數(shù)學(xué)課后導(dǎo)練：第二講第二節(jié)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課后導(dǎo)練基礎(chǔ)達標1.圓內(nèi)接四邊形ABCD中,若∠A∶∠B∶∠C∶∠D=5∶m∶4∶n,則()A。5m=4nB.4m=5nC.m+n=9解析：圓內(nèi)接四邊形對角互補，∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°.∴m+n=9.答案:C2。圓內(nèi)接四邊形ABCD中,cosA+cosB+cosC+cosD等于()A.0B.4C.2解析：∵ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°.∴cosA=—cosC，cosB=—cosD。∴cosA+cosB+cosC+cosD=0.答案:A3.如圖2—2-9,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,則∠BOD等于（）圖2—2—9A.140°B.110°C.130°D。150°解析:∵∠A=∠DCE=70°,∠BOD=2∠A=140°.答案：A4.如圖2-2-10,在△ABC外接圓中=，D為的中點，E為CA延長線上一點,且∠EAD=114°,則∠BAD等于()圖2—2—10A.57°B。38°C。45°D。30°解析:∵=,∴∠BAD=∠1。∴∠D=180°-2∠BAD?！摺螪AE=∠DBC,∴∠1+∠2=114°?！唷?=114°-∠1=114°—∠BAD.又∵=,∴∠C=∠2=114°-∠BAD?！摺螩+∠D=180°，∴∠180°—2∠BAD+114°-∠BAD=180°.∴∠BAD=38°.答案：B5.如圖2—2—11，AB為⊙O直徑，弦CD⊥AB，M為上一點，AM延長線交DC延長線于E，則能成立的是()圖2-2—11A.∠AMC=∠DCMB.∠A=∠EC?！螮MC=∠AMDD?！螮CM=∠AMD解析:∵AB⊥CD，∴=.∴∠ADC=∠AMD.又∠EMC=∠ADC，∴∠EMC=∠AMD.故C正確.答案：C綜合運用6.如圖2—2-12，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，CE∥DB交AB延長線于E點，求證:BC·CD=DA·BE。圖2-2-12證明：連結(jié)AC，∵=，∴∠2=∠3?！逤E∥BD,∴∠1=∠2。∴∠1=∠3.又∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠CBE=∠ADC?！唷鰽DC∽△CBE.∴?！郆C·CD=DA·BE.7.如圖2-2-13，延長圓的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊，分別相交于點M、N,求證：所成的∠AMD和∠ANB的平分線EN、MH互相垂直.圖2-2—13證明：∵∠1=∠A+∠ANE,∠2=∠GCN+∠CNG，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠A=∠GCN.NE是∠ANB的平分線，∴∠ANE=∠CNG.∴∠1=∠2?！郙E=MG,即△MEG是等腰三角形.又MF是頂角平分線,∴MK⊥EG。8。如圖2-2—14，⊙O和⊙O′交于A、B兩點,過B作直線交⊙O于C，交⊙O′于D，G為圓外一點，GC交⊙O于E,GD交⊙O′于F。求證：G、E、A、F四點共圓.圖2-2—14證明：連結(jié)AB，∵四邊形AECB內(nèi)接于⊙O,∴∠GEA=∠ABC?！咚倪呅蜛BDF內(nèi)接于⊙O′，∴∠GFA=∠ABD.∵∠ABC+∠ABD=180°,∴∠GEA+∠GFA=180°?！郍、E、A、F四點共圓。9.如圖2-2—15,⊙O和⊙O′交于點A、B，P點的是直線AB上任意一點,過P任意兩直線分別交⊙O于C、D，兩點交⊙O′于E、F兩點，求證:C、D、F、E四點共圓。圖2—2-15證明：連結(jié)AC、AE、CE、BD、BF、DF.∵ABDC內(nèi)接于⊙O，∴∠PCA=∠PBD。又∠CPB是公共角，∴△PAC∽△PDB.∴.∴PC·PD=PA·PB。同理，PE·PF=PA·PB.∴PC·PD=PE·PF?！唷Ｓ帧螩PE是公共角,∴△PCE∽△PFD?！唷螾CE=∠PFD.∴C、D、F、E四點共圓。拓展探究10。已知△ABC，點D與A在BC的同側(cè),且∠A=∠D,求證：A、B、C、D四點共圓.圖2-2—16證明:如圖2—2—16，作△ABC的外接圓⊙O。（1）假設(shè)D在⊙O外部,⊙O與BD交于E點，連結(jié)CE.∵=,∴∠A=∠BEC。又∠D=∠A,∴∠BEC=∠D。這與三角形的外角大于任何一個不相鄰的內(nèi)角相矛盾。故點D不在⊙O外部.(2）假設(shè)D在⊙O內(nèi)部,延長BD交⊙O于E,連結(jié)CE，如圖2-2-17,圖2-2—17則有∠A=∠E。又∠A=∠BDC,∴∠BDC=∠E。同樣產(chǎn)生矛盾.∴點D不能在圓內(nèi)。綜上所述，點D只能在圓周上，即A、B、C、D四點共圓.備選習題11。圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,則∠D的度數(shù)為_____________。解析:設(shè)∠A=x，則∠B=2x，∠C=3x.∵∠A+∠C=180°,∴x+3x=180°.∴x=45°.∴∠A=45°,∠B=90°，∠C=135°.又∵∠B+∠D=180°,∴∠D=180°-∠B=90°.答案：90°12.如圖2—2-18,⊙O內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°,AB=10，CD=2，求BC和AD.圖2—2-18解:延長AD、BC交于點P,在Rt△ABP中，BP=AB·tanA=,AP==20.∵ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠PDC=∠B=90°.在Rt△PCD中,∠P=30°.PC=2CD=4,PD=.∴BC=BP-PC=10-4，AD=PA-PD=20—2.13。如圖2—2—19,AD為△ABC的外角∠EAC的平分線,AD與△ABC的外接圓