北京市順義區(qū)某中學(xué)2023-2024學(xué)年高三年級(jí)下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)試題

順義區(qū)第九中學(xué)高三3月月考

數(shù)學(xué)

2024.3

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.選出符合題目要求的一項(xiàng)）

1.若集合A={R—2<1},3=—1或x>3},則（）

A.{x\-2<x<-l}B.{x\-2<x<3}

C.{x|x<l或x>3}D.{x|-2<x<l或x>3}

【答案】C

【解析】

【分析】運(yùn)用集合的并集的定義，借助于數(shù)軸表示即得.

【詳解】由A={x|-2<x<l},3={x[%<-1或x>3}可知，

AoB={x\-2<x<l}o{x|x<-IgJcv>3}={x|x<1或x>3}.

故選：C.

2.設(shè)aeR,若復(fù)數(shù)（。-2i）（2+i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，則。=（）

A.-4B.-1C.1D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算可得該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（2a+2,a-4）,由復(fù)數(shù)的幾何意義可解得

a=-l.

【詳解】根據(jù)題意可得（a-2i）（2+i）=2a+ai-4i-2i2=2a+2+（a-4）i,

所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（2a+2,a—4）,即（2a+2,a—4）在虛軸上，

因止匕可得2a+2=0,即a=-1；

故選：B

3.下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在（0,+"）上單調(diào)遞增的是（）

…$B.?。?

C./(x)=lg(x2+l)D.f(x)=x--

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,定義域?yàn)楣适欠瞧娣桥己瘮?shù)，A錯(cuò),

對(duì)于C,?.?定義域?yàn)镽,且/(—x)=lg[(—x)2+l]=lg(d+l)為偶函數(shù)，

設(shè)方=爐+1，?.?y=lg，在(0,+。)上為增函數(shù)，/=X2+]在(0,+8)上為增函數(shù),

???/(%)=坨(％2+1)在(0,+8)上為增函數(shù)，.?.(2對(duì).

對(duì)于D,----%=~f(^)為奇函數(shù)，，口不對(duì).

故選：C.

4.若(1一2%)3=%++々3X3,則〃1+%+。3=()

D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】對(duì)犬賦值，分別賦值x=0,x=l,進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】由(1一2%)3=/+卬%+%%2+/％3,

令X=0,則r=%,即%=1,

令％=1,則(1-2)3=4+q+〃2+〃3，

即一1=1+〃]+a?+%

所以q+%+%=—2.

故選：D.

5.向量口尻1在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若向量X商+5與]共線，則實(shí)數(shù)2=()

【答案】D

【解析】

【分析】先由圖得出用萬(wàn)萬(wàn)表示△的式子，再根據(jù)向量共線的充要條件求之即得.

【詳解】根據(jù)網(wǎng)格圖中的百出了的大小與方向，易于得到"=2Z+B，

由向量資+B與工共線，可得熱+B=啟=*2￡+坂)，解得：?=1,2=2Z=2.

故選：D.

6.已知a,b>0,且awl,b/1,若loga6〉l,則()

A.(a-l)(Z?-l)<0B.(a-l)(a-Z?)>0C.D.(Z?-l)(Z?-a)>0

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合。>1或0<。<1分類討論進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解:由log“5〉l,即log”6〉log.a,,

當(dāng)a>l時(shí)，則有b>a>l,

此時(shí)Z?—1>0,b—a>0,a—1>0,a—b<0,

則(。一1)(/?-1)>0,(a-l)(a-Z?)<0,(Z?-l)(/?-a)>0,

D選項(xiàng)符合；

當(dāng)0<a<l時(shí)，則有0<><a<l,

此時(shí)Z?—1<0,b—a<0,a—1<0,a—b>0,

則>0,(a-l)(a-Z?)<0,(Z?-l)(a-/?)<0,

D選項(xiàng)符合；

故選：D.

7.若數(shù)列｛a“｝為等比數(shù)列，則“%21”是“弓+為22”的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)出公比4,先由生21得到利用基本不等式可得4+%=?!(1+1)22qq222,得

到"4是"6+%”'的充分條件，再通過(guò)舉反例4嗎=2說(shuō)明"生不是"四+%之2”的必要

條件，故得結(jié)論.

【詳解】因數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，不妨設(shè)公比為夕，則由可得q/Ni,故4〉。，而

a］+a5=q(l+q"),

由1+/22寸知。i+qN2qq2,當(dāng)且僅當(dāng)/=1時(shí)取等號(hào)，而［^之］,故q+%22,

此時(shí)4=±1,。1=1,故“/21”是“6+%22”的充分條件;

2g1

r\2—W1

42a24

，則%=iQ--~4，而1+q2，

由+%=q(l+q)22可得q2]+q4cl+=1

q

故不一定能得到421?

如q=g,q=2時(shí)，滿足q+%之2,但是a,==2x(-i)2=g<1,

故“a3>1”不是“a1+的22”的必要條件.

即“％21”是“/+%22”的充分不必要條件.

故選：A.

8.隨著北京中軸線申遺工作的進(jìn)行，古建筑備受關(guān)注.故宮不僅是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木

質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑之一，更是北京中軸線的“中心”.圖1是古建筑之首的太和殿，它的重檐尻(wu)殿頂可近似

看作圖2所示的幾何體，其中底面A3CD是矩形，-=-,EF//AB,四邊形是兩個(gè)全

AB9

等的等腰梯形，AES,△用C是兩個(gè)全等的等腰三角形.若5C=10,EF=12,AE=13,則該幾何體的體

積為(

（圖1）（圖2）

A.720B.240岳C.300厲D.1080

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意可將幾何體分割成一個(gè)直三棱柱和兩個(gè)全等的四棱錐，再由柱體和錐體的體積公式即可

求得出結(jié)果.

【詳解】由生=*,砂〃AB,BC=10可得A5=18；

AB9

分別過(guò)點(diǎn)eP作EP,E。,在MW垂直于垂足分別為P,Q,MN,如下圖所示:

又底面A3CD是矩形，四邊形是兩個(gè)全等的等腰梯形，是兩個(gè)全等的等腰

三角形，

所以四邊形M8CN,APQ￡>為全等的矩形，即APLPQ,

又APL石P,EPc尸。=P,ERPQu平面PEQ,所以AP/平面PEQ；

由APu平面A3CD可知平面ABCD±平面PEQ；

則三棱柱EPQ-WWN為直三棱柱，四棱錐E-APQD和四棱錐尸-MBCN為全等的四棱錐；

易知%f=石尸=12，AP=3,又AE=13,可得PE=J13?-3?=4廂=EQ；

作則可得EH即為四棱錐E—APQD的高，且必=血/，=3后；

所以可得力”叫Jx3xK）x3厲=3°汨'

三棱柱￡P(guān)Q—WWN的體積為丫=!><10乂3岳乂12=180岳，

2

因此該幾何體的體積為1/+2匕_”四=180715+2x30715=240拒.

故選：B

22

9.已知雙曲線C:三-2=1（。>0/>0）的右頂點(diǎn)為M,以M為圓心，雙曲線C的半焦距為半徑的圓與雙

ab

曲線C的一條漸近線相交于A,8兩點(diǎn).若=空，則雙曲線C的離心率為（）

3

A.75B.2C.73D.72

【答案】D

【解析】

【分析】做交A3于C點(diǎn)，。點(diǎn)為弦A3的中點(diǎn)，可得圓心〃到漸近線的距離等于半徑的一

半，即約=￡,再利用/+廿二。?可得答案.

c2

2冗

【詳解】因?yàn)镹AMB=—,如圖，做交A3于C點(diǎn)，。點(diǎn)為弦A3的中點(diǎn)，

3

ZAMC=60°,ZCAM=30°,所以圓心M到漸近線的距離等于半徑的一半，

則—=—,則a",—/)=?,即—4^—+4=0，解得=2,

則雙曲線C的離心率為

故選：D.

10.分形幾何學(xué)是一門(mén)以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，它研究的幾何對(duì)象具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，

適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)不變，具有很多美妙的性質(zhì).其中科赫（KoM）曲線是幾何中最簡(jiǎn)單

的分形.科赫曲線的產(chǎn)生方式如下：如圖，將一條線段三等分后，以中間一段為邊作正三角形并去掉原線段

生成1級(jí)科赫曲線“\”,將1級(jí)科赫曲線上每一線段重復(fù)上述步驟得到2級(jí)科赫曲線，同理可

得3級(jí)科赫曲線,在分形幾何中，若一個(gè)圖形由N個(gè)與它的上一級(jí)圖形相似，且相似比為廠的部分組

成，則稱O=|10grN|為該圖形分形維數(shù).那么科赫曲線的分形維數(shù)是（

〃=0級(jí)

片飛片3級(jí)

A.log23B.log32C.1D.21og32

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意得出Me〃曲線是由把全體縮小工的4個(gè)相似圖形構(gòu)成的，再根據(jù)題設(shè)條件即可得出結(jié)

3

果.

【詳解】由題意Koc/i曲線是由把全體縮小工的4個(gè)相似圖形構(gòu)成的，

3

則其相似的分形維數(shù)是D=|log34|=210g32,

故選：D.

第二部分（非選擇題，共110分）

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）

11.函數(shù)“力=叭彳+口+丁匚最的定義域是.

【答案】（-1』

【解析】

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)定義域及被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)解不等式即可得結(jié)果.

【詳解】由"%）的解析式可得Ji>0,

解得一1<X<1；

所以其定義域?yàn)椋ā?』.

故答案為：（—1』

12.設(shè)尸為拋物線C：V=16%的焦點(diǎn)，直線=點(diǎn)A為C上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作4尸，/于P,

Hi]||AP|-|AF||=.

【答案】3

【解析】

分析】根據(jù)拋物線方程可求得準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由拋物線定義可得結(jié)果.

【詳解】易知拋物線C:/=i6x的焦點(diǎn)/(4,0),準(zhǔn)線方程為x=-4,如下圖所示:

可設(shè)AP垂直于準(zhǔn)線x=-4的垂足為Q，

根據(jù)拋物線定義可得盟=|AQ|,易知|P0=3；

所以||AP|AF||=||AP|—|AQ||=3.

故答案為：3

13.已知直線>=履+根(機(jī)為常數(shù))與圓/+>2=2交于點(diǎn)當(dāng)左變化時(shí)，若|M7V|的最小值為

2,則加=.

【答案】±1

【解析】

【分析】利用圓的弦長(zhǎng)公式表示出|MN|,即可根據(jù)最值求解.

【詳解】必+丁=2可知圓心為(0,0),半徑/=應(yīng).

\m\

圓心到直線的距離：d=

sli+k2'

由垂徑定理可知：1^雙1=23戶-出=2」2--J

V1+k

當(dāng)左=0時(shí)，l"N|取得最小值，并且|MN|血n=2,2-〃/=2n/”=±l,

故答案為：±1.

14.已知函數(shù)/(x)=sin(ox)+sin2x,其中℃N*，若函數(shù)〃另<2恒成立，則常數(shù)①的一個(gè)取值為

【答案】1；答案不唯一；只要常數(shù)。的取值不等于2+8左（左eN）即可

【解析】

【分析】由三角函數(shù)的值域可知〃X）W2,當(dāng)且僅當(dāng)丁=5111（0力和丁=5也2%同時(shí)取到1時(shí)，等號(hào)成

立；再根據(jù)正弦函數(shù)〉=5也》在x=]+2而（％eZ）取得最大值，聯(lián)立即可得到

【詳解】若函數(shù)/（尤）=2,即存在x使得y=sin2"Dy=sinox同時(shí)取到1,

兀71

所以2x=2Al兀+—,GZ,即九=尢兀+—,eZ,

IT4k+1

所以左]兀+]=242兀+—,％2￡Z,解得口=2?優(yōu)--,kx€Z,k2€Z

24Ki+1

當(dāng)匕=&=0時(shí)，0=2；因?yàn)樽骵Z,&eZ,所以。=2+8左，左eN,其中

k_k

k=

-T7~eZ,Zr2eZ,貝|當(dāng)。工2+8%（左eN）時(shí)，〃x）＜2.

^vK,I1

故答案為：1；答案不唯一；只要常數(shù)。的取值不等于2+8?左eN）即可.

15.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)P?y）到兩個(gè)定點(diǎn)4（—a,0）,6（a,0）的距離之積等于/.>（））,稱

點(diǎn)P的軌跡為雙紐線.雙紐線是瑞士數(shù)學(xué)家伯努利于1694年發(fā)現(xiàn)的.所以點(diǎn)P的軌跡也叫做伯努利雙紐線.給

出下列結(jié)論：

①-y/2a<x<42a；

②點(diǎn)P的軌跡的方程為+y2『=2a2（%2—y2）；

③雙紐線關(guān)于坐標(biāo)軸及直線y=x對(duì)稱；

④滿足I冏=歸卻的點(diǎn)P有三個(gè).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②

【解析】

【分析】先由雙紐線的定義求出其方程，從而可判斷選項(xiàng)②；由方程可得

（x2+/）2=2a2（x2-y）<2a2x2,從而可判斷選項(xiàng)①；根據(jù)對(duì)稱性的判斷方法在點(diǎn)P的軌跡上任取點(diǎn)

判斷點(diǎn)（〃,㈤是否也在曲線上，從而判斷選項(xiàng)③；由滿足|P4|=|尸]的點(diǎn)尸在y軸上,令

%=0,得y=0從而可判斷選項(xiàng)④.

【詳解】由雙紐線的定義可得|可卜|尸5|=/,即伺+耳2+產(chǎn)伺_(tái)42+[2=4

即[（x+a）2+y2].[（x-a）2+,2]=44

即（x+aj（x-tz）2+y2[（x+a）2+（x-a）〔+_y4=a4

BPx4+/+2x2j2+2a2y2=2a2x2,即（/+/『=2/1_力，所以②正確.

由吠+力？=242卜2—y2）,則任+,2）2=2。2卜2_,2）42心2,當(dāng)y=0時(shí)等號(hào)成立.

即所以必42儲(chǔ)，則—億＜x4缶，所以①正確.

在點(diǎn)P的軌跡上任取點(diǎn)（7”,〃），即有（序+/2）2=2a~（"一”2）

則點(diǎn)P（m,n）關(guān)于直線y=X對(duì)稱的點(diǎn)為（小加）,

若雙紐線關(guān)于直線丁=%對(duì)稱，則點(diǎn)（小加）也在該曲線上，即（川+病了=2〃（小—加2）

所以加—“2="2—"，即〃/=/,顯然對(duì)于該曲線上任意取的點(diǎn)（加,“）不滿足.

所以雙紐線不關(guān)于直線y=*對(duì)稱，故③不正確.

由4（—a,0）,B（a,o）,若滿足|/利=歸同，則點(diǎn)尸在y軸上.

在方程中（Y+y2）2=2/（x2—y2）,令％=0,解得y=o

所以滿足|PA|=的點(diǎn)p為P（0,0）,故④不正確.

故答案為：①②

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查曲線的軌跡及其性質(zhì)的問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是先由題意先求出點(diǎn)P的軌跡

的方程（V+y2）2=2〃（爐—,2）,然后分析其對(duì)稱性和范圍，屬于中檔題.

三、解答題（共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程）

16.在AABC中，asin2B+bsinA=0.

（1）求3的值；

（2）從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使AABC存在且唯一確定，求sinA的值.

條件①：a?_方2+02+3c=0;

條件②：b=l；

條件③:S”竽，

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)

解答計(jì)分.

【答案】（1）B=—

3

0.3A/3

（2）smA=-----

14

【解析】

12兀

【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)可得cos3=—-,即可得5=——；

23

（2）對(duì)條件①②③的組合進(jìn)行分類討論可知，只有選擇①③才滿足題意，計(jì)算可得〃=3,。=58=7,再

由正弦定理可得sinA=±?.

14

【小問(wèn)1詳解】

由Qsin25+bsinA=0利用正弦定理可得sinAsin2B+sin5sinA=0,

即2sinAsinBcosB+sinBsinA=sin5sinA（2cosB+l）=0,

易知sin5sinAwO,所以2cos5+1=0,可得COSJB=-』，

2

27r

又5￡（0,兀），所以5=7；

【小問(wèn)2詳解】

2r2.21

由（1）可得cos3=a即/—廿+02=_訛；

2ac2

若選擇①②，

由a?—//+/+3c=0可知a=3,

又5=1,可知力＞B,顯然該三角形不存在；

若選擇②③，

則SARC=—cicsinB="",即ac=15；

△/IDC24

又/=〃2+H—2accos5=（a+cy-2ac+ac=-ac=l,可得a+c=4；

聯(lián)立＜a+cy=4可知該方程無(wú)解，

ac=15

所以只能選擇①③,

由①得a=3,又S=—acsinB="也可得。=5；

△ADRC24

止匕時(shí)/=/+c?—2〃ccosB=9+25-2x3x5x[—g]=49,解得b=7；

由正弦定理一L=—2—可得sinA=a*=』xX3=38,

sinAsinBb7214

即加t

17.根據(jù)《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》，高三男生和女生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)如下(單位：cm)：

立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)高三男生高三女生

優(yōu)秀260及以上194及以上

良好245~259180-193

及格205-244150-179

不及格204及以下149及以下

從某校高三男生和女生中各隨機(jī)抽取12名同學(xué)，將其立定跳遠(yuǎn)測(cè)試成績(jī)整理如下(精確到1cm)：

男生180205213220235245250258261270275280

女生148160162169172184195196196197208220

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每個(gè)同學(xué)的測(cè)試成績(jī)相互獨(dú)立.

(1)分別估計(jì)該校高三男生和女生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)的優(yōu)秀率；

(2)從該校全體高三男生中隨機(jī)抽取2人，全體高三女生中隨機(jī)抽取1人，設(shè)X為這3人中立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)

等級(jí)為優(yōu)秀的人數(shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)從該校全體高三女生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)“這3人的立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)既有優(yōu)秀，又有其它等級(jí)”為事件

A,“這3人的立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)至多有1個(gè)是優(yōu)秀”為事件B.判斷A與8是否相互獨(dú)立.(結(jié)論不要求證明)

【答案】(1)-

3

(3)A與8相互獨(dú)立

【解析】

【分析】(1)樣本中立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)為4,獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為6,計(jì)算頻率得

到優(yōu)秀率的估計(jì)值；

(2)由題設(shè)，X的所有可能取值為0，L2,3.算出對(duì)應(yīng)概率的估計(jì)值，得到X的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值；

(3)利用兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義判斷即可.

【小問(wèn)1詳解】

樣本中立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)為4,獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為6,

41

所以估計(jì)該校高三男生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)的優(yōu)秀率為一=-；估計(jì)高三女生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)的優(yōu)秀率為

123

6__1_

【小問(wèn)2詳解】

由題設(shè)，X的所有可能取值為。J2,3.

P(X=0)估計(jì)為(29|；

121

產(chǎn)(乂=1)估計(jì)為?。x-x—x—+(

332

121

P(X=2)估計(jì)為C；,X-X——X------1-

332

11

p(x=3)估計(jì)為g)2x—=—.

218

24S17

估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望石(X)=0x—+1義一+2x—+3x—=—

v'9918186

【小問(wèn)3詳解】

尸⑷估計(jì)為?生|21_3

I+C；xIX2~4

2

P(5)估計(jì)為C；小I+《x

尸(AB)估計(jì)為C；xgx4

尸(AB)=P(A)尸(或，所以A與3相互獨(dú)立.

18.在三棱柱ABC-A§IG中，平面4。。］4，平面43。，443。為正三角形，。尸分別為AC和4月

的中點(diǎn).

(1)求證：。尸//平面5。。1片；

(2)若A8=2,AA=3,A4求。尸與平面其與。所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)3屈

“40

【解析】

【分析】(1)取用G的中點(diǎn)為。，可證明四邊形PDCO是平行四邊形，再由線面平行的判定定理即可得出

結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系求出平面ABC的法向量，即可求得。尸與平面AAC所成角的正弦值為上叵.

40

【小問(wèn)1詳解】

取耳￡的中點(diǎn)為。，連接尸。,。，如下圖所示:

又O,P分別為AC和4耳的中點(diǎn)，可知陽(yáng)n4G，且PD=gAG，

由三棱柱性質(zhì)可知AC〃AG,且OC=gAG,即可得PDHOC,PD=OC,

所以四邊形P0CO是平行四邊形，即可得。尸〃CD；

又0。.平面3。。|5],CDu平面BCG5],

所以0尸//平面

【小問(wèn)2詳解】

易知03_LAC,

又平面ACG4，平面ABC,平面ACGAn平面ABC=AC,

可得平面ACGA,

又A&U平面ACC]4,所以O(shè)3LA4,

又因?yàn)锳4］，A5,ABcOB=B,且AB,QBu平面ABC,

所以A4，平面ABC；

由ACu平面ABC,所以LAC；

即可知A4,AC,03三條線兩兩垂直，

取4G的中點(diǎn)為E,連接0￡,

可知0E〃,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。4,03,OE所在直線為羽％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示:

3),尸為4耳的中點(diǎn)可得p*與3

31

可得而=b'2JC4；=（2,0,3），4X=（-1,A/3,0）；

設(shè)平面A^C的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

L-n=2x+3z=0

則一，令1=3,則y二若,z=-2,

B1,為=-x+y/3y=0

BPn=（3,6,-2）

設(shè)QP與平面A耳。所成的角為e，

33

則sin0=IcosOP,n\==2r工一=之叵；

11\oP\\n\710x440

所以O(shè)P與平面\BXC所成角的正弦值為上叵.

40

22

19.已知耳，工分別是橢圓E:=+==l(a〉6〉0)的左、右焦點(diǎn)，A3分別為橢圓E的左右頂點(diǎn)，且

ab

區(qū)段=2十,|AB|=4

(1)求橢圓E的方程；

(2)若P為直線/:x=4上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不在x軸上)，連接AP交橢圓于。點(diǎn)，連接PB并延長(zhǎng)交橢圓

于。點(diǎn)，試問(wèn)是否存在X,便得與4°=45述8成立，若存在，求出X的值；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】(1)—+/=1

4-

(2)存在，3

【解析】

【分析】(1)依題意，易得。的值，求出ZH直，即得橢圓方程；

(2)設(shè)點(diǎn)尸(4,%),%/0,得直線AP的方程為：y=&(x+2),與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和題設(shè)

6

條件證明直線CD經(jīng)過(guò)定點(diǎn)￡(1,0),將面積分割轉(zhuǎn)化化簡(jiǎn)即可求得X的值.

【小問(wèn)1詳解】

依題意，|AB|=2a=4,閨瑪|=2c=2g,

則a=2,C=百，故尸="2一=],

V-2

于是，橢圓E的方程為土+y2=l.

【小問(wèn)2詳解】

如圖，設(shè)點(diǎn)尸(4,%)，%WO,又4—2,0),

則直線AP的方程為：y=&(x+2),代入方程工+y2=1整理得：(9+町)爐+4%了+4必—36=0,

64'

設(shè)C(%i，X),，由韋達(dá)定理，%-2=-%,解得：石=2-%2=-----*，貝U

9+尤9+/9+北

…十箕

又因3(2,0),則直線6?的方程為：y=網(wǎng)(x-2),代入方程工+)?=i整理得:

24

(1+券江-4%x+4y；-4=0,

42

設(shè)。(%2，，2)，由韋達(dá)定理，X,+2=---V1，

「一1+Jo

一建-2=%'且為ga

得：.2)=

-T1+Jo1+Jo

6%-2%

44古竹「八MA”如不小7,y1—/2必9+y；1+Jo配+24%2%

故r直綾CD的斜率為Qz)--c2Q2

為一911O8—2%2需-2-4y：+363-%

9+￥i+y；

則直線CD的方程為：y=kCD(x-xl)+yl,

將上述左co,%的表達(dá)式代入，即得直線CD的方程為：y=—------經(jīng)■)^—“1，

3—y；9+y-9+/

化簡(jiǎn)可得：(3—*)y+2%(—x+l)=0,

因?yàn)閑R,故直線CD恒過(guò)定點(diǎn)E(l,0).

；|AE||EC|sinZAEC+!|AE|-|ED|sinZAED

qqaq

T,日°AACD=QICTQAED

口ABCD口4BEC丁口4ED^\BE\-\EC\sinZBEC+!|BE\\ED\sin/BED

因sinZAEC=sinZAED,sinABEC=sinZBED，ZAEC=/BEC,

C^|AE|(|EC\+\ED\)sinZAEC|4F|

故為------------------------------=I^￡I=3=2.

|B￡|

S^BCD11(IECI+IEDI)sinZBEC

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定點(diǎn)問(wèn)題的求解，求解此類問(wèn)題的基本思路如

下：①設(shè)出直線方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，整理成關(guān)于x或y的一元二次方程的形式；②利用八〉0求

得變量之間的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)得到韋達(dá)定理；③利用韋達(dá)定理表示出題設(shè)中的等量關(guān)系，化簡(jiǎn)整理得到所

求的定點(diǎn).

20已知函數(shù)/(x)=e2*T1ax2_x+|J.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線的方程；

(2)若函數(shù)/(%)在％=0處取得極大值，求。的取值范圍；

(3)若函數(shù)/(%)存在最小值，直接寫(xiě)出。的取值范圍.

【答案】(1)=0

"2e

(2)(—8』)

⑶K

【解析】

【分析】(1)先求導(dǎo)后求出切線的斜率r(o)=o,然后求出直線上該點(diǎn)的坐標(biāo)即可寫(xiě)出直線方程;

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值分類討論；

(3)分情況討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極限求解.

【小問(wèn)1詳解】

—,所以：切點(diǎn)為

2e

又/'(%)=e2Al[2依2+2(a-l)x]=2x(ar+tz-l)e2x_1,所以：/r(0)=0,

所以：切線方程為y-上=0.

2e

【小問(wèn)2詳解】

定義域?yàn)镽,f'(x)=2x(ax+a-l)e2x~l,

①當(dāng)a=0時(shí)，/'(x)=—2—XT,令/'(尤)>0得尤<0,所以：〃尤)單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,0)；

令廣(￡)<0得了>0,所以/(%)單調(diào)遞減區(qū)間為(€),+“)；所以：/(%)在x=0取極大值，符合題意.

②當(dāng)a<0時(shí)，由/'(%)=2](依+。一1)02>1=0,得：%=0,x2=---<0

X，/'(%),/(%)變化情況如下表：

1—CI

X0(0,+“)

a

/'⑴—0+0—

/(X)減極小值增極大值減

所以：/(%)在％=0處取得極大值，所以：。<0符合題意.

③當(dāng)a>0時(shí)，由/'(x)=2x(ar+a—l)e"T=0,得：%=0,x2=-~,

⑴當(dāng)一^<0即。>1時(shí)，f'(x),/(%)變化情況如下表:

5")1—d

X0(0,+oo)

a

/'⑴+0—0+

/(X)增極大值減極小值增

所以：“尤)在％=0處取得極小值，不合題意.

(ii)當(dāng)寧=0即a=l時(shí)，/'(X)20在R上恒成立，所以：/(%)在R上單調(diào)遞增，無(wú)極大值點(diǎn).

(iii)當(dāng)寧〉0，即0<a<l時(shí)，/(%)變化情況如下表：

1—a

X(-8,0)0

a

/'(X)+0—0+

“X)增極大值減極小值增

所以：/(x)x=o處取得極大值，所以：0＜。＜1合題意.

綜上可得：。的取值范圍是

【小問(wèn)3詳解】

詳解如下：根據(jù)(2)知可分三種情況：①aWO,②0＜。＜1,③。之1：

①當(dāng)aWO時(shí)，/(X)在區(qū)間［-8,單調(diào)遞減，［與@，°［單調(diào)遞增，在(0,+“)上

單調(diào)遞減，無(wú)最小值.

②當(dāng)0＜。＜1時(shí)，當(dāng)x＜0,x趨向y。時(shí)，/(力趨向于0,

當(dāng)x＞0,要使函數(shù)/(%)取得存在的最小值，

/I-—f(1-aYi-a11-2a-l

＜0,解得：0＜?！豆ぃ?/p>

即：/=e+=e。

\aJ\aJa222

故x=LW時(shí)，取得最小值，故。的取值范圍為(0，2.

a12.

③當(dāng)時(shí)，/(同在工趨向fo時(shí)，/(力趨向于0,

又因?yàn)閤=0時(shí)，/(x)取到極小值，/(0)=—＞(故無(wú)最小值.

2e

,K1

綜上所述：函數(shù)/(X)存在最小值，a的取值范圍為

21.已知無(wú)窮數(shù)列｛?！埃凉M足%=max｛4+i，%+2｝—rnin｛?/;+1,an+2｝(w=1,2,3,???),其中max｛x,y｝表示x,

y中最大的數(shù)，min｛x,y｝表示x,y中最小的數(shù).

(1)當(dāng)4=1,見(jiàn)=2時(shí)，寫(xiě)出肉的所有可能值；

(2)若數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)存在最大值，證明：。為數(shù)，列｛?！埃械捻?xiàng)；

(3)若a”＞0("=1,2,3,…)，是否存在正實(shí)數(shù)M,使得對(duì)任意的正整數(shù)“，都有4WM?如果存在，寫(xiě)

出一個(gè)滿足條件的M；如果不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（1）{1,3,5）

（2）證明見(jiàn)解析（3）不存在，理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)定義知為20,討論名〉2、/<2及。3,2大小求所有為可能值；

（2）由0,假設(shè)存在4eN*使,進(jìn)而有4Wmax{4+i，%+2}V%,可得

min{4+i，a%+2}=0,即可證結(jié)論；

（3）由題設(shè)區(qū)產(chǎn)a.（"=2,3,…），令5={加4>4+1,“21},討論S=0、S#0求證即可判

斷存在性.

【小問(wèn)1詳解】

由%=max[an+i,an+2}