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文檔簡介
2025屆高三年級10月新起點調(diào)研模擬試卷(二)
數(shù)學(xué)試題
2024.10
★??荚図樌?/p>
考生注意:
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分,滿分150分,考試時間120分鐘.
2.答題前,考生務(wù)必用直徑0.5毫米,黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.
3.考生作答時,請將答案答在答題卡上,選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對
應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑;非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題
區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效,在試題卷、草稿紙上作答無效.
4.本卷命題范圍:集合與常用邏輯用語、等式與不等式、函數(shù)及其性質(zhì)、指對暴函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其
應(yīng)用.
一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一
個選項是符合題目要求的.
1.設(shè)集合”={xlx=4〃+1/eZ},N={x|x=3〃+1/eZ},尸={x|x=12〃+1,”eZ},貝!|()
A.MuPB.NuP
C.McN匚PD.Mr~\N=0
2.己知命題夕:Hxe[0,3],a=-/+2x:命題q:e[—1,2],/一8<0.若夕為假命題,q為真命
題,則實數(shù)。的取值范圍為()
A.[-3,l]B,[-7,-3)U(1,2]C.(-。,2]D.(-。,-3)u(l,2]
3.已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足:/(x)=/(x-6),且當(dāng)0<x<3時,
/、Q+10gns(X+1),0<X<l/、/、
/(x)=,7AI-為常數(shù)),貝|J/(2O23)+/(2O25)的值為()
A.-2B.OC.lD.2
4.函數(shù)/(力=%05?!父丁穩(wěn)(—4,4)的圖象大致為()
yk
c.
5.若a=log3gb=,則的大小關(guān)系為()
A.a<c<bB.a<b<c
C.c<a<bD.c<b<a
6.核酸檢測分析是用熒光定量PCR法,通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號,對在PCR擴增進程中成指數(shù)級增加的
靶標(biāo)DNA實時監(jiān)測,在PCR擴增的指數(shù)時期,熒光信號強度達(dá)到閾值時,DNA的數(shù)量工與擴增次數(shù)
〃滿足lgX“=〃lg(l+p)+lgXo,其中0為擴增效率,X“為DNA的初始數(shù)量.已知某被測標(biāo)本DNA擴
增10次后,數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?00倍,那么該樣本的擴增效率?約為()(參考數(shù)據(jù):
10°-2?1.585,1O-0-2?0.631)
A.36.9%B.41.5%C.58.5%D.63.4%
7.己知函數(shù)/("=口》2-2%+11?有兩個不同的極值點石,%2,則/(玉)+/(々)的取值范圍為()
A」一",一若]B.(-oo,-V5jC.(一e,-3]D.(-oo,-3)
8.己知函數(shù)/(x)=優(yōu)①>0且aw1)滿足/(I)>1,且函數(shù)y=log,(/—?—1)在[2,3]上單調(diào)遞增,
則實數(shù)a的取值范圍為()
人”)C.(l,4]D]|,4
二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合
題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.己知a>0,b>0,ab=2,貝|()
A.log2a?log2b的最大值為g
B.2"+4,的最小值為8
的最小值為4后
172
D.—H—的最小值為一
ba2
10.已知函數(shù)/(x)=k-2|e'-a,則()
AJ(x)在(1,2)上單調(diào)遞增
B.當(dāng)x=1和x=2時,函數(shù)/(x)分別取得極大值點、極小值點
C./(x)無最大值,有最小值
D.當(dāng)aw(1,2)時,/(x)有三個零點
11.若定義在R上的函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(2,2)成中心對稱,且/(x+1)是偶函數(shù),貝()
AJ(x)圖象關(guān)于x=1軸對稱
B./(x+2)-2為奇函數(shù)
C./(x+2)=/(x)
20
D.£/(/)=42
i=0
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.^20=54=—,則工+1=_________.
10ab
13.己知函數(shù)/(x)=x"-logfex(a>l,b>1)有且只有一個零點,則ab的取值范圍為.
14.設(shè)函數(shù)/⑴在R上存在導(dǎo)數(shù)/'(%),對于任意的實數(shù)x,有/(%)-/(一力+2%=0,當(dāng)xe(-oo,0]
時,/'("+1<2%,若/(2+m)—/(一m)<2m+2,則實數(shù)切的取值范圍是.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(本小題13分)
已知集合/={x“2x-6|V4},5={x|x2-4mx+(2m+1)(2m-1)<o}.
(1)若夕:,且夕是4的必要不充分條件,求加的取值范圍;
(2)若函數(shù)y=log2(ax2—3tzx+2)的定義域為C,且4cC#0,求a的取值范圍.
16.(本小題15分)
Q
已知函數(shù)/(X)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x?0時,f[x}=a-y-yx,且
(1)求。的值,并求出/(x)的解析式;
(2)若A/(x)—9,-9-工一14W0在xe(O,+”)上恒成立,求X的取值范圍.
17.(本小題15分)
設(shè)a>0且aw1,函數(shù)/(x)=log?(x-l),g(x)=logfl(2x+t)(teR).
⑴當(dāng)”1時,求不等式2/(x”g(x)的解集;
(2)若函數(shù)〃(x)=a/㈤+什+2/+2在區(qū)間(1,3]上有零點,求/的取值范圍.
18.(本小題17分)
已知函數(shù)g(x)=21n(—x-l)+cos(—x-2),函數(shù)/(x)與g(x)的圖像關(guān)于x=-l對稱,.
(1)求/(x)的解析式;
(2)/(%)-14辦在定義域內(nèi)恒成立,求a的值;
(3)求證:2八工—3卜M4,?eN*-
k=n+\I?Z)
19.(本小題17分)
偏導(dǎo)數(shù)在微積分領(lǐng)域中有重要意義.定義:設(shè)二元函數(shù)2=/卜/)在點(%,%)附近有定義,當(dāng)y固定在
%而x在天處有改變量Ax時,相應(yīng)的二元函數(shù)z=/(x,y)有改變量A2=/(XO+AXJO)-/(XO/O),
如果lim—存在,那么稱此極限為二元函數(shù)z=/(x,y)在點(%,%)處對了的偏導(dǎo)數(shù)(計算時相當(dāng)于將
—Ax
dz/、/、
,視為常數(shù)),記作丁,若Z=/(XJ)在區(qū)域。內(nèi)每一點(X4)對X的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么這個
M國,%)
偏導(dǎo)數(shù)就是一個關(guān)于X的偏導(dǎo)函數(shù),它被稱為二元函數(shù)z=/(x,y)對x的偏導(dǎo)函數(shù),記作一.以上定義
OX
同樣適用于三元函數(shù).
PVdPdVST
(1)氣體狀態(tài)方程描述的三個變量P、V,T滿足:一=R(R是非零常量).求------------的值,
TdVdTdP
并說明其為常數(shù).
8z
(2)求值:對2=片飛由上的偏導(dǎo)數(shù)記;
:,2
JC~
(3)將偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于包絡(luò)線在金融領(lǐng)域可以發(fā)揮重要價值.在幾何學(xué)中,某個平面內(nèi)曲線族的包絡(luò)線是跟
該曲線族的每條線都至少有一點相切的一條曲線,例如:曲線族C:(x-/)2+y2=l的包絡(luò)線為y=±l.不
難發(fā)現(xiàn):對于任何一個給定的毛的值,包絡(luò)線與原曲線的切點(后,%)的為總是對應(yīng)y值在參數(shù)取遍后得
到的極值.已知函數(shù)/(X)=/工+一必“工。,aO)的包絡(luò)線為g(x).
(i)求證:/(x)<g(x).
(ii)設(shè)/(x)的極值點構(gòu)成曲線。(x),求證:當(dāng)。>1時,。(力與g(x)有且僅有一個公共點.
2025屆高三年級10月新起點調(diào)研模擬試卷(二)?數(shù)學(xué)
參考答案、提示及評分標(biāo)準(zhǔn)
1.C
2.B命題?:王式0,3],。=一/+2%為假命題,q=—Y+2x在xe[0,3]上無解,即N與
y=-x2+2x,xe[o,3]函數(shù)圖象沒有交點,由圖可知:或<?<一3,
「9]—Q—8Ko
命題1:\/1€[_1,2]/2+6?―840為真命題,貝“4+2。_8<0,解得_7<q<2,綜上所述:實數(shù)a
的取值范圍為[—7,-3)”1,2].
3.D因為/(x)在R上的奇函數(shù),所以/(0)=a+logo,51=0,解得a=0,所以
log(x+l)(0<x<l)
〃x)=,05
x-(x-2)(1<x<3)
因為/(x)=/(x—6),所以/(%)的周期為6,所以〃2023)+/(2025)=/⑴+/⑶=-1+3=2.
4.B因為定義域關(guān)于原點對稱,又/(—x)=;coseX)=—;cos7u?(eX—b)=—/(%),
177
即/(x)=/。$7a,(e*-b)為奇函數(shù),所以選項A和B錯誤,又當(dāng)x=]時,COSTU=cos$=0,當(dāng)
時,此時cosm)。,又易知當(dāng)”>。時,ex-e-^>0>所以
時,/(x)>0,結(jié)合圖象可知選項C錯誤,選項D正確.
5.A因為了=log3%是(0,+“)上的增函數(shù),所以0=log31<log3g<log33=l,即0<a<l,又因為
y=5工是增函數(shù),=5°」〉5°=1,又y=x°」是[0,+“)上的增函數(shù),所以
G]=5°」〉[||〉]£)=1,即b>c〉l,綜上所述,。力,c的大小關(guān)系為a<c<6.
6.C由題意可知,lglOOXo=lOlg(l+同+lgXo,即2+lgX0=lOlg(l+p)+lgXo,所以
1+^=10°-2?1.585,解得夕=0.585.
7.D由/(x)="2—2x+lnx(x>0),求導(dǎo)得廣⑴=2辦—2+工=也三出,由函數(shù)/⑴有兩
XX
A=4—8tz>0
個不同的極值點石廣2,得方程2。/—2x+l=0有兩個不相等的正實根,貝人x+x=—>0,解得
12a
x.x=—>0
1922a
0<Q<一,于是
2
ax
/(石)+/(%2)=i-2再+InXi+ax;-2x2+lnx2
=〃+x)2-2(再+12)+1口(再%2)----l-ln(26z),h(a)------l-ln2tz|0<(7],
2-2XXX2
L-ci2J
求導(dǎo)得/(0)=寧>0,函數(shù)〃(a)=—:—1—In2a在H上單調(diào)遞增,則刈。)</zg]=-3,所
以/(/)+/(%)的取值范圍為/(玉)+/(工2)<-3.
8.B因為函數(shù)/(x)=a%a>0且awl)滿足即/(1)=〃>1,所以a>l,又函數(shù)
y=log〃(x2—ax—l)在[2,3]上單調(diào)遞增,所以函數(shù)8(力=/—^—1在[2,3]上單調(diào)遞增,所以
-<2,33
〈2,解得。<—,所以1<。<一.
[4-2a-l>0'2/2
9.BCD因為Q>0]>0,〃b=2,
對于A:log2a?log2/)W[log2a:logz^]=[電磬]=;,當(dāng)且僅當(dāng)°=6=正時等號成立,故A錯
誤;
對于B:20+4^=+22b>2^2a-22b=2^2a+2b>2722^=8J當(dāng)且僅當(dāng)〃=2/=1時等號成立,
故B正確;
對于C:+人3=(Q+〃)(q2_ab+/)=(q+〃)(q2—2+),又
23
a+bN2M=26,a+b222ab=4,Q2+b?—2N2所以a+b324行,當(dāng)且僅當(dāng)Q=6=應(yīng)時等號
成立,故C正確;
22
IT1ba+ba+b1/22、>Hti\2,/\
對于D:—I—=-------=-------=——Fb,設(shè)/r(,)=—kb2(b7>0n),則nl
baab22\bJb
=_2+26=2僅-―1)=2(6一])(6+]),所以當(dāng)。<6<1時/⑸<0,則/。)單調(diào)遞減,當(dāng)
v7b-Z?2b-
112
時/'(9>0,則/⑸單調(diào)遞增,所以/僅"/⑴=3,所以:+―的最小值為一,當(dāng)且僅當(dāng)
ba2
6=1、。=2時取等號,故D正確.
10.CD
11.BD因為定義在R上的函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(2,2)成中心對稱,所以
/(-x)+/(4+x)=4,/(l-x)+/(3+x)=4,又/(x+1)是偶函數(shù),所以/(x+l)=/(l—x),且函
數(shù)/(X)的圖象關(guān)于X=1軸對稱,即
/(x+l)+/(x+3)=4,/(x+3)+/(x+5)=4^>/(x+l)=/(x+5),即
/(x)=/(x+4)=4-/(-x),對于A項,由上不能得出/(x)圖象關(guān)于x=l軸對稱,只能得出/(x)
關(guān)于(0,2)中心對稱,故A錯誤;對于B項,易知/(x+2)—2+/(2—x)-2=0,所以/(x+2)-2為
奇函數(shù),故B正
確;對于C項,由上只能得出/(x)的一個周期為7=4,故C錯誤;對于D項,由上易知
/(2)=2=/(0),/(1)+/(3)=4,所以
20
£/(Z)=5x[/(0)+/(1)+/(2)+/(3)]+/(20)=40+/(0)=42,故D正確;
z=0
12.-1
13.ee,+oo依題意得g(x)=x"與丸(x)=log/只有一個交點,即兩曲線相切,則g'(x)=〃'(x)只有
I7
一個解,
??.4/7=工,化簡得x=將其代入/(x)得
---+—log^(tzlnZ7)=0,/.log^e+log^(alnb)=0,即
ainba」
Jb,1'
eainb=1,a=—^—r:a>1,—^—>1,/.1<Z)<ee,則〃b=設(shè)03)=-TT,則
elnZ?einbM')eln隊J
/j_A11_
他)在1?單調(diào)遞減,0⑸〉。ee=ee,「.ab>ee,「.副的取值范圍是
e(lnb)I\I)
ee,+??
k)
14.(-<?,-1]令函數(shù)g(x)=/(x)-x2+x,因為xe(-e,0],時/'(x)+l<2x,所以
g,(x)=/,(x)-2x+l<0,所以函數(shù)g(x)在xe(-”,0]上單調(diào)遞減,又因為
g(x)-g(-x)=/(x)-x2+x-[/(-x)-(-x)2-x]=/(x)-/(-x)+2x=0,所以函數(shù)
g(-x)=g(x),所以g(x)為偶函數(shù),根據(jù)偶函數(shù)的對稱性,可得/(X)在(0,+動上單調(diào)遞增,若
f(2+加)一/(一加)<2加+2則g(2+加)+(2+加了++(—加)<2m+2,整理
得g(2+^)Wg(一加),所以|2+加閆一同,兩邊平方可得加+4切+44/,解得機<一1,即實數(shù)加
的取值范圍為
15.(1)由題意知幺={52%一5|<3}=[1,4],
解不等式——4M+(2機+1)(2%—1)W0,解得2〃z-l<x<2m+l,所以8=[2掰-1,2加+1],
因為。是9的必要不充分條件,所以8是/的真子集,
2m-1>1,
所以《且等號不同時成立,
2m+1<4,
33
解得IV加<一,即加的取值范圍是1,-
22
(2)因為4cCw0,所以4、2一3%+2>0在XE[1,4]上有解,
23
所以Q>一--+-,
XX
人1「1JI23c2々「59一
令,二一£—,1,貝!J7-1=-2彳+3zG—,
x4xx88
所以a>2,即。的取值范圍是住,+“
818J
1Q
16.(1)因為/⑴是偶函數(shù),所以/(—l)=/(l)=3a—§=§,
解得a=l,
當(dāng)x<0時,可得-x>0,所以=力=3一,34)=3一,3"
所以函數(shù)/(x)的解析式為/(x)=,/
3-3,x<0.
(2)由⑴知,當(dāng)x〉0時,/(力=3*—3—工>0,
因為2/(x)—9、—9一一1440在xe(0,+“)上恒成立,
所以/<9,+9-,+14_(3一尸)2+16_,
-3”-3r3%-3-x3'-3r
又因為3工-3T+16->2J(3,-3-).——=8,
3A-3-xv'r-Yx
當(dāng)且僅當(dāng)3工—3T=3「;x時,即x=l°g3(、后+2)時等號成立,
所以X<8,即X的取值范圍是(一。,8]
17.(1)當(dāng)/=1時,不等式2/(x)?g(x)可化為21oga(x-l)?loga(2x+l),
x—1>0
若0<avl,貝卜2x+1>0,解得x>4,
(x-1)2>2x+l
所以不等式2/(x)<g(x)的解集為[4,+8);
x—1>0
若”1,貝12x+l>0,解得1<、<4,
(x-1)2<2x+l
所以不等式"(x)Wg(x)的解集為(1,4];
綜上所述,當(dāng)0<a<l時,不等式2/(同48(力的解集為[4,+8);
當(dāng)4>1時,不等式2/(x)Vg(x)的解集為(1,4];
(2)由題意可知/z(x)=JU+及2+2%+2=£+%+2,+1,
令加,+x+2,+1=0,即,(*+2)=+,因為xw(1,3],所以x+1w(2,4],
12?o
所以/。0,/+2/0,所以!=
tx+1
設(shè)機=x+le(2,4],則)=_(—_0+2=_(僧+二]+2,
tmmJ
因為函數(shù)歹=一1+』]+2在(2,4]上單調(diào)遞減,
111324
所以---<-<——,所以——<t4----.
4t2311
18.(1)依題意,設(shè)/⑴圖像上任意一點坐標(biāo)為(毛,九),
則其關(guān)于x=-1對稱的點(-2-%,%)在g(%)圖像上,
則%=/(%)=g(—2-則/(Xo)=g(—%—2)=2111(%+1)+3%,(后〉一1)
故/(x)=21n(x+l)+cosx,(x>-1);
(2)令〃(x)=/(x)-1-ax=21n(x+l)+cosx-l-ax,(x>-1),
則在人(x)40在》€(wěn)(—1,+8〉恒成立,
又〃(0)=0,且〃(x)在xe(-l,+8)上是連續(xù)函數(shù),則x=0為〃(x)的一個極大值點,
2一
h\x)=-------sinx-a,〃'(0)=2—〃=0n〃=2,
x+1
下證當(dāng)a=2時,〃(》)《0在》€(wěn)(-1,+8)恒成立,
1X
令0(x)=ln(x+1)-x,(p\x)=-------1=--------,
x+1x+1
當(dāng)xe(—1,0),0<x)>0,9(x)在(—1,0)上單調(diào)遞增,
當(dāng)xe(0,+co),9'(x)<0,°(x)在(0,+e)上單調(diào)遞減,
故9(x)<9(0)=0,ln(x+l)Wx在(T,+co)上恒成立,又cosx<l,
則Q=2時,h(x)=f(x)-l-tzx=2[in(x+l)-x]+(cosx-1)V0恒成立,
綜上,a=2.
(3)由(2)可知:/(x)-l<2x,
2
則/-1<2,即/
2n111
則X/<2------1--------F,??H
k=n+l〃+1〃+22n
又由(2)可知:ln(x+l)Wx在上恒成立,
則Inx<x-1在(0,+。)上恒成立且當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等,
.〃/Cl、-1
令%=----£(0,1),HGN,則In------<--------1=------
〃+1〃+1〃+1〃+1
rr111〃+l1/1、1
即----<-In------=In------=ln(〃+1)—In〃,
〃+ln+1n
11
則------1-------H-----F—<ln(n+1)-In〃+ln(n+2)-ln(〃+l)d-----Fln(2〃)-ln(2n-1)
〃+1〃+22n
=ln(2〃)-In?=In2,
2n
綜上,E/<21n2=ln4,即證
k=n+\
TR8PTRTRdVRPV
19.(1)P=-----------=-----7r;/=---—=——;1=----,
VdVV2P8TPR加一萬
名亞n7
dVdTdPVP
dz兀
dz_v.y_vy1
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