與函數(shù)的對稱性相關(guān)的零點(diǎn)問題-高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題（選擇、填空題）（新高考地區(qū)專用）

專題05與函數(shù)的對稱性相關(guān)的零點(diǎn)問題

【方法點(diǎn)撥】

1.若單調(diào)奇函數(shù)式x)滿足犬々)+犬3=0,貝寸。+6=0.一般的，若單調(diào)函數(shù)/U)關(guān)于點(diǎn)("Z,n)

對稱，且滿足入1)+大力=2”,則a+b=2m.

2.對于具有對稱性的函數(shù)零點(diǎn)問題，要注意檢驗(yàn)充分性，以防增解.

3.對稱性的三個常用結(jié)論：

(1)若函數(shù)應(yīng)x)滿足式a+x)=/(b—x),則y=/U)的圖象關(guān)于直線工=對稱.

(2)若函數(shù)y(x)滿足犬a(chǎn)+x)=-/(b—x),則y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)，宇，0)對稱.

(3)若函數(shù)於)滿足加+%)+加—x)=c,則函數(shù)於)的圖象關(guān)于點(diǎn)專)對稱.

【典型題示例】

例1若函數(shù)y(x)=a(x-l)3+—也+尤—1存在eN*)個零點(diǎn)，則所有這些零點(diǎn)的

X-1

和等于.

【答案】2

A

【解析】設(shè)g(x)=f(x+l)=ax3+—+A：,

則g(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱

所以/(無)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，故其與X軸的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱

所以“X)的所有零點(diǎn)的和等于2.

例2設(shè)函數(shù)/(x)=(x-3)3+x-1,數(shù)列｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，

/(o1)+/(a2)4--F/(4Z7)=14,則q+%+7n()

A.0B.7C.14D.21

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)值之和/(。1)+/(。2)+—+/(%)=14求自變量之和生+〃2+—+%，很自

然會去考慮函數(shù)的性質(zhì)，而等式常?？疾閷ΨQ性，從而嘗試去尋求函數(shù)

/(%)=(X—3)3+X—1的對稱中心.

函數(shù)/(x)=(x—3)3+x—1可以視為由y=(x—3)3與y=x—1構(gòu)成，它們的對稱中心

不一樣，可以考慮對函數(shù)的圖象進(jìn)行平移，比如/(x)—2=(x—3p+(x—3),引入函數(shù)

F(x)=/(x+3)-2=?+x,則該函數(shù)是奇函數(shù)，對稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，由圖象變換知識

不難得出/(x)=(x-3)3+x-l的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,2)中心對稱.

【解析】???{%}是公差不為0的等差數(shù)列，且/(2+/(%)+…+/(%)=14

[(67)—3)3+。]—1]+[(%—3)3+%—1]+…+[(%—3-+%—1]=14

??(4]+〃2+?,,)—7=14

%=21

例3函數(shù)"x)=/T-/+1+公缶區(qū)@￡尺，e是自然對數(shù)的底數(shù)，〃>0)存在唯一的零點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(0,-]B.(0,-)C.(0,2]D.(0,2)

7171

【答案】A

【分析】分離函數(shù)，零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有唯一交點(diǎn)問題，再使用函數(shù)的對稱性解決.

【解析】函數(shù)/(x)=ei-eTM+asinG(xeR,e是自然對數(shù)的底數(shù)，。>0)存在唯一的零

點(diǎn)等價于：函數(shù)°(x)=asin；TX與函數(shù)g(x)=e-e""只有唯一一個交點(diǎn)，

,;(p(1)=0,g(1)=0,

函數(shù)/x)=asin萬x與函數(shù)g(x)=**-ex~l唯一交點(diǎn)為(1,0),

又=且人*>0,exl>0,

：.g'(x)=在R上恒小于零，即g(x)=e--在R上為單調(diào)遞減函數(shù)，

又?.,9(x)=asin%x(a>0)是最小正周期為2,最大值為a的正弦函數(shù),

/.可得函數(shù)(p(x)=asm7rx與函數(shù)g(x)=-的大致圖象如下圖：

.??要使函數(shù)9(%)=asin?x與函數(shù)g(x)=3一、-e"”只有唯---個交點(diǎn)，則夕，(1)..gf(1),

2

*.,(p1(1)-71ClCOS7t——7ta，g'(1)=—/i—/i=-2,—Tea...—2,解得a,—，

兀

又「a〉。，.?.實(shí)數(shù)。的范圍為(0,-].故選：A.

71

例4已知函數(shù)/'(x)=x2—2x+a(e*T+eT")有唯一零點(diǎn)，則a=()

11

A.--B.一D.1

23

【答案】C

【分析】如果利用導(dǎo)數(shù)研究/(X)的零點(diǎn)，就會小題大做，容易陷入困難.由函數(shù)與方程

思想，函數(shù)的零點(diǎn)滿足2x—%2=。卜1

設(shè)g(x)=e，T+"X+I="T+「(T,顯然g(x)是由函數(shù)y=靖+1向右平移一個

單位而得到，易知y="+er是偶函數(shù)且在［0,+oo)上是增函數(shù).故g(x)關(guān)于直線

%=1對稱，且在［1,+8)上是增函數(shù)，在(—8,1］上是減函數(shù)，g(x)m,n=g(l)=2.

設(shè)/z(x)=2x—顯然/z(x)=2x—V關(guān)于直線4=1對稱，頂點(diǎn)為(1』).

若。＜0,則函數(shù)y=a-g(x)關(guān)于直線x=l對稱，且在［1,+8)上是減函數(shù)，在

(—8,1］上是增函數(shù)，最大值為2a,2a＜力(42

若y=a-g(x)的圖象與//(%)的圖象有一個公共點(diǎn)A,根據(jù)對稱性必有另一個公共

點(diǎn)B.所以，a＜0不合題意;

若。>0,函數(shù)y=a-g(x)關(guān)于直線x=l對稱，且在［1,+8)上是增函數(shù)，在

(—8,1］上是減函數(shù)，最小值為2a.若y=a.g(%)的圖象與h(x)的圖象只有一個

公共點(diǎn)，必有2a=1,得a=L

2

2x+12xx

【解析一】/(x)=(x-l)+a(e*T+e-)-l,^g(x)=f(x+l)+l=x+a(e+e-)

則易知g(x)是偶函數(shù)，所以/Xx)圖象關(guān)于直線x=l對稱，欲使/'(X)有唯一零點(diǎn)，

必有了(1)=0,即2a—1=0,所以。=；.

【解析二】xz—2x——a(ex^l+e^x+1'),

12<x-1)-1

xlx+1x1x+1x1-e

設(shè)g(x)=e~+e~,g'(x)=e~-e~=e~^FT=一—一，

當(dāng)g%x)=0時，x=l,

當(dāng)x<l時，gr(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時，g，(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x=l時，函數(shù)g(x)取得最小值g(l)=2,

設(shè)人(無)=/一2了，當(dāng)x=l時，函數(shù)取得最小值一1,

作出一ag(x)與/z(x)的大致圖象如圖所示.

若一a>0,結(jié)合選項(xiàng)A,a=—f時，函數(shù)/z(x)和一ag(x)的圖象沒有交點(diǎn)，排除選項(xiàng)A；

當(dāng)一。<0時，一ag(l)=/i(l)時，此時函數(shù)//(尤)和一ag(x)的圖象有一個交點(diǎn)，即一ax2=-10。

=1,故選C.

例5已知關(guān)于X的方程X2+2。1082(工2+2)+。2—3=0有唯一解，則實(shí)數(shù)a的值為

【答案】1

【分析】利用隱藏的對稱性，易得八0)=0,求得a=l或“=—3,再利用數(shù)形結(jié)合，將增解

舍棄.

【解析】通過對函數(shù)八尤）=%2+2alog2（x2+2）+a2-3的研究，可發(fā)現(xiàn)它是一個偶函數(shù)，那么

它的圖象就關(guān)于y軸對稱，若有唯一解，則該解必為0.

將尤=0代入原方程中，可求得a=l或°=-3.這就意味著，當(dāng)a=l或0=一3時，

原方程必有一解0,但是否是唯一解，還需進(jìn)一步驗(yàn)證.

當(dāng)。=1時，原方程為f+ZlogzCd+Z）—2=0,即210g2（x2+2）=2—x2,該方程實(shí)數(shù)

根的研究可能過函數(shù)y=21og2/和函數(shù)y=4—f的交點(diǎn)情況來進(jìn)行，不難發(fā)現(xiàn)，此時是符

合題意的；而當(dāng)。=—3時，原方程為x2—61og2（x2+2）+6=0,即通

過研究函數(shù)y=4+t和y=61og2f可以發(fā)現(xiàn)，此時原方程不止一解，不合題意，需舍去.

點(diǎn)評：

/（0）=0僅是函數(shù)存在零點(diǎn)的必要條件，要注意檢驗(yàn)充分性，一般是代入檢驗(yàn)進(jìn)行取舍.

【鞏固訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)八x）是偶函數(shù)，且當(dāng)尤>0時，危）=hu-狽，若函數(shù)人元）恰有5個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是.

2.若函數(shù)/0）=%2+2。國+4。2-3的零點(diǎn)有且只有一個，則實(shí)數(shù)”.

3.若函數(shù)兀0=/一7〃cos尤+源+3小-8有唯一零點(diǎn)，則滿足條件的實(shí)數(shù)m組成的集合

為.

4.已知函數(shù)/（尤）=/-2犬+0（/+"*,aeR,則函數(shù)/（x）零點(diǎn)的個數(shù)所有可能值構(gòu)成

的集合為.

5.函數(shù)y=——的圖象與函數(shù)y=2sin〃x（-2<x<4）的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于

x-1

()

A.2B.4C.6D.8

6.己知函數(shù)/（x）（xeR）滿足/（一》）=2—/（x）,若函數(shù)y=±±!與>=/（x）圖象的交點(diǎn)

X

為（西,必）,（々,8）「??,（4,〃），則Za+?）=（）

/=!

A.0B.mC.2mD.4m

7.已知實(shí)數(shù)X、y滿足（x++i）（y+77+1）=1,則Y--4y2—6x—6y+2020

的值是.

2x+4

8.圓V+J+G%一4y=。與曲線y二----相交于A&C,。點(diǎn)四點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

%+3

^OA+OB+OC+OD^=.

9.已知函數(shù)/（x）=2，+2r,函數(shù)g（x）=2-2聞一2qf（x—2021）-24有唯一零點(diǎn)，則實(shí)

數(shù)。的值為.

10.函數(shù)/（x）=ln（e4+e2T）+f一?的所有零點(diǎn)之和為（）.

A0B.2C.4D.6

11.已知函數(shù)=，-2+02-“+asin（工x-&）有唯一零點(diǎn)，則a=（）

36

A4B.2C.-2D.-4

x~\~1

12.（2022.江蘇常州?模擬）已知函數(shù)兀0（尤GR）滿足八一工）=2—兀0,若函數(shù)y=丁與>=大尤）

m

圖象的交點(diǎn)為（%1，%），（冗2，㈤，…，yrn）,則工（為+%）等于（）

A.0B.mC.2mD.4m

【答案與提示】

1.【答案】(0,e)

【提示】分離函數(shù)，問題即為x>0時，〃a)=hu與g(x)=ox的圖象恰有2個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)

求出當(dāng)a=e時，相切為臨界值.

有

2.【答案】a=——

2

【提示】同例4,利用40=0,求得。=±#，而當(dāng)。=-孝時，不滿足題意，應(yīng)舍去.

3.【答案】m=2

【提示】發(fā)現(xiàn)y(無)是偶函數(shù)，故得到式0)=0,立得機(jī)=2或m=—4,難點(diǎn)在于對加=—4的取舍

問題.思路有二，一是“分離函數(shù)”，利用“形”助數(shù)；二是利用導(dǎo)數(shù)知識，只需當(dāng)尤>0

時，函數(shù)恒增或恒減即可.

4.【答案】{0,1,2,4}

【提小】見例3.

5.【答案】B

【提示】根據(jù)對稱性易得答案.

6.【答案】B

x+]1

【分析】該題設(shè)計抽象函數(shù)/(X)關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對稱，函數(shù)y=——由奇函數(shù)y=—

XX

向上平移一個單位得到，也關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對稱，因而兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)為也關(guān)于

點(diǎn)(0,1)成中心對稱，￡(七+凹)=2%+Z%，考慮倒序相加法，可得

111

jn“7

Z%=加，故Z(x,+y)=機(jī).

1/=!

7.【答案】2020

【提示】兩邊取自然對數(shù)得In卜+J?石)+ln(y+J7W)=0

設(shè)/(幻=1111+42+1卜則易得其為R上的單增奇函數(shù)

所以x+y=0,

故/一3xy-4y2-6x-6y+2020=(x+y)(x-4y)-6(x+y)+2020=2020