2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：拓展之三角形中面積（定值最值取值范圍）問(wèn)題（學(xué)生版+解析）

第08講拓展三：三角形中面積（定值，最值，取值范圍）問(wèn)題

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)..................................................1

第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)............................................2

高頻考點(diǎn)一：求三角形面積（定值問(wèn)題）.............................2

高頻考點(diǎn)二：根據(jù)三角形面積求其它元素............................4

高頻考點(diǎn)三：求三角形面積最值....................................6

高頻考點(diǎn)四：求三角形面積取值范圍（普通三角形面積取值范圍）.....25

高頻考點(diǎn)五：求三角形面積取值范圍（銳角三角形面積取值范圍）......7

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)

1、三角形面積的計(jì)算公式：

①S=—x底x[Wj；

2

?S=—absinC=—acsinB=-bcsinA；

222

③S=g（a+）+c）廠（其中，a,仇c是三角形ABC的各邊長(zhǎng)，廠是三角形ABC的內(nèi)切圓半徑）；

nhr

@S=——（其中，a,仇C是三角形ABC的各邊長(zhǎng)，R是三角形ABC的外接圓半徑）.

4R

2、三角形面積最值：

核心技巧：利用基本不等式仍〈（營(yíng)了再代入面積公式.

3、三角形面積取值范圍：

核心技巧：利用正弦定理a=2HsinA,b=2RsinB,代入面積公式，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值

范圍，求面積的取值范圍.

第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)

高頻考點(diǎn)一：求三角形面積(定值問(wèn)題)

典型例題

例題1.(23-24高一下?四川成都?階段練習(xí))在AABC中，已知NBAC=1201AB=2,AC=l.

(1)求邊3C；

(2)若。為3c上一點(diǎn)，且/BAD=90。，求△ADC的面積.

6a_c

例題2.(2024?陜西商洛?三模)在AABC中，角所對(duì)的邊分別為。也。，且滿足；一"二品己

2cos—

2

⑴求角A的大??；

(2)若〃=6,c—。=避二史，求AABC的面積.

2

例題3.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知AABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a,b,c,6b-csinA=EzcosC.

(1)求角A的大??；

(2)若°=3,。為8C邊上一點(diǎn)，|AD|=2,2DB=DC,求AABC的面積.

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高二下?浙江,階段練習(xí))在AABC中，。力,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，且滿足

6a-A/3CCOSB+bsinC=0.

(1)求角C的大??；

(2)若c=2g,。為AB的中點(diǎn)且|。必=五，求AABC的面積.

2.(2024?湖南?模擬預(yù)測(cè))在AABC中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

3

cosA=-,(a+c)(sinA+sinC)=bsinB+3csinA

(1)證明：AABC是銳角三角形;

(2)若a=2,求AABC的面積.

3.(2024?北京海淀■一模)在AABC中，/?sinC+V3ccosB=2c.

⑴求力;

(2)若。=2出/+0=4,求AABC的面積.

高頻考點(diǎn)二：根據(jù)三角形面積求其它元素

典型例題

例題1.（2024?四川南充?二模）在①2csin5cosA=Z?（sinAcosB+cosAsinB）；②

bsinB+csinC-asinA2.、、人一,一,人、，

@---------:----------=~smA4?這二個(gè)條件中任選~1個(gè)，未卜

csinB--V3

充在下面對(duì)問(wèn)題中，并解答問(wèn)題.

在AABC中，內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為〃，b,C,且滿足

⑴求A；

⑵若AABC的面積為16VL。為AC的中點(diǎn)，求8。的最小值.

例題2.（2024?陜西西安?一模）已知AABC為鈍角三角形，它的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、

c,且sin2C=sin2_B+sin（工+B）cos（巴+2）,a<c,b<c.

36

（l）^tan（A+B）的值；

⑵若AABC的面積為12vL求C的最小值.

例題3.（23-24高一下?江蘇南通?階段練習(xí)）"WC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

.A+5.

asin-----=csinA.

2

⑴求c；

（2）若AABC面積為loVLtanA=4y/3,求AB邊上中線的長(zhǎng)度.

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高一下?廣東湛江?階段練習(xí))已知函數(shù)尤)=cos2x+J5sinxcosx.

⑴求"X)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在AABC中，。、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)，若/(4)=1,6=1,AABC的面積為求。的

2

值.

2.(23-24高一下?重慶渝中?階段練習(xí))在AABC中，角A,&C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asinB=6sin(A+方

⑴求角A的大??；

(W的面積為孚，角A的平分線與5c交于點(diǎn)。，且35求邊。的值.

3.(23-24高一下?河南濮陽(yáng)?階段練習(xí))在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

c(cosA+l)=GasinC.

⑴求A；

(2)若IBC的面積為96，周長(zhǎng)為18,求a.

高頻考點(diǎn)三：求三角形面積最值

典型例題

例題L(23-24高一下?湖南衡陽(yáng)?階段練習(xí))在AABC中，RE分別是A8,AC上的點(diǎn)，且

BD=2AD,AE=2CE,CD與BE相交于點(diǎn)F.

(1)用AB,AC表示AF；

(2)若AB=AC=1,求△Bb面積的最大值.

例題2.(23-24高二上?云南?期末)在AABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、c,且滿足

近(b-ccosA)=asinC.

⑴求角C；

(2)若c=2,求AASC面積的最大值.

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高三上?云南昆明?階段練習(xí))在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,

6c+6sinA=cosB■

(1)求A；

(2)若點(diǎn)。是BC上的點(diǎn)，AD平分Z54C,S.AD=2,求AABC面積的最小值.

練透核心考點(diǎn)

1.（22-23高三下?四川雅安?階段練習(xí)）在A4BC中，角A,8,C的對(duì)邊分別為a,6,c,2sinA+tanA=0.

（1）求A；

⑵若加inA=4sin3,>lgZ2+lgc>l-2cos（B+C）,求AABC面積的取值范圍.

2.（22-23高一下?廣東廣州?階段練習(xí)）在AABC中，設(shè)a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，已知向量

m=（sinA,sinC—sin,n=（sinB+sinC,sinA+sinB）,且正//7.

⑴求角C的大??；

⑵若c=3,求AABC面積的取值范圍.

高頻考點(diǎn)五：求三角形面積取值范圍（銳角三角形面積取值范圍）

典型例題

例題1.（2023?江西?二模）在AASC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,已知

sinAsinB+cos2A+cos2B+sin2c=2.

⑴求角C；

⑵若44SC為銳角三角形，且匕=2,求AABC面積的取值范圍.

例題2.(2023?河北石家莊?一模)已知“LBC內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為

a,b,c,2y/2a2cosB+b1=2.abcosC+a2+c2.

(1)求8;

(2)若AABC為銳角三角形，且。=4,求AABC面積的取值范圍.

例題3.(22-23高一下?安徽合肥?階段練習(xí))已知URC為銳角三角形，角A,B,C所對(duì)的邊分別為4c,

且acosC=c(l+cosA).

⑴求二的取值范圍；

a

(2)若6=2,求融C面積的取值范圍.

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高二上?河北秦皇島?開(kāi)學(xué)考試)在銳角AABC中，角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosB+疝inB=2,

cosBcosC2sinA

----1----=-/=---.

bcV3sinc

(1)求角B的大小和邊長(zhǎng)b的值；

(2)求AABC面積的取值范圍.

2.(22-23高一下?重慶萬(wàn)州?階段練習(xí))AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知asin—^=bsinA.

⑴若6=6，求AABC的外接圓的周長(zhǎng)和面積.

(2)若AABC為銳角三角形，且c=2,求A/RC面積的取值范圍.

3.(22-23高三下?安徽池州?階段練習(xí))"RC的內(nèi)角A氏C的對(duì)邊分別為。,仇。，已知嗎=2二

tanCc

⑴求角8的值；

(2)若AASC為銳角三角形，且c=2,求AABC面積的取值范圍.

第08講拓展三：三角形中面積（定值，最值，取值范圍）問(wèn)題

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)..................................................1

第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)............................................2

高頻考點(diǎn)一：求三角形面積（定值問(wèn)題）............................2

高頻考點(diǎn)二：根據(jù)三角形面積求其它元素............................4

高頻考點(diǎn)三：求三角形面積最值....................................6

高頻考點(diǎn)四：求三角形面積取值范圍（普通三角形面積取值范圍）.....25

高頻考點(diǎn)五：求三角形面積取值范圍（銳角三角形面積取值范圍）......7

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)

1、三角形面積的計(jì)算公式：

①S=—x底x[Wj；

2

@S=—absinC=—acsinB=—bcsmA；

222

③S=g（a+）+c）廠（其中，七c是三角形ABC的各邊長(zhǎng)，廠是三角形ABC的內(nèi)切圓半徑）；

nhr

@S=——（其中，a,仇C是三角形ABC的各邊長(zhǎng)，R是三角形ABC的外接圓半徑）.

4R

2、三角形面積最值：

核心技巧：利用基本不等式仍〈（與了＜吟^,再代入面積公式.

3、三角形面積取值范圍：

核心技巧：利用正弦定理a=2HsinA,b=2RsinB,代入面積公式，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值

范圍，求面積的取值范圍.

第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)

高頻考點(diǎn)一：求三角形面積（定值問(wèn)題）

典型例題

例題1.（23-24高一下?四川成都?階段練習(xí)）在AABC中，已知NBAC=1201AB=2,AC=l.

（1）求邊3C；

（2）若。為3c上一點(diǎn)，且/BAD=90。，求△ADC的面積.

【答案】⑴近

喑

【分析】（1）利用余弦定理即可求得答案；

S1

（2）求出/C4D=30。，即可求出甘迺的值，即可得S&c?=￡SaBc，結(jié)合三角形面積公式，即可求得答

案.

【詳解】（1）依題意知，在AABC中，ZBAC=120°,AB=2,AC=1,

故BC-=AB?+AC2-2AB-ACcosABAC

=4+l-2x2xlxcosl20°=7,

故BC:近；

（2）由于NR4D=90°,ZBAC=120°,故NC4O=30。，

?—xABxADxsin90°

故皆----------------=4,

'AACD-XACXADXsin30°

2

則Ls=：5皿=：x（；x2xlxsinl2o]=*.

y/3a_c

例題2.（2024?陜西商洛?三模）在AABC中，角A,民。所對(duì)的邊分別為〃也c,且滿足；一下二寂.

ZCOS—

2

⑴求角A的大??；

（2）若〃=J5,c—。=避二史，求&4BC的面積.

2

【答案】（1）A=]

（2）+3^/5

8

【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再利用輔助角公式即可得解；

（2）先利用余弦定理求出A,再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.

y/3a_c

【詳解】（1）在融。中，因?yàn)?cos2?=標(biāo)，

由正弦定理得道sinA=包￡=1,

1+cosAsinC

即V3sinA=1+cosA,即A/3sinA-cosA=1,BPsin^A--^-j=,

又A￡（0,7i）,所以A—3日]，所以=S即4=三

666J663

（2）在△ABC中，a=^3,c—b=A=—?

23

由余弦定理得/=/+c?—2Z?ccosA,3=（c—Z?）2+be,be=1+,

2

erI>r?1..,2-\/3+3-\/5

所以SgBe=~bcsmA=----------

例題3.（2024■全國(guó)■模擬預(yù)測(cè)）已知AABC中，角A、B、<7的對(duì)邊分別是4力,<7,6匕-05[114=5/§?<：0§。.

（1）求角A的大??；

（2）若a=3,D為3c邊上一點(diǎn)，|AD|=2,2DB=DC,求AABC的面積.

【答案】（1）A=1

⑵空

2

【分析】（1）由正弦定理及誘導(dǎo)公式、恒等變換公式得到A的正切值，進(jìn)而求解即可；

?1,2?

（2）解法一利用已知條件2DB=OC和向量的知識(shí)得到AD=-AC+-AB,進(jìn)而實(shí)數(shù)化得到b和c的一個(gè)關(guān)

系式，再由三角形余弦定理結(jié)合角的互補(bǔ)關(guān)系得出b和c的另一個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立方程求解即可；解法二直接

由第一問(wèn)的結(jié)果結(jié)合余弦定理得出b和c的一個(gè)關(guān)系式，再由三角形余弦定理結(jié)合角的互補(bǔ)關(guān)系得出6和。

的另一個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立方程求解即可.

【詳解】（1）由正弦定理得5/5sinjB-sinCsinA=6sinAcosC,

因?yàn)锳+B+C=TT

故6sin（A+C）—sinCsinA=V3sinAcosC,

即V3sinAcosC+石cosAsinC-sinCsinA=石sinAcosC,

即sinC(V^cosA-sin/kj=0.

而sinCw0,故6cosA-sinA=0，

又因?yàn)閏osAw0所以tanA=V§\

而O<A<71,故A=1.

.—?1—.2—.

(2)解法一：由。知AD=]AC+§A3,

兩邊同時(shí)平方得區(qū)力1=1|AC|2+[福]+三通'周cosZBAC,

14?

即4=eb2+]c2+]bc,化簡(jiǎn)得/+4C2+20C=36.①

22+12-25-r2

在△ABD中，由余弦定理得COS/AOB=T^—￡r_=二工，

2x2x14

?2_|_?2_h1Q_A2

在AACD中，由余弦定理得cos/ADC=^---也=52,

2x2x28

l^ZADB+ZADC=n,所以cos/AZ出+cos/ADC=0,

,,22+12-C222+22-/?2

故---------+----------即2c2+"18,②

2x2x12x2x2

由①②得從+4c2+26c=2(2c2+b2),

由于ZJWO,得b=2c,代入②得<?=3.

所以AASC的面積為^bcsin/BAC=c2sinZBAC=—.

22

7T+r2—Q1

解法二：在AABC中，由余弦定理可得cos/A4C=cos—=-------------=—

32bc2

整理得廿+。2-6c=9,①

2212-25-r2

在△ABD中，由余弦定理得cos/AD3=V二+一r匕=土￡,

2x2x14

在AACD中，由余弦定理得cos/ar)C=2-+2--”="生,

2x2x28

而ZADB+ZADC=71,所以cosZADB+cosZADC=0,

22+12-C222+22-b2

---------------1----------------=0,即2c2+"i8,②

2x2x12x2x2

由①②得2c?+/=2"+2。2-2比，

由于6片0,得b=2c,代入②得°2=3,

2

所以AABC的面積為S△rAioRC=-2bcsinZB2AC=csinZBAC=—.

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高二下?浙江?階段練習(xí))在AABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，且滿足

y/3a-出ccosB+bsinC=0.

(1)求角C的大?。?/p>

⑵若c=2石，。為AB的中點(diǎn)且|C0=3,求AABC的面積.

兀

【答案】(1)C=T2

(2)在

2

【分析】(1)根據(jù)正弦定理及正弦的和角公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可；

(2)由余弦定理及三角形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】(1)因?yàn)橐皇痗cosB+bsinC=0,

由正弦定理可得石sinA-V§sinGcosB+sinBsinC=0.

又因?yàn)樵贏ABC中，有sinA=sin+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以百(sinBcosC+cosBsinC)-V3sinCcosi5+sinBsinC=0,

化簡(jiǎn)得\/3sinBcosC+sinBsinC=0.

因?yàn)?＜5＜兀，所以sin3w0,

所以瓜osC+sinC=0,于是tanC=-班.

因?yàn)?。＜。＜兀，所以C=~y.

(2)由。為AB的中點(diǎn)，可得==

又ZADC+/BDC=R,所以cosZADC+cosN5r>C=0,

在△ACD和△BCD中，

根據(jù)余弦定理從而可得㈣+(&)Y+陰+(匈"

=On+/=10?

273x722A/3XV2

〃2+_「2_Q

又cosC=J^—,所以而=2,

2ablab

可得S'absinC=?

△/IDC22

ADB

2.（2024,湖南?模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，內(nèi)角A,民C的對(duì)邊分別為a,瓦c,且

3

cosA=-,(a+c)(sinA+sinC)=bsinB+3csinA

⑴證明：AABC是銳角三角形；

⑵若。=2,求AABC的面積.

【答案】①證明見(jiàn)解析；

9+4^

8,

【分析】（］）由正弦定理和余弦定理求解即可；

（2）由兩角和的正弦公式求出sinC,再由正弦定理和三角形的面積公式求解即可.

【詳解】（1）證明：因?yàn)椋ā?（?）（511124+5111。）=加111^+3。51114,

所以由正弦定理得（。+。）2=〃+3砒,整理得/+—/=4.

則cosBJ+L*J因?yàn)锽e(O,兀)，所以8=：,

2aclac23

/■

31717127r

因?yàn)閏osA=—G\,Ae(O,7t),所以Ae,因?yàn)锳+C=q,

27“3

715K)

所以所以A是銳角三角形.

3512rABC

34

(2)因?yàn)閏osA=g,所以sinA=g,

smAcosB.cosAs^^xi4x^，^

所以sinC=sin(A+8)=

525210

2_c

所以"T

在AABC中，由正弦定理得二='二,即4=4+3函,

sinAsinC『------

510

所以AABC的面積為工acsinB=—x2x4記百x=9+'冷.

22428

3.(2024?北京海淀?一模)在AABC中，Z?sinC+百ccosB=2c.

⑴求4；

(2)若a=26力+c=4,求AABC的面積.

【答案】（1）￡

0

⑵6

【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角得到sinB+百cos3=2,再利用輔助角公式及特殊角的三角

函數(shù)值，即可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)(1)中3=]及條件，由余弦定理得到12+C2-〃=6C，再結(jié)合人+C=4,即可求出C=2,再利

6

用三角形面積公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)閎sinC+=2。，由正弦定理可得sin3sinC+J5sinCcosB=2sinC,

又?！?0,兀)，所以sinCwO,得到sinB+^cosB=2,即2sin(3+?=2,

所以sin(3+1)=l,又因?yàn)锽e(O,兀)，所以5+1=',得到5吟

(2)由(1)知3=1所以cosB=a+'—絲又〃得到12+，一廿=6c①，

6lac2

又人+c=4,得至ljb=4—c代入①式，得到c=2,

所以△ABC的面積為SABC=—^sinB=—x2^x2xsin—=73.

高頻考點(diǎn)二：根據(jù)三角形面積求其它元素

典型例題

例題1.(2024?四川南充?二模)在①2csinBcosA=Z?(sinAcosB+cosAsin5)；②

。、z-xbsinB+csinC-asinA2.,、,*

sin2B+sin2C+cos2A-l=sin(A+B)sin(A+C)；③------------;--------------=-^sinA；這三個(gè)A條件中任選一個(gè)，補(bǔ)

csinB。3-

充在下面對(duì)問(wèn)題中，并解答問(wèn)題.

在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足

(1)求A；

⑵若AABC的面積為166，。為AC的中點(diǎn)，求8。的最小值.

【答案】⑴條件選擇見(jiàn)解析，A=1

(2)472

【分析】(1)選①：利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦化簡(jiǎn)求解；選②：利用平方關(guān)系結(jié)合正弦定

理角化邊，再利用余弦定理求解；選③：利用正弦定理角化邊得cosA=]sinA即可求解；

(2)由面積得加=64,結(jié)合余弦定理和基本不等式求最值.

【詳解】(1)若選擇①：2csinBcosA=Z?(sinAcosB+cosAsinB),

由正弦定理可得2sinCsinBcosA=sinBsin(A+3)=sinBsinC,

因Ce(0,7i),8e(0,7t),故sinCwO,sinBwO,

1兀

則有cosA=s，因Ae(0,7i),故A=Q.

若選擇(2)：sin2B+sin2C+cos2A-l=sin(A+B)sin(A+C),

則sin?B+sin2C-sin2A=sin(A+B)sin(A+C)=sinCsinB,

由正弦定理可得廿+。2一片=兒,

,/.Z72+c2-a11

故cosA=---------二—

2bc2

因人￡(0,兀)，故A4.

bsinB+csinC-asinA_2

若選擇③sinA；

csinB一忑

由正弦定理可得,。^二百"

再由余弦定理得，cosA=-^sinA,即tan4=5

TT

AE(0,兀),A=—.

3

(2)=|cZ?sinA=16>/3,又A=；,;.6c=64，

在三角形BCD中，BD2=B^+AD2-2BAADCOSA=C2+(^\-2C---COS-,

⑵23

-c2+-———cb>2.1c2--———cb=—cb=32,

42V422

當(dāng)且僅當(dāng)。=^|=4a時(shí)取等號(hào)，

二8￡)的最小值為4人.

例題2.(2024?陜西西安?一模)已知AABC為鈍角三角形，它的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、

c,Msin2C=sin2B+sin(—+B)cos(—+B),a<c,b<c.

36

(1)求tan(A+B)的值；

(2)若AABC的面積為12石，求c的最小值.

【答案】⑴石

(2)12

【分析】(1)由三角恒等變換化簡(jiǎn)可得sinC,再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式得解；

(2)由三角形面積公式、余弦定理及重要不等式即可求解.

jrJT|?TT17T

【詳解】(1)因?yàn)閟in2c=sin23+sin(—+5)cos(—+5)=sin2B+—sin—+2B+sin—

362(2)6

=sin2B+Hcos25+；)=sin2B+^l-2sin2町+：=：,

因?yàn)閟inC>0,所以sinC=，

2

由△ABC為鈍角三角形且〃<c,人<c知，。為鈍角，

所以cosC=-5，即tanC=-?,

所以tan（A+B）=tan（兀一C）=一tanC=6.

（2）因?yàn)镾^ABC二:“bsinC==12百，

所以必=48,

由余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab>3ab=144,

當(dāng)且僅當(dāng)〃=b=4g時(shí)，等號(hào)成立，

此時(shí)0?的最小值為144,所以c的最小值為12.

例題3.（23-24高一下?江蘇南通?階段練習(xí)）AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知

.A+B.

asin-------=csinA.

2

（1）求c；

⑵若AASC面積為10石，tanA=4百，求AB邊上中線的長(zhǎng)度.

【答案】（嗚

（2）恒

2

【分析】⑴根據(jù)題意，由正弦定理和三角恒等變化和的公式，得到cosc==2sinC=coCs=,求得sinC==：1,

22222

即可求解；

（2）根據(jù)三角形的面積公式，求得必=40,再由tanA=46,求得sinA=生巨，得到sinB=%8,結(jié)合

714

正弦定理得到5a=助，聯(lián)立方程組求得。=8,6=5,結(jié)合余弦定，即可求解.

【詳解】（1）解：因?yàn)閍sin-------=csinA,由正弦定理得sinAsin--------=sinCsinA,

22

因?yàn)锳e（0,2,可得sinA>0,又因?yàn)?芋=5-二，可得仃坂二芋）=cos],

匚匕I、I?A+3C__.C?CC..C*C

所以sin-------=cos—=sinC=2sm—cos—,艮RJncos一=2sin-cos一,

2222222

又因?yàn)椤靲（0,《），可得cos￡>0,所以sing=:，所以日二丁，可得c=g.

22222263

JT

（2）解：由（1）知，C=y,

因?yàn)椤鰽BC面積為10A/J，可得!〃OsinC=-^-ab=10y/3,可得H?=40,

24

又因?yàn)閠anA=4百，可得sinA=4",cosA=L

77

所以sin5=sin(-—A)=cosA+—sinA=,

32214

a_b

又由正弦定理上7=工，即而=。，解得5。=勸，

sinAsmB----------

714

[ab=40

聯(lián)立方程組，。,解得。=8*=5,

[5a=8b7

如圖所示，設(shè)邊A6的中點(diǎn)為。，延長(zhǎng)8到點(diǎn)￡,使得|CD|=|亞，

27r

可知AE2C為平行四邊形，在"CE中，|AC|=5,|/聞=忸。|=8且/C4E=T，

由余弦定理得|c目2=|AC|2+|AE|2-2|AC||AE|cosy=52+82-2x5x8x（--）=129,

所以AB上的中線長(zhǎng)為（目=叵.

22

練透核心考點(diǎn)

1.（23-24高一下?廣東湛江?階段練習(xí)）已知函數(shù)y（x）=cos2x+6sinxcos尤.

⑴求/（X）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵在AABC中，。、b、，分別是角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)，若/（A）=l,b=l,的面積為正，求。的

2

值.

7T7T

【答案】⑴最小正周期為無(wú)，遞增區(qū)間為

36

⑵G

【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)/（X）,即可求解；

（2）根據(jù)題意和角A的范圍求出角A,再由三角形面積公式求出c,最后利用余弦定理求解.

【詳解】(1)f(x)=cosx2+\^sinxcosx=——°；'+^-sin2x

.兀11

—sin2xH—H—,

I6j2

即/(x)=sin+弓］+；,故最小正周期為子=兀，

*7L-,_717C-,7C.71..一

弋---F2AJI<2x4—K—F2kli=>---FkuKx?—Fkit,keZ,

26236

jrTT

故T=7i,遞增區(qū)間為［E—,kjiT—1,k￡Z.

36

(2)由/(A)=l得5吊］24+胃+:=1=5畝(24+胃=(,

.....(c\t,cA兀，兀13TTI?.兀5兀兀

因?yàn)锳￡(0,TI),故2人+工￡—,i^2A+-=--^A=—.

o<oo76o3

又b=l,故與詆=^bcsinA==>c=2.

故a?=/+，一2bccosA=l+4-2=3,故〃=g

2.(23-24高一下,重慶渝中?階段練習(xí))在AASC中，角A,2,C的對(duì)邊分別為。，4c,已知asinB=如?4+1

(1)求角A的大??；

(2)若AASC的面積為述，角A的平分線與BC交于點(diǎn)O,且AD=G，求邊。的值.

2

【答案】(嗚

(2)372

【分析】(1)由兩角和的正弦公式以及正弦定理可得tanA=百，可得結(jié)果；

(2)由三角形面積公式并利用5BAC=S.D+S皿c可得6c=A+c=6,再由余弦定理即可求得a=3&.

【詳解】(1)由asinB=Zjsin[A+1J,得asinB=b卜inAcos]+cosAsin]],

(1君'

由正弦定理可得sinAsin3=sinB—sinA+——cosA,

(22)

即工sinAsinB=^-cosAsinB；

22

因?yàn)閟infiwO,所以可得tanA=J§\又因?yàn)?<A<7t,

所以A

⑵易知S"卜嗚=羊，所以加=6；

如下圖所示：

因?yàn)锳D為角平分線，所以S.c=8.0+5的。，

BP—bcsin—=—xV3csin—+—xV3Z?sin—,即bc=b+c=6

232626

而/=加+/_2/?ccosm=（b+c）2-3bc=18,

所以Q=30.

3.（23-24高一下?河南濮陽(yáng)?階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知

c（cosA+l）=6〃sinC.

⑴求A；

⑵若△ABC的面積為9月，周長(zhǎng)為18,求〃.

【答案】（*7T

（2）6

【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化可得"sinA-cosA=l，即可根據(jù)輔助角公式求解;

（2）根據(jù)面積公式可得6c=36,結(jié)合余弦定理即可求解.

【詳解】（1）由正弦定理得GsinAsinC=sinC（cosA+l）,

XsinC>0,得6sinA-cosA=l，

由輔助角公式可得=

圖為AABC中，0<4<兀

LLtvI兀A兀5兀.JC71...71

所以一7<A一：<L，貝|JA-Z=Z，故&=三.

666663

⑵△…*1nA=9區(qū)廄=36，

而由余弦定理得/=Z?2+c2-2Z?ccosA,BPa2=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc,

貝!JQ2=（18—Q）2—108,

解得a=6.

高頻考點(diǎn)三：求三角形面積最值

典型例題

例題L(23-24高一下?湖南衡陽(yáng)?階段練習(xí))在AABC中，RE分別是A8,AC上的點(diǎn)，且

BD=2AD,AE=2CE,CD與BE相交于點(diǎn)F.

⑴用AB,AC表不Ab；

(2)若AB=AC=L求△3CF面積的最大值.

—?1―>4—?

[^](1)AF=-AB+-AC

叫

【分析】(1)設(shè)方=4而+(1—九)/，通=〃通+(1-〃)近，求出九〃，表達(dá)出通；

(2)根據(jù)題意求解S,c=：S^c，求出“小的最大值，進(jìn)而求出的最大值.

__kk夕__k

[詳解](1)^AF=2AD+(l-2)AC=yAB+(l-2)AC,

__.__2__.

AF=//AB+(1-//)AE=^AB+-(1-//)AC,

二—=〃AL=—3

37

因此解得，

1一兄〃=亍

―.1—.4--

因止匕4/=—AB+—AC.

77

—.3--4—■3

(2)由⑴得，AF=-AD+-AC,因此S?c=]S，B8，

22

又因?yàn)锳D=2BD,SABCD=§^AABC?因此S"FC=yLBC,

由AB=AC=1,當(dāng)AB/AC時(shí)，1.c最大為g，

因此的最大值為;.

例題2.(23-24高二上?云南?期末)在AABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、c,且滿足

69-ccosA)=asinC.

⑴求角c；

（2）若c=2,求AABC面積的最大值.

【答案】（l）C=g

（2）73

【分析】

（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得出tanC的值，結(jié)合角C的取值范圍可得出角C的值；

（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得"的最大值，再結(jié)合三角形的面積公式可求得"RC面積的最大

值.

【詳解】（1）解：因?yàn)橛?-ccosA）=asinC,

由正弦定理可得sinAsinC=6（sin3-sinCcosA）=&[sin（A+C）—cosAsinC]

=G（sinAcosC+cosAsinC—cosAsinC）=百sinAcosC,

因?yàn)锳、C6（0,7t）,則sinA>0,可得sinC=^cosC>0,

所以，tanC=A/3，故C=§.

（2）解：由余弦定理可得4=<?="+6?-2a6cosc="+〃-MN2成>-,

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=2時(shí)，等號(hào)成立，

故S4ABC=5absinC=abWx4=°\/3，

因此，AABC面積的最大值為白.

練透核心考點(diǎn)

1.（23-24高三上?云南昆明?階段練習(xí)）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

y/3c+6sinA=y/3acosB.

（1）求A；

（2）若點(diǎn)。是BC上的點(diǎn)，AD平分/54C,且AD=2,求AASC面積的最小值.

【答案】（1）A=T2兀

（2）473

【分析】（1）利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)已知等式，可得百cosA+sinA=0,結(jié)合

同角的三角函數(shù)關(guān)系，即可求得答案；

（2）利用面積相等，即，4.=5"鉆。+5".小推出bc=2（c+b）,利用基本不等式結(jié)合三角形面積公式，即

可求得答案.

【詳解】([)由題意知AABC中，限+加inA=WcosB,

故gsinC+sinBsinA=bsinAcosB，即\/3sin(A+B)+sinBsinA=^