《直線和平面復(fù)習(xí)》課堂教學(xué)實(shí)錄

第1頁共13頁《直線和平面復(fù)習(xí)》課堂教學(xué)實(shí)錄（一）教學(xué)目標(biāo)1．配合系統(tǒng)復(fù)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)空間想象力；2．借助平面幾何中，三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心等知識(shí)，解決立體幾何問題．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)1．空間想象力的培養(yǎng)；2．分析問題能力與綜合運(yùn)用知識(shí)能力的培養(yǎng)．教學(xué)設(shè)計(jì)過程師：同學(xué)們已經(jīng)很好地完成了知識(shí)總結(jié)的作業(yè)，有些同學(xué)還將知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系用圖表展示出來．也有的同學(xué)將各種位置關(guān)系用圖形語言和符號(hào)語言進(jìn)行歸納和整理．在此一并提出表揚(yáng)．我們將把這些總結(jié)用展板展示，請(qǐng)同學(xué)們互相學(xué)習(xí)．師：本節(jié)課我們將通過一組問題來進(jìn)行復(fù)習(xí)．復(fù)習(xí)的目的之一是進(jìn)一步培養(yǎng)同學(xué)們的空間想象力．關(guān)于空間想象力的問題，在高一年級(jí)剛開始時(shí)，單純的想象占主導(dǎo)地位，隨著一個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)，關(guān)于線面的各種位置關(guān)系及性質(zhì)研究的深入，單純的想象力就轉(zhuǎn)化為：在線面各種位置關(guān)系的定義、性質(zhì)定理指導(dǎo)下的想象．請(qǐng)先看下面一組題目：填空題：1．空間三個(gè)平面可能將空間分成______部分．2．正方體各個(gè)面所在的平面將空間分成______部分．3．與空間四個(gè)點(diǎn)距離相等的平面有______個(gè)．*4．A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)．它們到平面α的距離比（依次）為：2∶1∶1∶1，滿足條件的平面α有＿＿個(gè)．生：第1題空間三個(gè)平面可能將空間分成4或6或7或8部分．師：請(qǐng)你畫圖說明你的觀點(diǎn)．生：（作圖）師：很好，圖1、圖2、圖3、圖4依次表示三個(gè)平面將空間分成4，6，7，8部分．生：第2題答案是27．師：你給同學(xué)們解釋一下，答案為什么是27．生：（手拿一個(gè)粉筆盒）這個(gè)粉筆盒近似看成一個(gè)正方體，它的上底面與下底之間被分成9部分．同樣，上底面上邊與下底面下面也各被分成9部分．總計(jì)正方體各個(gè)面所在的平面將空間分成27部分．師：對(duì)于第3小題，需要先證明下面的命題：線段AB與平面α相交，若AB中點(diǎn)C在平面α上，則點(diǎn)A、點(diǎn)B到平面α的距離相等．生A：本題的答案為4，因?yàn)榻?jīng)過有公共頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)作截面，根據(jù)老師剛介紹的引理，可以證明這樣的截面符合條件．（如圖5）生B：還有一種情況．剛才生A所作平面使已知四個(gè)點(diǎn)中有三個(gè)在平面的同一側(cè)，另外一個(gè)點(diǎn)在另一側(cè)．我想所作平面兩側(cè)各有2個(gè)點(diǎn)．如圖6．這類平面共有3個(gè)，即V，A兩點(diǎn)在平面同側(cè)；V，B兩點(diǎn)在平面同側(cè)；V，C兩點(diǎn)在平面同側(cè)．師：剛才兩名同學(xué)講的都很好，相互補(bǔ)充，符合條件的平面共有7個(gè)．同學(xué)們有不同意見嗎？……師：剛才兩名同學(xué)都認(rèn)為已知四個(gè)點(diǎn)不共面，事實(shí)上，當(dāng)這四個(gè)點(diǎn)共面時(shí)，符合題目要求的平面有無數(shù)個(gè)．只要與四點(diǎn)所在平面平行的平面都符合要求．生：老師，如果這四個(gè)點(diǎn)共線呢？師：當(dāng)四個(gè)點(diǎn)共線時(shí)，只要與這條直線平行的平面均符合條件，這個(gè)題目的正確答案應(yīng)該是7個(gè)或無數(shù)個(gè)．分類討論的方法不僅在代數(shù)課上使用，幾何學(xué)中也經(jīng)常使用，此題就是按照?qǐng)D形的不同位置關(guān)系進(jìn)行分類討論．我們繼續(xù)討論第4題．生：我認(rèn)為仿照第3小題的解答，可提出下面引理：若點(diǎn)A、點(diǎn)B師：他的猜測(cè)是正確的．這個(gè)命題的正確性請(qǐng)同學(xué)們課下論證．下面我們討論第4小題的解法．生A：分別延長(zhǎng)AB，AC，AD至B1，C1，D1，使BB1=AB，CC1=AC，DD1=AD，如圖7，則平面α就是平面B1C1D1．生B：分別在AB，AC，AD上取點(diǎn)B′，C′，D′，使得：師：分別取BC，CD，DA的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G．那么經(jīng)過EG的任何一個(gè)平面都滿足：它與B，C，D三點(diǎn)的距離相等，在這些平面中，經(jīng)過點(diǎn)B′或經(jīng)過C′D′（因?yàn)镃′D′∥CD∥GE）的平面符合題目要求．（圖8）經(jīng)過EG有兩個(gè)平面符合題意．同樣，經(jīng)過EF，F(xiàn)G各有兩個(gè)平面符合題意，綜合以上分析共有8個(gè)平面符合題目要求．師：?jiǎn)栴}5．是否存在一個(gè)四面體，它的每個(gè)面都是直角三角形？請(qǐng)同學(xué)們思考．……生A：我找到一個(gè)幾何體，它的三個(gè)面都是直角三角形．如圖

9．∠AVB=∠BVC=∠CVA=90°．生B：我曾經(jīng)證過生A所給的圖中，△ABC是銳角三角形．師：根據(jù)兩名同學(xué)的發(fā)言，給我們以下啟示：三個(gè)面是直角三角形的幾個(gè)體已經(jīng)找到；三個(gè)直角頂點(diǎn)不能是同一個(gè)點(diǎn)！構(gòu)造∠VAB=∠VAC=90°，且∠BAC≠90°．再構(gòu)造∠ACB=90°，同學(xué)們不難證明∠VCB=90°．生：是根據(jù)三垂線定理．師：空間想象力在不同時(shí)期有不同要求．上面這個(gè)問題如果是高一第一學(xué)期開始讓同學(xué)們作，那就只有想象或動(dòng)手制做模型．現(xiàn)在解決它，可以借助我們所學(xué)的線面位置關(guān)系去尋找解決問題的方法，并且在想象結(jié)束時(shí)，論證想象的合理性．師；如圖11，正方體ABCD-A1B1C1D1，P，Q，R分別在C1D1，CC1，AB上．畫出截面PQR與正方體各面的交線．由公理知：PQ面DC1．因?yàn)槊鍭B1∥面DC1，截面與它們相交，交線必平行（根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理）．過點(diǎn)R在面AB1中作PQ平行線交AA1于S．PQ交DC于T，TR交BC于E，連結(jié)EQ，過S作SF∥EQ交A1D1于F，連FP，則多邊形PQERSF的邊就是截面PQR與正方體各面的交線．師：同學(xué)們請(qǐng)看下面一組題：6．從平面外一點(diǎn)向平面引垂線和斜線，若斜線與平面所成的角都相等，垂足是斜足多邊形的______心．7．直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=6，BC=8，△ABC所在平面外一點(diǎn)P，PA=PB=PC=13，點(diǎn)P到△ABC所在平面的距離為______．生：垂足是斜足多邊形的外心，因?yàn)閺钠矫嫱庖稽c(diǎn)向平面引斜線．它們與平面所成角相等，可以得到它們的長(zhǎng)相等，它們?cè)谄矫鎯?nèi)的射影長(zhǎng)也相等．師：同學(xué)們還可以進(jìn)一步思考，滿足什么條件時(shí)，垂足是斜足多邊形的內(nèi)心？垂足有沒有可能成為斜足多邊形的重心？垂心？做完一道題目之后，不要滿足于題目的本身，能夠?qū)l件、結(jié)論變換后的有關(guān)命題進(jìn)行研究，可達(dá)到事半功倍，提高能力的效果．師：根據(jù)已知條件，第7小題中，點(diǎn)P在△ABC所在平面上的射影恰為△ABC的外心．由于△ABC是直角三角形，所以由點(diǎn)P引平面ABC的垂線，垂足恰為△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，你們知道了解題思路嗎？生：作PD⊥面ABC于D，由PA=PB=PC，得DA=DB=DC，D是△ABC外心．又因?yàn)椤螦CB=90°，由平面幾何知識(shí)，得出D為AB的中點(diǎn)．PA=13，AD=5，PD=12．即點(diǎn)P到平面ABC的距離為12．師：三角形的垂心、內(nèi)心、外心、重心的知識(shí)在立體幾何中經(jīng)常使用．有一些題目本身沒有明確給出，如第7小題，恰到好處地運(yùn)用四心有關(guān)的知識(shí)，可簡(jiǎn)化解題過程．下面一道題目也是與三角形的“心”有關(guān)的問題．8．如圖13，正△ABC邊長(zhǎng)為a，O為外心，PO⊥面ABC，PA=PB=PC=b，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，且PA∥面DEFG．求：四邊形DEFG的面積．由題設(shè)我們能得到哪些有用的結(jié)論？生A：因?yàn)镻A∥面EFGD，由線面平行的性質(zhì)可得：EF∥PA，GD∥PA，所以EF∥DG．由D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，DE∥BC，所以BC∥面DEFG．進(jìn)一步得出BC∥FG．綜上DEFG是平行四邊形．能求出平行四邊形DEFG的面積．師：到目前為止，已知條件中還有兩條沒有發(fā)揮作用．①等邊△ABC；②O為△ABC的外心，生C：當(dāng)O為等邊三角形外心時(shí)，它也是等邊△ABC的垂心．即BC⊥AO，又PO⊥面ABC，由三垂線定理知：BC⊥PA．已經(jīng)證明了EF∥PA，BC∥DE，得出EF⊥DE，EFGD為一矩形，它的面積師：有效地利用“心”的有關(guān)概念，較好地解決一些立體幾何問題．本節(jié)課重點(diǎn)討論了兩個(gè)方面的問題；1．關(guān)于空間想象力的進(jìn)一步培養(yǎng)問題．不是空象，要注意有意識(shí)地利用各種線面位置關(guān)系．2．通過問題，適當(dāng)復(fù)習(xí)了平面幾何中的“四心”問題，進(jìn)一步掌握利用“四心”的知識(shí)解決的方法．下面布置作業(yè)：（略）《直線和平面復(fù)習(xí)》課堂實(shí)錄（二）教學(xué)目標(biāo)結(jié)合第一章的內(nèi)容，滲透數(shù)學(xué)思想方法．（數(shù)形結(jié)合思想；方程的思想；轉(zhuǎn)化的思想；分類討論的思想）教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)數(shù)學(xué)思想的滲透與培養(yǎng)．教學(xué)設(shè)計(jì)過程師：今天是復(fù)習(xí)課的最后一節(jié)．今天以復(fù)習(xí)題目中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為主線，研究幾種常用數(shù)學(xué)思想在本章的體現(xiàn)．分類討論的思想是同學(xué)們比較熟悉的．使用較多的是在代數(shù)課上y=ax2+bx+c的圖象，當(dāng)a＞0時(shí)，開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，開口向下．幾何中，分類討論思想的應(yīng)用，主要是依據(jù)圖形中元素位置關(guān)系的不同而展開的．請(qǐng)看以下一組題目：例1

已知：a∥b，直線a平面α，直線b平面α，直線c平面α，c∥a．若直線a與直線b的距離為6cm，直線b與直線c的距離5cm，直線c與平面α的距離為4cm．求：直線a與直線c的距離．（教師畫圖）生A：在直線c上任取一點(diǎn)A，作AB⊥α于B，過B作BC⊥a于C，反向延長(zhǎng)交b于D，因?yàn)閍∥b，所以BC⊥b．分別連結(jié)AC、AD，根據(jù)三垂線定理，a⊥AC，b⊥AD．據(jù)題意知：CD=6cm，AD=5cm，AB=4cm，在Rt△ABD中，求出BD=3cm，所以BC=3cm，在Rt△ABC中，求出AC=5cm．師：哪位同學(xué)對(duì)“生A”的解答有補(bǔ)充？師：生A的解答基礎(chǔ)是依據(jù)我畫的圖．而原題中并沒有給圖，也沒有“如圖”這樣的說明，因此我們先要研究圖應(yīng)該怎么畫！生B：老師，我對(duì)“生A”的發(fā)言有補(bǔ)充．這個(gè)題目的圖形還有以下兩種可能：師：好．這道題目體現(xiàn)了分類討論的思想．它是根據(jù)直線c在平面α內(nèi)射影的不同位置來進(jìn)行討論的．生C：老師，我認(rèn)為還有兩種情況：情形1：直線c在平面α內(nèi)射影與直線a重合．情形2：直線c在平面α內(nèi)射影與直線b重合．師：“生C”同學(xué)的補(bǔ)充很好．例1應(yīng)該分為5種情況來討論．但是其中會(huì)有一些情況無解，請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在實(shí)踐一下．圖一的位置．其余三種位置關(guān)系均無解．師：還有一點(diǎn)提醒同學(xué)們注意：對(duì)于不同的位置關(guān)系，解題時(shí)都要給予論述，對(duì)于無解的情形要講清無解的原因。有些同學(xué)認(rèn)為無解就不用寫了，這種認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的．再看例2．例2

平面α外兩點(diǎn)A，B，它們到平面α的距離分別為a，b，求：點(diǎn)P到平面α的距離．生A：我認(rèn)為有兩種情況：一種是點(diǎn)A、點(diǎn)B在平面α同側(cè)；另一種是點(diǎn)A、點(diǎn)B在平面α異側(cè)．生B：我有不同看法，已知條件中沒有給出a，b的大小關(guān)系，“生A”解決圖5情形時(shí)，默認(rèn)為b＞a是不對(duì)的，應(yīng)該再分兩種情形：師：“生B”的補(bǔ)充很好，例2不僅在圖形的位置關(guān)系上分類討論，還要根據(jù)數(shù)據(jù)a，b的大小關(guān)系來分類討論．如果簡(jiǎn)化題目，已知條件上補(bǔ)一個(gè)條件：b＞a，是否上述解答就全面了呢？生C：當(dāng)A，B兩點(diǎn)在兩側(cè)時(shí)，在圖6中，點(diǎn)P不一定在A1B1上方．當(dāng)b＞2a時(shí)，點(diǎn)P位于A1B1上方；當(dāng)b=2a時(shí)，點(diǎn)P在A1B1上；師：經(jīng)過“生C”的補(bǔ)充，題目解答就全面了．下面談一下方程的思想．在初中階段，同學(xué)們重點(diǎn)研究了列方程解應(yīng)用題，這就是最基本的方程的思想．通過設(shè)未知數(shù)，尋求已知量與未知量之間的關(guān)系，從而獲得問題的解決．下面請(qǐng)看例3．例3

如圖7，二面角α-l-β，點(diǎn)B∈l，ABα，BCβ．∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=60°．求：二面角α-l-β的大?。畮煟菏紫任覀兛梢愿鶕?jù)二面角的平面角的定義構(gòu)造二面角的平面角．具體作法是：在l上選點(diǎn)D，經(jīng)過點(diǎn)D分別在α，β平面內(nèi)作l的垂線交BA，BC于E，F(xiàn)．設(shè)AD=α，由∠ABD=45°得BD=a．∠EDF=90°．本例特點(diǎn)在于題目中沒有給出任何線段的長(zhǎng)度，而是通過設(shè)未知量，進(jìn)而知道已知與未知的關(guān)系．例4

二面角α-EF-β為120°，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)B∈β，∠ACB為二面角的平面角，且AC=BC=a．在EF上取一點(diǎn)D．問：D點(diǎn)在何處時(shí)，∠ADE=∠ADB=∠BDE=θ？為了確定點(diǎn)D的位置，可設(shè)與D點(diǎn)有關(guān)的某一條線段長(zhǎng)為x，依據(jù)題設(shè)建立等量關(guān)系．再求出x的值，同學(xué)們實(shí)踐一下．生A：在EF上取點(diǎn)D，設(shè)AD=x．因?yàn)?/p>

AC=BC=a，∠ACB=120°，因?yàn)?/p>

∠ADE=∠ADB=∠BDE=0，所以

∠ADC=180°-θ．△ABD中由余弦定理可得：AB2=x2+x2-2x2cosθ，生B：我認(rèn)為解答不全面，剛才“生A”的解答中，運(yùn)用了圖8中各點(diǎn)之間位置關(guān)系．應(yīng)該給予討論，當(dāng)點(diǎn)D位于CF之間時(shí)，∠ADC=180°而不是等于180°-θ．師：“生B”的問題提的好，在“生A”的解答中，距點(diǎn)C的距離例5

如圖9，∠ASB=90°，∠CSB=75°，∠ASC=105°，由求：△ABC的周長(zhǎng)．師：這道題目的難度在于如何建立一座溝通已知與未知的橋梁．生：觀察圖形，我發(fā)現(xiàn)圖中有三對(duì)全等三角形．△ADS≌△AFS；△FSC≌△ESC；△BES≌△BDS．設(shè)∠DSA=α，∠FSC=β，∠ESB=γ．師：上面列舉了3個(gè)題目，從不同的側(cè)面，以不同的形式反映出方程的思想在立體幾何解題中的作用．下面再談一下轉(zhuǎn)化的思想，轉(zhuǎn)化的內(nèi)涵十分豐富．有條件的轉(zhuǎn)化；結(jié)論的轉(zhuǎn)化；圖形的轉(zhuǎn)化；解題策略的轉(zhuǎn)化……事實(shí)上，許多題目的解答過程都不同程度在使用轉(zhuǎn)化的思