河南省鄭州市第五十八中學2024-2025學年上學期九年級數(shù)學期中聯(lián)考試卷（含答案）

2024—2025學年上學期九年級期中試題數(shù)學注意事項：1．本試卷共6頁，三個大題，滿分120分，考試時間100分鐘．2．本試卷上不要答題，請按答題卡上注意事項的要求直接把答案填寫在答題卡上．答在試卷上的答案無效．一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的，將正確選項的代號字母填入題后括號內．1．下列方程，屬于一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．若，且，則與的周長比為（）A． B． C． D．3．用配方法解一元二次方程時可配方得（）A． B． C． D．4．菱形具有而矩形不一定具有的性質是（）A．對角線互相平分 B．對角線相等 C．鄰邊互相垂直 D．對角線互相垂直5．如圖，與相交于點O，添加一個條件，不能別斷的是（）A． B． C． D．6．如圖，在中，于點是斜邊的中點，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．7．若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則c的值可能為（）A．3 B．4 C．5 D．68．劈開太行千重障，暫把河山重安排．60多年前．十萬開山者在太行山脈的絕壁上鑿壁穿石，歷經十年，修筑紅旗渠，留下“自力更生、艱苦創(chuàng)業(yè)、團結協(xié)作、無私奉獻”的紅旗渠精神．小明珍藏了四枚由國家郵政局發(fā)行的《紅旗渠》特種郵票，上面分別繪有“愚公移山”“青年洞”“桃園橋”和“人間天河”的圖案．這些郵票除圖案外，質地、規(guī)格、背面圖案完全相同．初中畢業(yè)之際，他想把心愛的郵票送給好朋友小亮兩枚，于是將這些郵票背面朝上，讓小亮隨機抽取，則小亮抽到的郵票正好是“愚公移山”和“人間天河”的概率是（）A． B． C． D．9．如圖，在平面直角坐標系中，的頂點A在第二象限，點B的坐標為，點C的坐標為，以點C為位似中心，在x軸的下方作的位似圖形．若點A的對應點M的坐標為，點B的對應點N的坐標為，則點A的坐標為（）A． B． C． D．10．如圖，矩形中，，點M為的中點，連接；點P為上一個動點，連接，點Q為的中點，則線段的最小值為（）A．5 B． C． D．6二、填空題（每小題3分，共15分）11．若，則的值為_______．12．請你寫出一個關于x的一元二次方程，使其有一個根是0，另一個根是，則這個一元二次方程可以為：_______．13．當今大數(shù)據(jù)時代，“二維碼”廣泛應用于我們的日常生活中，小明對二維碼開展數(shù)學實驗活動．如圖，小明將自己的微信二維碼打印在面積為的正方形紙上，為了估計黑色陰影部分的面積，他在紙內隨機擲點，經過大量實驗，發(fā)現(xiàn)點落在黑色陰影的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則據(jù)此估計此二維碼中黑色陰影的面積為_______．14．如圖，正方形中，點M為的中點，連接，交于點O，過點C作，垂足為點N，則_______．15．如圖，在菱形中，，點M為的中點，過點M作，垂足為點N，點P為上一個動點，過點P作交于點Q，點O為的中點，連接．當點P恰好為的三等分點時，的面積為_______．三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16．（10分）解方程：（1）；（2）．17．（9分）【學科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一個平面內；反射光線和入射光線分別位于法線兩側；反射角r等于入射角i．這就是光的反射定律．【問題解決】小明準備運用數(shù)學知識測量出一棵杉樹的高度，于是他們利用鏡子和皮尺，設計如圖所示的測量方案：如圖2，把鏡子放在離杉樹的點E處，然后小明沿著直線后退到點D，這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點A，再用皮尺量得，已知小明眼睛C距離地面D的距離（即）為，則杉樹高約是多少米？圖1圖218．（9分）在一個不透明的袋子中裝有4個除顏色外其余均相同的小球，其中，一個是紅球，3個是白球．（1）從袋子中任意拿出一個球，則拿出的小球恰好是紅球的概率為_______；（2）從袋子中任意拿出兩個球，求這兩個球恰好是兩個白球的概率（用樹狀圖或列表法）；（3）在袋子中加入a個紅球，搖勻后，多次摸球，若摸到紅球的概率為，求a的值．19．（9分）已知關于x的方程．（1）求證：不論k取什么實數(shù)值，這個方程總有實數(shù)根；（2）當k為何整數(shù)時，該方程有兩個整數(shù)根？20．（9分）矩形中．圖1圖2（1）①如圖1，尺規(guī)作圖：作的垂直平分線，垂足為點O，交于點M，交于點N，連接（保留作圖痕跡，不寫畫法）；②求證：四邊形是菱形；（2）在（1）的條件和結論下，如圖2，過點C作，垂足為點Q，若，求的長．21．（9分）某市準備在一塊長為，寬為的矩形荒地上建造一個市民休閑廣場，如圖為廣場設計圖，陰影部分為寬度相同的甬道，甬道把廣場分成三個矩形的休閑區(qū)（其中一邊為）．（1）設甬道寬度為，則_______m（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若休閑區(qū)的總面積為，求甬道的寬度；（3）能否設計出符合題目要求，且矩形A的形狀與原矩形荒地的形狀相似的休閑區(qū)？若能，求出此時甬道的寬；若不能，請說明理由．22．（10分）【特例分析】圖1圖2（1）如圖1，中，，點分別為的中點，相交于點分別為的中點，連接，請判斷：四邊形的形狀為_______；【問題探究】（2）在（1）的條件下，若點A為上方平面內一點，為一般三角形，（1）中的結論是否變化？請說明理由；【拓展延伸】（3）在（2）的條件下，①當_______時，四邊形為矩形②在①的條件下，當_______時，四邊形為正方形；③當_______時，四邊形為菱形．23．（10分）定義：在凸四邊形中，若對角線相等且至少有一個內角為直角的四邊形叫作“奮進四邊形”．圖1圖2（1）下列四邊形中，是“奮進四邊形”的是_______；①直角梯形；②矩形；③菱形；④正方形；（2）正方形中，點分別為上一點，且，如圖1，連接，過點M作于點M，連接，若四邊形為“奮進四邊形”．①求證：；②若，求的值；（3）如圖2，中，，點P為右側平面內一點，且四邊形為“奮進四邊形”，過點P作于點Q，交的延長線于點Q，若與是相似三角形，請直接寫出的長．

2024—2025學年上期九年級期中試題數(shù)學答案及評分標準一、選擇題（每小題3分，共30分）1．B 2．C 3．A 4．D 5．D 6．B 7．A 8．A 9．C 10．C二、填空題（每小題3分，共15分）11． 12．（答案不唯一） 13．540 14． 15．或三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16．解：（1），，，，，；……5分（2），，解得．……5分17．解：根據(jù)題意，易得，……3分則，則，即，……7分解得：，答：杉樹高約是．……9分18．解：（1）；……2分（2）畫樹狀圖得：……4分共有12種等可能的結果，隨機從袋中摸出兩個球都是白色的有6種情況，隨機從袋中摸出兩個球，都是白色的概率是：．……6分（3）根據(jù)題意，得：，解得：，經檢驗是原方程的根，故．……9分19．解：（1）當時，方程為一元一次方程，必有一解；……1分當時，方程為一元二次方程，，一元二次方程有兩個實數(shù)根．綜上：不論k取什么實數(shù)值，這個方程總有實數(shù)根；……5分（2）方程有兩個整數(shù)根，方程為一元二次方程，即，，解得或，又k為整數(shù)及方程的兩個根都為整數(shù)，或，或2．……2分20．（1）①如圖所示，即為所求垂直平分線；……2分②證明：如圖所示：四邊形為矩形，，，垂直平分線段，，在和中，，，四邊形是平行四邊形，又，∴四邊形是菱形；……5分（2）四邊形是矩形，，在中，，根據(jù)勾股定理，得，四邊形是菱形，，，，，，，，，即，．……9分21．解：（1）；……2分（2）根據(jù)題意得，，解得（不合題意，舍去）．答：甬道的寬度為．……6分（3）假設能滿足要求，則，解得，因為不符合實際情況，所以不能滿足其要求．…………9分22．解：（1）平行四邊形；……2分（2）不變；……3分理由：點分別為的中點，且．又分別為的中點，且．且．∴四邊形是平行四邊形．……7分（3）①；②；③．……10分23．解：（1）②④；……2分（2）①證明：四邊形為正方形，．又，，．四邊形是“奮進四邊形”，，；……5分②如圖1，過點N作，垂足為E，圖1四邊形為矩形，．由①知，．由題意知，，即