江蘇省鎮(zhèn)江市2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)期初考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2024?2025學(xué)年度上學(xué)期高三期初試卷

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知一組數(shù)據(jù)：4,6,7,9,11,13,則這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】借助百分位數(shù)定義計(jì)算即可得.

7+9

【詳解】由6x05=3,故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為——=8.

2

故選：C.

2.已知集合人=何必一3%-4V。},5={xeN|2-x>。},則4口3=（）

A.{3,4}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}

【答案】B

【解析】由題意可得A={x|—l?x<4},8={xeN|x<2},則4。8={0,1}.

故選：B.

3.已知無>0,y>0,孫=4,則x+2y的最小值為（）.

A.4B.4.72C.6D.8A/2

【答案】B

【解析】由于x>0,y>0,所以尤+2y22"弓=40,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2拒時(shí)取等號(hào)，故x+2y

的最小值為4J5.

故選：B

第1頁/共15頁

4.由數(shù)字2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為（）

1

D.一

2

【答案】A

【解析】將2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有A；=6種，

而其中偶數(shù)有兩種情況：

①以為個(gè)位數(shù)的三位數(shù)，是342,342,共有2種

②以為個(gè)位數(shù)的三位數(shù)，是234,324,共有2種

所以，這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的情況共有2+2=4種，

42

所以，這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為事件，則尸（A）=：=；.

63

故選：A.

5.若正三棱錐的所有棱長均為3,則該正三棱錐的體積為（）

A.373B.顯C.D.瓜

124

【答案】C

【解析】如圖，正三棱錐尸—ABC,PA=PB=PC=AB=AC=BC=3,

取5c中點(diǎn)，連接AD,取等邊三角形ABC的中心，連接尸0,

由正四面體的性質(zhì)可知，頂點(diǎn)與底面中心連線垂直底面，

平面ABC

即三棱錐尸—ABC的高為P0,

：AB=AC=BC=3,

:?AD=^^，：-A0=6

2

???6>P=J32-（V3）2=n，

._1mJ1QQG/7_9A/2

,?vVP-ABC=1Sv1eOP=w義彳x3x3x丁*46=——-

3AB3224

故選：C

第2頁/共15頁

p

Cq--------------:一：二*

B

6.隨機(jī)變量服從N（〃，〃），若p（xNi）=p（X<3）,

則下列選項(xiàng)一定正確的是（）

AP（X>3）=1B.（T=1

C.〃=2D.P（X>3）+P（X<1）=1

【答案】C

【解析】因?yàn)镻（X?1）=P（X<3）,

由正態(tài)分布的對(duì)稱性，可得〃=2,正態(tài)分布方差無法判斷，

P（X>3）<1,P（X>3）+P（X<1）<1,

所以ABD錯(cuò)誤.

故選:：C

7.已知正方體ABCD-44GB的棱長為，點(diǎn)為側(cè)面四邊形CDD?的中心，則四面體NCBG的外接球

的體積為（）

A.271B.4兀C.2缶D.■^答

如圖：取4c中點(diǎn)，連結(jié)NO,NC,NG，NB[,ND],BR,

因?yàn)锳BCD-A4G2的棱長為的正方體,

第3頁/共15頁

所以|oc|==|0G|=0，且|。2==3，

所以四面體NC4G的外接球的球心為為，且外接球半徑H=V2，

所以四面體NCBG的外接球的體積V=，兀(四丫=半兀.

故選：D.

8.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(%),滿足"1—x)/(l—y)+/(x+y)=/(x)/(y),且

/(o)^o,/(-i)=o,則以下選項(xiàng)錯(cuò)誤的是()

A./(1)=0B./'(x)圖象關(guān)于(2,0)對(duì)稱

c.y(x)圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱D.y(x)為偶函數(shù)

【答案】B

【解析】對(duì)于A,令x=l,y=。，則/(0)〃1)+/(1)=/(1)/(0),所以/⑴=0,故A正確；

對(duì)于B,令x=y=。，則/⑴/⑴+/(0)=./'(0)/(0),即/(0)=尸(0),

解得：/或了(0)=1,因?yàn)榱?0)片0,所以/(0)=1,

令x=y=l,/(0)/(0)+/(2)=/(1)/(1),所以〃2)=-1,

所以/(X)圖象不關(guān)于(2,0)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,令y=l,則有/(I—x)〃0)+〃x+l)=〃x)/(l)

即/。―x)+/(x+l)=0,故/'(x)圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱，故C正確.

對(duì)于D,令y=—l,則有“1—X)〃2)+/(XT=〃X)〃—1)

即_/(1_%)+/(%-1)=0，即=

即/(x)=〃lrT)=〃f)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽,

所以為偶函數(shù)，故D正確.

故選：B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

第4頁/共15頁

A.（e3x）f=3eB...........-x

2

C.（2sinx-3）f=2cosxD.

x（2-x）

【答案】CD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，（e3x）'=e3J（3x）'=3e3,A錯(cuò)誤;

2x-（2x+l）-2x2*52x2+2x

對(duì)于B選項(xiàng),B錯(cuò)誤;

[2x+l）（2x+l）2（2x+l）2（2x+l）2

對(duì)于C選項(xiàng)，（2sin%-3）=2cosx,C正確;

對(duì)于D選項(xiàng),x~~（2-x）2—~x（2-x）;D正確.

2-x

故選：CD.

34

10.已知事件A與B發(fā)生的概率分別為尸（A）=M，P（B）=M，則下列說法正確的是（）

17?

A「58）=石B.P（A|B）＞-

232

C.P（A+B）=^|D.-＜P（B|A）＜1

【答案】BD

【解析】對(duì)于A,由于題目中沒確定事件A與2是否相互獨(dú)立，

3412

所以尸（43）=。（4）?。（3）=（乂］=石，不一定成立，故A錯(cuò)誤；

342

對(duì)于B,由于尸（A+JB）=P（A）+P（5）—P（AB）=—+——P（AB）＜1,則尸（A3）2—,

2

,、P（AB}712

則尸（A|B）=「⑻川?。荩?。，故B正確；

5

對(duì)于C,由于題目中沒確定事件A與B是否相互獨(dú)立,

341223

所以。（4+3）=「（4）+「（3）—P（A3）=《+不—玄=玄，也不一定成立，故C錯(cuò)誤;

2

,、P（AB}722

對(duì)于D,P（B|A）==故￡<P（3|A）V1,故D正確;

±33

5

故選：BD.

第5頁/共15頁

II.函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?，區(qū)間/,對(duì)于任意花，(七/馬)，恒滿足

f1二產(chǎn)>，(*)；，("),則稱函數(shù)“X)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”.下列函數(shù)在定義域上為凸函數(shù)的是

()

A./(x)=lnxB./(%)=eA'

Cf(%)=%2D./(x)=Vx

【答案】AD

【解析】對(duì)A：X],x2e(0,+oo),

XI+x>〃石）+/（々）oX]+%2>In石+ln。

2ln二ln冊(cè)工

2222

由/(x)=Inx在(0,+oo)上單調(diào)遞增,故其等價(jià)于"殳>

|2>0，故滿足題意，故A正確;

%+%2>e』+eA'2

對(duì)B：JxeR,f

22—2―2-

1

e+

取者=-1,x2=l,可得。宥d+e*e>

22

1

A-I-----

又1〈二C，故此時(shí)不滿足題意，故B錯(cuò)誤;

2

22,

XI+x2玉+々

對(duì)C：X],x2eR,f

2一2一2

化簡得(西-々yV。恒成立，不滿足題意，故C錯(cuò)誤;

對(duì)D：工,x2e[0,+oo）,/叫?。?nRK,

左右平方后化簡可得(6-直0,故滿足題意，故D正確.

故選：AD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.某人參加一次考試，共有4道試題，至少答對(duì)其中3道試題才能合格.若他答每道題的正確率均為0.5,

并且答每道題之間相互獨(dú)立，則他能合格的概率為.

第6頁/共15頁

【答案】亮

【解析】解：某人參加考試，4道題目中，答對(duì)的題目數(shù)滿足二項(xiàng)分布X~B14,g

所以P（X?3）=P（X=3）+P（X=4）=C：

故答案為：—

16

13.已知二次函數(shù)“X）從1到1+Ax的平均變化率為2Ax+3,請(qǐng)寫出滿足條件的一個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式

"%)=

【答案】2/—龍（答案不唯一）

【解析】設(shè)/(%)=ax2+bx+c,

則/(I+Ax)-7?⑴tz(l+Ax)2+b(l+Ax)+c-(〃+b+c)

=tzAx+2〃+b，

1+Ax-lAx

a=2a=2

由題意知＜解之得

2a+b=3b=-l

顯然c的取值不改變結(jié)果，不妨取c=0,貝1]/（%）=2/—x.

故答案為：2必-％

14.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間像球一樣來回自由滾動(dòng)，并且始終保持

與兩平面都接觸（如圖）.勒洛四面體是以一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)分別為球心，以正四面體的棱長為半徑

的四個(gè)球的公共部分圍成的幾何體.若構(gòu)成勒洛四面體ABCD的正四面體A3C。的棱長為2,在該“空心”勒

洛四面體ABC。內(nèi)放入一個(gè)球，則該球的球半徑最大值是

【答案】2—亞

2

【解析】勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個(gè)弧面都相切，即為勒洛四面體內(nèi)切球,

由對(duì)稱性知，勒洛四面體ABCD內(nèi)切球球心是正四面體ABCD的內(nèi)切球、外接球球心，

第7頁/共15頁

正△BCD外接圓半徑。/=半，正四面體＞BCD的高AO】=‘AB?—OB=平,

設(shè)正四面體ABCD的外接球半徑為，在RtABOOj中，普=（半_氏）2+（半）2,解得氏=母，

因此，勒洛四面體ABCD內(nèi)切球半徑為2-逅

2

故答案為：2一旦.

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.某自助餐廳為了鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)置了一個(gè)抽獎(jiǎng)箱，箱中放有8折、8.5折、9折的獎(jiǎng)券各2張，每張獎(jiǎng)券的

形狀都相同，每位顧客可以從中任取2張獎(jiǎng)券，最終餐廳將在結(jié)賬時(shí)按照2張獎(jiǎng)券中最優(yōu)惠的折扣進(jìn)行結(jié)

算.

（1）求一位顧客抽到的2張獎(jiǎng)券的折扣均不相同的概率；

（2）若自助餐的原價(jià)為100元/位，記一位顧客最終結(jié)算時(shí)的價(jià)格為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望

磯X）.

4

【答案】（1）y（2）答案見詳解

【解析】【小問1詳解】

從6張獎(jiǎng)券中，任取2張獎(jiǎng)券共有C；=15種選法，抽到的兩張獎(jiǎng)券相同的有3種選法,

15-34

所以一位顧客抽到的2張獎(jiǎng)券的折扣均不相同的概率為P=飛一=j.

【小問2詳解】

的所有可能取值為80,85,90,

第8頁/共15頁

1+CC1

p（X=85）=

或3

P（X=90）=2i

15

X的分布列為:

808590

3￡1

5315

311?47

.?.E（X）=80x-+85x-+90x—=-

53153

16.如圖，在四棱錐尸—ABCD中，PA=2y/3,AD!IBC,AD=1,AB=BC=2,AD，平面

PD±AB,E,尸分別是棱尸3,PC的中點(diǎn).

C

(1)證明：。尸//平面ACE；

(2)求二面角A—CE—3的正弦值.

【答案】(D證明見詳解

⑵叵

7

【解析】【小問1詳解】

如圖，連接用，因?yàn)?歹分別為P5PC的中點(diǎn),

第9頁/共15頁

又AD//BC,AD^-BC,

2

所以E///AD,EF=AD,

所以四邊形AT歷E是平行四邊形，則DE//AE,

因?yàn)锳Eu平面ACE,。尸（z平面ACE,

所以。尸//平面ACE.

【小問2詳解】

因?yàn)槠矫鍼AB,PA,ABu平面PA3,

所以ADLAP,AD1AB,

又ABLPD，A。,1%是平面尸4。內(nèi)兩條相交直線，

AB/平面PAD，又「Au平面PAD,

:.AB±PA,

所以AB,AP,AD兩兩互相垂直，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AP，而的方向分別為，，軸的止方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則4（0,0,0）,8（2,0,0）,C（2,0,2）,D（0,0,l）,￡（1,73,0）,

AC=（2,0,2）,AE=（1,73,0）,BC=（0,0,2）,BE=（-l,Ao）,

第10頁/共15頁

設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為人=(xi，yi，zj,

n.?AC=02%+2%=0廣

則《，即《廠，令％=—1,得芯=J3,Z]=—.3，

^-AE=0I+，3yl=0

>'.n1=(g,—1,—6)

設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量為%=(x2,y2,z2),

n,■BC=02Z2=0

則《，一，即廠，令％=1，得%2=J3,Z2二。，

一冗73y2—

n2?BE=02+0

設(shè)二面角A-CE-B的平面角為，

?Ico這一斤嗎||3一1|不742

..cosu\-|_7j-|_i--j=-,則sin〃=-------

1匐伺^7x277

所以二面角A-CE-B的正弦值為叵.

7

17.我們可以用"配方法''和"主元法''等方法證明“二元不等式“：cr+b2>2ab(a,beR),當(dāng)且僅當(dāng)。=人

時(shí)，a1+b?=2ab等號(hào)成立

333

(1)證明“三元不等式"：a+Z7+c>3aZ?c(?,^ce[0,+^)).

?

(2)已知函數(shù)/(力=%2+一.

①解不等式/'(X)25；

②對(duì)任意Xe(0,+8),/(X)之/+2加恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)見解析⑵①—應(yīng)]D(O』D[2,+”)；②[-3,1].

【解析】小問1詳解】

因?yàn)榉碿e[0,+<?),

貝!]々3+人3——a1b+if，—bet—々々(a—Z?)+b~[JJ—a)

=(。一。)(4—加)=(a—h)~(<7+Z?)>0(當(dāng)且僅當(dāng)a=Z>時(shí)取等)，

所以Y+"32028+02。(當(dāng)且僅當(dāng)a=/，時(shí)取等)，

同理4+°32a2。+02a(當(dāng)且僅當(dāng)。。時(shí)取等)，

第11頁/共15頁

b3+c3>b2c+c2b(當(dāng)且僅當(dāng)c=》時(shí)取等)，

三式相加可得：

2(/+Z?3+c3)>?2Z?+Ira+a2c+c2a+b2c+c2b=a(b2+c2^+b(c2+?2)+c(?2+Z?2),

又因?yàn)?+b~>lab,1)1+c2>2bc,a2+c2>lac,

所以2.+〃+03)22abc+2abc+2abc=6abc,

所以Y+〃+c323abe(當(dāng)且僅當(dāng)a=h=c時(shí)取等).

【小問2詳解】

9

①由y(x)?5可得：X2+->5,

X

22

匚匚[、[%3+2—5%目n%3—2%+2%—4-x—x+2

所以---------->0,即------------------------->0,

xx

即X2(X2)+2X(X2)(X2)20,則(X—2)(X2+2X—1)之0,

所以工(%—2)(l+1—0)(%+1+&)>0

%w0

解得：XG卜8,-1一3]U(0,1]D[2,+8)

222

②因?yàn)楫?dāng)xe(0,+8)時(shí)，/(^)=%+-=%+1+1>3-3/%----=3,

XXXVXX

11

當(dāng)且僅當(dāng)/9=—=—,即X=1時(shí)取等，

XX

所以當(dāng)Xe(0,+8)時(shí)，/(%)而n=3,

對(duì)任意xe(0,+oo),之信+2加恒成立，

則療+2加</⑺皿=/'⑴=3,

所以加？+2根—3<0，解得：—

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為：[-3,1]

18.在如圖所示的平行六面體ABCD-ABCR中，ZAiAB^ZA1AD=45°

/BAD=60。,AB=1,AD=2,相=20.

第12頁/共15頁

。

(1)求A￡的長度；

(2)求二面角5—的大小；

(3)求平行六面體A3CD—A4c12的體積.

【答案】⑴3A/3

⑵-

2

⑶20

【解析】【小問1詳解】

根據(jù)圖形可知：AC[=AB+BC+CQ^AB+AI5+A^,

貝"砌2=^AB+AD+AA^^=AB2+AD+AA^2+2ABAD+2ADA^+2ABAA^

=l+4+8+2xlx2cos60°+2xlx2^cos45°+2x2x2^2cos45°

=3^/3；

【小問2詳解】

作BE，。尸，A4,,則麗，刀等于二面角B-AA.-D的一個(gè)平面角，

因?yàn)殓?5=幺4。=45°,AB=1,AD=2,A41=272,

則AE=AB-cos45°=—,AF=ADcos450=y/2BE=—,DF=y/2，

22

易知麗.麗=（西+初）?（而+亦）=函.原+函福.西+通?而

第13頁/共15頁

=1+——x2xcosl35°+A/2xlxcosl35°+lx2xcos60°=0，

2

EVSEB?FD——>—>兀

所以cosE6陽==0,所以EB,FD=5，

JT

即二面角B-AA.-D的大小為g；

【小問3詳解】

由(2)知平面AD0A，而四邊形人。。4的面積5=44X。/=4,

則平行六面體ABCD-ABCA的體積V=4.BE=2日

x

e-1

19.已知函數(shù)〃x)=——+ax.

(1)函數(shù)y=〃x)是否具有奇偶性?為什么？

(2)當(dāng)a=—1時(shí)，求/'(X)的單調(diào)區(qū)間；

7

(3)若/'(x)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)4，%，證明：/(%1)+/(%2)<-.

8

【答案】(1)函數(shù)y=/(x)不具有奇偶性

(2)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,0),單調(diào)遞減