導數解答題綜合訓練（學生版）-2025年高考數學一輪復習學案（新高考）

第17講新高考新結構

命題下的導數解答題綜合訓練

(11類核心考點精練)

I傳.考情探究?

在新課標、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進。這不僅僅是一

場考試形式的變革，更是對教育模式和教育理念的全面革新。

當前的高考試題設計，以“三維”減量增質為核心理念，力求在減少題目數量的同時，提升題目的質

量和考查的深度。這具體體現在以下三個方面：

(1)三考

題目設計著重考查學生的知識主干、學習能力和學科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學生的實

際水平。

(2)三重

強調對學生思維深度、創(chuàng)新精神和實際應用能力的考查，鼓勵學生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現個人的獨

特見解和創(chuàng)造力。

(3)三突出

試題特別突出對學生思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過精心設計的題目，引導學生深入思

考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。

面對新高考新結構試卷的5個解答題，每個題目的考查焦點皆充滿變數，無法提前預知。導數版塊作

為一個重要的考查領域，其身影可能悄然出現在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對較為適中，

易于學生入手。然而，同樣不能忽視的是，導數版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸題中，此時的分

值將提升至17分，挑戰(zhàn)學生的解題能力和思維深度，難度自然相應加大。

面對如此多變的命題趨勢，教師在教學備考過程中必須與時俱進。不僅要深入掌握不同題目位置可能

涉及的知識點及其命題方式，更要能夠靈活應對，根據試題的實際情況調整教學策略。本文基于新高考新

結構試卷的特點，結合具體的導數解答題實例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的導數解答題綜合訓練指南,

以期在新高考中取得更好的成績。

考點一、利用導數研究具體函數的單調性

1.（2024?湖南邵陽?三模）已知函數/（x）=-gx3+x2+i.

⑴求函數的單調遞增區(qū)間；

（2）若函數8（月=〃》）-左（左€1＜）有且僅有三個零點，求后的取值范圍.

2.（2024?浙江?三模）已知函數〃x）=e＜

⑴求函數〃x）的單調區(qū)間；

（2）若曲線J=/（x）在點（0,0）處的切線與二次曲線＞=^2+（2。+5k-2只有一個公共點，求實數0的值.

3.（2024?湖南邵陽?三模）已知函數/仁）=生/土jaeR）

(1)若〃=2,求〃x)的單調區(qū)間.

⑵若對Vxe(O,+s),/(x)4xe，恒成立，求實數。的取值范圍

4.(2024?陜西渭南?二模)已知函數/(x)=xlnx,g(x)=^^-x+l.

XX

⑴求函數g(x)的單調區(qū)間；

(2)若當x>0時，加x2-e"4"/(x)恒成立，求實數a的取值范圍.

5.(2024?湖南衡陽?模擬預測)函數〃x)=(亦+l)lnx-ax+21nq.

⑴當a=2時，討論〃x)的單調性；

⑵在(。,+司上單調遞增，求。的取值范圍.

6.(2024?廣東佛山?二模)已知/■(x)=-：e"+4e*-ax-5.

⑴當a=3時，求/(X)的單調區(qū)間；

⑵若/(X)有兩個極值點X1,%2,證明：f(xl)+f(x2)+xl+x2<0.

7.(2024?河北保定?二模)已知函數/(x)=(x-2e2)lnx-ax-2e2(aeR).

(1)若a=1,討論〃x)的單調性；

(2)己知存在使得了5”/國)在(0,+功上恒成立，若方程/(*=-盧。-2e?心有解，求實數上

的取值范圍.

8.(2024?全國?模擬預測)已知函數〃x)=e2<5F+?(weR).

⑴若加=2e?,求〃x)的單調區(qū)間;

(2)若m=。，/(x)的最小值為〃Xo),求證：4<"。)<6.

%

9.(2024?浙江?模擬預測)已知函數"x)=a(e'+sinx)-X-1.

⑴當a=g時，求/(x)的單調區(qū)間；

(2)當”=1時，判斷〃x)的零點個數.

10.(2024?全國?模擬預測)已知函數〃x)=e2x-“l(fā)na+l).

⑴若a=2,討論〃x)的單調性.

(2)若x>0,a>1,求證：—

考點二、利用導數研究含參函數的單調性

2

1.(2024?廣東汕頭?三模)己知函數73=11?-q名3=/,0#0.

⑴求函數〃x)的單調區(qū)間；

(2)若〃x)4g(x)恒成立，求。的最小值.

2.(2024?陜西榆林?模擬預測)已知函數〃x)=e，+("l)x-l,其中aeR.

⑴討論函數〃x)的單調性；

(2)當a=2時，證明：/(x)>xlmc-cosx.

3.(2024?江蘇蘇州?模擬預測)已知函數/(x)=hw+ax+l,aeR.

(1)討論/(x)的單調性；

(2)當時，證明：<e2j.

4.(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測)已知函數/(X)=Q(X+1『—x—lnx(QER).

⑴討論/(x)的單調性；

⑵當。時，求證：f(x)>2^z——bl.

5.(2024?山西呂梁?三模)已知函數/(x)=x2-2x+alnx,(a￡R).

⑴討論函數的單調性；

⑵若對任意的西,乙武0,+8)4產乙，使”」(%)-*/伍)>0恒成立,則實數。的取值范圍.

玉-x2

6.(2024?廣東東莞?模擬預測)已知函數/'(x)+(1-a)x-alnx(aeR).

⑴求函數〃x)的單調區(qū)間；

(2)當。>0時，求函數/lx)在區(qū)間［Le］上的最大值.

3

7.(2024?寧夏吳忠?模擬預測)已知函數/(x)=ae-x-5(aeR).

⑴討論〃x)的單調性；

(2)證明：當?！?時，f(x)>2\na-a2.

8.(2024?山東青島?二模)已知函數f(x)=lnx+ax2-x+a+l.

⑴證明曲線>=/(x)在x=1處的切線過原點；

⑵討論/(X)的單調性；

9.(2024?遼寧沈陽?模擬預測)已知函數/(x)=2e'+W-(a-2)x-4(aeR).

⑴求函數/(x)的單調區(qū)間;

(2)若ae(-s,2e),求函數/(x)在區(qū)間xe(-8,2］上的零點個數.

10.(2024?新疆?三模)已知函數/(同=(》-1)砂一］/+。.

(1)討論〃x)的單調性；

(2)若/(x)有三個不同的零點，求實數。的取值范圍.

考點三、利用導數求極值與最值

1.(2024?廣東東莞?模擬預測)已知函數/(X)=gx?+(l-a)x-alnx(aeR).

⑴求函數/'(x)的單調區(qū)間；

(2)當a>0時，求函數/(x)在區(qū)間［l,e］上的最大值.

2

2.(2024?江蘇南京?二模)已知函數/(x)=x+",其中aeR.

ex

⑴當〃=0時,求曲線歹=/(x)在(1,7(1))處的切線方程;

(2)當。>0時，若/'&)在區(qū)間［0,a］上的最小值為工，求。的值.

e

3.(2024?河南?模擬預測)已知函數〃x)=?^(awO,aeR).

⑴求/(x)的極大值；

(2)若。=1,求g(x)=/(x)-cosx在區(qū)間2024無上的零點個數.

4.(2024?湖南長沙?三模)已知函數/(x)=x+ln(")+］打工(a<0).

⑴求函數的極值；

⑵若集合-1)有且只有一個元素，求a的值.

5.(2024?河北保定?三模)已知函數/(x)=--ax+lnx,x=1為/(》)的極值點.

⑴求a；

(2)證明：/(X)<2X2-4X.

6.(2024?北京順義?三模)已知函數/(x)=xln(2x+l)-辦二

⑴求曲線V=“X)在點(0,〃0))處的切線方程；

(2)當a<0時，求證：函數/(x)存在極小值；

⑶求函數〃無)的零點個數.

7.(2024?廣西貴港?模擬預測)已知函數/(x)=aeQ-lnx+ln“+l.

X

(1)當。=1時，請判斷，(x)的極值點的個數并說明理由；

(2)若>2az-a恒成立，求實數a的取值范圍.

8.(2024?吉林?模擬預測)己知函數=

⑴當a=0時，求函數〃x)的極值；

⑵求證：當0<a<l,x>0時，/(X)>—^―.

a-1

9.(2024?四川攀枝花?三模)已知函數〃x)=lnx+q-l(aeR).

⑴求函數/(X)的極值；

(2)設函數Ax)的導函數為/(X),若/'(再)=/'(馬)證明：/(玉)+/(%)+->1.

10.(2024?陜西銅川?模擬預測)已知函數〃(x)=2/+3--12x+機(機eR)的一個極值為-2.

⑴求實數加的值；

「3-

(2)若函數〃(x)在區(qū)間k,-上的最大值為18,求實數人與〃7的值.

考點四、利用導數證明不等式

L(2024?廣西?模擬預測)設函數/(x)=lnx+辦+6,曲線了=/(x)在點(1J。))處的切線方程為

>=6x-3.

⑴求a,6的值；

2

(2)證明:/(x)>---1.

2.(2024?江蘇蘇州?模擬預測)已知函數〃x)=lm:+ax+l,awR.

⑴討論)(x)的單調性;

(2)當aW2時，證明：^-^<e2x.

3.(2024?河北滄州?模擬預測)已知函數/(x)=lnx-ln(x-l)-

X

⑴求/(X)的值域;

(2)求證：當幾wN*時，Zsin----；<In2.

i=\n+1

4.(2024?河北?三模)已知函數/(x)=xlnx—〃x2+(2Q—1)X—Q+1(QER).

(1)若/(“<0在［1,+s)恒成立，求實數a的取值范圍；

(2)證明：-^―++^—+++—>ln2.

77+1n+2幾+3n+n4n

5.(2024?四川內江?三模)已知函數/(%)=1111+區(qū)-凡〃〉0.

x

⑴若/(X)的圖象不在X軸的下方，求。的取值集合；

(2)證明：sin———Fsin--——F…+sin——-——<In2024(neN*1.

n+\n+22024〃1)

6.(2024?河北?模擬預測)已知函數/⑺=x.

⑴討論/(x)的單調性；

(2)證明：當〃〉0時，-1.

13

7.(2024?重慶九龍坡?三模)已知函數/(xhlnx+if-G+i，(a>0).

⑴當xe[l,+。)時，函數/(x)20恒成立，求實數。的最大值；

(2)當a=2時，若/(再)+/(々)=0,且再3乙，求證：XX+X2>2-

⑶求證：對任意“eN*,都有21n(〃+l)+4U>n.

8.(2024?陜西?模擬預測)已知函數/(x)=alnx—x+l(QER),g(x)=sinx-x.

⑴討論函數/(x)的單調性；

(2)證明：+J<0(幾eN*);

(3)liE明：In2>sin----Fsin-----1-sin----F,??+sin—(〃wN*).

n+1n+2n+32n

9.(2024?江蘇連云港?模擬預測)已知函數/(x)=e，-；x2-x.

⑴求函數〃工)在x=l處的切線方程.

⑵證明：Vxe[0,+co),/(x)>sinx.

(3177-4-32m?+syyj_i_q

10.(2024?山東?模擬預測)已知函數/(x)=e『x2-----x+m,,其中mwO.

ImmJ

(1)求曲線J=/(X)在點(2,〃2))處切線的傾斜角；

(2)若函數/(x)的極小值小于0,求實數加的取值范圍；

(3)'UE明：2e“-2(x+1)Inx-x〉0.

考點五、利用導數解決恒成立與能成立有解問題

1.(2024?湖北?模擬預測)己知函數/(x)=hu,g(x)=f-l其中。為常數.

⑴過原點作f(x)圖象的切線/,求直線/的方程；

(2)若玉e(0,+動，使/(x)Wg(x)成立,求。的最小值.

2.(2024.廣東茂名.模擬預測)已知函數=—.

⑴求曲線了=/(x)在點(ej(e))處的切線方程；

(2)當X21時，xf(x)<a(x2-l),求°的取值范圍.

3.(2024?山東濟南?三模)已知函數不>)=優(yōu)+2'-2,其中a>0且awl.

⑴若/(x)是偶函數，求a的值；

(2)若x>0時，〃x)>0,求。的取值范圍.

4.(23-24高三上廣東深圳?階段練習)已知/(x)=ax-lnx,aeR.

⑴討論〃x)的單調性和極值；

(2)若xe(O,e］時，/(x)W3有解，求。的取值范圍.

5.(2024?全國?模擬預測)已知函數/(x)=x2-2alnx-2(aeR).

⑴討論/(x)的單調性；

(2)若不等式/(x)V2(ln"+x2-2x在區(qū)間(1,+co)上有解，求實數。的取值范圍.

6.(2024?四川雅安?三模)已知函數〃x)=e*-axcosx,g(x)=sinx-l.

⑴當。=1時，求函數/(x)在''。，曰上的值域；

(2)若關于x的不等式/(x)+g(x)“在xe［o,j］上恒成立，求實數a的取值范圍.

7.(2024?浙江紹興?二模)已知函數/(x)=、-x+asinx.

(1)當a=2時，求曲線>=/(x)在點(0J(O))處的切線方程；

(2)當xe(O,冷時，/(x)>0,求實數。的取值范圍.

8.(2024?浙江溫州?模擬預測)函數/(x)=e-，sinx

(1)求/(x)的單調區(qū)間.

(2)若/(x)Wax+/在x20時恒成立，求a的取值范圍.

9.(2024?山東二模)已知函數/(x)=mx-hix,xe(l,+ao).

⑴討論了(X)的單調性；

(2)若/川小/卜”--工恒成立，求實數小的取值范圍.

10.(2024?河北?二模)已知函數f(x)=e"

(1)求曲線y=/(x)在x=o處的切線/與坐標軸圍成的三角形的周長；

(2)若函數〃X)的圖象上任意一點尸關于直線X=1的對稱點。都在函數g(x)的圖象上，且存在xe［o,l),使

/(x)-2exNw+g(x)成立，求實數加的取值范圍.

考點六、利用導數研究函數的零點與方程的根

13

L(2024?陜西安康?模擬預測)已知函數〃力=］淤血-丁

7

(1)證明：當xe［0,可時，e1-x-->/(x)；

(2)求在區(qū)間［0,可上的零點個數.

2.(2024?廣東汕頭三模)已知函數/(x)=x(e*-/).

⑴若曲線y=/(x)在X=-1處的切線與了軸垂直，求y=/(X)的極值.

⑵若/(X)在(0,+8)只有一個零點，求a.

3.(2024?安徽蕪湖?模擬預測)已知函數〃x)=e=lnx+x2-ax(aeR).

⑴當。=0時，求函數/⑴在x=l處的切線方程；

⑵若函數至多一個零點，求。的取值范圍.

4.(2024?青海海西?模擬預測)已知函數/(x)=lnx+3-3.

X

(1)討論函數〃X)的單調性；

(2)若函數/(x)有且僅有兩個零點，求實數。的取值范圍.

5.(23-24高三下?山東荷澤?階段練習)已知函數/(力=口-1)/-如2,aeR

⑴當。=］時，求的單調區(qū)間；

⑵若方程/(x)+a=0有三個不同的實根，求。的取值范圍.

6.(2024?浙江溫州?一模)已知=(x>0).

⑴求導函數/''(X)的最值；

⑵試討論關于x的方程/卜)=丘(4>0)的根的個數，并說明理由.

7.(2024?全國?模擬預測)已知函數=的圖象在點(0J(0))處的切線方程為2x+y+l=0.

ax+b

⑴求a,方的值;

(2)若/(乃二—有兩個不同的實數根，求實數加的取值范圍.

2x-l

8.(2024?山東煙臺?三模)已知函數/'(x)=x+ae*(aeR).

(1)討論函數〃x)的單調性；

(2)當。=3時，若方程，/、\=加+1有三個不等的實根,求實數小的取值范圍.

9.(2024?福建泉州?模擬預測)已知函數/(x)=x3-ox+2,aeR.

⑴若％=-2是函數/(x)的極值點，求。的值，并求其單調區(qū)間；

⑵若函數/(x)在1,3上僅有2個零點，求。的取值范圍.

10.(2024?福建寧德三模)已知函數/(x)=acosx-eZ(aeR)的圖象在x=0處的切線過點(-1,2).

⑴求/(X)在［0,可上的最小值;

⑵判斷一(X)在,o］內零點的個數，并說明理由.

考點七、利用導數研究雙變量問題

1.(22-23高二下?四川涼山?期末)已知函數/(x)=lnx-4%-6.

⑴討論函數/(x)的單調性；

(2)若/(x)W0恒成立，求2的取值范圍.

a

2.(2024IWJ二?全國,專題練習)已知函數/(x)=-QX?+ax-lnx(aeR).

⑴求函數/'(x)的單調區(qū)間；

(2)若函數有兩個極值點再，三(演<三),求證：+31n2.

3.(2024?四川德陽?二模)已知函數/(無)=lnx+無2-2ax,aeR,

⑴當a>0時，討論〃x)的單調性；

(2)若函數/(x)有兩個極值點玉尼(玉<七)，求2/(占)-/(%)的最小值.

4.(23-24高三上?河南周口?期末)已知函數〃x)=cosx-加/(加eR).

⑴若〃x)在，，，上單調遞減，求加的取值范圍；

1JT

(2)若加=——,求證：/(%)>-；

714

⑶在(2)的條件下，若方程〃x)=《x>0)兩個不同的實數根分別為多，花，求證：。</'(芭+%)<2.

5.(23-24高三上?福建福州?期中)已知函數〃尤)=。山工-云-：(工>0,"0),J'(x)為“X)的導函數.

⑴當a=1時，討論函數〃x)的單調性

(2)己知X],X2e(0,+co)(x產/)，若存在beR,使得次(石)=/(3)成立,求證：f'(x^+f'(x2)>0.

6.(23-24高三下?北京?開學考試)已知/(司=5+1)/,左片0.

⑴若左=1,求“X)在(0,〃0))處的切線方程；

(2)設g(x)=/'(x),求g(x)的單調區(qū)間；

(3)求證:當％>0時，Vm,ne(0,+oo),/(m+?)+l>/(m)+/(?).

7.(2024?安徽阜陽?一模)已知函數〃無)=3hw-亦.

⑴討論/(x)的單調性.

⑵已知外,三是函數〃x)的兩個零點(占.

(i)求實數。的取值范圍.

(ii)是的導函數.證明：r[2x,+(l-2)x2]<0.

8.(2023?浙江嘉興?二模)已知/(x)=e',g(x)=hw.

⑴若存在實數。，使得不等式/(x)-g(x)N〃a)-g(a)對任意xe(0,+8)恒成立,求/⑷遭⑷的值;

占-x2

①存在尤0?尤”馬)，使得g=x(re'°成立;

〃再)+/(xJ

②片一后2<

9.(2023?全國?模擬預測)已知函數/(無)=匕詈.

⑴設函數g(x)=盧-」化>0),若/(x)Wg(x)恒成立，求上的最小值；

KX

(2)若方程/(x)=m有兩個不相等的實根不、%2,求證：土+選一(In，").

x2司m

10.(2023?天津河西?模擬預測)已知函數〃x)=Hnx+e(左eR).

⑴若函數V=/(x)為增函數，求上的取值范圍;

(2)已知0＜再＜%.

(ii)若之=孕=左，證明：

考點八、利用導數解決隱零點問題

1.(2024?浙江麗水二模)設函數〃x)=eX-ln(x+o),aeR.

⑴當°=1時，求函數/(x)的單調區(qū)間；

(2)若對定義域內任意的實數x,恒有求實數。的取值范圍.(其中e^2.71828是自然對數的底數)

2.(22-23高三上?天津?期末)設函數〃x)=lnx-ga%2,8(無)=/一/，a,beR,已知曲線y=/(x)在點

(1J(D)處的切線與直線x-y+l=0垂直.

⑴求a的值；

(2)求g(x)的單調區(qū)間；

⑶若仔(x)+6x4xg(x)對於e(0,W)成立，求6的取值范圍.

3.(2024?全國?模擬預測)已知函數/(x)=(x-l)e，-

⑴討論函數〃x)的極值點個數；

(2)當?>()時，若實數4三滿足/(xJ=〃X2),證明：

4.(2023?江西?模擬預測)已知函數〃x)=6/+x-Hnx-l,且曲線丁=〃x)在點x=1處的切線的斜率為

12.

⑴求“X)的單調區(qū)間；

(2)證明：Vx>0,有/'(x)+x>4/恒成立.

5.(2024?山東棗莊?一模)已知〃x)=Inx+go/+x,aeR.

(1)討論)(x)的單調性；

(2)若Vxe(0,+ooj,/,(x)+ax+\<+—ax+\^,求a的取值范圍.

6.(2024?北京朝陽?一模)已知函數/(無)=(l-*e'SeR).

⑴討論f(x)的單調性;

(2)若關于x的不等式>a(l-x)無整數解，求a的取值范圍.

7.(2024?海南?模擬預測)已知函數/(x)=2e*-2",aeR.

⑴討論函數〃x)的單調性；

(2)若不等式/(x)>x2+a2對任意x6(0,+8)恒成立，求a的取值范圍.

8.(2024?山東?二模)已知函數/(x)=a2xe*-x-lnx.

⑴當。=七時，求〃x)的單調區(qū)間；

(2)當a>0時，f(x)>2-a,求。的取值范圍.

9.(2024?遼寧撫順?一模)已知函數/(x)=xe*M-辦2-2G.

⑴當a=g時，判斷/(x)的單調性；

⑵若xe(O,+w)時，/'(xT)21+lnx-x恒成立，求實數。的取值范圍.

10.(2024?遼寧?一模)已知函數〃x)=blnx,g(x)=x2+ax(其中a,b為實數,且b>0)

⑴當a=-l時，〃x)4g(x)恒成立，求6；

⑵當6=2時，函數G(x)=〃x)-g(x)有兩個不同的零點，求。的最大整數值.(參考數據：In；亡0.223)

考點九、利用導數解決極值點偏移問題

115e

L(2024高三?全國?專題練習)設函數/(x)=e=]ex2-§(》-1)3+萬戶€[0,+8).

⑴判斷函數/(x)的單調性；

(2)若再*々，且/(xj+/(x2)=6e,求證：再+%<2.

2.(22-23高三上?遼寧丹東■期末)已知函數/(無)=e*-xlnx+尤2-冰.

⑴證明：若aWe+1,則/(x)20；

(2)證明：若/(x)有兩個零點X1,%2,則網》2<1.

3.(23-24高二下?云南?期中)已知函數〃x)=31nx+G2-4x(a>0).

⑴當a=1時，討論〃x)的單調性；

(2)當a時，若方程/(無)=6有三個不相等的實數根X”%，%,且再<々<當，證明：W一再<4.

4.(2024高三下?全國?專題練習)已知函數"x)=2xlnx-x2+l.

⑴證明：/(%)<1；

(2)若0<玉<%,且/(占)+/(%2)=0，證明：再+無2>2.

5.(22-23高三上?江西吉安,期末)已知函數/'(x)=3ahix-(a-3)x,aeR.

⑴當”=1時，求曲線g(x)=〃x)-31iu-siiu在xg處的切線方程；

(2)設不&是〃(x)=/(x)-(3a-2)lnx-3x的兩個不同零點，證明：a(x1+x2)>4.

6.(22-23高三上?山西?階段練習)已知函數〃x)=ax2+(a-2)x-lnx(aeR).

(1)討論“X)的單調性；

2

(2)若/(x)有兩個零點X1,三,證明：xt+x2>-.

a

7.(23-24高三上?河南?階段練習)已知函數/(x)=(x-2乂e'-ax)(aeR).

⑴若。=2,討論“X)的單調性.

(2)已知關于x的方程/(x)=(x-3)e，+2"恰有2個不同的正實數根不用.

(i)求。的取值范圍；

(ii)求證：玉+%2>4.

8.(2024高三下?全國?專題練習)已知函數(aeR).

⑴求g(x)的單調區(qū)間;

(2)若函數〃x)=g(x)+(a+l)x2-2x,%,%(0<玉<%)是函數/仁)的兩個零點，證明：/'［七三］<。.

9.(23-24高三上?天津和平?階段練習)已知函數=a為實數.

2

⑴當時，求函數在x=l處的切線方程；

(2)求函數/(x)的單調區(qū)間；

⑶若函數〃X)在x=e處取得極值，/'(X)是函數〃尤)的導函數,且津(再)=/'(切,再<赴，證明：

2<x1+x2<e.

10.(2023?遼寧阜新?模擬預測)已知函數/(x)=e*+辦

⑴若a=-2時,求的最值；

(2)若函數g(x)=/(x)-g尤②，且三,三為g(x)的兩個極值點，證明：g(^)+g(x2)>2

考點十、導數與其他知識點雜糅問題

1.(2024?河北?三模)現隨機對N件產品進行逐個檢測，每件產品是否合格相互獨立，且每件產品不合格的

概率均為0(0<0<1).

⑴當N=20時，記20件產品中恰有2件不合格的概率為/(p),求/(P)的最大值點4；

(2)若這N件產品中恰好有M(OWMWN)件不合格，以(1)中確定的為作為〃的值，則當M=45時，若以

使得尸(M=45)最大的N值作為N的估計值，求N的估計值.

2.(高二?全國?課后作業(yè))《九章算術》是古代中國乃至東方的第一部自成體系的數學專著，書中記載了一

種名為“芻薨"的五面體."芻薨"字面意思為茅草屋頂，圖1是一棟農村別墅，為全新的混凝土結構，它由上

部屋頂和下部主體兩部分組成.如圖2,屋頂五面體為芻薨"，其中前后兩坡屋面尸E和CZ）即是全等的

等腰梯形，左右兩坡屋面區(qū)4。和E8C是全等的三角形，點尸在平面NBCD和8C上射影分別為〃，M,己

知//M=5m,SC=10m,梯形N8FE的面積是AFBC面積的2.2倍.設NFMH=Q*

（1）求屋頂面積S關于。的函數關系式.

（2）已知上部屋頂造價與屋頂面積成正比，比例系數為上?。?）,下部主體造價與其高度成正比，比例系

數為16h現欲造一棟總高度為6m的別墅，試問：當。為何值時，總造價最低？

3.（2023?浙江?一模）混管病毒檢測是應對單管病毒檢測效率低下的問題，出現的一個創(chuàng)新病毒檢測策略,

混管檢測結果為陰性，則參與該混管檢測的所有人均為陰性，混管檢測結果為陽性，則參與該混管檢測的

人中至少有一人為陽性.假設一組樣本有N個人，每個人患病毒的概率相互獨立且均為目前，

我們采用K人混管病毒檢測，定義成本函數/（X）=2+G,這里X指該組樣本N個人中患病毒的人

數.

⑴證明：E[f（X^＞24p-N；

（2）若0＜0＜1。7,10WKW20.證明：某混管檢測結果為陽性，則參與該混管檢測的人中大概率恰有一人

為陽性.

4.（2023?河北?模擬預測）某排球教練帶領甲、乙兩名排球主力運動員訓練排球的接球與傳球，首先由教練

第一次傳球給甲、乙中的某位運動員，然后該運動員再傳回教練.每次教練接球后按下列規(guī)律傳球：若教練

上一次是傳給某運動員，則這次有《的概率再傳給該運動員，有彳的概率傳給另一位運動員.已知教練第一

次傳給了甲運動員，且教練第"次傳球傳給甲運動員的概率為P,.

⑴求02，。3；

（2）求外的表達式；

⑶設/證明：Z（qH「G）（sins+]-sin0）＜3.

i=\'

22

5.（2024?福建福州?模擬預測）點尸是橢圓E：0+4=1（a＞匕＞0）上（左、右端點除外）的一個動

ab

點，片（-c,o）,B（c,0）分別是￡的左、右焦點.

（1）設點尸到直線/：尤=式的距離為d,證明啕為定值，并求出這個定值；

cd

(2)△尸耳瑪的重心與內心(內切圓的圓心)分別為G,I,已知直線/G垂直于x軸.

(i)求橢圓E的離心率；

(ii)若橢圓E的長軸長為6,求△代工被直線/G分成兩個部分的圖形面積之比的取值范圍.

6.(2024?湖南岳陽?三模)已知。8C的三個角42,C的對邊分別為且c=26,點。在邊8c上，AD

是/9C的角平分線，設AD=kAC(其中人為正實數).

⑴求實數上的取值范圍；

⑵設函數/(x)=gax3-g/+cx-g

①當上=偵時，求函數，(x)的極小值；

3

②設%是/(x)的最大零點，試比較％與1的大小.

7.(2024?全國?二模)如圖，過點。(1,6)的動直線/交拋物線C:/=2"(p>0)于42兩點.

(1)若。8。求C的方程；

(2)當直線/變動時，若/不過坐標原點。，過點48分別作(1)中C的切線，且兩條切線相交于點“，問:

是否存在唯一的直線/,使得乙4MD=/BMD?并說明理由.

8.(2024?山東青島?三模)已知O為坐標原點，曲線/(x)=diu在點尸(1,0)處的切線與曲線

g(x)=ex+b在點。(0,1+6)處的切線平行，且兩切線間的距離為亞，其中b>0.

⑴求實數a,b的值；

(2)若點M,N分別在曲線y=f(x),y=g(x)上，求ZONP與ZOMQ之和的最大值；

⑶若點4B在曲線y=/(x)上，點C,D在曲線y=g(x)上，四邊形ABCD為正方形，其面積為

s,證明:S>21G￡|

附:In2=0.693.

9.(2024?福建泉州?模擬預測)將足夠多的一批規(guī)格相同、質地均勻的長方體薄鐵塊疊放于水平桌面上，每

個鐵塊總比其下層鐵塊向外伸出一定的長度，如下圖，那么最上層的鐵塊最多可向桌緣外伸出多遠而不掉

下呢？這就是著名的“里拉斜塔”問題.將鐵塊從上往下依次標記為第1塊、第2塊、第3塊.....第〃塊,

將前迨=1,2,3,…,n)塊鐵塊視為整體，若這部分的重心在第i+1塊的上方，且全部鐵塊整體的重心在桌面的

上方，整批鐵塊就保持不倒.設這批鐵塊的長度均為1,若記第〃塊比第〃+1塊向桌緣外多伸出的部分的最

大長度為則根據力學原理，可得且｛,｝為等差數列.

a

4n

1第1塊

a?\,甲第3..塊

a\力第4塊

3詞二3^5塊

俾九塊

［第”+1塊

⑴求｛%｝的通項公式；

⑵記數列｛風｝的前〃項和為

①比較S”與fn("+l)的大??；

②對于無窮數列｛尤“｝,如果存在常數A,對任意的正數￡,總存在正整數乂，使得氏-/|<￡,

則稱數列打“｝收斂于A,也稱數列｛七｝的極限為A,記為J亶匕="；反之，則稱｛%｝不收斂.請根據數列

收斂的定義判斷｛5｝是否收斂？并據此回答“里拉斜塔”問題.

丫3

10.(2024?重慶渝中?模擬預測)(1)證明：當x>0時，x---<sinx<x；

6

(2)已知正項數列｛4｝滿足%+I=%-華(〃eN*).

(i)證明：數列｛"%｝為遞增數列；

r-3al

(ii)證明：若0<%<g,則對任意正整數"，都有"對<一？.

3-a1

考點十一、利用導數研究函數新定義問題

1.(2024?山西?三模)微分中值定理是微積分學中的重要定理，它是研究區(qū)間上函數值變化規(guī)律的有效工具,

其中拉格朗日中值定理是核心，它的內容如下：

如果函數/(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間(。))可導，導數為/(X),那么在開區(qū)間(。,方)內至少存在一

點。，使得/'(c)=/(?一"")，其中c叫做/(刈在上的"拉格朗日中值點".已知函數

b-a

/(%)=("丁2Inx+/(x-4)e*:/+1勺斗/.

(1)若a=-l,b=0,求函數/⑴在［1,7］上的"拉格朗日中值點"看；

(2)若。=-1*=1,求證:函數/⑴在區(qū)間(0,+8)圖象上任意兩點A,8連線的斜率不大于18-e-6;

(3)若a=l,6=T,Vxi，X2，X3e(J,l],且無]<工2<^，求證:，02)/(%)>、(三)'伍).

14)x2-Xjx3-x2

2.(2024,廣東?二模)拉格朗日中值定理是微分學的基本定理之一，其內容為：如果函數/'(x)在閉區(qū)間

上的圖象連續(xù)不斷，在開區(qū)間內的導數為了'(X),那么在區(qū)間6)內存在點。，使得

/伍)一〃a)=〃c)伍-0)成立.設〃x)=e，+x-4,其中e為自然對數的底數，e?2.71828.易知,f(x)

在實數集R上有唯一零點「，且re(l,|).

⑴證明：當xe(r/+g)時，0</(%)<1;

⑵從圖形上看，函數/(x)=e、+x-4的零點就是函數/(x)的圖