高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題：奔馳定理與三角形的四心（新高考地區(qū)專用）

專題25奔馳定理與三角形的四心

【方法點(diǎn)撥】

奔馳定理：設(shè)。是AA6C內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別記作SA，SB，SC，則

SA.OA+S￡?>OB+SCOC=6

說(shuō)明:

1.本定理圖形酷似奔馳的車標(biāo)而得名.

2.奔馳定理在三角形四心中的具體形式：

(D。是AA6C的重心=S4：SB：=l：l：loOA+OB+OC=^

。是的內(nèi)心=

(2)AA6CSA：SB：Sc=a:b:ca?OA+b?OB+c?OC=Q.

。是的外心o

(3)AA6cS人：SB：Sc=sin2A:sinIB:sin2C=

sin2A.OA+sin2B.OB+sin2C>OC=6

。是的垂心=

(4)AA6CSA：SB：Sc=tanA:tanB:tanC=

tanA?OA+tanB?OB+tanC?OC=6.

3.需記憶三角形的四心與向量關(guān)系：

(1)。是A4BC重心=西+9+反=0,P是平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)，PG=^(PA+PB+PC)^G

是AABC重心.

(2)。是AABC垂心<=>OAOB+OBOC+OCOA,若0是AABC垂心，則

tanAOA+tanBOB+tanCOC=6.

(3)。是AABC外心反卜|朝H反|，若。是兒48。外心，則sin2A函+sin25歷+sin2c反=0.

若。是AABC外心，則對(duì)于平面內(nèi)任意點(diǎn)P,均有：

而)」^_西+―2^_麗+-2^^.

2siiiBsinC2sinAsinC2sinAsiriB

(___,___,、/、/\

(4)。是A4BC內(nèi)心0次?普一⑶=礪,菽贏=無(wú)自

【網(wǎng)ML

。是AABC內(nèi)心oaOA+bOB+cOC-0,。是AABC內(nèi)心osinAOA+smBOB+sinCOC=0.

4.奔馳定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一

5.奔馳定理對(duì)于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有

著決定性的基石作用.

【典型例題】

例1在AABC中，?,b,c分別為內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊，。為3c的外心，且有

AB+BC=2也AC,sinC(cosA-+cosAsinA=0,若AO=%AB+yAC,x,yG7?,貝!Jx—2y=

【答案】—3或----

33

【解析】由正弦定理得c(cosA—6)+〃cosA=0,所以2Z?cosA=3c,即〃二片十？/,

由條件得c+a=2"b，聯(lián)立解得a=c,/?=,或〃=5。/=3j^c.

3

當(dāng)a=c,人=y/3c時(shí)，AB?AC=becosA=—c2

由超=%通+＞高，得Xd?通=1詬2+N恁?南，

13

即—/=%./+/,所以2%+3y=l.①

22

同理，由前=x荏+)才才，得=x礪?/+%記2，

1Q11

即上尸=%.士02+丁力2,即_L〃=%」尸+y./,

2222

所以x+2y=l.②

聯(lián)立①②解得x=—l,y=L故x—2y=—3.

當(dāng)a=5c,Z>=3時(shí)，同理可得2x+3y=l③，x+18y=9④

一43

解得x—2y=———.

33

例20為三角形內(nèi)部一點(diǎn)，a、b、。均為大于1的正實(shí)數(shù)，且滿足a耐+。礪+°元=函，若SAOAB

、SAOAC、SAOBC分另U表水AOAB、AOAC、A05C的面積，貝！ISs0AB:S^OAC:S^OBC為()

A.(c+l):(Z?-l):tzB.c:b:a

【答案】A

【解析一】由。況+匕礪+。無(wú)=屈，礪+〃礪+。反=礪—玩,

■.aOA=(l-b)OB-(l+c)OC,:.adA+(b-l)OB+(l+c)OC=6,

如圖設(shè)函=水訝，西=僅一1)礪，西=(l+c)反

:.OAl+OBl+OQ=Q,即。是第4G的重心，??SkOB\G~5八。4用=SAO^C]

-OA-OBsinZAOB八八八口1

Sc

.^OAB=2____________________OAOB=1

SAO^B]goAOqsinZ^Oq。4。4a(b-1)

,■SAOAB=麗1鼠°的同理可得二/而乂。岫'SA°BC=._I)(I+C)S.B?'

111

…§bOAB*SAOAC?SbOBC

〃僅一1)a(l+c)(Z?-l)(l+c)

所以^AOAB：S^OAC:S^OBC=(。+1)：("-1)：〃?故選：A.

【解析二】由。礪+b礪+。反=屈，.,.a函+b礪+c反二礪—詼,

.-.flOA=(l-Z>)OB-(l+c)OC,:.aOA+{b-1)OB+{l+c]OC=Q,

由奔馳定理得：SAOAB:S^OAC;S^OBC=(c+1):-1):a.故選：A.

例3itAABC中，角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,a=b=4,c=6,I是△?!5c中內(nèi)切圓的圓心，若

AI=xAB+yAC,則x=,y=.

23

【答案】x=一,y=—

77

【解析一】（向量的線性表示、數(shù)量積、三角形內(nèi)切圓半徑求法）

曰分,曰3A/7—r-zABAC二匚［、itt

易求得r=-----,ffifA/=t（,+i,.）,所以x=—,y——

7|AB||AC|64

-?-?ABAC—?

另一方面，對(duì)上式兩邊同時(shí)作數(shù)量積得：AI-AI=t（?+^）-AI,

網(wǎng)M

易知萬(wàn)=32+（9）2=2，111r萬(wàn)=3,昌?屈=3

77|AB||AC|

1223

所以/=—,所以x=—,y——.

777

【解析二】（奔馳定理）聯(lián)想到奔馳定理，將由=%而+、恁轉(zhuǎn)化為-位=x（萬(wàn)-萬(wàn)）+y（而-區(qū)）

整理為：（l-x-y）IA+xIB+yIC=O

由奔馳定理得（1一x-y）:x:y=4:4:6

23

解之得x=_,y=—.

77

點(diǎn)評(píng)：

解法一中的很多知識(shí)點(diǎn)并不為學(xué)生所熟悉，解決起來(lái)有較大難度，而解法二直接使用奔馳定理十分簡(jiǎn)

潔.

例4已知G是AA6c的重心，且滿足56sinA?G5+40sinb?麗+35sinC?GT=0,則5

冗

【答案】-

3

【分析】要牢記兩，礪,詼前面的系數(shù)之比為L(zhǎng)L1,求得三內(nèi)角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.

【解析】：G是AA6C的重心

:.GA+GB+GC=6

56sinA:40sinB:35sinC=1:1:1

:.sinA:sinB:sinC=5:7:8

由正弦定理，a:ft:c=sinA:sinB:sinC=5:7:8

"+c2_"52+82-72_1

由余弦定理,cosB=

lac2-5-8~2

冗

???b￡（0,〃），.?.B=-

例5設(shè)”是△ABC的垂心，若3/+4麗+5阮=6，貝hosNBf/C的值為（）

A屈R逐■「卡C屈

?----------------D.-------------------\_z.-------------------LJ?----------------

105614

【答案】D

【解析】因?yàn)?國(guó)+4麗+5沅=6，由三角形垂心的向量定理得tanA:tan6:tanC=3:4:5

設(shè)tanA=3%,tanB=4x,tanC=5x

1

由tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC代入得60d=12%，解之得x=

一“3

所以tanA=（彳

770

又因?yàn)镹8HC=?—A,所以cosNBHC=—cosA=—

~L4~

.,uumuuuuuiur

例6已知點(diǎn)。為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且A0+20B+30C=0，則下列選項(xiàng)正確的是（）

uumiuun3111110

A.AO=-AB+-ACB.直線A。必過(guò)BC邊中點(diǎn)

24

11叫Iuum____uur-

C.S^AOB-S/XAOC=3.2D.若期=|OC=lf且礪_L反，則O4=W

【答案】ACD

uum,uuruuu、/Uirnum、r10a1附3

【解析】對(duì)于4插入點(diǎn)A,AO+2（OA+AB）+3（Q4+AC）=0,所以A。=5AB+工AC；

uumC1uua1uun、uuu]uun3uun

對(duì)于8,若直線A。過(guò)BC邊的中點(diǎn)，則AO=X,AB+^AC由上知40=萬(wàn)48+/47,不成立;

對(duì)于C,由奔馳定理知SAAOB''S^Aoc=3:2；

uumuuuuuiu1uciuuumuuiuiliuuuunlllUU

對(duì)于￡）,由AO+20B+30C=0得2O5+3OC=—AO,兩邊平方得AO=2OB+3OC

//uunuum2/uuaumuum.-

二”203+30。）X=^4OB2+9OC+1203?0C=W.

例7在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，b,c,b=2a—2ccosB,若△ABC的外接圓的圓

心為。，且滿足8^而+辿4m=2m函，則加的值為_________.

sinAsinB

【答案】—

2

【解析】Vb=2a-2ccosB

b=2（ccosB+bcosC）-2ccosB,BpZ?=2Z?cosC

丁Z?w0,cosC=—

2

TC

*.*0<C*<7T,C——

3

ccsR___?CCS/X__?

對(duì)-----CB+------CA=2mC0兩邊同時(shí)點(diǎn)乘CO得:

sinAsinB

^CB.cd+^CACd=2mCO

sinAsinB

■：CB-CO=1[cB-（2CO）]=1a2,Ck-CO=1[C4-（2CO）J=^b2

1cosB2,1cosA--2

---------a+---------b2=2mCO,

2sinA2sinB

,1..na1An"

即ar—sinAcosB——---F—cosAsinB——--ImCO

2sin2A2sin2B

由正弦定理知一土二上一二4前2

sin2Asin2B

m=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)

~2~

【鞏固練習(xí)】

1.已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若淡?麗=麗?正=訖?前，則尸是△ABC的（）

A.外心B回心C.重心D.垂心

OB+OC

2.已知。是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足>5>=-5—+幾嬴，%GR，

則P點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)AABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

3.點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，滿足說(shuō)+2訪+3免=0,則SAABC：5砧?0為（）

A.2：1B.3：2C.3：1D.5：3

4.點(diǎn)0為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若S^AOB-SABOC：&AOC=4：3：2,設(shè)施=施+嬴，則實(shí)數(shù)力和〃的值分別

為（）

2442—1221

A.g，9B.§,gC.§,§D.g,§

5.設(shè)。是AABC的內(nèi)心，AB=c,AC=b,BC=a,若司0=4萬(wàn)+4/則（）

6.已知。為正AA3c內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足礪+4赤+（1+彳）反=6,若鉆的面積與AOBC的面積的

比值為3,則％的值為（）

15

A.—B.—C.2D.3

22

7.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,a=5,b=12,c=13,/是AABC內(nèi)切圓的圓心，若

-n,ABAC

d"國(guó)+園X），貝小——?

8.在"8C中,42=3,80=4,AC=5,/是"BC內(nèi)切圓的圓心，若屈=4通+4反，則4+%=.

9.已知。是銳角AA3C的外接圓圓心，ZA^6Q°,^-AB+^^AC^2mAd,則實(shí)數(shù)機(jī)的值為

sinCsinB

__kks

10.已知。是AA6c所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足詬=—血+—正，則32=________

32S-

ULUUUUUL

11.在VABC中，3c=5,點(diǎn)G,0分別為VABC的重心和外心，且OG?BC=5,則VABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D,上述三種情況都有可能

22

12.已知橢圓[+與=13＞匕＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳居，經(jīng)過(guò)片的直線與橢圓交于A,3兩點(diǎn)，VAB工的

ab

LUUUUUUL

內(nèi)切圓的圓心為/,若3/2+47A+5德=0,則該橢圓的離心率為.

13.（多選題）對(duì)于給定的△ABC,其外心為。，重心為G,垂心為則下列結(jié)論正確的有（）

----------?---------?]---------?2

A.AOAB=-AB

2

B.OAOB=OAOC=OBOC

C.過(guò)點(diǎn)G的直線/交AB,AC于E,F,若刀=2荏，~AF=/JAC,則工+工=3

4r丁》,ABAC*1

D.AH與i-----+------共線

|AB|COSJBJACCOSC

14.設(shè)H是AABC的垂心，若屈=!通+!正，貝|cos/BAC的值為.

42

______3

15.設(shè)P是AABC的外心，且C5=mCA+7Z屈，-m+2n=l（和、neR）,若CA=2C8,貝IcosC的值

為.

16.在AABC中，內(nèi)角A,在C的對(duì)邊分別為a,"c,O是AABC外接圓的圓心，若0acosB=41c-b，且

小二血+2￡/=相正,則加的值是（）

sinCsinB

A.—B.—C.A/2D,272

42

17.已知點(diǎn)G是AABC的重心，且AG，BG,則（tan"+tan'）tanC的值為_____.

tanA-tan5

18.已知點(diǎn)G是AABC的重心，且CGL5G,BC=J2,則A5+AC的最大值為

19.在AABC中，BC=2,己知點(diǎn)。、G分別是的外心、重心，且而?而=荏?恁，則AABC面積的

最大值為.

20.已知A,B,C為圓。上的三點(diǎn)，線段CO的延長(zhǎng)線與線段B4的延長(zhǎng)線交于圓。外的一點(diǎn)。，若

OC=mOA+nOB,則加+"的取值范圍為

A.(0,1)B.(0,+oo)C.(-1,+oo)D.(―L0)

【答案與提示】

L【答案】D

【解析】由麗?麗=西?正,可得協(xié).(或一正)=0,即協(xié)?8=0,.,.跡同理可證訖，或

是△ABC的垂心.

2.【答案】C

―?-?

【解析】設(shè)8c的中點(diǎn)為M,則——=OM,

則有存=血+赤，即前=赤.

：.P的軌跡一定通過(guò)AABC的重心.

3.【答案】C

【解析】根據(jù)奔馳定理得，SAPBC:SAPAC:S^PAB=i2:3.5AABC:SAAPC=31.

4.【答案】A

【解析】根據(jù)奔馳定理，得3近+2為+4(元1=(),即3近+2(而+翁)+4(晶+廢0=0,

整理得A3=|翁+標(biāo)，故選A.

5.【答案】A

【分析】根據(jù)奔馳定理的內(nèi)心恒等式。礪+匕礪+c而=0,利用向量的線性運(yùn)算可以求得

—*h—(■c'—,

AO=---AB+---AC進(jìn)而根據(jù)平面向量基本定理中的唯一性可得到4，4的值，進(jìn)而得解.

a+b+ca+b+c

【解析】。是△A3C的內(nèi)心，AB=cfAC=bfBC=a

則〃上4+b礪+c4=d，

所以ciOA+b(OA+A_B)+c(OA+AC)=0,

所以(Q+Z?+C)AO~bAB~\~cAC,

-"h—*c—k

所以AO=------------AB+-------------AC.

a+b+ca+b+c

又通+4AC,所以4=------------.4=--------------

a+b+ca+b+c

6.【答案】C

【解析】由奔馳定理得SQ.：S0c=(l+X)：l=3,解之得2=2,選C.

7.【答案】y

8.【答案】-

6

9.【答案】當(dāng)

10.【答案】-

2

11.【答案】B

【解析】在VABC中，點(diǎn)G,0分別為VABC的重心和外心，取3C的中點(diǎn)。，連接AD,OD,則ARG三

點(diǎn)共線，如圖所示,

IUUUILiumL1L1U

OD±BC,GD=-AD.QOG=OGBC=5,

uumumrutmumrUUDIuunuumuuniuunuumuumuun|Uumi2iuuni2

:.(OD+DG)BC=DGBC=--(AB+AC)BC=59BP--(AB+AC)(AC-AB)=5,-M=-30.

|UUtt|2lUUmpAIUL1D|2IUUD|2|ULini27r

又5c=5,.[AB]=|AC|+-|BC|>|AC|+,q.由余弦定理，得cosCvO,.?.?<°<兀，「.VABC是鈍角

三角形.故選B.

12.【答案】京

umLIUuui3um5皿]un

【解析】因?yàn)?/B+47A+5/g=0,所以-由+—/氏=一/A.如圖，在上取一點(diǎn)M,使得忸M|:四周=5:3,

882

uun1um

連接貝1」的=-萬(wàn)￡4,則點(diǎn)/為W上靠近點(diǎn)M的三等分點(diǎn)，所以現(xiàn)伍：5面"￡儂=3:4:5,所以

1M內(nèi)邳:|網(wǎng)=3:4:5.不妨設(shè)|4周=3,則匡邳=4,忸囿=5,則|A周+|A段=忸耳|+忸閭=2a=6,所以

\AFt\=3,\BFt\=2,設(shè)由用=x,由余弦定理得cos/A陷」附,即

6

222

2+4-X=4>得x=4,所以0=生=/=好.

2x2x45752a65

13.【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,由垂徑定理可知，外心。在天谷上的射影為線段A3的中點(diǎn)，

所以豆?荏=工麗2,故A正確；

2

對(duì)于B,若市?歷=厲?反=而加，

由況.9=兇灰，則麗?（礪—配）=0,即次.屈=0,

同理QB-C4=0,OCAB=Q,即點(diǎn)。為△ABC的垂心.

又女為△ABC的垂心，則有瓦鼠沅=詼?蔗=沅?血=0,故B不正確;

對(duì)于C,因?yàn)镚、E、/三點(diǎn)共線,

故存在實(shí)數(shù)人使得AG=fAE+(1-AE=tAAB+(l-r)/JAC,

—.1—.1—.

又G為5c的重心，故AG=—AB+—AC,

33

tA=—

3,則雪工=3,

所以《故C正確;

2

(AB、

ACABBCACBC

對(duì)于D,因?yàn)?BC==-|BC|+|BC|=O,

cos3IACICOSCcosBIACICOSC

7

~ABAC—?___、—?

所以L-----+1——7--------------與8C垂直，又H為△ABC的垂心，則A”與BC垂直,

|AB|cosB|AC|COSC

所以通與富0—+—共線，故D正確，

|AB|cosB|AC|COSC

故選ACD.

14.【答案】B

3

【解析一】（利用三點(diǎn)共線）

AH^AB^AC=^AB]^AC

—.1—.—.1—.1—.

如圖，取A3的中點(diǎn)為。，則AD=—AB,AH=-AD+-AC

222

故H、C、。三點(diǎn)共線,

：//是AABC的垂心C.CDLAB

1

AZ)-cc

在R3ADC中，cosZBAC=——=—=一①

ACb2b

另一方面，^-8+—AC=-+

/「4「AE32b

同理得cosZBAC=——=—=—

ABc3c

①②聯(lián)立得cos/A4C=3.

3

【解析二】（抓住垂心概念，充分利用垂直，點(diǎn)乘，三化二）

-?1---*1---?____*--->1---k21------*,-----,■

對(duì)AH=zAB+/AC兩邊點(diǎn)乘初得AH.AB=/AB+-ACAB

?：AJlAB=(JC+CHyAB=ACAB+CHAB=ACAB

---?---■1----21-------?---?---,1---*2

/.ACAB=-AB+-ACAB,ACAB=-AB①

422

同理，對(duì)屈=,麗+工/兩邊點(diǎn)乘衣得屈」衣.通+工/2

4242

?：AHAC=^AB+BHyAC=ACAB+BHAC=ACAB

---?---?1---?---?1---*2---?---?2---*2

：.ACAB=-ACAB+-AC,ACAB=-AC?.

423

1

AC2

由①②聯(lián)立得cosABAC=「1

lA4HI

3

15.【答案】-

8

3

【解析一】CP=—m，-m+2n=l

22

—■2——■1—■

^LCE=-CA,CF=-CB

32

則可醞+（2"）），|m+2n=l

所以E、F、P三點(diǎn)共線

又尸是弦2C的中點(diǎn)，故斯，2C

CF5c-CB

所以cosC=//=最一23

CE2cA-CB8

33

【解析二】（點(diǎn)乘作數(shù)量積）

對(duì)CP=mCA+〃屈兩邊點(diǎn)乘而得行.CA=tnCA+nCB-CA

-----??1/??\1>21?2?2??

CPCA=-(2CPCA\=-CA,-CA=mCA+nCBCA

2、'22

*.*CA=2CB2=4m+2ncosC①

對(duì)CP=jnCA+〃屈兩邊點(diǎn)乘而得屈.CB^mCA-CB+nCB

---??1/??\1?21?2???2

CPCB=-(2CPCB\=-CB，-CB=mCACB+nCB

2、'22

CA=2CB—=2m+〃cosC②

2

16.【答案】