經(jīng)濟學(xué)導(dǎo)論-博弈理論補充習(xí)題

PAGEPAGE7第四章習(xí)題1.考慮如下擴展式博弈，指出以下博弈不存在純戰(zhàn)略序貫均衡，求出其混合戰(zhàn)略序貫均衡（Gibbons書上練習(xí)4.2）。2.考慮下圖擴展式博弈，并回答如下問題（Myerson書上練習(xí)4.5）。a.求出以上博弈所有的序貫均衡。b.如果除掉行動“g”，求出以上博弈所有的序貫均衡。3.考慮下圖擴展式博弈，回答如下問題（Myerson書上練習(xí)4.1）a.計算對應(yīng)的信息集上的信念；b.計算在給定信息集上參與人1和參與人2的期望支付；c.確定在所有信息集上參與人的非理性行為；d.找出以上博弈一個序貫均衡。4.考慮如下擴展式博弈，求出所有的序貫均衡。（Myerson書上例子）5.考慮下圖擴展式博弈，并回答如下問題。（Myerson練習(xí)4.3）a.當(dāng)，求出三個純戰(zhàn)略納什均衡；b.求出參與人的信息集2.2和信息集2.3之間后驗信念的關(guān)系；c.證明當(dāng)x=1時，證明以上三個納什均衡中有兩個是序貫均衡，有一個不是序貫均衡；d.當(dāng)x至少為多少時以上三個納什均衡都是序貫均衡。6.考慮下圖擴展式博弈，分析并回答如下問題。a.求出所有的分離均衡和混同均衡；b.利用剔除劣戰(zhàn)略精煉以上均衡；c.利用直觀標(biāo)準(zhǔn)精煉以上所有均衡。7.考慮一個企業(yè)融資和資本結(jié)構(gòu)的博弈。企業(yè)由于進行一項新的項目需要向投資者融資I，新項目預(yù)期收益為，并且滿，為投資者的機會成本。在沒有投資之前的獲利能力是企業(yè)的私人信息，可能取值，還可能取值，兩者滿足。博弈時序如下：自然首先決定的概率為；企業(yè)家觀察到之后，向投資者提供股份；投資者觀察到之后，決定是否向企業(yè)提供融資；如果投資者拒絕融資，則投資者的支付為，企業(yè)的支付為；如果投資者接受融資，投資者的支付為，企業(yè)的支付為。a.寫出以上博弈的擴展式；b.在什么條件以上博弈存在分離均衡；c.在什么條件以上博弈存在混同均衡。8.考慮一個三階段兩個參與人的不完全信息博弈。在每一個階段，參與人1有三個行動：，參與人2有兩個行動：。參與人1有三種等概率的類型：。在任何階段，如果參與人1類型是且兩個參與人都選擇行動則得到1，否則就是0；如果參與人1類型是且兩個參與人都選擇行動則得到1，否則就是0；如果參與人1類型是且參與人1選擇行動則得到1，否則就是0。參與人2沒有任何私人信息。在任何階段，如果兩個參與人都選擇行動或者，則參與人2將得到1，否則就是0?，F(xiàn)在問是否存在一個序貫均衡以下事件是正概率事件，第一階段參與人1選擇，第二階段兩個人都選擇，第三階段參與人2選擇（摘自Tirole和Fudenberg練習(xí)8.7）。9.考慮兩人提供公共物品不完全信息博弈，提供公共物品是0—1決策。參與人i提供公共物品成本是在都定義域為的獨立的均勻分布，而且參與人的提供成本是參與人私人信息。.如果該博弈重復(fù)兩次，即在第一階段，兩個參與人同時決定是否提供公共物品，在第二階段，每個參與人在觀察到第一階段決策后，每個參與人也同時決定是否提供公共物品，每個階段參與人的成本和效用如下圖所示，求解本博弈的對稱序貫均衡。表4.1提供不提供提供，，2不提供2，0，010.工會和企業(yè)老板在信息不對稱條件下就工資進行討價還價；員工的保留工資為0，企業(yè)利潤服從均勻分布，企業(yè)利潤是企業(yè)老板的私人信息。在第一階段，工會提出要求工資，如果企業(yè)老板接受，則博弈結(jié)束，老板支付為，工會為；如果老板拒絕，則博弈進行第二階段。在第二階段，工會同樣提出工資要求；如果企業(yè)接受，則企業(yè)老板得到，工會得到；如果企業(yè)老板拒絕則進行第三階段博弈。在第三階段，工會同樣提出工資要求；如果企業(yè)接受，則企業(yè)老板得到，工會得到雙方各得?，F(xiàn)在假定雙方的貼現(xiàn)因子都為，求解以上博弈的序貫均衡（Gibbons書中例子4.3.B加以改編）。11考慮一個企業(yè)進入市場的信號傳遞博弈。市場需求函數(shù)；潛在進入者的生產(chǎn)固定成本為0，其邊際成本；在位者廠商固定生產(chǎn)成本為0，其邊際成本可能是或，且的概率為；在位者廠商的邊際成本是在位者的私人信息，但的概率為是共同知識。博弈時序如下：第一階段，自然以的概率選擇；第二階段在位者決定市場價格和產(chǎn)量水平，進入者觀察價格和產(chǎn)量后決定是否進入；在第三階段，如果進入者沒有進入，在位者依舊是市場壟斷者。如果進入者已經(jīng)進入，在位者和進入者進行古諾博弈，此時進入者已經(jīng)知道在位者的邊際成本?，F(xiàn)假定進入者進入成本為6，時間貼現(xiàn)率為1（改自Milgrom和Roberts1982的論文）。a.求出一個分離均衡。b.在什么條件下存在混同均衡，并求出一個混同均衡。c.求出一個滿足剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略標(biāo)準(zhǔn)的分離均衡。d.求出一個滿足直觀標(biāo)準(zhǔn)的混同均衡。12.考慮一個囚徒困境在不對稱信息下的有限次博弈。其一次性博弈的支付矩陣如下圖所示?，F(xiàn)在假定每個參與人都有的可能性是“傻子”，可能性是個“精明人”。精明人總是選擇對自己最有利的行動，支付如下表。傻子有一種特殊的偏好，總是按照以下的方式行事：開始選擇努力工作；一直努力工作，除非對方在上一次偷懶；如果對方上次偷懶，自己將從本次開始一直偷懶下去。假定貼現(xiàn)因子，證明：不論多?。ù笥?），存在一個；使得只要博弈重復(fù)的次數(shù)；一開始就選擇“偷懶”不是精明人的最優(yōu)行為；更為一般地，只要,雙方都會努力工作。表4.2努力偷懶努力2,2-1,3偷懶3,-10,013.考慮一個三個參與人兩個階段的動態(tài)博弈。只有參與人1和參與人2存在私人信息，參與人的類型等于的概率都是，并且參與人之間類型滿足：。現(xiàn)在假設(shè)參與人1和參與人2在第一階段選擇行為戰(zhàn)略，參與人3在第二階段選擇行為戰(zhàn)略。若在某一個序貫均衡之中，不管何種類型參與人i總是選擇行動。現(xiàn)在假設(shè)參與人1還是選擇但是參與人2偏離原來均衡的行為戰(zhàn)略，則問在此條件下，求出參與人3第二階段關(guān)于的與原來序貫均衡一致或兼容的后驗信念（摘自Tirole和Fudenberg練習(xí)8.8）。14.證明如果一個博弈具有完美回憶，則序貫均衡一定是納什均衡。15.證明如果一個動態(tài)博弈中參與人類型之間是完全獨立的，每個參與人至多有兩個類型或者至多兩個階段，則貝葉斯精練納什均衡一定是序貫均衡。貝葉斯精練納什均衡定義與序貫均衡定義非常類似，僅僅關(guān)于零概率事件定義是不同的，參與人關(guān)于不同參與人類型的后驗信念是完全獨立的，即參與人i關(guān)于參與人j的類型信念和參與人k類型信念是完全獨立的；在階段后驗信念僅僅由階段行為戰(zhàn)略和階段后驗信念決定。16.澤爾騰（1975）為了精煉納什均衡，剔除不可置信的威脅，考慮參與人的犯錯的可能性。具體地說，對于任何有限博弈，如果一個戰(zhàn)略組合滿足以下條件，則稱戰(zhàn)略組合為顫抖手均衡：a.證明任何有限博弈至少存在一個擅抖手均衡。b.如果是代理人標(biāo)準(zhǔn)式的擅抖手均衡，則必然存在一個信念系統(tǒng)，使得是一個序貫均衡。17.考慮如下戰(zhàn)略式博弈，回答如下問題。如果表4.3中嚴(yán)格劣戰(zhàn)略不存在，則以下戰(zhàn)略式博弈之中唯一顫抖手均衡是。如果表4.3中嚴(yán)格劣戰(zhàn)略是存在的，則以下戰(zhàn)略式博弈之顫抖手均衡不再是唯一的（摘自Tirole和Fudenberg練習(xí)8.9）。表4.31,10,0-1,-20,00,00,-2-2,-1-2,0-2,-218.考慮如下一個廉價交談博弈。信號發(fā)送者的類型是的均勻分布，接受者的行動空間為。信號發(fā)送者的支付函數(shù)為，接受者為，其中為接受者采取的行動，發(fā)送者的類型。a.證明完全信息交流，即發(fā)送者總是如實報告類型是不可能的。b.求出兩者信息交流最大時的序貫均衡。19.考慮下圖擴展式博弈，回答如下問題（Myerson書中練習(xí)4.9）a.證明在任何序貫均衡中，參與人3行動概率為1，即信息集3.3總是可到達。b.證明如果參與人1和參與人2關(guān)于參與人3行動的信念有所不同，則參與人1和參與人2理性決策導(dǎo)致參與人3行動的概率為0。20.考慮如下擴展式博弈，分析回答如下問題（Myerson書中例子4.9）。a.如果去掉下半部分博弈樹，則以上博弈的唯一序貫均衡是都選擇fi;b.如果存在一個序貫均衡參與人1在第一階段選擇g1,則的最小值。21.考慮壟斷者通過價格顯示質(zhì)量的模型。消費者的效用函數(shù)為，為偏好參數(shù)，為產(chǎn)品質(zhì)量，購買商品價格，即消費者只購買一單位商品。假定偏好參數(shù)取值為和，各自比例分別為和。壟斷廠商的產(chǎn)品質(zhì)量可能是,花費成本；產(chǎn)品質(zhì)量也可能是，花費成本；并且滿足：，。假定以上博弈重復(fù)兩次，偏好參數(shù)是公共信息，產(chǎn)品質(zhì)量是產(chǎn)商的私人信息?？紤]以下兩組參數(shù)（摘自和Tirole書中練習(xí)2.7）：a.如果消費者了解產(chǎn)品質(zhì)量信息，證明在條件下高質(zhì)量壟斷廠商僅向消費者提供產(chǎn)品，低質(zhì)量壟斷廠商向所有消費者出售產(chǎn)品；而條件下則相反。b.假定消費者通過第一期購買才能獲得質(zhì)量信息，而且只有第一期購買的消費者第二期才會購買。證明在條件存在分離均衡，高質(zhì)量產(chǎn)商比低質(zhì)量產(chǎn)商索取更高的價格；而在條件下則結(jié)論正好相反。22.考慮如下兩階段科斯動態(tài)，思考壟斷者動態(tài)定價問題。一個耐用品市場上存在一個壟斷者，兩種類型消費者。消費者類型，即耐用品對于消費者的價值是私人信息，價值的概率為，價值的概率為，且，以及。假設(shè)不存在價格歧視，壟斷者在任何階段僅僅能夠提供一個