2024-2025學(xué)年上海市某中學(xué)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷及答案解析

敬業(yè)中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期10月考試高三數(shù)學(xué)試卷

（完卷時(shí)間：120分鐘滿分:150分）

考生注意：

1.每位考生應(yīng)同時(shí)收到試卷和答題卷兩份材料，解答必須在答題卷上進(jìn)行，寫(xiě)在試卷上

的解答一律無(wú)效；

2.答卷前，考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等相關(guān)信息在答題卷上填寫(xiě)清楚；

3.本試卷共21道試題，滿分150分；考試時(shí)間120分鐘.

一.填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分）

1.若集合2={月》—1<2”叫，則ZCN=.

【答案】{0,1,2}

【解析】

【分析】首先化簡(jiǎn)集合A,再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得，

【詳解】因?yàn)镹={x|x-l<2,xeR}={x|x<3,xeR},N為自然數(shù)集，

所以」nN={0,l,2}.

故答案為:{0,1,2}

2.若復(fù)數(shù)z滿足一!一=工（i為虛數(shù)單位），貝”=_______.

z-12

【答案】l+2i

【解析】

【分析】處理方程，即可求得z

1

【詳解】因?yàn)橐籢二—，所以2—1=2九即z=l+2i

z-12

故答案為：l+2i

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題

3.已知圓=/2與直線3》—4y+10=0相切，則圓C的半徑井=.

【答案】2

【解析】

【詳解】試題分析：圓與直線相切，等價(jià)于圓心到直線的距離等于半徑，所以d=Ilo,+o+iolI=2=尸

考點(diǎn)：直線與圓相切

4.已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)與雙曲線：上—片=1的右焦點(diǎn)重合，則拋物線C的方程是

72

【答案】y=12x

【解析】

【詳解】試題分析：由于雙曲線：工—匕=1中a2=7H=2,所以c=3,

72

從而它右焦點(diǎn)為（3,0）,

所以拋物線C的方程是y2=12x.

故答案為V=12x.

考點(diǎn)：圓錐曲線的方程.

5.在二項(xiàng)式（——2）5的展開(kāi)式中，x的一次項(xiàng)系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

x

【答案】-80

【解析】

2

【詳解】試題分析二項(xiàng)式的通項(xiàng)=G（X）*（——）'=（—2），。3°曰，令10—3r=l/=3,此時(shí)X的

X

一次項(xiàng)系數(shù)為（一2）3以=-80.

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.

6.已知一個(gè)圓柱的高為1,底面半徑若，則它的側(cè)面積的大小為

【答案】2G兀

【解析】

【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閳A柱的高為1,底面半徑后，

所以其側(cè)面積S=2x兀xGx1=2A/3TI.

故答案為：2百兀

7.若a為第四象限角，且sina=-L則tana的值是

3

【答案】一注

4

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式計(jì)算即得.

【詳解】由a為第四象限角，sina=-；,得cosa=Jl-sin2a=

ll,、，sina1v2

所以tana=-----=----產(chǎn)=-----.

cosa2V24

故答案為：_受

4

71兀

8.函數(shù)/(x)=sin二-,n的單調(diào)遞增區(qū)間為.

2L2一

【答案】［3,兀］

【解析】

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求法結(jié)合給定閉區(qū)間求解.

TTTT7T

【詳解】令2E<—x<2kn+~,keZ,

222

71

得4左一14XV4k+1,左eZ,又xe—,71,

2

故單調(diào)遞增區(qū)間為［3,兀］.

故答案為：［3,兀］.

9.如圖：在AABC中，若48=ZC=3,cos/A4C=；,~DC=2BD，則赤?瓦公

【解析】

【分析】用基底存、式表示向量而和灰，然后利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義即可計(jì)算出

通.瓦的值.

1—.,19

【詳解】VAB=AC=3,cosZBAC=-,AB-COSZBAC=32X-=-

222

UUUIUUU即〃-力=2(而-益)，:.AD=^AC+^AB,BC=AC-AB-

QDC=2BD，

)

因此，ADBCJLAC+-AAB=^+^AB.AC-^

(33

=-1x3—+-x—92[23

33232

3

故答案為：—

2

【點(diǎn)睛】本題考查三角形中數(shù)量積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是選擇合適的基底來(lái)表示問(wèn)題所涉及的向量，考

查計(jì)算能力，屬于中等題.

10.若甲、乙兩人從6門(mén)課程中各選修3門(mén)，則甲、乙所選修的課程中至少有1門(mén)相同的選法種數(shù)為

【答案】380

【解析】

【分析】分有1門(mén)相同、2門(mén)相同、3門(mén)相同三種情況討論，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理與分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理計(jì)

算可得.

【詳解】若甲、乙所選的課程有1門(mén)相同，則有C>xC；xC；=18()種情況；

若甲、乙所選的課程有2門(mén)相同，則有?卜心、仁=180種情況；

若甲、乙所選的課程有3門(mén)相同，則有C：=20種情況;

綜上可得甲、乙所選修的課程中至少有1門(mén)相同的選法種數(shù)為180+180+20=380.

故答案為：380

11.設(shè)a>0,函數(shù)/(x)=x+2(l-x)cos(ax),xe(O,l),若函數(shù)y=2x—l與y=/(x)的圖像有且

僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則。的取值范圍是.

2兀4TI

【答案】

T!T

【解析】

【分析】函數(shù)圖形交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解的問(wèn)題，由余弦函數(shù)圖像的性質(zhì)即可得到參數(shù)的取值范圍.

【詳解】由題意得2x-l=x+2(l-x)cos(ax)由且只有一個(gè)解,

則+2cos（ax）］=0,又rxe（0,1）,

cos（ox）=有一個(gè)解,

2

127t4n

——=cos一=cos——

233

???xe（0,l）,oxe（0,a）

2n47r

故答案為:

T!T

12.已知aeR,若存在定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)滿足下列兩個(gè)條件:

①對(duì)任意/cR,/(Xo)e{x|x=g，左eN*},②關(guān)于x的方程/(x)=。無(wú)實(shí)數(shù)解,

則。取值范圍為

【答案】(―”,0)口(0,1)口(1,+。)

【解析】

【分析】通過(guò)條件分析得出a70且a/1,構(gòu)造一個(gè)滿足其要求的函數(shù)，即可得出答案.

【詳解】考慮/(a),由關(guān)于x的方程/(x)=a無(wú)實(shí)數(shù)解，則/(a)=/wa,

故awO且a/1,注意此為必要條件.

同時(shí)構(gòu)造出/("=d2_是滿足條件的函數(shù)，

x,x—a

故ae(-oo,0)u(0,l)O(l,+oo).

二.選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13、14每題4分，第15、16每題5分)

13.已知。、beR,若a<6,貝ij()

A.a<2bB./</c.ab<b2D.a-1<b^

【答案】B

【解析】

【分析】利用特殊值判斷A、C、D,根據(jù)不等式性質(zhì)判斷B.

【詳解】因?yàn)?。、beR且a<6,

對(duì)于A：當(dāng)。=一2,6=-1時(shí)，滿足a<6,但是a=26,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)閥=/在定義域R上單調(diào)遞增，所以/<〃，故B正確；

對(duì)于C：當(dāng)。=一1,6=0時(shí)，滿足a<6,但是ab=Z?2=0，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：當(dāng)a=l,6=2時(shí)，滿足a<6,但是aT〉"1故D錯(cuò)誤.

故選：B

14.關(guān)于直線/,機(jī)及平面a,廣，下列命題中正確的是（）

A.若/〃a,￡口/?=機(jī)，貝1|/〃相B.若/〃加||a,則/〃相

C若/_Ltz,m\\a,貝！D.若/〃a,mA.I,則加_La

【答案】C

【解析】

【分析】通過(guò)線面關(guān)系的判定即可得出結(jié)論.

【詳解】A選項(xiàng)：I"a,lu°,a[}/3=m,貝腹〃相，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：若/〃a,m\\a,存在/Pl機(jī)=Z,/與機(jī)不一定平行，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：若/_Ltz,則Vbua,/J_b；m\\a,則北口a,機(jī)〃c,_Lc,c〃掰，二/J_〃z,故C選項(xiàng)正

確；

D選項(xiàng)：若/〃a,mLI,存在加ua或%||a,則加J_a不成立，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C

15.“X=E+；（左eZ）”是"tanx=1”成立的（）

A.充分非必要條件B,必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)及充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】當(dāng)》=射1+7（左GZ）時(shí)可得tanx=tan[而+ij=tanz=l,故充分性成立；

由tanx=1可得x=E+；（左eZ）,故必要性成立；

所以"x=E+￡（左eZ）”是“tanx=1”成立的充要條件.

故選：C

16.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?。，值域?yàn)锳,函數(shù)/(x)具有下列性質(zhì)：(1)若則

(2)若則/(x)+/(#eN.下列結(jié)論正確的是()

JJ

2021

①存在xe。，使得/(X)=與垢

②對(duì)任意xe。，都有72(x)eZ.

A.①②都正確B.①正確、②不正確C.②正確、①不正確D.①②都不正確

【答案】A

【解析】

【分析】依題意可得/(x)wO,從而推出le/,即可得至!J2020eN,2021e即可判斷①；再由

1

€4,即可推導(dǎo)/2(x)eZ,從而判斷②.

f(x}

【詳解】由(1)可知/(x)wO,令y=x則94=1-

f(x)

/(x)

/(X。)1=f2(x)eA

不妨令/(x0)=l,則A即再eN,所以1')，故②正確;

/(x)

/(x)

由(2)若則/(x)+/(y)e/,所以+=2eN,

同理可得3,4,5,L,2020,2021均屬于A,

/、/、

fM2021,

故存在西?。，馬使得/(石)=2020,/(x2)=2021,所以=而不?幺

/IJitINU/U

所以存在xe￡>,使得/(x)而，故①正確?

故選：A

三.解答題(本大題共有5題，滿分78分)

17.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA1底面ABCD,AD||BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上

一點(diǎn)，AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).

p

（I）證明MN||平面PAB;

（ID求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

o工

【答案】（D詳見(jiàn)解析；（H）52.

25

【解析】

【詳解】（D由已知得2川=2幺。=2.

3

取AP的中點(diǎn)T,連接AT,TN,由N為尸C中點(diǎn)知刀TN=-BC=2.

2

又ADHBC,故TN11AM,TN=AM,四邊形㈤WT為平行四邊形，干是MN"AT.

因?yàn)镹Tu平面尸48,平面尸45,所以〃N//平面尸4g.

（II）取5c的中點(diǎn)E,連結(jié)ZE.由4B=ZC得從而/EJL4D,

SLAE=^AB2-BE-=

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，礪的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系|幺-孫z.

由題意知，

C/7)

尸(0,0,4),Af(0,2,0),C(V5,2,0),N*,1,2,

I2)

PA/=(0,2,-4),兩=卓1,_2)，衣=(布,2).

設(shè)〃=（XJ,2）為平面RI數(shù)的一個(gè)法向量，則

2y-4z=0,

n-PM=0,

即W5

元而=0,2.x+-2z—0,

可取”=(0,2,1).

I-----------In-AN8亞

于是卜os〈〃,ZN〉=行」=子.

11i^AN25

【考點(diǎn)】空間線面間的平行關(guān)系，空間向量法求線面角.

【技巧點(diǎn)撥】（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過(guò)線線平行來(lái)實(shí)現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形

的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來(lái)推證；（2）求解空間中的角和距離常?？赏ㄟ^(guò)建立空間直角坐

標(biāo)系，利用空間向量中的夾角與距離來(lái)處理.

18.已知V4SC的內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為見(jiàn)"c,已知a=3,b=2c.

（1）若/=m2IT，求V4SC的面積；

（2）若2sin5-sinC=l,求sinZ.

【答案】（1）巫

14

（、4A/2+V54A/2—A/5

（2）---------或^---------

99

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理解得/的值，代入三角形面積公式即可的結(jié)果.

（2）由正弦定理得到sinB,sinC的關(guān)系，解出sinB,sinC的值，分類(lèi)討論角5是否為銳角，利用和差角

公式計(jì)算出sinZ的值.

【小問(wèn)1詳解】

.b2+c2-a21

cosA=----------=——

2bc2

29

c=—,

7

L./2.9V39V3

Sc--bcsmA=csm/4=—x——=-----

△AABnCr27214

【小問(wèn)2詳解】

b=2c,由正弦定理可得sinB=2sinC

.1,2

??,2sin5-sinC=1,sinC=—,sm5=y,

?.》=2c,5可能為銳角可能為鈍角，。為銳角,

Ck?2廠2A/2

cosC=vl-smC=------

3

當(dāng)B為銳角，cosB=Vl-sin2B-

3

1V527224V2+V5

sinA=sin[兀一(C+5)]=sin(C+5)=sinCcosB+cosCsinB=—X--------1----------X—=-----------

33339

當(dāng)8為鈍角，cos5=-Vl-sin25=-—

3

2V221V54V2-V5

sin4=sin[兀一(C+■)]=sin(C+5)=sinCcosB+cosCsinB=----x-----x---=---------

33339

，sinZ=4夜+2米或4后飛

99

19.已知雙曲線。以>(一2,0)、鳥(niǎo)(2,0)為焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)尸(7,12)

(1)求雙曲線C與其漸近線的方程

(2)若斜率為1的直線/與雙曲線C相交于48兩點(diǎn)，且)而(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線/的方程

2

【答案】(1)雙曲線C的方程為V—1_=1；漸近線方程為y=±6x.(2)1方程為y=x土

【解析】

【分析】(1)設(shè)出雙曲線C方程，利用已知條件求出c,a,解得b,即可求出雙曲線方程與漸近線的方程;

2

(2)設(shè)直線1的方程為y=x+t,將其代入方程——匕=1,通過(guò)△>(),求出t的范圍，設(shè)A(xi，yi),

3

B(X2,y2),利用韋達(dá)定理，通過(guò)X1X2+yiy2=0,求解t即可得到直線方程.

22

【詳解】(1)設(shè)雙曲線C的方程為1-云=1(40,心0),半焦距為C,

2222

則c=2,2a=|-|11=|A/9+12-A/5+12=2,a=i,

所以b2=c2-a2=3,

2

故雙曲線c的方程為2L=1.

3

雙曲線C的漸近線方程為y=±Gx.

2

(2)設(shè)直線1的方程為y=x+t,將其代入方程——21=1,

3

可得2x2-2tx-t2-3=0(*)

222

△=4t+8(t+3)=12t+24>0,若設(shè)A(xpyi),B(x2,y2),

/+3

則X”X2是方程(*)的兩個(gè)根，所以玉+%2=心再％2=------

又由況_L無(wú)，可知xiX2+yiy2=0,

即X1X2+(Xi+t)(X2+t)—0,可得2%]%2+，+%2)+/=°，

故-(t2+3)+t2+t2=0,解得/=±百，

所以直線1方程為y=x土石.

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程的求法，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)

用，考查計(jì)算能力.

20.已知函數(shù)其中。是常數(shù).

(1)若。＞0,判斷函數(shù)/(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由；

(2)若a21,且函數(shù)/(x)在(1,+s)嚴(yán)格單調(diào)減，求實(shí)數(shù)。的最大值;

(3)若/⑴=3

且不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)。恒成立，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

【答案】(1)非奇非偶，理由見(jiàn)解析

(2)2(3)30720^^/3

【解析】

【分析】(1)當(dāng)a=l時(shí)，根據(jù)奇偶函數(shù)的定義和/(1)。/(一1)、+即可判斷/(x)的奇

偶性;

(2)根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義可得依產(chǎn)即解之即可求解;

(3)由題意可得/(0=三匚，由(1)(2),結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)。=1時(shí),/(x)=——->則/(—x)=---~~-=-/U)-

X?1X十1

所以/(X)是奇函數(shù)；

當(dāng)a〉0且"1時(shí)，/⑴。/(T，

且/(I)+/(T)手0,此時(shí)/(x)是非奇非偶函數(shù).

【小問(wèn)2詳解】

任取%>石>1,

因止匕alOzx產(chǎn)(司恒成立，即依1為@(^00(田。,

因?yàn)椤?1,XjX2>1,%,+x2>2,只需即l<q<2,

因此。的最大值為2;

【小問(wèn)3詳解】

/⑴="=:，因此0=1,貝=

1+a2x+1

由⑴(2)知/(X)是奇函數(shù)，且在(7-1)、。,+⑹上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以此時(shí)/(x)的值域?yàn)?g，g，所以

又因?yàn)?/p>

所以不等式

由于cos0最小值為-1,

所以亳*>，解得■ooa/r

21.若函數(shù)/'(x)=0,xeR的導(dǎo)函數(shù)y=/'(x),xeR是以T(TWO)為周期的函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)

J=/W,xeR具有“T性質(zhì)”.

(1)試判斷函數(shù)y=/和y=sinx是否具有“2兀性質(zhì)”，并說(shuō)明理由；

(2)已知函數(shù)y="(x),其中人(無(wú))=加+樂(lè)+25畝為(0<6<3)具有“兀性質(zhì)”，求函數(shù)J=/z(x)在［0,兀］上的

極小值點(diǎn)；

(3)若函數(shù)y=/(x),xeR具有“T性質(zhì)”，且存在實(shí)數(shù)兒f>0使得對(duì)任意xeR都有|/(刈<四成立，

求證：y=/(x),xeR為周期函數(shù).

(可用結(jié)論：若函數(shù)y=/(x),xeR的導(dǎo)函數(shù)滿足/'(x)=0,xeR,則/(x)=C(常數(shù)).

【答案】(1)>=/不具有“2兀"，y=sinx具有，理由見(jiàn)解析；

、2兀

(2)—；

3

(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】⑴求出導(dǎo)數(shù)分別計(jì)算/'⑼、/'(2兀)、g，(X)=COSX,g，(X+27T)即可判斷；

f77r

(2)根據(jù)h(x)具有“兀性質(zhì)”，得到"(x+兀)=1(x),從而得到cosbx-COS6(X+TT)=不對(duì)xeR恒成立，可

7T

以通過(guò)賦值》=0和工=巴或者利用和差化積公式，得到關(guān)于。和b的關(guān)系式解出。、b,從而得到h(x)的

b

解析式，進(jìn)而通過(guò)分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到h(x)在［0,兀］上的極小值點(diǎn)；

⑶設(shè)g(x)=f(x+T)~/(x),因?yàn)楹瘮?shù)/(x)具有，T性質(zhì)”，所以g(x)=f(x+T)-/(x)=c，分c=0

和CW0兩種情況討論，當(dāng)c=0時(shí)/(x)為周期函數(shù)，當(dāng)CW0時(shí)，由/(〃T)=/(0)+〃c,令“2.一/⑼

C

或〃=.+1,都能推出|/(刈之拉，與|/(刈</矛盾，從而得到/(X)為周期函數(shù).

【小問(wèn)1詳解】

/(x)=/不具有“2兀性質(zhì)”.因?yàn)?3=2%,廣(2兀)一((0)=4兀—0=4"0,所以/(2兀)H/(0)；

g(x)=sinx具有“2兀性質(zhì)”.因?yàn)間'(x)=cosx,g'(x+2無(wú))=cos(x+2K)=cosx=g'(x).

【小問(wèn)2詳解】

法一*；hr(x)=2ax+b+2bcosZ?x(0<Z?<3),

因?yàn)閔(x)具有“兀性質(zhì)"，所以h'(x+兀)=h\x),即2。(x+兀)+b+2bcosb(x+兀)=2ax+b+2bcosbx,

cm

整理得cos6x-cosb(x+7i)=——對(duì)x￡R恒成立.

b

令x=0,得l—cosZ)7i=竺①；令％=得一l+cos/m=e②.

bbb

由①+②得2竺=0,因此4=0,從而35云=(：05(加+6兀)恒成立.