2024-2025版高中數(shù)學第三章不等式3.3.2.2簡單線性規(guī)劃的應用學案新人教A版必修5

PAGE第2課時簡潔線性規(guī)劃的應用學習目標1.能從實際問題中抽象出線性規(guī)劃問題,并加以解決.(數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學運算)2.會求解線性規(guī)劃的最優(yōu)整數(shù)解問題.(數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學運算).關鍵實力·合作學習類型一線性規(guī)劃的實際應用問題(數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算)【典例】某家具廠有木料90m3,五合板600m2,打算加工成書桌和書櫥出售.已知生產(chǎn)每張書桌須要木料0.1m3,五合板2m2,生產(chǎn)每個書櫥須要木料【思路導引】可先設出變量,寫出目標函數(shù)和約束條件,轉化為線性規(guī)劃問題來求解.【解析】設生產(chǎn)書桌x張,生產(chǎn)書櫥y個,利潤為z元,則目標函數(shù)為z=80x+120y,依據(jù)題意知,約束條件為QUOTE即QUOTE畫出可行域為如圖所示對應的整數(shù)點,作直線l:80x+120y=0,并平移直線l,由圖可知,當直線l過點C時,z取得最大值,解QUOTE得C(100,400),所以zmax=80×100+120×400=56000,即生產(chǎn)100張書桌,400個書櫥,可獲得最大利潤.(變結論)例題中的條件不變,假如只支配生產(chǎn)書桌可獲利潤多少?假如只支配生產(chǎn)書櫥呢?【解析】(1)若只生產(chǎn)書桌,則y=0,此時目標函數(shù)z=80x,由例題解析圖可知zmax=80×300=24000,即只生產(chǎn)書桌,可獲利潤24000元.(2)若只生產(chǎn)書櫥,則x=0,此時目標函數(shù)z=120y,由例題解析圖可知zmax=120×450=54000,即只生產(chǎn)書櫥,可獲利潤54000元.線性規(guī)劃的實際問題的數(shù)學模型(1)列表定條件:須要通過審題理解題意,找出各量之間的關系,最好是列成表格,找出線性約束條件.(2)定目標函數(shù):寫出所探討的目標函數(shù).(3)數(shù)形結合求最值:解線性規(guī)劃應用題時,先轉化為簡潔的線性規(guī)劃問題,再按作圖、平移、求值的步驟完成即可.【補償訓練】某公司生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,其中生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品,須要甲染料1噸,乙染料4噸,丙染料2噸,生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品,須要甲染料1噸,乙染料0噸,丙染料5噸,且該公司一天之內甲、乙、丙三種染料的用量分別不超過50噸、160噸和200噸,假如A產(chǎn)品的利潤為300元/噸,B產(chǎn)品的利潤為200元/噸,設公司支配一天內支配生產(chǎn)A產(chǎn)品x噸,B產(chǎn)品y噸.(1)用x,y列出滿意條件的數(shù)學關系式,并在如圖所示的坐標系中畫出相應的平面區(qū)域;(2)該公司每天需生產(chǎn)A,B產(chǎn)品各多少噸可獲得最大利潤,最大利潤是多少?【解析】(1)由題意可得,QUOTE可行域如圖所示.(2)設利潤z=300x+200y,由QUOTE可得x=40,y=10,結合圖形可得x=40,y=10時,zmax=14000.答:該公司每天需生產(chǎn)A,B產(chǎn)品分別為40噸,10噸可獲得最大利潤,最大利潤為14000元.【拓展延長】解答線性規(guī)劃應用題的一般步驟(1)審題——細致閱讀,明確有哪些限制條件,起關鍵作用的變量有哪些.由于線性規(guī)劃應用題中的變量比較多,為了理順題目中量與量之間的關系,有時可借助表格來理順.(2)轉化——設元.寫出約束條件和目標函數(shù),從而將實際問題轉化為數(shù)學上的線性規(guī)劃問題.(3)求解——利用線性規(guī)劃求解.(4)作答——就應用題提出的問題作出回答.【拓展訓練】某人承攬一項業(yè)務,需做文字標牌4個,繪畫標牌5個.現(xiàn)有兩種規(guī)格的原料,甲種規(guī)格每張3m2,可做文字標牌1個,繪畫標牌2個;乙種規(guī)格每張2m【解題指南】可先設出變量,寫出目標函數(shù)和約束條件,轉化為線性規(guī)劃問題來求解.【解析】設須要甲種原料x張,乙種原料y張,則可做文字標牌(x+2y)個,繪畫標牌(2x+y)個,由題意可得QUOTE所用原料的總面積為z=3x+2y,可行域為如圖陰影部分對應的整數(shù)點.在一組平行直線z=3x+2y中,經(jīng)過可行域內的點且在y軸上截距最小的直線過直線2x+y=5和直線x+2y=4的交點(2,1),所以最優(yōu)解為x=2,y=1.所以運用甲種規(guī)格原料2張,乙種規(guī)格原料1張,可使總的用料面積最小.類型二線性規(guī)劃中的最優(yōu)整數(shù)解問題(邏輯推理、數(shù)學運算)【典例】某校今年支配聘請女老師x人,男老師y人,若x,y滿意(1)在如圖所示的坐標系中作出可行域;(2)求該學校今年支配聘請的老師人數(shù)最多多少人?最少多少人?四步內容理解題意條件:已知線性約束條件QUOTE,結論:(1)作出可行域;(2)支配聘請的老師人數(shù)最多多少人?最少多少人?思路探求作出可行域,求出可行域內滿意條件的整點.書寫表達(1)作出不等式組對應的平面區(qū)域為如圖陰影部分對應的整數(shù)點:(注:圖中直線2x-y=5和x=6為虛線)(2)設z=x+y,則y=-x+z,平移直線y=-x+z,由圖象可知當直線y=-x+z經(jīng)過點A時,直線y=-x+z的截距最大,此時z最大.但此時z最大值取不到,由圖象可知當直線經(jīng)過整點E(5,4)時,z=x+y取得最大值,經(jīng)過點F(4,2)時,z=x+y取得最小值.代入目標函數(shù)z=x+y,得zmax=5+4=9,zmin=4+2=6.故該學校今年支配聘請的老師人數(shù)最多9人,最少6人.題后反思當邊界的交點不是可行域內的點時,須要另外求區(qū)域內的整數(shù)解,一般在交點的旁邊.找尋整點最優(yōu)解的三種方法(1)平移找解法:先打網(wǎng)格,描整點,平移直線l,最先經(jīng)過或最終經(jīng)過的整點便是最優(yōu)整點解,這種方法應充分利用整點最優(yōu)解的信息,結合精確的作圖才行,當可行域是有限區(qū)域且整點個數(shù)又較少時,可逐個將整點坐標代入目標函數(shù)求值,經(jīng)比較求最優(yōu)解.(2)小范圍搜尋法:將求出的非整點最優(yōu)解旁邊的整點都求出來,代入目標函數(shù),干脆求出目標函數(shù)的最大(小)值.(3)調整優(yōu)值法:先求非整點最優(yōu)解及最優(yōu)值,再調整最優(yōu)值,最終篩選出整點最優(yōu)解.某運輸公司有7輛載重量為6噸的A型卡車,4輛載重量為10噸的B型卡車,有9名駕駛員.在建筑某段高速馬路的工程中,此公司承包了每天運輸360噸瀝青的任務.已知每輛卡車每天來回次數(shù)為:A型車8次,B型車6次,每輛卡車每天來回的成本費為:A型車160元,B型車280元.每天派出A型車與B型車各多少輛時,公司花的成本費最低?【解析】設公司每天所花成本費為z元,每天派出A型車x輛,B型車y輛,則z=160x+280y,x,y滿意的約束條件為QUOTE作出不等式組的可行域為如圖陰影部分對應的整數(shù)點.作直線l:160x+280y=0,即l:4x+7y=0.將l向右上方移至l1位置時,直線l1經(jīng)過可行域上的M點,由圖可知此時z取得最小值.由方程組QUOTE解得QUOTE但y=0.4不是整數(shù),故取x=7,y=1,此時z取得最小值.所以,當每天派出A型車7輛、B型車1輛時,公司所花費用最低.【拓展延長】在實際應用問題中,有些最優(yōu)解往往須要整數(shù)解(比如人數(shù)、車輛數(shù)等),而干脆依據(jù)約束條件得到的不肯定是整數(shù)解,可以運用枚舉法驗證求最優(yōu)整數(shù)解,或者運用平移直線求最優(yōu)整數(shù)解.最優(yōu)整數(shù)解有時并非只有一個,應詳細狀況詳細分析.調整優(yōu)值法時,先求非整點最優(yōu)解及最優(yōu)值,再借助不定方程學問調整最優(yōu)值,最終篩選出最優(yōu)解.【拓展訓練】某人有樓房一幢,室內面積共180m2,擬分隔成兩類房間作為旅游客房,大房間每間18m2,可住游客5名,每名游客每天住宿費為40元;小房間每間【解析】設隔出大房間x間,小房間y間,獲得收益為z元,則QUOTE即QUOTE則目標函數(shù)為z=200x+150y=50(4x+3y),作出不等式組表示的平面區(qū)域,即可行域,如圖中陰影部分內的整點.作直線l:4x+3y=0,當直線l經(jīng)過平移過點AQUOTE時,4x+3y取得最大值,由于A點的坐標不是整數(shù),而x,y∈N,所以點A不是最優(yōu)解.調整最優(yōu)解:由x,y∈N,知4x+3y≤37.令4x+3y=37,即y=QUOTE,代入約束條件①②,解得QUOTE≤x≤3.由于x∈N,得x=3,但此時y=QUOTE?N.再次調整最優(yōu)解:令4x+3y=36.即y=QUOTE,代入約束條件①②,解得0≤x≤4(x∈N).當x=0時,y=12;當x=1時,y=10QUOTE;當x=2時,y=9QUOTE;當x=3時,y=8;當x=4時,y=6QUOTE.所以最優(yōu)解為(0,12)和(3,8),這時zmax=1800.答:應隔出小房間12間或大房間3間、小房間8間,可以獲得最大收益.【補償訓練】兩類藥片有效成分如表:成分藥品阿司匹林/mg小蘇打/mg可卡因/mg每片價格/元A(1片)2510.1B(1片)1760.2若要求至少供應12mg阿司匹林,70mg小蘇打,28mg可卡因,兩類藥的最小總數(shù)是多少?怎樣搭配價格最低?【解析】設需用A和B兩種藥品分別為x片和y片,藥品總數(shù)為z片,價格為L元.由題意,得約束條件QUOTE線性目標函數(shù)為:藥品總數(shù)z=x+y.價格L=0.1x+0.2y.由不等式組作可行域如圖,取陰影部分的整點,作直線l0:x+y=0,平移直線l0到l位置,l經(jīng)過點A時z有最小值.由QUOTE解得點A坐標為QUOTE.而點A不是整數(shù)點,故不能作為最優(yōu)解.此時,過點A的直線為lA:x+y=QUOTE,可行域內與直線lA距離最近的整點有(1,10),(2,9),(3,8),使zmin=11,即藥品總數(shù)為11片,而相應價格為L1=0.1×1+0.2×10=2.1,L2=0.1×2+0.2×9=2.0,L3=0.1×3+0.2×8=1.9,其中的L3最小,所以Lmin=1.9(元),所以藥品最小總數(shù)為11片,其中3片A種藥、8片B種藥搭配的價格最低.類型三線性規(guī)劃的綜合應用(數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模)角度1與向量相關的問題【典例】已知向量a=(1,3),b=(x,y),且變量x,y滿意QUOTE則z=a·b的最大值為.

【思路導引】利用向量運算確定目標函數(shù)后求最值.【解析】由變量x,y滿意QUOTE作出可行域如圖,聯(lián)立QUOTE解得AQUOTE,因為向量a=(1,3),b=(x,y),所以z=a·b=x+3y,化為y=-QUOTEx+QUOTE,由圖可知,當直線y=-QUOTEx+QUOTE過A時,直線在y軸上的截距最大,z有最大值為6.答案:6本例中若a=(2,1),試求z=a·b的最小值.【解析】z=a·b=2x+y,即y=-2x+z,則當直線l:y=-2x+z平移到點(0,0)時,z取得最小值zmin=2×0+0=0.角度2與方程的根有關的問題

【典例】一元二次方程x2+ax+b=0的一個根在(0,1)內,另一個根在(1,2)內,則a+2b-3的值域為.

【思路導引】依據(jù)一元二次方程根的分布,利用對應的函數(shù)在區(qū)間端點處取值正負確定限制條件,再利用線性規(guī)劃求值域.【解析】依據(jù)題意,令f(x)=x2+ax+b,由方程x2+ax+b=0的一個根在(0,1)內,另一個根在(1,2)內,則有QUOTE畫出對應的可行域,如圖所示,△ABC的區(qū)域(不含邊界).其中,A(-1,0)、B(-2,0)、C(-3,2),令z=a+2b-3,當a=-2,b=0時,z=(-2)-3=-5,取得最小值,當a=-3,b=2時,z=(-3)+2×2-3=-2,取得最大值;故a+2b-3的值域為(-5,-2).答案:(-5,-2)已知一元二次方程x2+ax+b=0的一個根在[-2,-1]內,另一個根在[1,2]內,求a+b的取值范圍.【解析】設f(x)=x2+ax+b,因為一元二次方程x2+ax+b=0的一個根在[-2,-1]內,另一個根在[1,2]內,所以QUOTE即QUOTE作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖:則以a,b為坐標軸的點(a,b)的存在區(qū)域為四邊形ABCD及其內部,設z=a+b,即b=-a+z,平移直線b=-a+z,由圖象知當直線b=-a+z經(jīng)過點B(0,-4)時,直線b=-a+z的截距最小,此時z最小,z=0-4=-4,當直線b=-a+z與直線CD:a+b+1=0重合時,直線b=-a+z的截距最大,此時z=-1,即-4≤z≤-1,即a+b的取值范圍是[-4,-1].1.與向量有關的問題向量一般作為工具,利用向量的運算可得目標函數(shù)或限制條件,再利用線性規(guī)劃學問解題.2.與方程的根有關的問題若已知一元二次方程根的分布,可利用對應的二次函數(shù)求約束條件,方程的根即函數(shù)的零點,依據(jù)零點的位置,轉化為區(qū)間端點處函數(shù)的正負,即為約束條件.1.設x,y滿意約束條件QUOTE向量a=(2x,1),b=(1,m-y),則滿意a⊥b的實數(shù)m的最小值為()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選B.由向量a=(2x,1),b=(1,m-y),a⊥b,得m=y-2x,依據(jù)約束條件畫出可行域,因為m=y-2x,所以y=2x+m,將m的最小值轉化為直線y=2x+m在y軸上的截距,當直線y=2x+m經(jīng)過點A時,m最小,由QUOTE解得AQUOTE,所以滿意a⊥b的實數(shù)m的最小值為:-2×QUOTE+QUOTE=-QUOTE.2.已知α,β是方程x2+ax+2b=0的兩根,且α∈[0,1],β∈[1,2],a,b∈R,求QUOTE的最大值和最小值.【解析】因為QUOTE所以QUOTE因為0≤α≤1,1≤β≤2,所以1≤α+β≤3,0≤αβ≤2,所以QUOTE建立平面直角坐標系aOb,則上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.令k=QUOTE,可以看成動點P(a,b)與定點A(1,3)的連線的斜率.因為kAB=QUOTE,kAC=QUOTE,所以QUOTE≤QUOTE≤QUOTE.故QUOTE的最大值是QUOTE,最小值是QUOTE.課堂檢測·素養(yǎng)達標學1.(教材二次開發(fā):例題改編)某旅行社租用A,B兩種型號的客車支配900名客人旅行,A,B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,租金分別為1600元/輛和2400元/輛,旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛,且B型車不多于A型車7輛,則租金最少為()A.31200元 B.36000元C.36800元 D.38400元【解析】選C.設租用A型車x輛,B型車y輛,目標函數(shù)為z=1600x+2400y,則約束條件為QUOTE作出可行域,如圖中陰影部分所示,可知目標函數(shù)過點(5,12)時,有最小值zmin=36800(元).2.鐵礦石A和B的含鐵率a,冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如表:ab/萬噸c/百萬元A50%13B70%0.56某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9萬噸鐵,若要求CO2的排放量不超過2萬噸,則購買鐵礦石的最少費用為百萬元.

【解析】設購買A,B兩種鐵礦石分別為x萬噸、y萬噸,購買鐵礦石的費用為z百萬元,則z=3x+6y.由題意,約束條件為QUOTE作出可行域,如圖所示,由圖可知,目標函數(shù)z=3x+6y在點A(1,2)處取得最小值zmin=3×1+6×2=15.答案:153.已知點A(3,-1),點P(x,y)滿意線性約束條件QUOTEO為坐標原點,則在方向上的投影的取值范圍為.

【解析】因為A(3,-1),P(x