算即可得解.

【詳解】因?yàn)槎x在R上的函數(shù)滿足：〃r)+/(x)=0,〃2—x)=/(x),

所以，/(-%)=-/(%),即函數(shù)“X)為奇函數(shù),

貝廳(x)=/(2—x)=—〃x—2),所以，〃x+2)=—〃x)=/(x-2),

故函數(shù)/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

因?yàn)?1°=1024<2023<2"=2048,所以，10<log22023<11,

則2<log22023—8<3,-l<10-log22023<0,

所以，/(廄2023)=/(log22023-8)=/[2-(log?2023-8)]=/(10-log22023)

=-/(log,2023-10)=1-210g22°23To=1-_22L

v62'2101024

999

故答案為：一而

28.(多選)定義在R上的函數(shù)〃x)滿足/(x+3)+〃x+l)=〃2),/(2-x)=/(x+4),若fII

則()

B./(2022)=1

A.是周期函數(shù)

200/

C.7(x)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱D.X句'Ik-100

k=\\

【答案】ACD

【分析】根據(jù)/(x+3)+〃x+l)=〃2),可得〃x+l)+/(x-l)=/(2),進(jìn)而可得〃x+3)=/(x—l),從而

可得函數(shù)的周期性，即可判斷A；結(jié)合/(2-x)=/(x+4),可得函數(shù)的對(duì)稱性，即可判斷C；根據(jù)函數(shù)的

周期性及對(duì)稱性計(jì)算即可判斷BD.

【詳解】因?yàn)閂eR,/(元+3)+/(尤+1)=/(2),所以〃x+l)+/(x-l)=f(2),

所以〃x+3)=/(x-l),即f(x+4)"(x),

所以/(x)是周期為4的周期函數(shù)，則A正確;

在〃x+3)+〃x+l)=f(2)中,令x=—1,得〃2)+〃0)=/(2),則〃0)=0,

因?yàn)?(2T)=/(4+X)=〃X),

所以/(x)的圖象關(guān)于直線尤=1對(duì)稱，則C正確;

因?yàn)椤ā?=。，所以〃2)=〃0)=0,所以/(2022)=〃2)=0,則B錯(cuò)誤;

93

由函數(shù)的對(duì)稱性與周期性可得了i1

因?yàn)?3)+f(x+1)=〃2)=0,即f(x+3)=-f(x+1),

所以佃T0=]，枝=-旗=彳，

則圖+3/圖+4佃+...+200/]啜

=1[(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+---+(197+198-199-200)]

=LX(—4X50)=-100,則D正確.

2

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)/(x+3)+〃x+l)=〃2),可得〃X+1)+/(L1)=/(2),進(jìn)而可得

/(x+3)=/(x—l),從而可得/(X)是周期為4的周期函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵.

29.(多選)己知函數(shù)/(X),g(x)的定義域均為R,且滿足“2-x)+/(x)=。,2(1-x)+g(x)=3,

〃x)+g(x—3)=3,貝I()

A.〃x)為奇函數(shù)B.4為g(x)的周期

C.〃l)+〃2)+…+"20)=60D.g⑴+g⑵+…+g(20)=60

【答案】BD

【分析】對(duì)于A,由〃2T)+〃X)=0得出/(x)的對(duì)稱中心為(1,0),再由“1-x)+g(x)=3和

〃x)+g(x-3)=3得出“X)關(guān)于x=2對(duì)稱，則/(x)關(guān)于>軸對(duì)稱，為偶函數(shù)，判斷出A；對(duì)于B,由

)(2-x)+/(x)=0和/(x+3)=/(1-x),得出/⑺的周期為4,再根據(jù)g(x)=3T(I),即可得出g(x)的

周期；對(duì)于C,由/(x)的周期性和奇偶性，求出/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=0,即可判斷C；對(duì)于D,根據(jù)

g(x)=3—/(I—x)和g(x)的周期即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A：

因?yàn)椤?-x)+/(x)=0,

所以/(x)的對(duì)稱中心為(1,0),

因?yàn)椤皒)+g(x-3)=3,

所以〃x+3)+g(x)=3,

X/(l-x)+g(x)=3,

所以/(x+3)=/(l-x),則以x)關(guān)于x=2對(duì)稱,結(jié)合f(x)的對(duì)稱中心為(1,0),

所以/(x)關(guān)于,軸對(duì)稱，即/(勸為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：

因?yàn)?(2—x)+〃x)=0,

所以〃l+x)+〃l—x)=0,

又/(尤+3)=/(1-工)，

所以“X+3)=-/(x+1),即f{x+2)=-/(%),

所以/(x+4)=-f(x+2)=-[-/(x)]=/(x),即/(x)的周期為4,

又g(x)=3—/(l-x),

所以g(x)的周期也為4,故B正確；

對(duì)于C：

由〃盼對(duì)稱中心為(1,0),得"1)=0,

又因?yàn)榱刷艑?duì)稱軸為x=2,所以"3)=0,所以Ax)關(guān)于(3,0)對(duì)稱中心，

所以(2,7(2))和(4,/(4))關(guān)于點(diǎn)(3,0)對(duì)稱，

所以“2)+/(4)=0,

所以〃1)+〃2)+/(3)+/(4)=0,

所以/。)+/(2)+…+/(20)=0,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：

由C得/(0)+f(l)+/(2)+/(3)=0,

因?yàn)間(x)=3-"1-力,

所以g(l)=3—f(0),g(2)-3-/(-l)=3-/(1),g⑶=3-/(2),g(4)=3-/(3),

所以g⑴+g(2)+g⑶+g(4)=3-/(0)+3-/(l)+3—〃2)+3T(3)

=12-[/(0)+/(1)+/⑵+f(3)]=12,

又因?yàn)間(x)的周期為4,

所以g(l)+g(2)+…+g(20)=5x[g(l)+g⑵+g(3)+g(4)]=60,故D正確，

故選：BD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：①若函數(shù)/（"+力是奇函數(shù)，則函數(shù)“X）的圖像關(guān)于點(diǎn)s,o）對(duì)稱；②若函數(shù)了（Q+力

是偶函數(shù)，則函數(shù)〃x）的圖像關(guān)于直線X=b對(duì)稱；③若函數(shù)/（X）是奇函數(shù)，則函數(shù)f（6+勿（4片0）的圖像

hh

關(guān)于點(diǎn)（一一,o）對(duì)稱；④若函數(shù)/（X）是偶函數(shù)，則函數(shù)/'（依+6）3/0）的圖像關(guān)于直線％=-一對(duì)稱；⑤若函

aa

數(shù)/（X）的圖像既有對(duì)稱軸又有對(duì)稱中心，則對(duì)稱軸關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱的直線仍是函數(shù)/（X）圖像的對(duì)稱軸，

對(duì)稱中心關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)仍是函數(shù)〃勸圖像的對(duì)稱中心；⑥若函數(shù)/（X）的圖像關(guān)于點(diǎn)（，”,〃）對(duì)稱，且函

數(shù)fix）在x=加時(shí)有意義，則有/（㈤=〃；⑦若函數(shù)/（%）的圖像具有雙對(duì)稱性,則函數(shù)/⑴為周期函數(shù);若/（X）

的圖像關(guān)于直線x=a,X=l，對(duì)稱，則函數(shù)/（X）是以21a-4為周期的周期函數(shù)；若/⑴的圖像關(guān)于點(diǎn)（%）和

s,c）對(duì)稱，則函數(shù)/（X）是以21a-同為周期的周期函數(shù)；若/（X）的圖像關(guān)于直線X=a對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)S,c）對(duì)

稱，則函數(shù)了⑴是以為周期的周期函數(shù)；⑧若函數(shù)/⑴的周期為T(mén),則函數(shù)/（辦+力（。*0）的周期為

T

\a\'

6.對(duì)稱問(wèn)題

30.已知函數(shù)“X）是定義域?yàn)椋‵,M）的奇函數(shù),滿足/（2-x）=〃2+x）,若〃1）=2,則

/（1）+/（2）+/（3）+...+/（2023）=（）

A.-2B.0C.2D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)題意求得函數(shù)了（力是以8為周期的周期函數(shù)，進(jìn)而求得/。）+/（2）+…+/（8）=0,結(jié)合周期

性，即可求解.

【詳解】解：由函數(shù)/（x）是定義域?yàn)椋═?,+a＞）的奇函數(shù)，可得/（-x）=-/（X）,

又由〃2—x）=〃2+x）,可得〃T）=〃4+X）,

所以-〃x）=〃x+4）,可得〃x）=.〃x+4）=/（x+8）,

所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，且/⑴=2,

因?yàn)楹瘮?shù)/（X）為奇函數(shù)，可得了（。）=。，所以/（8）=0,

又由〃1）=2,可得/。+2）=/（2-1）=/（1）=2,即/（3）=2,

/（4）=/（0）=0,/（5）=-/（1）-2,/（6）-/（2）,/（7）=/（-1）-/（1）=-2,

所以/⑴+*2)+*3)+…+4(8)=2+/■⑵+2+0—2—”2)—2+0=0,

斯以“1)+/⑵+…+”2023)=252."⑴+/(2)+…+〃8)]+/⑴+/(2)+…+/⑺=252x0+0=0.

故選：B.

31.(多選)已知〃力是定義在R上的函數(shù)，函數(shù)“X-2)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)1)的圖像關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是()

A./(-2)=0B,對(duì)VxeR,/(x)=/(x+4)恒成立

C.函數(shù)〃x)關(guān)于點(diǎn)(TO)中心對(duì)稱D.”2023)=0

【答案】BCD

【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)的對(duì)稱性和周期性，利用相關(guān)性質(zhì)判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】???函數(shù)/(X-2)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，.?.函數(shù)/(X)的圖像關(guān)于直線X=-2對(duì)稱，

??J(x-2)=f(-x-2),則小)="T一4),

???函數(shù)〃x-l)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，.?.函數(shù)〃x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-1,0)中心對(duì)稱，/(-1)=0,

=則/")=—/(—x—2),C選項(xiàng)正確；

?.-/(x)=/(-x-4)=-/(-x-2),.-./(x-4)=-/(x-2),故/(x)"(x+4),B選項(xiàng)正確;

/(2023)=/(506x4-l)=/(-l)=0,D選項(xiàng)正確;

沒(méi)有條件能確定/(-2)=0,A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BCD.

32.(多選)已知定義在R上的函數(shù)y=/(x)滿足]無(wú)一|)=一/(可，且為奇函數(shù)，=

/(0)=2.下列說(shuō)法正確的是()

A.3是函數(shù))=/(無(wú))的一個(gè)周期

3

B.函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線X=:對(duì)稱

4

C.函數(shù)，=/(幻是偶函數(shù)

D.〃1)+〃2)+〃3)+…+”2023)=2

【答案】AC

【分析】根據(jù)已知可推得=即可得出A項(xiàng)；由/卜+：）為奇函數(shù)，即可得出函

數(shù)的對(duì)稱性；易知小+|卜八），結(jié)合小-|]=-〃可，即可推得/（-力=/（江得出C項(xiàng)；根據(jù)

函數(shù)的奇偶性、周期性求解，即可判斷D項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?[尤一?=一〃可，所以“了二六一/口一目二/⑺，所以3是函數(shù)y=/（x）的

一個(gè)周期，故A正確;

對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，為奇函?shù)，所以/

所以，點(diǎn)是函數(shù)y=/（x）圖象的對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椋?口+?）為奇函數(shù)，所以/

所以/［一尤+|)=一/(x).

又因