2024-2025學(xué)年某中學(xué)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷及答案解析

數(shù)學(xué)試題

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.）

1.已知全集U=口，集合2二xx2-2x-3<0▼N==2左一1,左eZ）〃，人.ee

和11>的關(guān)系的韋恩（Venn）圖

如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有（）

C.1個D.無窮多個

【答案】A

【解析】

【分析】求出集合〃={x|-1￡x￡3},由圖知陰影部分所示的集合為"cN,求出"cN即可.

【詳解】已知全集。=R,集合M={X,2—2X_3<0}={X|—1VXV3},

由題陰影部分所示的集合為河cN={-1,1,3）,則陰影部分所示的集合的元素共有3個，

故選：A.

2.圍棋是中國傳統(tǒng)棋種，蘊(yùn)含著中華文化豐富內(nèi)涵，圍棋棋盤橫豎各有19條線，共有19x19=361個落子

點(diǎn).每個落子點(diǎn)都有落白子、落黑子和空白三種可能，因此圍棋空間復(fù)雜度的上限河。3361.科學(xué)家們研

究發(fā)現(xiàn)，可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)IO?。.則下列各數(shù)中與——M最接近的是（）（參考數(shù)

N

據(jù)：1g3。0.48）

A.1093B.1（）83c.1073D.1053

【答案】A

【解析】

361

【分析】設(shè)M絲=x=3\,兩邊取對數(shù)，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行整理，即可求出M一.

NIO80N

33613361

【詳解】設(shè)M后=x=溫，兩邊取對數(shù)lgx=lg溫=lg336i—炮108。=361火炮3—80“93.28,所以

xn1093.28,

故選：A.

3.y=lg(tanx-l)的定義域?yàn)?)

兀7兀77rr

A.<x—+^7l>x>—+ATI.A：GZ>

24

71.71

B.5Xx>—+KTIJC+zkll.7keZj>

42

兀77

C.<Xx>—+A：7l,A：GZ>

兀左兀7r>

D.—l--------------，4eZ〉

42

【答案】A

【解析】

【分析】復(fù)合函數(shù)定義域問題，分解函數(shù)，分別求定義域再求交集.

【詳解】令V=lg/,Z=tanx-1

兀

函數(shù)f=tanx-l的定義域?yàn)椋篭xx^—+kn,keZk

2

函數(shù)y=lgf的定義域：/>0,則tanx-l>0,即佛+k?！祒>：+k?t,kez｝，

所以V=lg(tanx—1)的定義域?yàn)椴穏+kn>x>^+k兀,kez]

故選：A

4.設(shè)a=O.203，b=O.302，c=logo22,則()

A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>b>c

【答案】C

【解析】

【分析】借助指數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可得.

【詳解】由函數(shù)y=0.2工在R上單調(diào)遞減，故0.2°-3<0.2°2,

由函數(shù)y=x"2在（0,+功上單調(diào)遞增，故0.2°，2<O.302,

030202

則c=log022<0<a=O.2-<O.2<O.3-=b,

即b>〃>c.

故選：C.

5.設(shè)函數(shù)/（x）=dW，則不等式/（2唾3"+/（3—唾3力<0的解集是（）

A〈f,27jB.（。，51C.（0,27）D.（27,+s）

【答案】B

【解析】

【分析】分析可知/（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即

可.

【詳解】由題意可知：/（X）的定義域?yàn)镽,且/（—x）=（—￡）3卜同=一/國=_/（工），

可知/（X）為定義在R上的奇函數(shù)，

且當(dāng)X20,則/（x）=/在［0,+e）內(nèi)單調(diào)遞增，

可知/（%）在（-8,0］內(nèi)單調(diào)遞增，所以/（X）在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)?（2log3x）+/（3-log3x）<0,則/（21og3x）<-/（3-log3x）=/（log3x-3）,

可得210g3X<logsx-3,即Iog3x<-3=log3g,解得0<x<、，

所以原不等式的解集為

故選：B.

6.下列選項(xiàng)可以使得孫成立的一個充分不必要條件的是（）

A.x2+y2=1B.x2+4y2=1C.x+y=lD.y=-

X

【答案】B

【解析】

【分析】由基本不等式可判斷B,A,C,D可通過特殊值判斷.

【詳解】對于B：由/+4y=1"回|可得—町〈:故正確；

對于A:取x=y=YZ,滿足/+/=］,此時中=J",不成立；

2,2

對于C,?。?2,歹=一1,滿足x+y=l,止匕時肛=一2,不成立;

對于D,取x=l,y=l,滿足y=L,此時盯=1,不成立；

x

故選:B

7.函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)=(x—l)(lnx+ax—l),若函數(shù)/(x)僅在x=1有極值，則。的取值范圍是

()

11一，

A.a工—5B.a<—或。=1

e~e

15

C.a<一一或a=lD.a=\

e-

【答案】A

【解析】

【分析】由題意可知/'(x)=0只有x=l一個根，且/'(x)在x=l的兩側(cè)異號，當(dāng)0<x<l時，

x-1<0,如果此時lnx+ax—1<0,則可得lnx+ax-1<0,在xe(0,1)U(l,+oo)上恒成立，參變分

離,利用換元法及導(dǎo)數(shù)求解；用同樣的方法求解當(dāng)Inx+ax-1>0在xe(CU)上成立時，則有

lnx+ax-1>0,在%€(0,1)11(1,+00)上恒成立，最后再檢驗(yàn)。=-二時是否滿足題意，即可得解.

e

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(%)僅在x=l有極值，

所以f\x)=0只有％=1一個根，且/'(%)在％=1的兩側(cè)異號，

又因?yàn)榱?(%)=(x-l)(lnx+ax-V),

又因?yàn)楫?dāng)0<工<1時，x-1<0,

如果Inx+QX—1<0,則/'(X)〉0在x￡(0,1)上恒成立，

于是有當(dāng)x>l時，f\x)<0,又因?yàn)楫?dāng)％>1時，x-l>0,

所以lnx+ax—1<0,從而得lnx+ax—1<0,在x￡(0,1)U(l,+oo)上恒成立，

~…1-lnx人/、1-lnx八「y

所以a<------，令g(x)=-------,x>0且xwl,

XX

則g'(x)="E,令g'(x)=0,得X=e2,

所以當(dāng)xe(0,e2)時，gz(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(e2,+oo)時，g'(x)>o,g(x)單調(diào)遞增；所以g(x)min=gd)=—y,

所以。<--y;

e

當(dāng)Inx+辦—1〉0在x￡(0,1)上成立時，則/'(X)<0在x￡(0,1)上恒成立，

所以/'(%)〉0在%￡。,+8)上恒成立，又因?yàn)楫?dāng)x>l時，x-l>0,

所以lnx+〃x—1>0在%￡(1,+8)上恒成立，

從而得Inx+QX—1>0,在x￡(0,1)U(1,+oo)上恒成立，

口宜1-lnx

即Q>------,

X

由前面解析可知g(x)=tg戶>0且XW1,無最大值，故此種情況不成立;

X

當(dāng)Q=—時，/'(')=(x—l)(lnx——x—1)>

ee

令/'(x)=(x—l)(lnx——x—1)=0,

e

則有x=l或山n-3、-1=0,

e

令A(yù)(x)—Inx——x—1,x>0,貝Uh'(x)—-----,

exe

令〃(x)=0,得x=，,

所以當(dāng)工￡(0,。2)時，h\x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)工￡化2,+00)時，h\x)<0,為(x)單調(diào)遞減，

所以/z(x)V/z(e2)=0,

滿足/'(X)在X=1的兩側(cè)異號，

綜上，CL<---.

e

故選：A.

8.存在三個實(shí)數(shù)%,a2,%使其分別滿足下述兩個等式：(1)。1%。3=-2；(2)%+%+%=0,其中

M表示三個實(shí)數(shù)外,出，%中的最小值，則()

A.M的最小值是-2B.M的最大值是-2

C.M的最小值是一夜D.M的最大值是—2指

【答案】B

【解析】

【分析】分析得到%,出，%中必有2個正數(shù)，1個負(fù)數(shù)，再結(jié)合基本不等式計(jì)算即可.

【詳解】由已知得，％,%，%中必有2個正數(shù)，1個負(fù)數(shù)，

設(shè)。3<0，4〉0,〃2〉°，則〃=%，因?yàn)?+。2+。3=0，所以一。3=。1+。2，

____2

所以一%=%+。2—2d4］和，即，

33

所以qa2a32全，由的2a3=-2得，^<-2,即a；<—8,

所以名4-2,

故選：B.

二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.)

v

9.已知定義在R上的奇函數(shù)/(x),其周期為4,當(dāng)xe(0,2)時，/(x)=2-2,貝U()

A./(2024)=0

B./(x)的值域?yàn)?-2,2)

C./(x)在(-2,2)上單調(diào)遞增

D./(x)在［-4,4］上有9個零點(diǎn)

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用函數(shù)的周期性與奇偶性計(jì)算函數(shù)值可判斷A；求出xe(0,2)時/(X)的范圍，再利用奇偶性

周期性求出函數(shù)在

xe(-2,2)的值域可判斷B；求出/(0)、/(1)可判斷C；利用函數(shù)的周期性、奇偶性求出零點(diǎn)個數(shù)可判

斷D.

【詳解】對于A,因?yàn)?(x)為R上的奇函數(shù)，所以/(0)=0,又其周期為4,

所以/(2024)=/(4x506)=/(0)=0,故A正確;

對于B,因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，所以/(一x)=—/(x),可得/［一(％-2)］=-/(%-2)=/(2一切,

又因?yàn)橹芷跒?,所以/(x)=/(x+4),可得/(x—2)=/(x+2),

所以一〃2—x)=/(x+2),Bp/(2-x)+/(x+2)=0,

可得/(x)的圖象關(guān)于(2,0)對稱，所以/(2)=0,/(-2)=0,

因?yàn)楫?dāng)xe(O,2)時，/(X)=2、-2為單調(diào)遞增函數(shù)，所以/(x)e(―1,2),

又因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，當(dāng)xe(-2,0)時，所以/(x)e(-2,1),

再由/(x)的周期為4,可得/(x)的值域?yàn)?-2,2),故B正確；

對于C,因?yàn)?(0)=0,f(l)=0,

所以/(x)在(-2,2)上不具備單調(diào)遞增性，故C錯誤；

對于D,因?yàn)?(x)的周期為4,xe(O,2)時，/(X)為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以xe(4,6)時，/(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

xe(-4,-2)時，〃X)為單調(diào)遞增函數(shù)，

又因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，所以xe(-2,0)時，/(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

xe(2,4)時，/(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

且/(—4)=〃0)=/(4)=0,/(-2)=/(2)=0,

/(-3)=/(1)=/(5)=2-2=0,

可得/(x)的大致圖象，所以/(x)在［-4,4］上有9個零點(diǎn)，故D正確.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用函數(shù)的周期性、奇偶性解題是解題關(guān)鍵點(diǎn).

10.已知函數(shù)/(%)=1081儼一2"+1),下列說法正確的是()

A./(x)關(guān)于x=a對稱

B./(x)的值域?yàn)镽,當(dāng)且僅當(dāng)a21或aV-l

C./(x)的最大值為1,當(dāng)且僅當(dāng)。=±巨

2

D./(x)有極值，當(dāng)且僅當(dāng)。<1

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】選項(xiàng)A：令g(x)=d—2ax+l,有g(shù)(x)=g(2a—x),由于/⑴Tog』g(x),

4

所以/(2a—x)=log[g(2a—x)=log2g(x)=/(x),所以/⑴關(guān)于x=a對稱，故A正確；

44

選項(xiàng)B：當(dāng)函數(shù)的值域?yàn)镽,則8(x)=、2一2"+1能取到(0,+00)的所有值，所以A=4Q2—420

解得：Q21或aV-l,故B正確；

選項(xiàng)C：若函數(shù)/(%)的最大值為1,則g(x)=工ng(a)=工=>—a?+1='=a=±Y3,故C正

3\/min4\J442

確；

選項(xiàng)D：若/(%)有極值，則g(x)=、2-2ax+1在定義域內(nèi)不單調(diào)，所以A=4Q2—4<0，則

—1<a<1,故D錯誤.

故選：ABC.

11.關(guān)于函數(shù)/(x)=cosxsin2x,下列說法中正確的是()

IT

A.圖象關(guān)于直線x=一對稱B./(x)為偶函數(shù)

4

D.最大值為殍

C.2兀為/(x)的周期

【答案】CD

【解析】

【分析】ABC選項(xiàng)由函數(shù)性質(zhì)的判定即可得出結(jié)論，由二倍角公式化簡為只含有sinx為變量的函數(shù)，換元

后借助函數(shù)定義域和導(dǎo)函數(shù)即可求得最大值.

71

【詳解】對于A,f--xcos-xIsin(7i-2x)=sinxsin2xf(x),故A錯誤;

對于B,/(-%)=cos(-x)sin(-2x)=-f(x),故B錯誤

對于C,/(x+2K)=cos(x+2K)sin(2x+4TI)=cosxsin2x=f(x),

故2兀是/(x)的周期，故C正確；

對于D,/(x)=cosxsin2x=2cos2xsinx=2(^1-sin2x)sinx,

令sinx=%,則/⑺=2(l—〃>=—2/+2%,ZG[-1,1],則/⑺=—6/+2,

令/'。)=一6r+2〉0,得tw--，即，￡一~時，/(%)單調(diào)遞增；

I33JI33J

-5</7-

當(dāng)，￡—1,....-U--,1時，/'(。<0，/?)單調(diào)遞減；

_)\.

???/?)的極大值為/=4,,

I3J9

???f(-l)=2-2=0</(x)的最大值為—,故D正確.

八99

故選：CD

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.)

12.已知a頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，其終邊上一點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(,；，則sin2a的

值為______

【答案卓

【解析】

【分析】已知終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)得出三角函數(shù)值，二倍角公式得出結(jié)果.

【詳解】在a終邊上，

1

32

tana=?=—

13

2

2x2

.C.2sin。cosa2tana312

sin2。=2sinacosa-——------------=——-----=----廣一=——

sina+cosatana+1(u2、+i13

12

故答案為:

13

13.甲說：了=山(/-2"+3)在(―叫1］上單調(diào)遞減，乙說：存在實(shí)數(shù)x使得/一2"+1〉0在1,2

成立，若甲、乙兩人至少有一人說的話是對的，則。的取值范圍是

【答案】{山<2}

【解析】

【分析】若甲對，根據(jù)對數(shù)型函數(shù)單調(diào)性求得14。＜2；若乙對，分析可得ae1,2,x+-＞2a,結(jié)

［2Jx

合函數(shù)單調(diào)性可得。＜3；取反面，結(jié)合集合間的運(yùn)算求解即可.

4

【詳解】若甲對，則/(x)=V-2"+3在(-8』上單調(diào)遞減，且必一2辦+3〉0在(-8,1］上恒成

立，

a>\

則《"(1)=4—2?！?,解得』<2,

若乙對，由必一2辦+1〉0，xeg,2

可得3xe-,2,xH—>2a,

2x

因?yàn)間(x)=x+一在內(nèi)單調(diào)遞減，在(1,2］內(nèi)單調(diào)遞增,

且g［；］=g(2)=；,可知g(x)在1,2內(nèi)的最大值為I

可得一＞2。，解得a＜--,

24

若甲、乙說的均不對，且同。＜1或。22}與卜伍2：1的交集為{a|a22},

若甲、乙兩人至少有一人說的話是對的，則。的取值范圍＜2}.

故答案為：{。/＜2}.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：取“甲、乙兩人至少有一人說的話是對的”的對立面“甲、乙說的均不對“，把問題轉(zhuǎn)

化為集合間的運(yùn)算求解即可.

14.已知不等式5-卜_2辦26對任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則/的最大值為.

【答案】2-21n2

【解析】

【分析】通過，=》一1+1換元將不等式化成e'-2R+2a—6-220,對任意的實(shí)數(shù)x恒成立，設(shè)

a

/?)=e'-2成+2a-b-2,對a的取值分類討論，得至U?！?時

1o

f(Z)n-/(ln(2a))=4a-2aln(2a)-b-2,依題得b<4a-2aln(2a)-2,即一<4一2ln(2a)——再

miaa

oi

令g(a)=4—21n(2a)——,a〉0,分析得到g(a)max=g(D=2—21n2,從而即得一<2—21n2.

aa

【詳解】令/=X—4+1,則x=/—1+工，不等式可化為：e'—2a(/—1+工)26對任意的實(shí)數(shù)X恒成立,

aaa

即e'一2a/+2a—6-220對任意的實(shí)數(shù)x恒成立.

設(shè)/?)=e'—2a+2a—6-2,則/")=e'_2a,

當(dāng)aW0時，r(0>0,/⑺在R上單調(diào)遞增，r->-oo,/(0->-cc,不合題意；

當(dāng)a〉0時，由/")=e'-2a=0可得Z=ln(2a),

當(dāng)，<ln(2a)時，/⑺單調(diào)遞減，當(dāng)/>ln(2a)時，f'(t)>0,/⑺單調(diào)遞增，

則當(dāng)I=ln(2a)時,f(r)min=f(ln(2a))=4a-2aln(2a)-b-2.

因/(0>0對任意的實(shí)數(shù)x恒成立，故/(0min=/(ln(2a))=4a-2aln(2a)-b-220恒成立，

1o

即bV4a-2Qln(2a)-2,則一<4一2ln(2a)——.

aa

令g(a)=4-21n(2a)~~,a>0,貝!Jg'(a)=--+—^=型萬叱

aaaa

當(dāng)Ova<1時，gf(a)>0,g(a)單調(diào)遞增,當(dāng)a>l時，g\d)<0,g(。單調(diào)遞減.

故g(a)max=g6=2—21n2,

即—21n2,故2的最大值為2—21n2.

aa

故答案為：2-21n2.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查由不等式恒成立求解參數(shù)范圍問題，屬于難題.

解題的關(guān)鍵在于通過設(shè)/=x-工+1進(jìn)行換元，將不等式化成e'-23+2a-3-220,設(shè)函數(shù)

a

=-2at+2a-b-2,分析得到=/(ln(2a))=4a—2aln(2a)-Z)-2>0,然后分離出

-<4-21n(2a)——,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(a)=4-2ln(2a)——,a>0的最大值即得.

aaa

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

15.已知函數(shù)/(x)=一“J+2。十.

(1)若。=1,求函數(shù)/(x)的極值；

(2)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

25

【答案】(1)極小值為一，極大值為一

36

(2)答案見解析

【解析】

【分析】(1)對/(x)求導(dǎo)，分析單調(diào)性，再根據(jù)極值定義即可求解；

(2)/'(X)=(x-a)(x-2),對。分口=2,a>2和a<2討論單調(diào)性即可.

【小問1詳解】

13

2丁丁+23—).

所以x<l或x>2時，/'(X)>0,l<x<2時，/(x)<0,

則/(x)在(1,2)上遞減,在(―叫1),(2,+8)遞增,

25

所以/(%)的極小值為/(2)=極大值為/(1)=-.

36

【小問2詳解】

f'(x)=(x-a)(x-2),

當(dāng)。=2時，/(x)>0,所以/(x)在(一叫+可)上遞增，

當(dāng)a>2時，％<2或》>。時，/(x)>0；2cx<a時，/(x)<0,

所以/(%)在(-叫2),(a,+8)上遞增，在(2,a)上遞減，

當(dāng)a<2時，x<a或x〉2時，/(x)>0；a<x<2時，/(x)<0,

所以/(%)在(-叫。),(2,+8)上遞增；在伍,2)上遞減.

16.已知函數(shù)/(x)=sin[x+t]+2,將函數(shù)/(x)的圖象向右平移]個單位長度，再將所得函數(shù)圖象上

各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的g,縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)〉=g(x)的圖象.

(1)求g(x)的解析式;

jrSjr

(2)若關(guān)于x的方程g(x)=-左在區(qū)間-二,左上有且只有兩個實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

lo0

【答案】(1)g(x)=sin[2x—g1+2

(2)—3,—2+

\2」

【解析】

【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識求得g(x).

(2)根據(jù)g(x)在區(qū)間-斗上的圖象列不等式來求得左的取值范圍.

186

【小問1詳解】

將/(X)的圖象向右平移3個單位長度后，

再將所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的--縱坐標(biāo)不變,

2

得到了=5也12%一^]+2的圖象，所以g(x)=sin|2x-g1+2.

【小問2詳解】

因?yàn)橐徊汀贰窜姡砸恢甌/07C471

-<2x——<——.

186933

g(x)=-k,gpsin^2x--1-^TT571

二-2一左在區(qū)間-上有且只有兩個實(shí)數(shù)解，

_186

于是函數(shù)了=sin[2x-1]與jTTS71

)=—2-左的圖象在區(qū)間一二,二上有且只有兩個交點(diǎn),

_186

.(4兀、,4TT.4JI.(兀、.71.3兀

sin=-sin——,sin—=sin兀+—=-sin—=-sm—=----,

I9J9313)392

0<—<—,所以sin,4兀1.4兀

---<sin——.

992I9)3

畫出y=sin|2x--在區(qū)間■，,上的圖象如下圖所示，

所以一立＜一2—左＜1，所以一無+2V—左＜3,—3(左V走一2.

222

所以實(shí)數(shù)上的取值范圍是-3,-2+三

2

兀7C3兀4/o

17.已知一&a4—,兀V/?V—，sin2i=—,cos(a+/?)=------，

422510

2ao?a_2a

5sm——I-8sin—cos——I-11cos----8o

2222

(1)求--------------y~氣-----------的值

sm1]

(2)求角￡一。的直

【答案】(1)-11

【解析】

【分析】(1)利用二倍角公式、誘導(dǎo)公式化簡，再利用商數(shù)關(guān)系化為關(guān)于tana的式子，再由二倍解公式,

同角關(guān)系式對已知條件變形求得tan。，代入計(jì)算可得；

(2)確定a+，的范圍，求得sin(a+￡),然后利用(a+6)—2a=￡-a,結(jié)合兩角差的正弦公式求得

sin(￡-a),結(jié)合角的范圍得出角的大小.

【小問1詳解】

由

匚.2a.occc-2。ou、？(X_2。)A/2。o

5sin——I-8osm—cos——I-11cos----85sm—+5cos—+4sma+6cos8

222222)2

兀-cosa

sma—

2

5+4sini+6cos2一一84sma+6cos之---3?,

774Asma+3Qcosa一、

=-----------------上——=---------------上——=---------------=-(4Z4tana+3)

-cosdz-cosa-cosa

ll.、，.八4廣….2-sinacosatana2

又因?yàn)閟m2a=—,所以smacosa=G，可得<；------,—=------Q—=一，

55sina+cosa1+tana5

]JI兀^

解得tana=2或tana=—,由于一VaV一,所以tana=2.

242

，原式二一11.

【小問2詳解】

3兀5兀/o-

又由兀W晝知彳Va+夕V2兀，因cos(a+/?)=—■—>

7A/2

則sin(a+,)=—^/l-cos2(tz+=-

~L0~

由sin(4—a)=sin[(tz+〃)-2a]=sin(a+〃)cos2a-cos(a+/3)sin2a

76(3、(41}4V2

105J10j52

LL,兀,5?！癱371

又因一——,故/一a二——.

244

18.已知函數(shù)/(x)=ln%+2%+(%-1)3.

2-x

(1)證明：曲線y=/(x)是中心對稱圖形；

⑵若/(2機(jī)—1)+/(相)<4,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

【解析】

【分析】⑴由函數(shù)/(X)的定義域(0,2),計(jì)算/(“+/(2-力的值判斷對稱中心;

(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷了(x)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)對稱性列不等式求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【小問1詳解】

函數(shù)/(x)=如上+2X+(X—1)3,定義域?yàn)?0,2),

2-x

丫2_v*

/(x)+/(2-x)=ta—+2x+(x-l)3+ta--+2(2-x)+(l-x)3

2—xx

=ln^^.^^+[2x+2(2-x)]+[(x-l)3+(l-x)3]

2xx

=0+4+0=4

所以曲線y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(1,2)對稱.

【小問2詳解】

112

r(x)=-+—+2+3(x-l)2=~―-+2+3U-1)2,

x2-xx^2-x)

22

因?yàn)閤w(O,2),x(2_x)〉°,所以/'(x)=i+2+3(xf2〉0,

所以/(x)在定義域(0,2)上單調(diào)遞增.

(方法一)又/(x)關(guān)于點(diǎn)(1,2)對稱，/(2m-l)+/(m)<4,

2m-l+m<2,

所以<0<2m-1<2,

0<m<2,

解得—

2

(方法二)因?yàn)?(X)關(guān)于點(diǎn)(1,2)對稱，

所以g(x)=/(x+l)—2是奇函數(shù)，且在區(qū)間(一1,1)上單調(diào)遞增.

由/(2m-l)+即/(2機(jī)一1)-2＜-相)-2],

即g(2m-2)<-g(m-l),

2m—2<1—m,

所以g(27〃-2)<g(l-加)，所以<一1<2根—2<1

-1<1-m<1,

解得,＜機(jī)＜1.

2

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為I；,1.

19.已知函數(shù)g(x)=21n(—x-l)+cos(-x—2),函數(shù)/(x)與g(x)的圖像關(guān)于x=-l對稱，.

(1)求/(x)的解析式；

(2)/(司-1?辦在定義域內(nèi)恒成立，求a的值;

(3)求證：7一彳＜山4,〃￡N*.

k=n+\2)

【答案】⑴/(X)=21n(x+l)+cosx,(x>

(2)a=2

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)設(shè)/(x)圖像上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為(%,%),利用其對稱點(diǎn)在g(x)